Concours Physique ENS de Lyon et Cachan (MP) 2001 (Corrigé)

I- Spectroscopie de corrélation de fluorescence:
1)- les rayons incidents envoyés par le laser forment un faisceau parallèle: ils sont donc focalisés dans le plan (P), plan focal image de la lentille: (P) est donc placé à la distance f de la première lentille.

2)- On veut que l'image du point O par la deuxième lentille se forme sur le détecteur, c'est à dire à la distance D de la seconde lentille. Si on désigne par d la distance du point O à la seconde lentille, la formule de conjugaison de Newton s'écrira:
$\frac{1}{D} - \frac{1}{{ - d}} = \frac{1}{f}$
soit: $d = \frac{f}{{1 - \frac{f}{D}}}$
La distance D est 100 fois plus grande que la distance focale: d sera à peine supérieur à f. L'application numérique donne:
3)- D'une part, le faisceau est diaphragmé, et il y a de la diffraction. D'autre part, il y a des aberrations géométriques au niveau de la lentille, d'autant plus marquées que l'on sort notablement des conditions de Gauss, vu le rapport entre le rayon d'ouverture et la distance focale: 0,7, c'est à dire des rayons inclinés de 35 degrés par rapport à l'axe optique.
$d = 2,02mm$
4)- On suppose maintenant qu'il n'y a plus d'aberrations géométriques, et on ne s'intéresse qu'au phénomène de diffraction.
Soit dy la largeur élémentaire de la fente au voisinage de l'abscisse y: la différence de marche entre l'onde émise par cet élément et celle émise au voisinage de l'origine dans la direction i s'écrit:
$\delta = y \cdot \sin i$
L'élément dy émet donc dans la direction i l'onde élémentaire:
$ds = \frac{{{s_0}}}{\varphi } \cdot {e^{j\omega t}} \cdot {e^{j\frac{{2\pi }}{\lambda }\sin i \cdot y}} \cdot dy$
L'amplitude diffractée par la totalité de la fente s'écrit:
$ds = \frac{{{s_0}}}{\varphi } \cdot {e^{j\omega t}} \cdot \int\limits_{ - \frac{\varphi }{2}}^{\frac{\varphi }{2}} {{e^{j\frac{{2\pi }}{\lambda }\sin i \cdot y}} \cdot dy}$
soit:
$s = {s_0} \cdot {e^{j\omega t}} \cdot {\sin _c}\left( {\frac{{\pi \varphi }}{\lambda }\sin i} \right)$
Le rayon incliné de l'angle i (faible) par rapport à l'axe coupera, après la lentille, le plan focal à l'abscisse y telle que:
$\sin i \approx \tan i = \frac{y}{f}$
L'intensité lumineuse arrivant dans le plan (P) au point d'abscisse y s'écrit donc:
$I = {I_0} \cdot {\sin _c}^2 \cdot \left( {\frac{{\pi \varphi }}{{\lambda f}}y} \right)$
La tache de diffraction sera donc limitée par l'abscisse y₀ annulant I pour la première fois, soit:
${y_0} = \frac{{\lambda f}}{\varphi }$
Application numérique:
y₀ = 0,349 µm

5)- La lentille étant supposée parfaite et en négligeant le phénomène de diffraction, le rayon de la tache lumineuse obtenue sur un écran placé à l'abscisse z s'écrit:
$r(z) = \frac{\varphi }{f} \cdot \left| z \right|$
C'est l'expression que l'on pourra retenir tant que l'on est loin du point focal, la diffraction modifiant ce rayon d'une valeur faible devant le rayon "géométrique" de la tache..
On en déduit l'allure de la courbe représentant les variations de r(z).
