Concours Physique ENS de Lyon et Cachan (PC) 2001 (Corrigé)

Corrigé de l’épreuve de physique du concours ENS Lyon Cachan PC 2001
(diffusion de la lumière par une suspension de billes)
Ce problème fait la théorie d’une expérience relatée par un article de Gilbert Jarry, Elisa Steimer, Vivien Damaschini, Marc Jurczak et Robin Kaiser (J. Opt. 1997 83-89).
I.A.1 Les relations de passage sont :${\vec E_{2T}} = {\vec E_{1T}}\quad n_2^2{E_{2N}} = n_1^2{E_{1N}}\quad {\vec B_2} = {\vec B_1}$.
I.A.2 Appliquons ces relations sur le plan $z = 0$, en tenant compte que pour une onde plane progressive $\underline {\vec B} = \frac{{\vec k}}{\omega } \wedge \underline {\vec E}$ :
$\left\{ \begin{array}{l}{{\vec E}_i} + {{\vec E}_r} = {{\vec E}_t}\\{{\vec B}_i} + {{\vec B}_r} = {{\vec B}_t}\end{array} \right.$
Comme les ondes électromagnétiques sont transversales et comme les ondes considérées sont polarisées selon Oy, ${k_{i,y}} = {k_{r,y}} = {k_{t,y}} = 0$, donc la première loi de Descartes, qui dit que les rayons incident, réfléchi et réfracté et la normale au dioptre sont dans un même plan, est automatiquement vérifiée. Il reste à vérifier que quel que soit $x$ :
${E_0}\exp [i(\omega t - x{k_{i,x}}) + R{E_0}\exp [i(\omega t - x{k_{r,x}})  = T{E_0}\exp [i(\omega t - x{k_{t,x}})$
$\frac{{{{\vec k}_i} \wedge {{\vec e}_y}{E_0}}}{\omega }\exp [i(\omega t - x{k_{i,x}})] + \frac{{{{\vec k}_r} \wedge {{\vec e}_y}R{E_0}}}{\omega }\exp [i(\omega t - x{k_{r,x}})] = \frac{{{{\vec k}_t} \wedge {{\vec e}_y}T{E_0}}}{\omega }\exp [i(\omega t - x{k_{t,x}})]$
Par conséquent : ${k_{i,x}} = {k_{r,x}} = {k_{t,x}}$. Or, ${k_x} = \frac{{n\omega }}{c}\sin (Oz,\vec k)$. Donc l’égalité de ces composantes sur l’axe des x signifie que les rayons incident et réfléchi font des angles opposés avec l’axe $Oz$ et que ${n_1}\sin i = {n_2}\sin i'$.

I.A.3 La continuité de $\vec E$ donne $1 + R = T$ ; celle de $\vec B$ s’écrit
$\frac{{({{\vec k}_i} + R{{\vec k}_r} - T{{\vec k}_t}) \wedge {{\vec e}_y}{E_0}}}{\omega } = \vec 0$, soit ${\left( {{{\vec k}_i} + R{{\vec k}_r} - T{{\vec k}_t}} \right)_z} = 0\quad {\rm{et}}\quad {\left( {{{\vec k}_i} + R{{\vec k}_r} - T{{\vec k}_t}} \right)_x} = 0$
La première de ces deux relations donne${n_1}\cos i - {n_1}\cos i\,R = {n_2}\cos i'\,T$ et la seconde redonne $1 + R = T$.
En résumé, les conditions de passage imposent :
$\left\{ \begin{array}{ccccc}1 + R & = T\\(1 - R){n_1}\cos i\, & = T{n_2}\cos i'\end{array} \right. \Rightarrow R = \frac{{{n_1}\cos i - {n_2}\cos i'}}{{{n_1}\cos i + {n_2}\cos i'}}$
I.A.4 Si ${n_1}$ et ${n_2}$ sont voisins,
$\begin{array}{l}{n_1}\cos i + {n_2}\cos i' \approx 2n\sin \theta \\{n_1}\cos i - {n_2}\cos i' = {n_1}\cos i - {n_2}\sqrt {1 - \frac{{n_1^2{{\sin }^2}i}}{{n_2^2}}} = n\cos i - \sqrt {{{(n + \delta n)}^2} - {n^2}{{\sin }^2}i} = n\cos i - \sqrt {{n^2}{{\cos }^2}i + 2n\delta n + \delta {n^2}} \\ = n\cos i\left( {1 - \sqrt {1 + \frac{{2n\delta n + \delta {n^2}}}{{{n^2}{{\cos }^2}i}}} } \right) \approx - \frac{{\delta n}}{{\cos i}} = - \frac{{\delta n}}{{\sin \theta }}\\R \approx - \frac{{\delta n}}{{2n{{\sin }^2}\theta }}\end{array}$
I.B.1
$\begin{array}{l}\vec r = \overrightarrow {OM} = \overrightarrow {OO'} + \overrightarrow {O'M} = \vec r' - Vt{{\vec e}_z}\\\vec E = {E_0}\exp [i(\omega t + {k_z}Vt - \vec k \cdot \vec r')]{{\vec e}_y}\end{array}$
qui est de la forme demandée si $\omega ' = \omega + {k_z}V\;,\;\vec k' = \vec k$.

