Electricité‑Optique‑Mécanique
( OPTION T et TA
)
Durée : 4
heures
Premier
problème : ELECTROMAGNETISME
Il s'agit d'étudier dans ce
problème la propagation transversale d'une onde hertzienne dans la haute
atmosphère. Cette onde électromagnétique sera monochromatique, plane et
polarisée rectilignement.
On rappelle les notations et
valeurs numériques suivantes :
‑ pulsation de l'onde : $\omega
$
‑ vecteur d'onde : $\vec k$
‑ célérité des ondes dans le vide : co = 3.l08 mètres par seconde
‑ longueur d'onde dans le vide : ${\lambda
_o} = \frac{{2.\Pi .{c_o}}}{\omega }$
‑ perméabilité magnétique du vide : ${{\varepsilon }_{o}}$ = 4.$\Pi
$.l0-7 Henry par
mètre
‑ permittivité absolue du vide ${{\varepsilon }_{o}}$ telle que : ${{\varepsilon }_{o}}$.${{\mu
}_{o}}$ .co2 = l
‑ charge élémentaire : e = l,6.l0-19 Coulomb
‑ masse de l'électron : m = 9,l.lO-31 kilogramme
‑ masse du proton : mp = l,67.l0-27 kilogramme
On rappelle également la
relation :$r\vec ot\left( {r\vec ot\vec A} \right) = gr\vec
ad\left( {div\vec A} \right) - \Delta \vec A$
Dans tout le problème,
l'action du champ de pesanteur terrestre sera négligée.
I ‑ Equations générales de l'onde
1°) Ecrire les équations de
Maxwell dans un milieu linéaire, homogène et isotrope de permittivité
absolue $\varepsilon
={{\varepsilon }_{o}}.{{\varepsilon }_{r}}$ et de perméabilité ${{\mu
}_{o}}$ en l'absence de toutes charges électriques libres et de toute densité
de courant. Pour ce faire, il suffit
d'écrire ces équations comme dans le vide en remplaçant simplement ${{\varepsilon
}_{o}}$ par ${{\varepsilon }}$ .
2°) Montrer simplement que
le champ électrique vérifie une relation vectorielle, dite équation de
propagation.
3°) Traduire cette équation
lorsque le champ électrique est sinusoïdal et ne dépend que de la coordonnée x
et du temps t. En déduire que la relation entre k et $\omega $ , appelée
relation de dispersion, est :
${k^2}
= \frac{{{\varepsilon _r}{\omega ^2}}}{{{c_o}^2}}$ .
4°) Ecrire alors les
expressions vectorielles du champ électrique $\vec
E$ et de
l'induction magnétique $\vec B$ en fonction de t et de x.
Donner également l'expression du vecteur d'onde $\vec
k$ en
fonction de $\omega $, co et er.
On choisira pour cela un
trièdre orthonormé (0,x,y,z) tel que $\vec k$ soit porté par (0,x), $\vec
E$ par
(0,y) et $\vec B$ par (0,z) et on notera Eo l'amplitude du champ électrique.
Dans toute la suite, les
équations précédentes seront supposées vérifiées même si la permittivité
relative du milieu er dépend de la pulsation w (milieu dispersif).
II ‑ Densité de polarisation du plasma
Dans le vide, une particule
de charge q et de masse M, animée de la vitesse v non relativiste (v « co), est soumise à l'action d'une onde plane, monochromatique, polarisée
rectilignement comme dans la première partie.
1°) Donner l'expression de
la force de Lorentz qui s'exerce sur elle par l'action du champ électrique $\vec
E$ et de
l'induction magnétique $\vec B$.
Montrer que l'un de ces deux termes est négligeable.
Dans la suite de cette
deuxième partie, on supposera les différentes particules (électrons et protons)
soumises au seul champ électrique.
Dans un plasma, milieu
ionisé, il existe des molécules neutres, des électrons libres et des ions
positifs. Globalement, le milieu est neutre électriquement et est suffisamment
"dilué" pour pouvoir négliger les interactions entre les différentes
particules.
L'onde plane précédente se
propage dans un tel milieu.