6)- Si on admet en première approximation que la puissance lumineuse est uniformément répartie sur la surface de la tache, le flux lumineux est proportionnel à $\frac{1}{{{r^2}}}$. On aura alors:
en z = 0 : ${I_0} = \frac{P}{{\pi {r_0}^2}}$ et en z: $I = \frac{P}{{\pi {r^2}}}$
Soit:

$I = {I_0}\frac{{r_0^2}}{{{r^2}}}$ c'est à dire, en fonction de z:
$\frac{I}{{{I_0}}} = \frac{{{f^2}}}{{{\varphi ^2}}}\frac{{{r_0}^2}}{{{z^2}}}$, soit, en explicitant r₀:
$\frac{I}{{{I_0}}} = {\lambda ^2}\frac{{{f^4}}}{{{\varphi ^4}}} \cdot \frac{1}{{{z^2}}}$ pour z >> 1 µm
Ce qui donne l'allure de la courbe ci-contre, x variant de –10 à 10 µm
A comparer graphiquement avec le résultat trouvé dans le plan (P) pour la diffraction, en appelant maintenant y r:

$I = {I_0}\sin _c^2\left( {1,4\pi \frac{r}{{0,52}}} \right)$, r étant en µm.
7)-On veut que le rapport $\frac{I}{{{I_0}}} \ge 0.1$. Longitudinalement, c'est à dire le long des z, on aura un segment sur z où cette condition est vérifiée. Transversalement, elle sera réalisée pour une valeur de la distance à l'axe inférieure à une certaine valeur r: le volume confocal aura donc l'allure, en première approximation, d'un cylindre.
A la distance r de l'axe, on devra avoir:
$\sin {c^2}\left( {\frac{{\pi \varphi }}{{\lambda f}}r} \right) = 0,1$ , soit: $\frac{{\pi \varphi }}{{\lambda f}}r = 2,32$
on a ainsi:
$r = \frac{{2,32\lambda }}{\pi }\frac{f}{\varphi }$
Et le long de l'axe,
$\left| z \right| \le \lambda {\left( {\frac{f}{\varphi }} \right)^2}\sqrt {10}$
r =0,274 µm et z = 0,839 µm
8)- Numériquement, on trouve:
V= 0,396.10^-18 m³
Pour qu'il y ait en moyenne une molécule dans le volume confocal, il faut une concentration moléculaire de 1/V, c'est à dire de 2,52.10¹⁸ molécules par m^3.
Avec la nouvelle valeur proposée pour l'ouverture numérique, on obtient un volume confocal environ 10 fois plus petit; Il faudrait donc une concentration 10 fois plus grande.
9)- Les dimensions du trou d'entrée du détecteur doivent être celles de l'image du volume confocal à travers la première lentille.

10)- Désignons par τ_j la durée du créneau à la période j de durée T_j: sur n périodes, la moyenne de l'intensité s'écrit, par définition:
$\frac{{\sum\limits_{j = 0}^n {{I_{\max }} \cdot {\tau _j}} }}{{\sum\limits_{j = 0}^n {{T_j}} }}$ soit: $\frac{{\frac{1}{n}\sum\limits_{j = 0}^n {{I_{\max }} \cdot {\tau _j}} }}{{\frac{1}{n}\sum\limits_{j = 0}^n {{T_j}} }}$
En faisant tendre n vers l'infini, le numérateur tend vers τ_resid et le dénominateur vers T. On en déduit:
$\left\langle I \right\rangle = {I_{\max }}\frac{{{\tau _{resid}}}}{T}$
11)- La fonction d'autocorrélation s'écrit:
$g(\tau ) = \frac{{\left\langle {\left( {I(t) - \left\langle I \right\rangle } \right) \cdot \left( {I(t + \tau ) - \left\langle I \right\rangle } \right)} \right\rangle }}{{{{\left\langle I \right\rangle }^2}}}$