I.B.2 Soit $\omega$ est la pulsation commune à l’onde incidente et à l’onde réfléchie dans le référentiel du dioptre. Le référentiel du laboratoire se meut à la vitesse $V{\vec e_z}$ par rapport au dioptre ; dans ce référentiel, l’onde incidente a pour pulsation ${\omega _i} = \omega - {k_{i,z}}V = \omega - Vk\sin \theta$ et l’onde réfléchie ${\omega _r} = \omega - {k_{r,z}}V = \omega + Vk\sin \theta$, donc $\Delta \omega = 2Vk\sin \theta = \frac{{2n\omega V\sin \theta }}{c}$.

I.C.1 La différence de marche entre l’onde réfléchie en $z = 0$ et celle réfléchie en $z = {z_i}$ est $\delta = {n_c}(HI + IK) = 2{z_i}{n_c}\sin {\theta _c} = 2{n_a}\sin {\theta _a}{z_i}$.Le déphasage est $\phi ({z_i}) = \frac{{2\pi \delta }}{{{\lambda _0}}} = \frac{{4\pi {n_a}\sin {\theta _a}{z_i}}}{{{\lambda _0}}}$.
I.C.2 Si $dR = - \frac{1}{{2{n_c}{{\sin }^2}{\theta _c}}}\frac{{\partial n}}{{\partial z}}dz = \frac{{\pi \Delta n}}{{{n_c}{{\sin }^2}{\theta _c}\Lambda }}\sin \left[ {2\pi \left( {ft + \frac{z}{\Lambda }} \right)} \right]dz$ est le facteur de réflexion de l’amplitude d’une couche d’épaisseur dz, alors, à un déphasage d’ensemble $\psi$ près,
$\underline E = \int {dR\,{E_0}\exp (i(\omega t - \phi (z)} )) = \int\limits_{ - L/2}^{L/2} {\frac{{\pi \Delta n{E_0}\exp (i\omega t)}}{{{n_c}{{\sin }^2}{\theta _c}\Lambda }}\sin \left[ {2\pi \left( {ft + \frac{z}{\Lambda }} \right)} \right]\exp \left( { - i\frac{{4\pi {n_a}\sin {\theta _a}z}}{{{\lambda _0}}}} \right)dz}$
Or
$\begin{array}{l}\int\limits_{ - y}^y {\exp (iaz)\sin (bz + c)} dz = \frac{1}{{2i}}\int\limits_{ - y}^y {\left[ {\exp (i((a + b)z + c)) - \exp (i((a - b)z - c))} \right]} dz\\ = \frac{1}{{2i}}\left\{ {\left[ {\frac{{\exp (i((a + b)z + c))}}{{i(a + b)}}} \right]_{ - y}^y - \left[ {\frac{{\exp (i((a - b)z - c))}}{{i(a - b)}}} \right]_{ - y}^y} \right\}\\ = \frac{{\exp (ic)\sin ((a + b)y)}}{{i(a + b)}} - \frac{{\exp ( - ic)\sin ((a - b)y)}}{{i(a - b)}} = \frac{y}{i}[\exp (ic)sinc((a + b)y) - \exp ( - ic)sinc((a - b)y)]\end{array}$
D’où
$\underline E = \frac{{\pi \Delta nL{E_0}\exp (i\omega t)}}{{2i{n_c}{{\sin }^2}{\theta _c}\Lambda }}\left\{ {\exp (i2\pi ft)sinc\left[ {\pi L\left( {\frac{1}{\Lambda } - \frac{{2{n_a}\sin {\theta _a}}}{{{\lambda _0}}}} \right)} \right] - \exp ( - i2\pi ft)sinc\left[ {\pi L\left( {\frac{1}{\Lambda } + \frac{{2{n_a}\sin {\theta _a}}}{{{\lambda _0}}}} \right)} \right]} \right\}$
$K = \frac{{\pi \Delta nL{E_0}}}{{2{n_c}{{\sin }^2}{\theta _c}\Lambda }}\quad \alpha (t) = 2\pi ft$

I.C.3 La fonction $sinc(x)$ est maximum pour $x = 0$, donc les modules des deux termes entre accolades sont maxima, le premier pour ${\theta _a} = {\theta _B} = \arcsin \frac{{{\lambda _0}}}{{2{n_a}\Lambda }}$, le second pour ${\theta _a} = - {\theta _B}$.

La fonction $sinc(x)$ s’annule pour $x = \pm \pi$, donc les modules des deux termes sont nuls, l’un pour $\sin {\theta _a} = \frac{{{\lambda _0}}}{{2{n_a}}}\left( {\frac{1}{\Lambda } \pm \frac{1}{L}} \right)$, l’autre pour les valeurs opposées. Comme $L > > \Lambda > > {\lambda _0}$ , l’intensité émergente présente deux pics très étroits pour deux valeurs petites et opposées de ${\theta _a}$. Voici le graphe de l’intensité en fonction de ${\theta _a}$ exprimé en degrés :

I.C.4 A l’incidence de Bragg, $\delta ({z_i} + \Lambda ) - \delta ({z_i}) = 2{n_a}\sin {\theta _a}\Lambda = {\lambda _0}$, qui est la condition d’interférence constructive.

