Concours Physique Mines de Douai 1988 (Énoncé)

Douai 88         Vibrographe

Étude d’un vibrographe

Soit le vibrographe schématisé ci-dessous :

Le point matériel pesant M de masse m, est suspendu au boîtier par l'intermédiaire d'un ressort de longueur à vide l₀ et de raideur k. Ce point M ne peut se mouvoir que verticalement.

On note x l'abscisse de M le long d'un axe vertical descendant dont l'origine O appartient au boîtier.

Un amortisseur exerce sur le point M une force de frottement $\vec F$égale à : $\vec{F}=-\,\vec{v}$, f étant une constante positive et $\vec v$la vitesse de M par rapport au boîtier.

Un cylindre permet d'enregistrer les variations de x en fonction du temps t.

A- OSCILLATIONS LIBRES AMORTIES

Le boîtier est initialement fixe par rapport à un référentiel galiléen.

A-1.      Déterminer l'abscisse x_e correspondant à la position d'équilibre du point M.

A-2.a.  Déterminer l'équation différentielle vérifiée par x ( fonction du temps t) lorsque le point M est en mouvement.

A-2.b.  On pose : $\omega _0^2 = \frac{k}{m}$; $Q=\frac{m\,{{\omega }_{0}}}{}$; X = x – x_e .

Déterminer l'équation différentielle vérifiée par X, les coefficients de cette équation différentielle dépendant seulement de w₀ et de Q.

A-3.      On donne : w₀ = 1,80 rad.s^-1 ; Q = ½.

Les conditions initiales sont : pour t = 0, X = 0  et $\frac{{dX}}{{dt}} = {V_0}$              (V₀ > 0).

A-3.a.  Déterminer X en fonction de t.

A-3.b.  Calculer l'instant t₁ pour lequel X passe par un maximum.

B- OSCILLATIONS FORCEES

Q n'est plus égal à ½.

Le boîtier du vibrographe est maintenant fixé sur une machine-outil animée, par rapport à un référentiel (R) galiléen, d'un mouvement de translation rectiligne (suivant la verticale), sinusoïdal, défini par : z = z_m cos wt , z_m étant une constante et w la pulsation.

B-1.a.    En raisonnant par rapport à un référentiel lié au boîtier du vibrographe, déterminer l’équation différentielle vérifiée par z fonction de t.

B-1.b.   Montrer que cette équation différentielle se met sous la forme suivante (w₀, Q et X ayant été définis précédemment ) : $\frac{{{d^2}X}}{{d{t^2}}} + \frac{{{\omega _0}}}{Q}\frac{{dX}}{{dt}} + \omega _0^2\,X = {z_m}\,{\omega ^2}\cos \omega t$.

B-2.a.   Déterminer quelle est, en régime forcé, l'amplitude X_m (des oscillations du point M par rapport au boîtier), en fonction de Q, z_m et $u = \frac{\omega }{{{\omega _0}}}$ .

B-2.b.   Montrer que, lorsque u varie, X_m ne passe par un maximum que si Q est supérieur à une certaine valeur que l'on déterminera.

B-2.c.   Cette condition étant remplie, déterminer la valeur maximale X_max de X_m.

B-3.       Tracer la courbe représentant le rapport $\frac{{{X_m}}}{{{z_m}}}$en fonction de u pour Q = 0,7 puis pour Q = 4.

B-4.       En régime forcé, on appelle f le retard de phase des oscillations du point M (relativement au boîtier) par rapport aux oscillations de la machine-outil (relativement au référentiel (R) galiléen).

B-4.a.   Déterminer cos f et tan f en fonction de u et de Q.

B-4.b.   Montrer que, si la pulsation w est beaucoup plus grande que w₀, alors le point M est quasiment fixe par rapport au référentiel (R) galiléen.