Soit, pour τ = 0:
$g(0) = \frac{{\left\langle {\left( {I(t) - \left\langle I \right\rangle } \right) \cdot \left( {I(t) - \left\langle I \right\rangle } \right)} \right\rangle }}{{{{\left\langle I \right\rangle }^2}}}$
Le numérateur de l'expression s'écrit:
$\left\langle {{{\left( {I(t) - \left\langle I \right\rangle } \right)}^2}} \right\rangle = \left\langle {I{{(t)}^2} + {{\left\langle I \right\rangle }^2} - 2\left\langle I \right\rangle \cdot I(t)} \right\rangle = \left\langle {I{{(t)}^2}} \right\rangle - {\left\langle I \right\rangle ^2}$
On détermine le premier terme en employant la même méthode que pour déterminer la valeur moyenne de I:
$\left\langle {{I^2}} \right\rangle = \frac{{\sum\limits_{j = 0}^n {{I^2}_{\max } \cdot {\tau _j}} }}{{\sum\limits_{j = 0}^n {{T_j}} }}$ soit: $\left\langle {{I^2}} \right\rangle = {I^2}_{\max }\frac{{{\tau _{resid}}}}{T}$
On en déduit:
$g(0) = \frac{{I_{\max }^2\frac{{{\tau _{resid}}}}{T}}}{{I_{\max }^2{{\left( {\frac{{{\tau _{resid}}}}{T}} \right)}^2}}} - 1$ soit : $g(0) = \frac{T}{{{\tau _{resid}}}} - 1$
S'il y a en moyenne N_s molécules dans le volume confocal, l'intensité moyenne émise est:
$\left\langle I \right\rangle = {N_s} \cdot {I_{\max }}$ , soit: ${N_s} = \frac{{{\tau _{resid}}}}{T}$
D'où l'expression finale de g(0):$g(0) = \frac{1}{{{N_s}}} - 1$. Et comme par hypothèse N_s << 1: $g(0) \approx \frac{1}{{{N_s}}}$
12)- Si τ est différent de 0, le développement de la fonction de corrélation s'écrit:
$g(\tau ) = \frac{1}{{{{\left\langle I \right\rangle }^2}}}\left\langle {\left[ {(I(t) - \left\langle I \right\rangle ) \cdot (I(t + \tau ) - \left\langle I \right\rangle )} \right]} \right\rangle = \frac{{\left\langle {(I(t) \cdot I(t + \tau ) + {{\left\langle I \right\rangle }^2} - \left\langle I \right\rangle \cdot I(t) - \left\langle I \right\rangle \cdot I(t + \tau )} \right\rangle }}{{{{\left\langle I \right\rangle }^2}}}$
Soit:
$g(\tau ) = \frac{{\left\langle {I(t) \cdot I(t + \tau } \right\rangle }}{{{{\left\langle I \right\rangle }^2}}} - 1$
Si τ est beaucoup plus grand que τ_resid, les intensités émises à t et à t+τ le sont par des molécules différentes: les deux grandeurs ne sont pas corrélées, et $\left\langle {I(t) \cdot I(t + \tau )} \right\rangle = \left\langle I \right\rangle \cdot \left\langle I \right\rangle = {\left\langle I \right\rangle ^2}$.
On a alors dans ce cas, g(τ)=0
13)- On se propose d'étudier la fonction d'autocorrélation en fonction de τ. On se bornera pour τ à l'intervalle [0,T], étant donné qu'on a montré précédemment que g est nulle si τ est grand devant τ₀, ce qui est le cas pour τ > T par hypothèse.
On a alors:
I(t) = I_max si 0 < t < τ₀
I(t) = 0 si τ₀ < t < T
Et:
I(t + τ) = I_max si -τ < t < τ₀ −τ
I(t + τ) = 0 si τ₀ −τ < t < T - τ
On en déduit que g(τ) = 0 si τ > τ₀.