I.C.5 D’après l’expression démontrée à la question I.C.2, pour ${\theta _a} = {\theta _B}$, le terme principal de $\underline E$ est proportionnel à $\exp (i(\omega + 2\pi f)t)$, donc est décalé en pulsation de $\Delta \omega = + 2\pi f$ ; pour ${\theta _a} = - {\theta _B}$, le terme principal de $\underline E$ est proportionnel à $\exp (i(\omega - 2\pi f)t)$, donc est décalé en pulsation de $\Delta \omega = - 2\pi f$.

Dans le premier cas, la question B.2 prévoit un décalage $\Delta \omega = \frac{{2{n_c}\sin ({\theta _c})V\omega }}{c} = \frac{{{\lambda _0}}}{{2\Lambda }}\frac{{2V\omega }}{c} = 2\pi \frac{V}{\Lambda } = 2\pi f$. Dans le deuxième cas, elle prévoit le décalage opposé, puisque la vitesse du miroir équivalent est dans la disposition contraire.
II.A.1 Sur le détecteur, ${\vec k_0} \cdot \vec r = {\vec k_1} \cdot \vec r = 0$, donc, en moyennant sur un intervalle de temps grand par rapport à la période de la lumière et petit par rapport à la période acoustique :
$\begin{array}{l}s = \eta {b^2}\frac{1}{{{\mu _0}c}}\left\langle {{{\left[ {{E_0}\cos ((\omega + \Delta \omega )t + {\phi _0}) + {E_1}\cos (\omega t + {\phi _1})} \right]}^2}} \right\rangle \\ = \eta {b^2}\frac{1}{{{\mu _0}c}}\left[ {\frac{{E_0^2 + E_1^2}}{2} + 2{E_0}{E_1}\left\langle {\cos ((\omega + \Delta \omega )t + {\phi _0})\cos (\omega t + {\phi _1})} \right\rangle } \right]\end{array}$
Or $\left\langle {\cos ((\omega + \Delta \omega )t + {\phi _0})\cos (\omega t + {\phi _1})} \right\rangle = \frac{1}{2}[\cos (\Delta \omega t + {\phi _0} - {\phi _1})]$
D’où: $s = \eta {b^2}\left[ {{I_0} + {I_1} + 2\sqrt {{I_0}{I_1}} \cos (\Delta \omega t + {\phi _0} - {\phi _1})} \right]$
II.A.2 Supposons les deux ondes polarisées suivant ${\vec e_y}$ et que dans le plan du détecteur ${\vec k_0} \cdot \vec r = 0$ et ${\vec k_1} \cdot \vec r = kx\alpha$.
$\begin{array}{l}s = \eta b\int\limits_{ - b/2}^{b/2} {\frac{1}{{{\mu _0}c}}\left\langle {{{\left[ {{E_0}\cos ((\omega + \Delta \omega )t + {\phi _0}) + {E_1}\cos (\omega t - k\alpha x + {\phi _1})} \right]}^2}} \right\rangle dx} \\ = \eta b\frac{1}{{{\mu _0}c}}\left[ {b\frac{{E_0^2 + E_1^2}}{2} + \int\limits_{ - b/2}^{b/2} {2{E_0}{E_1}\left\langle {\cos ((\omega + \Delta \omega )t + {\phi _0})\cos (\omega t - k\alpha x + {\phi _1})} \right\rangle dx} } \right]\end{array}$
$\left\langle {\cos ((\omega + \Delta \omega )t + {\phi _0})\cos (\omega t - k\alpha x + {\phi _1})} \right\rangle = \frac{1}{2}\cos (\Delta \omega t - k\alpha x + {\phi _0} - {\phi _1})$
Comme $\int\limits_{ - y}^y {\cos (ax + b)dx} = \frac{1}{a}[\sin (ax + b)]_{ - y}^y = \frac{{\sin (ay + b) - \sin ( - ay + b)}}{a} = \frac{{2\sin ay\cos b}}{a} = 2ysinc(ay)\cos b$
$s = \eta {b^2}\left\{ {{I_0} + {I_1} + 2\sqrt {{I_0}{I_1}} \cos (\Delta \omega t + {\phi _0} - {\phi _1})sinc\left( {\frac{{k\alpha b}}{2}} \right)} \right\}$
Si $\alpha$ n’est pas très petit, l’amplitude du terme de battement est très petite.
II.A.3 Le battement est observable si l’argument de la fonction $\sin c$ est inférieur à $\frac{\pi }{2}$, donc si $\alpha < \frac{{{\lambda _0}}}{{2\pi b}}$, soit $\alpha < {10^{ - 4}}rad$.
II.B.1 $s(t)m(t) = \eta {b^2}\left\{ {{I_0} + {I_1} + 2\sqrt {{I_0}{I_1}} \cos (2\pi ft + {\phi _0} - {\phi _1})} \right\}{m_0}\cos (2\pi ft)$
Comme ${\cos ^2}x = \frac{{1 + \cos 2x}}{2}$, la composante continue de $s(t)$ est $s'(t) = \eta {b^2}\sqrt {{I_0}{I_1}} {m_0}\cos ({\phi _0} - {\phi _1})$ ; ${S_1} = {\eta ^2}{b^4}{I_0}{I_1}m_0^2{\cos ^2}({\phi _0} - {\phi _1})$ est proportionnel à ${I_1}$.