2°) Donner l'équation
différentielle du mouvement d'une particule de masse M et de charge q soumise à
cette onde. Résoudre cette équation en donnant l'amplitude So des oscillations forcées qu'elle
subit en
fonction de l'amplitude Eo du champ électrique, de q, de M
et de la pulsation $\omega $.
3°) Calculer numériquement
les amplitudes des mouvements d'un électron et d'un proton pour un champ
électrique d'amplitude Eo = 0,2 Volt par mètre et une longueur d'onde lo= 30
mètres.
Le plasma peut être
considéré comme constitué uniquement de ces protons et électrons qui oscillent
: il y a N électrons et N protons par unité de volume.
Soient ${\vec
s_e}$ et ${\vec s_p}$ les vecteurs déplacement
correspondant à ces deux types de charges.
On appelle polarisation du
milieu le vecteur : $\vec P = N.e.\left( {{{\vec s}_p}
- {{\vec s}_e}} \right)$.
4°) Sachant que la précision
relative des calculs est de l0-2 , discuter l'ordre de grandeur de ce vecteur $\vec
P$ et
montrer que seul le mouvement des électrons intervient : on peut donc
considérer dans toute la suite que les ions positifs
sont fixes.
III ‑ Pulsation limite du plasma
Dans le milieu étudié
précédemment se propage donc une onde électromagnétique plane, monochroma-
tique, polarisée suivant (0,y). Le vecteur polarisation défini dans la deuxième
partie peut alors s'exprimer de manière générale en fonction du champ électrique
par la relation : $\vec P$ = eo(l - er).$\vec E$.
1°) A partie des résultats
précédents, donner l'expression de la permittivité relative er en fonction de N, $\omega $, m et eo puis en fonction de N, e, lo,, m
et µo,.,
Calculer numériquement er pour N = 6,l. l011 électrons par mètre cube et lo = 30 mètres.
2°) Reprendre l'équation de
dispersion trouvée au I‑3°. Montrer qu'elle peut alors s'écrire sous la forme :
${k^2}
= \frac{{{\omega ^2} - {\omega _p}^2}}{{{c_o}^2}}$
Donner l'expression de ${\omega}_{p}
$ en fonction de N, e, m et eo.
On appelle cette pulsation
la pulsation propre du plasma.
3°) Quelle condition doit
remplir $\omega $ pour qu'il y ait effectivement propagation de l'onde ?
Calculer la pulsation limite assurant la propagation pour N = 6,l. l011 électrons par mètre cube.
IV ‑ Influence du champ magnétique terrestre
L'existence du champ
magnétique terrestre complique un peu le phénomène de propagation étudié
précédemment.
1°) Etudier très brièvement
le mouvement d'un particule de charge q, de masse M, animée d'une vitesse
constante $\vec v$ dans un champ magnétique uniforme et permanent de
vecteur induction ${\vec B_o}$. Déterminer la vitesse
angulaire de rotation ${\omega}_{c} $ de la particule en fonction de q, M et Bo.
2°) Calculer numériquement
la valeur de l'induction magnétique Bo pour que la pulsation ${\omega}_{c} $ d'un
électron soit ${\omega}_{c} $ = l07 radians par seconde.
L'onde plane étudiée se
propage dans le plasma où règne cette induction magnétique Bo.
3°) La théorie sur le
mouvement des charges faite dans la partie II est-elle modifiée lorsque les
directions de $\vec E$ et ${\vec
B_o}$
sont parallèles ou perpendiculaires ?
Dans le cas où cette théorie
est modifiée, on montre que la relation de dispersion s'écrit alors :
${k^2}.{c_o}^2
= \frac{{{{\left( {{\omega ^2} - {\omega _p}^2} \right)}^2} - {\omega
_c}^2.{\omega ^2}}}{{{\omega ^2} - {\omega _p}^2 - {\omega _c}^2}}$ .
Les pulsations wp et wc étant celles déterminées
précédemment.
4°) Tracer l'allure de la
fonction ${k^2}.{c_o}^2\left( {{\omega ^2}} \right)$ pour les valeurs numériques
suivantes :
${\omega}_{c} $ = 0,82 l07 radians par seconde et ${\omega}_{p}
$ = 4,14 l07 radians par seconde.