Si τ < τ₀ , on peut écrire:
$\left\langle {I(t) \cdot I(t + \tau } \right\rangle = I_{\max }^2 \cdot \frac{{{\tau _0} - \tau }}{T}$
La fonction d'autocorrélation s'écrit donc:
$g(\tau ) = \frac{{I_{\max }^2}}{{{{\left\langle I \right\rangle }^2}}} \cdot \left[ {\frac{{{\tau _0} - \tau }}{T} - \frac{{{\tau _0}^2}}{{{T^2}}}} \right]$
et, en ne conservant que les termes de l'ordre le plus bas en $\frac{{{\tau _0}}}{T}$:
$g(\tau ) = \frac{{I_{\max }^2}}{{{{\left\langle I \right\rangle }^2}}} \cdot \left[ {\frac{{{\tau _0} - \tau }}{T}} \right]$
En explicitant $\left\langle I \right\rangle$, et en introduisant N_s, on obtient finalement: $g(\tau ) = \frac{1}{{{N_s}}} \cdot \left( {1 - \frac{\tau }{{{\tau _0}}}} \right)$
II- Mouvement aléatoire de molécules biologiques:

a- Analyse d'un choc:
15)-On écrit la conservation de la quantité de mouvement au cours du choc; le phénomène se passant sur l'axe des x, on utilisera les mesures algébriques des vecteurs vitesse sur l'axe:
$m{v_i} + M{V_i} = m{v_f} + M{V_f}$
Le choc est élastique: on écrit la conservation de l'énergie cinétique:
$\frac{1}{2}m{v_i}^2 + \frac{1}{2}M{V_i}^2 = \frac{1}{2}m{v_f}^2 + \frac{1}{2}M{V_f}^2$
Ces deux équations s'écrivent:
$\begin{array}{l}m \cdot \left( {{v_i} - {v_f}} \right) = M \cdot \left( {{V_f} - {V_i}} \right)\\m \cdot \left( {{v_i}^2 - {v_f}^2} \right) = M \cdot \left( {{V_f}^2 - {V_i}^2} \right)\end{array}$
d'où:
${v_i} + {v_f} = {V_i} + {V_f}$
On tire de cette relation v_f, que l'on remplace dans l'équation de conservation de la quantité de mouvement:
$m{v_i} + M{V_i} = m\left( {{V_i} + {V_f} - {v_i}} \right) + M{V_f}$
et on en déduit l'expression de V_f: ${V_f} = \frac{{2m}}{{M + m}}{v_i} + \frac{{M - m}}{{M + m}}{V_i}$
16)- L'énergie cinétique de l'enzyme après le choc se déduit directement de l'expression de V_f²:
${E_{cf}} = \frac{{2M{m^2}}}{{{{(M + m)}^2}}}{v_i}^2 + \frac{1}{2}{\left( {\frac{{M - m}}{{M + m}}} \right)^2}M{V_i}^2 + 2Mm\frac{{M - m}}{{{{(M + m)}^2}}}{V_i} \cdot {v_i}$
17)- L'eau, en tant que solvant est pratiquement pure: il ne peut pas y avoir de mouvement d'ensemble dû à un gradient de concentration ( phénomène de diffusion). De plus, il n'y a pas de déplacement d'ensemble du solvant.
18)- La vitesse moyenne après le choc s'obtient en faisant la moyenne de toutes les vitesses possibles des molécules incidentes d'eau. La vitesse moyenne de ces molécules étant nulle, on a:
E_cf$= \frac{{2M{m^2}}}{{{{(M + m)}^2}}}\left\langle {{v_i}^2} \right\rangle + \frac{1}{2}{\left( {\frac{{M - m}}{{M + m}}} \right)^2}M{V_i}^2$
Qui peut s'écrire:
E_cf$= \frac{{2M{m^2}}}{{{{(M + m)}^2}}}\left\langle {{v_i}^2} \right\rangle + {\left( {\frac{{M - m}}{{M + m}}} \right)^2}{E_{ci}}$
19)- On en déduit le bilan d'énergie au cours du choc:
E_cf – E_ci $= \frac{{2M{m^2}}}{{{{(M + m)}^2}}}\left\langle {{v_i}^2} \right\rangle + \left[ {{{\left( {\frac{{M - m}}{{M + m}}} \right)}^2} - 1} \right] \cdot {E_{ci}} = \frac{{2M{m^2}}}{{{{(M + m)}^2}}}\left\langle {{v_i}^2} \right\rangle + \left[ {\frac{{ - 4Mm}}{{{{(M + m)}^2}}}} \right] \cdot {E_{ci}}$
0n retrouve bien l'expression proposée, soit:
E_cf - E_ci$= \frac{{4Mm}}{{{{(M + m)}^2}}} \cdot \left( {\frac{1}{2}m\left\langle {{v^2}} \right\rangle - Eci} \right)$
20)- D'après le résultat précédent, le choc accélère l'enzyme si E_ci < $\frac{1}{2}m\left\langle {{v^2}} \right\rangle$, et la freine dans le cas contraire:

b- Vitesse quadratique moyenne:
21)- Après de nombreux chocs, la molécule d'enzyme atteindra un régime stationnaire si elle n'est plus, en moyenne, ni accélérée, ni freinée en moyenne au cours du choc. D'après ce qui précède, cet état est atteint lorsque:
$\left\langle {{E_c}} \right\rangle = \frac{1}{2}m\left\langle {{v^2}} \right\rangle$
Ce résultat est prévisible dans la mesure où l'énergie d'agitation thermique ne dépend que de la température: les molécules d'enzyme sont en équilibre thermique avec l'eau.