II.B.2 Un déplacement très faible d’un miroir de renvoi modifie de façon importante ${\phi _0} - {\phi _1}$.

II.B.3 Considérons le montage de droite. Les montages diviseurs de tension $r,r$ et $R,C$ montrent que $u = \frac{e}{2} = \frac{{{E_M}}}{2}\cos \omega t$ et $\frac{{\underline u - \underline v }}{R} = \frac{{\underline e }}{{R + \frac{1}{{jC\omega }}}}$, soit, si $RC\omega = 1$, $\underline v = \underline u - \frac{{\underline e }}{{1 - j}} = \underline u - \frac{{2\underline u }}{{1 - j}} = \underline u - (1 + j)\underline u = - j\underline u$
$v = {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left\{ { - j\frac{{{E_M}}}{2}{e^{j\omega t}}} \right\} = \frac{{{E_M}}}{2}\sin \omega t$. Les tensions $u,v$ fournissent donc les tensions $m,m'$ recherchées, de même amplitude et déphasées de 90°, la masse étant reliée à A et les tensions prélevées en B et D éventuellement à l’aide de montages suiveurs pour ne pas les perturber. Si la masse est située à une des bornes de $e$, il faut interposer un transformateur d’isolement. Ce montage ne fonctionne que pour une fréquence déterminée, mais on peut supposer la fréquence acoustique fixe sans restreindre son utilisation.
II.B.4 ${S_2} = {\left\langle {s(t)m'(t)} \right\rangle ^2} = {\eta ^2}{b^4}{I_0}{I_1}m_0^2{\sin ^2}({\phi _0} - {\phi _1})$. En formant ${S_1} + {S_2}$ (montage sommateur), on obtient un signal proportionnel à ${I_1}$ et insensible aux variations de déphasage.
II.C.1 La lumière diffractée ou réfractée par les billes a changé de direction et donc d’après II.A donne un signal négligeable dans le détecteur.
II.C.2 Une tranche de la cuve de section $S$ et d’épaisseur $dz$ contient $\nu S\,dz$ billes qui soumises à l’intensité ${I_c}(z)$ diffusent la puissance ${\sigma _d}\nu S\,dz\,{I_c}(z)$, d’où le bilan énergétique pour la lumière cohérente ${I_c}(z)S = {I_c}(z + dz)S + \nu S\,dz{\sigma _d}\,{I_c}(z)$et l’équation différentielle $\frac{{d{I_c}}}{{dz}} = - \sigma \nu {I_c}$, à variables séparables, qui s’intègre comme $\int\limits_{{I_{c0}}}^{{I_c}(D)} {\frac{{dI}}{I}} = - \sigma \nu D \Rightarrow \ln \frac{{{I_c}(D)}}{{{I_{c0}}}} = - \sigma \nu D \Rightarrow {I_c}(D) = {I_{c0}}\exp ( - \sigma \nu D)$, où ${I_{c0}}$ est l’intensité pénétrant dans la cuve (en pratique c’est plutôt l’intensité que reçoit le détecteur en l’absence de billes, car il faut tenir compte de la réflexion de la lumière par les faces de la cuve, de l’absorption de la lumière par l’eau…).

II.C.3 Soit $V$ le volume d’une bille et $x$ la fraction volumique des billes dans la cuve ; $x = \nu V$ ; le rapport $- \frac{1}{x}\ln \frac{{{I_c}(D)}}{{{I_{c0}}}}$ prend les valeurs 19800 , 19200 , 19070 et 19400. Le caractère sensiblement constant de ce rapport montre que la loi de Beer-Lambert est vérifiée.