5°) En déduire les valeurs
des pulsations des ondes qui peuvent réellement se propager dans le milieu.
V ‑ Calcul de l'altitude de la couche de plasma
Lorsque k = 0, les ondes
issues de la Terre, émises verticalement suivant (0,x), se réfléchissent
totalement sur la couche de plasma située en haute atmosphère.
On constate que lorsque
l'émission de l'onde est telle que la direction du champ électrique est
parallèle à celle de l'induction magnétique terrestre ${\vec
B_o}$, il y a écho (donc réflexion) pour une longueur d'onde émise lo = 42,70 mètres. Au contraire,
lorsque les directions du champ électrique de l'onde et de ${\vec
B_o}$
sont perpendiculaires, l'écho se produit pour une longueur d'onde lo =
38,90 mètres.
1°) Déduire de ces deux
mesures le nombre N d'électrons par mètre cube de ce plasma ainsi que la valeur
de l'induction magnétique Bo qui y règne. Les calculs devront être
effectués avec précision pour obtenir des résultats satisfaisants.
L'induction magnétique
terrestre décroît en fonction de l'altitude suivant la loi :
${B_o}\left(
x \right) = {B_o}\left( 0 \right).{\left( {1 + \frac{{{x^2}}}{{{R^2}}}}
\right)^{ - \frac{3}{2}}}$ .
Sa valeur au sol est Bo(0) = 4700. l0-8 Tesla et le rayon de la terre est R = 6360
kilomètres.
2°) Calculer l'altitude de
la couche réfléchissante de plasma. Quel peut être l'intérêt de cette propriété
?
Deuxième
problème : MECANIQUE
ETUDE D'UN APPAREIL ELECTROMECANIQUE VIBRANT
Dans l'entrefer d'un aimant
annulaire, où règne une induction magnétique radiale $\vec
B$ de
module constant, se déplace longitudinalement une bobine mobile comportant une
longueur de fil l.
Du point de vue électrique,
cette bobine est équivalente à une inductance Lo en série avec une résistance Ro.
Cette bobine est solidaire
d'une membrane ramenée en position centrale par une suspension assimilable à un
ressort sans masse de raideur k avec un frottement mécanique fluide de
coefficient fo. L'ensemble mobile (bobine
et membrane) a une masse m.
Le rayonnement des ondes
acoustiques par la membrane se modélise par une force de frottement fluide de
coefficient f1,. (En appelant v la vitesse
de la membrane, l'ensemble des forces de frottement est assimilable à une force
de module (fo+f1).v).
I ‑ Etude Générale
Un générateur de force
électromotrice e(t), de résistance interne r, alimente la bobine. Une force
extérieure axiale $\vec F$(t), orientée suivant l'axe
x'x est appliquée à la membrane. On appelle i(t) l'intensité du courant qui
circule dans la bobine. (Voir les figures pour l'orientation des différentes
grandeurs).
1°) Calculer la force
électromagnétique subie par la bobine. Préciser sa direction et son sens. En
appliquant le principe fondamental de la dynamique, déterminer l'équation
différentielle régissant le mouvement de la bobine.
2°) Calculer la force
électromotrice induite aux bornes de la bobine se déplaçant à la vitesse v
suivant x'x. Déterminer l'équation différentielle régissant l'intensité du
courant qui circule dans la bobine.
3°) A partir des deux
équations précédentes, écrire le système d'équations différentielles en
utilisant pour seules variables l'intensité i(t) et la vitesse v(t).
II ‑ Etude en Emetteur
La force électromotrice du
générateur e(t) est e(t) = ${E_o}.\cos \left( {\omega
t} \right)$. La force mécanique extérieure $\vec
F$(t)
est nulle.
1°) Montrer qu'il existe un
régime permanent pour lequel i(t) et v(t) sont sinusoïdaux de pulsation w. Soient alors I et V les
amplitudes complexes des représentations complexes de i(t) et v(t).
2°) Eliminer V entre
les deux équations et en déduire la relation entre Eo et I. Montrer que cette
relation peut se mettre sous la forme Eo = (R + jLw).I, avec L = Lo + L1 et R = Ro + r + R1.