22)- Dans le cadre du modèle unidimensionnel, $\left\langle {{E_c}} \right\rangle$ est égal à $\frac{1}{2}RT$; on en déduit:
$\left\langle {{V^2}} \right\rangle = \frac{{RT}}{M}$
$\bar V = \sqrt {\frac{{RT}}{M}}$
Soit, avec $\bar V = \sqrt {\left\langle {{V^2}} \right\rangle }$:
Application numérique: V=5,56 m/s
c- Déplacement aléatoire de la particule:
23)- entre le i^ième et le (i+1)^ième choc, la particule parcourt la distance V_i.τ. Au bout du temps t = N_c.τ, elle aura parcouru:
$X(t) = \tau \cdot \sum\limits_{i = 0}^{Nc - 1} {{V_i}}$
24)- Les différentes vitesses V_i étant équiprobables, on aura, après un nombre suffisant de chocs, aussi souvent la valeur V_i et la valeur –V_i.: l'abscisse moyenne de la particule sera donc nulle.
25)- En élevant l'expression obtenue pour X au carré, on obtient immédiatement:
${X^2}(t) = \left( {\tau \cdot \sum\limits_{i = 0}^{{N_c} - 1} {{V_i}} } \right) \cdot \left( {\tau \cdot \sum\limits_{j = 0}^{{N_c} - 1} {{V_j}} } \right)$
soit:
${X^2}(t) = {\tau ^2} \cdot \sum\limits_{i = 0}^{Nc - 1} {\sum\limits_{j = 0}^{{N_c} - 1} {{V_i}} {V_j}}$
On en déduit:
$\left\langle {{X^2}(t)} \right\rangle = {\tau ^2} \cdot \sum\limits_{i = 0}^{Nc - 1} {\sum\limits_{j = 0}^{{N_c} - 1} {\left\langle {{V_i} \cdot {V_j}} \right\rangle } }$

26)- La corrélation entre V_i et V_j dépend du nombre de chocs aléatoires subis entre l'état i et l'état j, soit de k = i–j. Elle est forte si k est faible, est tend vers 0 si le nombre de chocs aléatoires tend vers 0: les deux variables V_i et V_j sont alors pratiquement indépendantes.