$\begin{array}{l} - \ln \frac{{{I_c}(D)}}{{{I_{c0}}}} = \nu \sigma D = \frac{x}{V}\frac{{24{\pi ^3}{V^2}}}{{\lambda _0^4}}{\left( {\frac{{{{({n_P}/{n_e})}^2} - 1}}{{{{({n_P}/{n_e})}^2} + 2}}} \right)^2}D\\V = \frac{{\lambda _0^4}}{{24{\pi ^3}D}}\frac{1}{x}\left( { - \ln \frac{{{I_c}(D)}}{{{I_{c0}}}}} \right){\left( {\frac{{{{({n_P}/{n_e})}^2} + 2}}{{{{({n_P}/{n_e})}^2} - 1}}} \right)^2} = \frac{{{{(6,328 \cdot {{10}^{ - 7}})}^4}}}{{24{\pi ^3} \times 0,1}} \times 19400 \times {\left( {\frac{{{{(1,59/1,33)}^2} + 2}}{{{{(1,59/1,33)}^2} - 1}}} \right)^2} = 2,67 \cdot {10^{ - 21}}{m^3}\\a = {\left( {\frac{{3V}}{{4\pi }}} \right)^{\frac{1}{3}}} = 8,6 \cdot {10^{ - 8}}m\quad (a < < {\lambda _0})\end{array}$
II.C.4 La précision avancée implique que l’incertitude relative sur $y=-\frac{1}{x}\ln \frac{{{I}_{c}}\left( D \right)}{{{I}_{c0}}}$ soit $\frac{{\Delta y}}{y} = \frac{{\Delta x}}{x} + \left( {\frac{{\Delta {I_c}(D)}}{{{I_c}(D)}} + \frac{{\Delta {I_{c0}}}}{{{I_{c0}}}}} \right)\frac{1}{{\left| {\ln \frac{{{I_c}(D)}}{{{I_{c0}}}}} \right|}} = 0,005 + (0,01 + 0,01)/({\rm{de }}4,95{\rm{ à }}19,4) = {\rm{de }}0,6{\rm{ à }}0,9\;\%$ alors que la dispersion des valeurs de $- \frac{1}{x}\ln \frac{{{I_c}(D)}}{{{I_{c0}}}}$ est un peu supérieure. D’autre part, il n’est pas facile de mesurer à 1 % près deux intensités dont le rapport est 3.10⁸.
$\frac{{\Delta a}}{a} = \frac{1}{3}\frac{{\Delta V}}{V} = \frac{1}{3}\left( {\frac{{\Delta \ln \frac{{{I_c}(D)}}{{{I_{c0}}}}}}{{\left| {\ln \frac{{{I_c}(D)}}{{{I_{c0}}}}} \right|}} + \frac{{\Delta x}}{x}} \right) = \frac{1}{3}\left( {\frac{{\frac{{\Delta {I_c}(D)}}{{{I_c}(D)}} + \frac{{\Delta {I_{c0}}}}{{{I_{c0}}}}}}{{\left| {\ln \frac{{{I_c}(D)}}{{{I_{c0}}}}} \right|}} + \frac{{\Delta x}}{x}} \right) = \frac{1}{3}\left( {\frac{{0,01 + 0,01}}{{19,4}} + 0,005} \right) = 0,2\;\%$
Pour réaliser cette expérience telle quelle, il faut des billes extrêmement semblables ; l’exploitation de cette méthode permet de déterminer avec précision le rayon des billes ou la répartition de ces rayons.

III.A.1 et III.A.2

La contribution d’un volume $d\tau$ est celle d’un dipôle de moment $\vec Pd\tau$équivalent à la limite de deux charges $- \rho \,d\tau$ en A et $\rho \,d\tau$ en B telles que $\rho \overrightarrow {AB} = \vec P$. Par conséquent, la sphère polarisée est équivalente à la limite de deux boules de centres O_– et O₊ portant des densités volumiques de charge $- \rho$ et $+ \rho$ quand $\rho \to \infty \;,\;\rho \overrightarrow {{O_ - }{O_ + }} \to \vec P$.
Lors de ce passage à la limite, cette distribution de charge tend vers une charge répartie sur la surface de la sphère. Un élément $dS$ de cette surface est la limite d’un volume $d\tau = \overrightarrow {dS} \cdot \overrightarrow {{O_ - }{O_ + }}$ qui contient la charge $\rho \,\overrightarrow {dS} \cdot \overrightarrow {{O_ - }{O_ + }} = \vec P \cdot \overrightarrow {dS}$. Donc, la distribution de charge équivalente à la sphère polarisée est la densité superficielle de charge sur la surface de la sphère $\sigma = {P_N} = P\cos \theta$.

III.A.3 A l’extérieur, le potentiel est le même que si l’on avait concentré la charge de la sphère en son centre : ${V_\rho } = \frac{{\rho \frac{4}{3}\pi {a^3}}}{{4\pi {\varepsilon _0}r}}$.