Déterminer les expressions
de L1 et de R1 en fonction de w et des paramètres électriques et mécaniques
du système.
On pose : $A = \frac{{{B^2}{l^2}}}{{{f_o} +
{f_1}}}$ et $\alpha = \frac{{k - m{\omega
^2}}}{{\left( {{f_o} + {f_1}} \right)\omega }}$
Exprimer R1 et (L1w) en fonction de A et a.
3°) Etudier les variations
de R1 avec w. Montrer que R1 présente un maximum pour une valeur w0 de w. Déterminer w0 et R1(L1w).Tracer la représentation
graphique de R1 en fonction de w.
4°) Etudier les variations
de l'impédance (L1w) en fonction de w. Montrer que (L1w) s'annule pour une valeur w'0 de w, et passe par deux
extremums pour les valeurs w1 et w2.
Tracer la représentation graphique de (L1w) en fonction de w.
5°) Eliminer a entre les deux relations de R1 et (L1w). En déduire le lieu du
point de coordonnées (R1,L1w) dans le plan ayant R1 comme abscisse et L1w comme ordonnée. Placer sur
ce lieu les points représentatifs pour w = w0, w'0, w1, w2, et w®¥.
6°) Etudier, à partir des
résultats des questions 3 et 4 les variations de R et de (Lw) en fonction de w. Tracer sur un même graphe leur
représentation graphique en fonction de w. En déduire l'allure de la
représentation graphique du module de l'impédance complexe Z = R+jLw.
7°) Applications numériques
La bobine comporte 50 spires
de fil de 0,1 mètre de circonférence.
B = 2 Teslas. R0 = 4 ohms r = 0. L0 = 0,4 milliHenry.
f1 = 28 Newtons.secondes par mètre. f2 = 0
m = 20 grammes.
k = 5 103 Newtons par mètre.
Calculer w0, w'0, w1, w2, et A. Evaluer le module de Z à 10% près pour les 4 pulsations
calculées ainsi que pour w = l0 w0.
III ‑ Etude en Récepteur
Le générateur est remplacé
par une résistance pure de valeur r. La force extérieure est $\overrightarrow{F}(t)={{F}_{0}}.\cos
(\omega t).\overrightarrow{x},\overrightarrow{x}$étant le vecteur unitaire de
l'axe x'x
1°) Montrer qu'il existe un
régime permanent pour lequel i(t) et v(t) sont sinusoïdaux de pulsation ${\omega}$.
2°) Eliminer I entre
les deux équations et en déduire la relation entre F0 et V. Par analogie avec
la partie II on pose F0 = ZmV
où Zm est l'impédance mécanique du système.
On appelle Z$_{{m_o}}$ l'impédance mécanique
obtenue pour B = 0. Montrer que Zm se déduit de Z$_{{m_o}}$ par l'introduction de deux
facteurs supplémentaires :
‑ un coefficient de frottement f2
‑ une raideur k2
Donner les expressions de f2 et k2.
3°) Etudier les variations
de f2 en fonction
de ${\omega}$. Tracer sa représentation graphique.
4°) Etudier les variations
de (k2/${\omega} $) en fonction de ${\omega}$. Introduire
une pulsation ${\omega}_{3} $ caractérisant ces variations. Tracer sa
représentation graphique.
5°) Par analogie avec la
question II 2°), on pose $D = \frac{{{B^2}{l^2}}}{{{R_o} +
r}}$ .
Proposer une expression b fonction de ${\omega}$ permettant d'exprimer
simplement f2 et (k2/${\omega}$) en fonction de
D et b.
Eliminer b entre ces deux expressions et en déduire le
lieu géométrique du point de coordonnées (f2, k2/${\omega}_{c} $) dans le plan ayant f2 en abscisse et k2/${\omega}_{c}
$ en ordonnée.
6°) Avec les valeurs
numériques du II 7°), calculer ${\omega}_{3} $ ainsi que les valeurs
caractéristiques de f2 et de k2/${\omega}$. En déduire
l'allure de la représentation graphique du module de Zm en fonction de ${\omega} $.