27)- D'après le résultat établi à la question 15, on a:
${V_{k + 1}} = \frac{{2m}}{{M + m}}{v_i} + \frac{{M - m}}{{M + m}}{V_k}$ c'est à dire: ${V_0} \cdot {V_{k + 1}} = \frac{{2m}}{{M + m}}{v_i} \cdot {V_0} + \frac{{M - m}}{{M + m}}{V_0} \cdot {V_k}$
Les deux variables aléatoires v_i et V₀ n'étant pas corrélées, la moyenne de leur produit est égal au produit des moyennes: comme la moyenne de v_i est nulle, la valeur moyenne du produit V₀V_k+1 s'écrit:
$\left\langle {{V_0} \cdot {V_{k + 1}}} \right\rangle = \frac{{M - m}}{{M + m}}\left\langle {{V_0} \cdot {V_k}} \right\rangle$
28)- Il y a de nombreux chocs, et le temps τ entre deux chocs peut être considéré comme très petit: on peut poser τ = dt. On a alors:
$\left\langle {{V_0}V} \right\rangle (t + dt) - \left\langle {{V_0}V} \right\rangle (t) = \left( {\frac{{M - m}}{{M + m}} - 1} \right)\left\langle {{V_0}V} \right\rangle (t)$
soit:
$\frac{{d\left( {\left\langle {{V_0}V} \right\rangle } \right)}}{{\left\langle {{V_0}V} \right\rangle }} = - \frac{{2m}}{{(M + m)\tau }}dt$
Expression que l'on peut intégrer en tenant compte des conditions initiales: t = kτ : pour t = 0, k = 0. On a alors:
V₀V = V₀². On en déduit:
Avec:
$\left\langle {{V_0}{V_k}} \right\rangle = \left\langle {{V^2}} \right\rangle {e^{ - \frac{{k\tau }}{{{\tau _m}}}}}$
${\tau _m} = \frac{{M + m}}{{2m}} \cdot \tau$
Lorsque le nombre de chocs aléatoire tend vers l'infini, les vitesses ne sont plus corrélées: on trouve logiquement que la valeur moyenne précédente tend vers 0, puisqu'elle tend vers le carré de la valeur moyenne de V qui est nulle. τ_M , qui représente une constante de temps caractéristique de la décroissance de la corrélation pourrait être appelée temps de corrélation..
30)- A priori, $\left\langle {{V_i} \cdot {V_j}} \right\rangle = \left\langle {{V_j} \cdot {V_i}} \right\rangle$, c'est à dire que $\left\langle {{V_0} \cdot {V_k}} \right\rangle = \left\langle {{V_0} \cdot {V_{ - k}}} \right\rangle$. Dans ces conditions, $\left\langle {X{{(t)}^2}} \right\rangle$ peut s'écrire:
$\left\langle {X{{(t)}^2}} \right\rangle = 2{\tau ^2}\left[ {{N_c}\left\langle {{V^2}} \right\rangle + ({N_c} - 1) \cdot \left\langle {{V_0}{V_1}} \right\rangle + ({N_c} - 2) \cdot \left\langle {{V_0}{V_2}} \right\rangle + ... + ({N_c} - k) \cdot \left\langle {{V_0}{V_k}} \right\rangle + ...} \right]$
soit:
$\left\langle {X{{(t)}^2}} \right\rangle = 2{\tau ^2} \cdot \sum\limits_0^{{N_c} - 1} {\left[ {({N_c} - k) \cdot \left\langle {{V_0}{V_k}} \right\rangle } \right]} = 2{\tau ^2} \cdot \sum\limits_0^{{N_c} - 1} {\left[ {({N_c} - k) \cdot \left\langle {{V^2}} \right\rangle {e^{ - k\frac{\tau }{{{\tau _{_M}}}}}}} \right]}$
qui peut s'écrire:
$\left\langle {X{{(t)}^2}} \right\rangle = 2{\tau ^2}{N_c}\left\langle {{V^2}} \right\rangle \sum\limits_0^{{N_c} - 1} {{e^{ - k\frac{\tau }{{{\tau _{_M}}}}}}} + 2{\tau ^2}\left\langle {{V^2}} \right\rangle {\tau _M}\frac{d}{{d\tau }}\sum\limits_0^{{N_c} - 1} {{e^{ - k\frac{\tau }{{{\tau _{_M}}}}}}}$