A l’intérieur, le théorème de Gauss permet de calculer le champ électrique : $\begin{array}{l}4\pi {r^2}E = \frac{{\rho \frac{4}{3}\pi {r^3}}}{{{\varepsilon _0}}} \Rightarrow \vec E = \frac{{\rho \vec r}}{{3{\varepsilon _0}}}\quad - \frac{{dV}}{{dr}} = E = \frac{{\rho r}}{{3{\varepsilon _0}}}\quad V = V(a) - \int\limits_a^r {\frac{{\rho r}}{{3{\varepsilon _0}}}\,dr} \\{\rm{si }}r < a\;,\;\,{V_\rho } = \frac{{\rho (3{a^2} - {r^2})}}{{6{\varepsilon _0}}}\quad \quad {\rm{si }}r > a\;,\;\,{V_\rho } = \frac{{\rho {a^3}}}{{3{\varepsilon _0}r}}\end{array}$
III.A.4 En superposant les deux boules de la question II.A.2, on voit que le potentiel est la limite de $\begin{array}{l}{V_{\vec P}}(M) = \frac{{\rho ({O_ - }{M^2} - {O_ + }{M^2})}}{{6{\varepsilon _0}}} = \frac{{\rho (\overrightarrow {{O_ - }M} - \overrightarrow {{O_ + }M} ) \cdot (\overrightarrow {{O_ - }M} + \overrightarrow {{O_ + }M} )}}{{6{\varepsilon _0}}} = \frac{{\rho \overrightarrow {{O_ - }{O_ + }} \cdot (\overrightarrow {{O_ - }M} + \overrightarrow {{O_ + }M} )}}{{6{\varepsilon _0}}}\\{V_{\vec P}}(M) = \frac{{\vec P \cdot \vec r}}{{3{\varepsilon _0}}} \Rightarrow {E_{\vec P}} = - \,\overrightarrow {grad} \,V = - \frac{{\vec P}}{{3{\varepsilon _0}}}\end{array}$
L’expression du champ électrique s’obtient plus directement en superposant les champs électriques des deux boules de III.A.2 : ${\vec E_{\vec P}} = - \frac{{\rho \overrightarrow {{O_ - }M} }}{{3{\varepsilon _\`a }}} + \frac{{\rho \overrightarrow {{O_ + }M} }}{{3{\varepsilon _\`a }}} = - \frac{{\rho \overrightarrow {{O_ - }{O_ + }} }}{{3{\varepsilon _\`a }}} = - \frac{{\vec P}}{{3{\varepsilon _\`a }}}$.

III.B.1 $\overrightarrow {rot} \,\vec E = - \frac{{\partial \vec B}}{{\partial t}}\quad \overrightarrow {rot} \,\vec H = \vec j + \frac{{\partial \vec D}}{{\partial t}}\quad div\,\vec B = 0\quad div\,\vec D = \rho$

III.B.2 A la traversée d’une surface, sont continus ${\vec E_T},{B_N}$ ; ${D_{N2}} - {D_{N1}} = \sigma \quad {\vec H_{T2}} - {\vec H_{T1}} = {\vec j_S} \wedge {\vec n_{12}}$
III.B.3 Le champ incident et le champ total doivent vérifier les équations de Maxwell dans le vide ; comme les équations de Maxwell sont linéaires, elles sont vérifiées par le champ diffusé qui est la différence du champ total et du champ incident.
III.B.4 et III.B.5 On peut remplacer la polarisation électrique par une distribution de charge sur la sphère ${\sigma _{lié }} = {P_N} = P\cos \theta$ et une distribution de courant dans la sphère ${j_{lié }} = \frac{{\partial \vec P}}{{\partial t}}$.
III.B.6 Dans une bille, $\vec D = {\varepsilon _0}\vec E + \vec P = {\varepsilon _P}\vec E \Rightarrow \vec P = ({\varepsilon _P} - {\varepsilon _0})\vec E$.
III.C.1 Les potentiels sont proportionnels aux courants et aux charges tels qu’ils étaient antérieurement, le retard considéré étant la durée de propagation de la lumière de la source à l’effet. Ce retard s’exprime par le terme $\exp ( - ik\left\| {\vec r - \vec r'} \right\|)$.
III.C.2 Si on peut négliger le terme de propagation, $\underline{{\vec{A}}}_{d}^{\operatorname{int}}(\vec{r})=\frac{{{\mu }_{0}}{{\underline{{\vec{j}}}}_{li\acute{e}}}}{4\pi }\iiint_{bille}{\frac{{{d}_{3}}{r}'}{\left\| \vec{r}-{\vec{r}}' \right\|}}$ a la même forme que le potentiel dans une boule uniformément chargé en volume $\underline{V}(\vec{r})=\frac{\rho }{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\iiint_{bille}{\frac{{{d}_{3}}{r}'}{\left\| \vec{r}-{\vec{r}}' \right\|}}=\frac{\rho (3{{a}^{2}}-{{r}^{2}})}{6{{\varepsilon }_{0}}}$. Donc $\underline {\vec A} _d^{{\mathop{\rm int}} }(\vec r) = \frac{{{\mu _0}{{\vec j}_{li\'e }}(3{a^2} - {r^2})}}{6}$.
III.C.3 La condition de jauge de Lorentz est $\frac{{\partial \underline A _d^{{\mathop{\rm int}} }}}{{\partial z}} + \frac{{i\omega {{\underline V }_d}}}{{{c^2}}} = 0$.
$\begin{array}{l}\underline V _d^{{\mathop{\rm int}} } = - \frac{{{c^2}}}{{i\omega }}\frac{{\partial \underline A _d^{{\mathop{\rm int}} }}}{{\partial z}} = \frac{{{\mu _0}{c^2}{{\underline j }_{lié }}z}}{{3i\omega }}\\\underline {\vec E} _d^{{\mathop{\rm int}} } = - i\omega \underline {\vec A} _d^{{\mathop{\rm int}} } - \,\overrightarrow {grad} \,\underline V _d^{{\mathop{\rm int}} } = \frac{{ - i\omega {\mu _0}{{\underline {\vec j} }_{lié }}(3{a^2} - {r^2})}}{6} - \frac{{{\mu _0}{c^2}{{\underline {\vec j} }_{lié }}}}{{3i\omega }} \approx - \frac{{{\mu _0}{c^2}{{\underline {\vec j} }_{lié}}}}{{3i\omega }} = - \frac{{{{\underline {\vec j} }_{lié}}}}{{3{\varepsilon _0}i\omega }}\end{array}$
car $a\omega < < c$ puisque $a < < {\lambda _0}$.
$\underline {\vec B} _d^{{\mathop{\rm int}} } = \,\overrightarrow {rot} \underline {\vec A} _d^{{\mathop{\rm int}} } = \,\frac{{{\mu _0}\,\overrightarrow {grad} \,(3{a^2} - {r^2}) \wedge \underline {\vec j} _d^{{\mathop{\rm int}} }}}{6} = \frac{{{\mu _0}\vec r \wedge \underline {\vec j} _d^{{\mathop{\rm int}} }}}{3}$

III.C.4
$\begin{array}{l}\underline {\vec E} _d^{{\mathop{\rm int}} } \approx - \frac{{{\mu _0}{c^2}{{\underline {\vec j} }_{lié }}}}{{3i\omega }} = - \frac{{\underline {\vec P} }}{{3{\varepsilon _0}}} = - \frac{{({\varepsilon _P} - {\varepsilon _0})({{\underline {\vec E} }_i} + \underline {\vec E} _d^{{\mathop{\rm int}} })}}{{3{\varepsilon _0}}}\\\underline {\vec E} _d^{{\mathop{\rm int}} } = \frac{{{\varepsilon _P} - {\varepsilon _0}}}{{{\varepsilon _P} + 2{\varepsilon _0}}}{\underline {\vec E} _i}\end{array}$
qui est bien uniforme à l’ordre 0 en $\omega$. Les termes d’ordre supérieur ne sont pas uniformes. $\underline {\vec B} _d^{{\mathop{\rm int}} } = \,\frac{{{\mu _0}\vec r \wedge \underline {\vec j} _d^{{\mathop{\rm int}} }}}{3}$ n’est pas uniforme, mais est d’ordre 1 par rapport à $\omega$ et doit donc être négligé : $\underline {\vec B} _d^{{\mathop{\rm int}} } = \vec 0$.
III.D.1 Pour calculer le champ électromagnétique loin de la bille, il faut négliger $r'$ dans l’expression (25), car $r' < < r$ et $r' < < {\lambda _0}$. D’où : ${\underline {\vec A} _d} = {\underline {\vec A} _0}\frac{{\exp ( - ikr)}}{r}\quad {\underline {\vec A} _0} = \frac{{{\mu _0}V{{\underline {\vec j} }_{li\'e }}}}{{4\pi }}\quad V = \frac{4}{3}\pi {a^3}$
Il vaut mieux écrire une expression en fonction du volume $V$ de la sphère que de $a$.