En considérant que l'on prend en compte un très grand nombre de chocs, on peut raisonnablement sommer de 0 à l'infini: on a alors:
$\left\langle {X{{(t)}^2}} \right\rangle = 2{\tau ^2}{N_c}\left\langle {{V^2}} \right\rangle \frac{1}{{1 - {e^{ - \frac{\tau }{{{\tau _{_M}}}}}}}} + 2{\tau ^2}\left\langle {{V^2}} \right\rangle {\tau _M} \cdot \frac{d}{{d\tau }}\frac{1}{{1 - {e^{ - \frac{\tau }{{{\tau _{_M}}}}}}}}$
soit, compte tenu du fait que t = N_c.τ :
$\left\langle {X{{(t)}^2}} \right\rangle = 2\tau \cdot t \cdot \left\langle {{V^2}} \right\rangle \frac{1}{{1 - {e^{ - \frac{\tau }{{{\tau _{_M}}}}}}}} + 2{\tau ^2}\left\langle {{V^2}} \right\rangle \cdot \frac{{{e^{ - \frac{\tau }{{{\tau _{_M}}}}}}}}{{{{\left( {1 - {e^{ - \frac{\tau }{{{\tau _{_M}}}}}}} \right)}^2}}}$
qui peut s'écrire:
$\left\langle {X{{(t)}^2}} \right\rangle = \cdot \frac{{2\tau \left\langle {{V^2}} \right\rangle }}{{1 - {e^{ - \frac{\tau }{{{\tau _{_M}}}}}}}}\left[ {t + \tau \cdot \frac{{{e^{ - \frac{\tau }{{{\tau _{_M}}}}}}}}{{1 - {e^{ - \frac{\tau }{{{\tau _{_M}}}}}}}}} \right]$
La détermination de τ_M a montré que τ_M est nettement plus grand que τ. De ce fait, $(1 - {e^{ - \frac{\tau }{{{\tau _{_M}}}}}})$ est voisin de 1, et le rapport $\frac{{{e^{ - \frac{\tau }{{{\tau _{_M}}}}}}}}{{(1 - {e^{ - \frac{\tau }{{{\tau _{_M}}}}}})}}$ est nettement plus petit que 1. Comme de plus, t >> τ, la moyenne quadratique de X(t)² a la valeur approchée:
$\left\langle {X{{(t)}^2}} \right\rangle = \cdot \frac{{2\tau \left\langle {{V^2}} \right\rangle }}{{1 - {e^{ - \frac{\tau }{{{\tau _{_M}}}}}}}} \cdot t$
On obtient bien la relation proposée par l'énoncé, en posant:
$D = \cdot \frac{{\tau \left\langle {{V^2}} \right\rangle }}{{1 - {e^{ - \frac{\tau }{{{\tau _{_M}}}}}}}} \approx \tau \left\langle {{V^2}} \right\rangle$
( On peut remarquer qu'en utilisant les valeurs numériques proposées pour M et m, ainsi que l'ordre de grandeur de τ_M, on trouve τ = 4,5.10^-13 s, et:
$D \approx 14 \cdot {10^{ - 12}}{m^2} \cdot {s^{ - 1}} \approx 14\mu {m^2} \cdot {s^{ - 1}}$
Ce qui est bien l'ordre de grandeur de la valeur numérique proposée à la question suivante.
31)- La molécule doit parcourir environ 2w = 3 µm pour traverser le volume confocal; l'ordre de grandeur de son temps de séjour sera donc:
$t = \frac{{2{w^2}}}{D}$
32)- ?? Pas de détermination possible sans résultat à la question 14.
t = 1,8 s

III- Mouvement de l'ARN-Polymérase:
33)- La distance d recherchée s'écrit:
$d = \frac{{3,3 \cdot {{10}^{ - 10}} \cdot 3 \cdot {{10}^9}}}{{30000}} = 33\mu m$
34)- On en déduit:
$t = \frac{{33{}^2}}{{20}} = 54,5s$
35)- Avec la nouvelle valeur proposée pour le coefficient de diffusion, on trouve:
t=4188 s
Ce temps, supérieur à 1 heure peut sembler long. Mais comment en faire un commentaire sérieux, alors qu'il s'agit d'un phénomène biologique dont le candidat ( et moi-même ! ) ignore tout ?