III.D.2

$\begin{array}{l}{\underline V _d} = - \frac{{{c^2}}}{{i\omega }}div\,{\underline {\vec A} _d} = - \frac{{{c^2}}}{{i\omega }}\frac{\partial }{{\partial z}}\left( {{{\underline A }_0}\frac{{\exp ( - ikr)}}{r}} \right)\\{r^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2}\quad 2r\,dr = 2z\,dz\quad \frac{{\partial f(r)}}{{\partial z}} = \frac{z}{r}\frac{{df(r)}}{{dr}} = \cos \theta \frac{{df(r)}}{{dr}}\\{\underline V _d} = - \frac{{{c^2}{{\underline A }_0}\cos \theta }}{{i\omega }}\frac{d}{{dr}}\left( {\frac{{\exp ( - ikr)}}{r}} \right)\\{\underline E _{d,r}} = - i\omega {\underline A _0}\cos \theta \frac{{\exp ( - ikr)}}{r} - \frac{{\partial {{\underline V }_d}}}{{\partial r}} = {\underline A _0}\cos \theta \left( { - i\omega \frac{{\exp ( - ikr)}}{r} + \frac{{{c^2}}}{{i\omega }}\frac{{{d^2}}}{{d{r^2}}}\left( {\frac{{\exp ( - ikr)}}{r}} \right)} \right)\\{\underline E _{d,\theta }} = i\omega {\underline A _0}\sin \theta \frac{{\exp ( - ikr)}}{r} - \frac{1}{r}\frac{{\partial {{\underline V }_d}}}{{\partial \theta }} = {\underline A _0}\sin \theta \left( {i\omega \frac{{\exp ( - ikr)}}{r} - \frac{{{c^2}}}{{i\omega }}\frac{1}{r}\frac{d}{{dr}}\left( {\frac{{\exp ( - ikr)}}{r}} \right)} \right)\end{array}$
Quand $r \to \infty$, au premier ordre en $\frac{1}{r}$, $\frac{{{d^2}}}{{d{r^2}}}\left( {\frac{{\exp ( - ikr)}}{r}} \right) \approx - {k^2}\frac{{\exp ( - ikr)}}{r}$. Alors, comme $k = \frac{\omega }{c}$, le terme en $\frac{1}{r}$ de ${\underline E _{d,r}}$est nul. Donc :${\underline {\vec E} _d} \approx i\omega {\underline A _0}\sin \theta \frac{{\exp ( - ikr)}}{r}{\vec e_\theta }$
III.D.3 La structure locale du champ électrique est celle d’une onde plane. En effet, les surfaces d’onde sont des sphères de centre l’origine, soit localement les plans perpendiculaires à la direction radiale ; le champ électrique est perpendiculaire à la propagation et d’amplitude localement constante. L’intensité est $\left\langle {\frac{{{{({{\vec E}_d} \wedge {{\vec B}_d})}_r}}}{{{\mu _0}}}} \right\rangle = \frac{{{\varepsilon _0}c{{\left| {{{\underline E }_d}} \right|}^2}}}{2}$.
III.D.4 ${{P}_{d}}=\iint\limits_{\text{sph }\!\!\grave{\mathrm{e}}\!\!\text{ re}}{\frac{{{\varepsilon }_{0}}c{{\left| {{\underline{E}}_{d}} \right|}^{2}}}{2}dS=\int\limits_{0}^{\pi }{\frac{{{\varepsilon }_{0}}c{{\omega }^{2}}{{\sin }^{2}}\theta {{\left| {{\underline{A}}_{0}} \right|}^{2}}}{2{{r}^{2}}}2\pi {{r}^{2}}\sin \theta \,d\theta }}=\pi {{\varepsilon }_{0}}c{{\omega }^{2}}{{\left| {{\underline{A}}_{0}} \right|}^{2}}\int\limits_{0}^{\pi }{{{\sin }^{3}}\theta \,d\theta }$
Le changement de variable $u = \cos \theta$ permet de calculer $\int\limits_0^\pi {{{\sin }^3}\theta \,d\theta } = 2\int\limits_0^{\pi /2} {{{\sin }^3}\theta \,d\theta } = - 2\int\limits_1^0 {(1 - {u^2})\,du} = \frac{4}{3}$.
${P_d} = \frac{4}{3}\pi {\varepsilon _0}c{\omega ^2}{\left| {{{\underline A }_0}} \right|^2}$.

III.D.5 En III.D1 : ${\underline {\vec A} _0} = \frac{{{\mu _0}V{{\underline {\vec j} }_{lié }}}}{{4\pi }}$ ; en III.C.3 : $\underline {\vec E} _d^{{\mathop{\rm int}} } = \frac{{{{\underline {\vec j} }_{li\'e }}}}{{3{\varepsilon _0}i\omega }}$ ; en III.C.4 : $\underline {\vec E} _d^{{\mathop{\rm int}} } = \frac{{{\varepsilon _P} - {\varepsilon _0}}}{{{\varepsilon _P} + 2{\varepsilon _0}}}{\underline {\vec E} _i}$.
D’où : ${P_d} = \frac{{4\pi {\varepsilon _0}c{\omega ^2}}}{3}{\left( {\frac{{{\mu _0}V}}{{4\pi }}} \right)^2}{(3\omega {\varepsilon _0})^2}{\left( {\frac{{{\varepsilon _P} - {\varepsilon _0}}}{{{\varepsilon _P} + 2{\varepsilon _0}}}} \right)^2}{\left| {{{\underline {\vec E} }_i}} \right|^2} = \frac{{3{\varepsilon _0}{V^2}{\omega ^4}}}{{4\pi {c^3}}}{\left( {\frac{{{\varepsilon _P} - {\varepsilon _0}}}{{{\varepsilon _P} + 2{\varepsilon _0}}}} \right)^2}{\left| {{{\underline {\vec E} }_i}} \right|^2}$.
III.D.6 ${I_i} = \frac{1}{2}{\varepsilon _0}c{\left| {{{\underline {\vec E} }_i}} \right|^2}$
${\sigma _d} = \frac{{{P_d}}}{{{I_i}}} = \frac{{3{V^2}{\omega ^4}}}{{2\pi {c^4}}}{\left( {\frac{{{\varepsilon _P} - {\varepsilon _0}}}{{{\varepsilon _P} + 2{\varepsilon _0}}}} \right)^2} = \frac{{24{\pi ^3}}}{{\lambda _0^4}}{\left( {\frac{{{\varepsilon _P} - {\varepsilon _0}}}{{{\varepsilon _P} + 2{\varepsilon _0}}}} \right)^2}{V^2}$
III.D.7 Cette expression est semblable à celle de II.C.3, en y replaçant $\frac{{{\varepsilon _P}}}{{{\varepsilon _0}}}$ par $\frac{{n_P^2}}{{n_e^2}}$, ce qui se comprend si l’on considère que l’indice $n$ d’un milieu est $\sqrt {{\varepsilon _r}} = \sqrt {\frac{\varepsilon }{{{\varepsilon _0}}}}$ et que seul compte l’indice apparent des billes, c’est-à-dire le rapport de leur indice à celui du milieu où elles baignent.