Concours Physique ENSAM Thermodynamique-Chimie 1988 (Énoncé)

Thermodynamique ‑ Chimie

( Option T )

Durée : 4 heures

THERMODYNAMIQUE

          ETUDE D'UNE TUYERE CONVERGENTE‑DIVERGENTE

l  Relations préliminaires

On considère une masse de l kg d'un fluide se comportant comme un gaz parfait de masse molaire M.

l.l. Donner la relation entre la pression p, la masse volumique et la température absolue T, caractérisant un état quelconque du gaz. On désignera par r la constante massique égale à ( R/M) .

1.2. Le gaz subit une évolution isentropique de l'état Po, ro, To à l'état p, r, T. Donner l'équation décrivant la transformation en fonction des variables p et g. Donner l'équation décrivant la transformation en fonction des variables T et r. On désignera par le rapport des capacités thermiques massiques du fluide à pression constante et à volume constant.

l.3. L'étude de la propagation des ondes acoustiques dans un milieu gazeux montre que la célérité du son a est donnée par la relation:

              $a = {\left( {\rho .{\chi _s}} \right)^{ - \frac{1}{2}}}$

où s est le coefficient de compressibilité isentropique: $\frac{1}{\rho }{\left( {\frac{{\partial \rho }}{{\partial p}}} \right)_s}$

Exprimer a en fonction de T, r, et g.

Application numérique:

A la température de 300K, calculer a pour l'air ( M = 29 g.mol-1; g= 7/5 ) et pour l'hélium ( M = 4 g.mol-1; g= 5/3 ), ces gaz étant supposés parfaits.

On rappelle la valeur de la constante molaire: R = 8,3144 J.mol-1.K-1.

2. Etude de la tuyère

Le dernier organe d'un moteur de fusée est constitué par une tuyère à parois adiabatiques et indéformables.

La tuyère est parcourue par le flux des gaz de combustion obtenus dans la chambre de combustion située en amont de la tuyère.

Le régime d'écoulement des gaz est permanent, isentropique et monodimensionnel. La pression p, la masse volumique , la température T et la vitesse d'écoulement c du fluide sont uniformes et indépendantes du temps dans une section droite circulaire quelconque d'aire A.

Le profil géométrique de la tuyère comprend entre la section d'entrée et la section de sortie :

     ‑ une partie de section décroissante ou convergent,

     ‑ le col correspondant à la section d'aire minimale,

     ‑ une partie de section croissante ou divergent.

Les notations utilisées sont précisées sur le schéma ci-dessous. Les caractéristiques dans la section d'entrée sont indexées o , les caractéristiques dans la section de sortie sont indexées 1 et les caractéristiques dans la section du col sont indexées c La vitesse co dans la section d'entrée sera considérée comme négligeable dans ce qui suit.

2.1 On considère deux sections droites voisines entre lesquelles le fluide passe de l'état p, r, T, c à l'état p + dp, r+dr, T + dT, c + dc, l'aire de la section variant de A à A + dA.

2.1.1 A partir de l'expression de la conservation du débit-masse qm= rcA, établir la relation liant dr, dc et dA.

2.1.2 A partir de l'expression du premier principe, établir la relation liant dc et dr.

2.1.3 En déduire que:

              $\frac{{dA}}{A} = \frac{{dc}}{c}\left( {{M^2} - 1} \right)$                 où M = $\frac{c}{a}$ {nombre de Mach)

2.1.4 A partir du résultat obtenu en 2.1.3 et dans le cas où la vitesse d'écoulement est continûment croissante entre la section d'entrée et la section de sortie, montrer que le régime d'écoulement est subsonique dans le convergent, sonique au col et supersonique dans le divergent.

2.2 On considère la partie du système comprise entre la section d'entrée et une section quelconque.

2.2.1 Par application du premier principe expliciter la relation:

          $\frac{{{q_m}}}{a} = f\left( {{p_o},{\rho _o},\gamma ,\tau } \right)$

où représente le rapport ( p/po )

2.2.2 Montrer que ( qm/A ) passe par un maximum lorsque t varie et donner les expressions correspondantes de t= ( p/po ) et de (T/To) en fonction de g, ainsi que celle de la vitesse correspondante c. En déduire que ces caractéristiques sont celles existant dans la section du col. Donner l'expression du débit maximal de la tuyère qui en résulte en fonction de Ao, g, Po et ro.

2.2.3 Exprimer le rapport ( A1/Ac ) en fonction de ( p1/pc ) et de ( c1/cc ).

2.2.4 Montrer que la vitesse d'écoulement du fluide dans la section de sortie est caractérisée par une valeur limite cL qu'on exprimera en fonction de ao et de g.

2.3 Pour une tuyère particulière, les conditions de combustion imposent les valeurs suivantes:

          To=3000K;          ro=50 bars;                   M=25 g.mol-l;                         g= 1,25.

La pression de sortie p1 est égale à 1 bar ( pression atmosphérique au sol).

Calculer numériquement les valeurs correspondantes de:

( qm/Ac ) , pc.,Tc , cc , T1, c1, ( A1/Ac ), cL

2.4 Le moteur de la fusée doit fournir une poussée de 8.106 N; il est équipe de huit tuyères identiques.

2.41 Calculer le débit-masse qm nécessaire par tuyère.

2.4.2 Calculer les aires et les diamètres correspondants des sections au col et à la sortie.

2.5 On considère maintenant que les conditions d'écoulement restent isentropiques dans le convergent alors que dans le divergent diverses causes d'irréversibilité conduisent à un rendement de la détente par rapport à l'isentropique ${\eta _{is}}$${\eta _{is}}$ égal à 0,85.

2.5.1 Reprendre les questions 2.4.1 et 2.4.2 en tenant compte des nouvelles conditions.

2.5.2 Représenter l'évolution du fluide dans la tuyère sur un diagramme entropique ( température T ‑ entropie massique s) .

On adoptera les échelles suivantes: 5 cm = 1000 K et 5 cm = 100 J.kg-1.K-1.

CHIMIE

Données:

     Constante d'Avogadro‑Lochschmidt :                    N = 6,022.1023 mol-1 

     Constante molaire des gaz parfaits :              R = 8,3144 J.mol-l.K-1.

     Constante de Faraday :                                  F = 96485 C.mol-1.

     Masses molaires :

       MH = 1 g.mol-1 ;              MNa = 23 g.mol-1;         MCl = 35,5 g.mol-1;       MO = 16 g.mol-1 

     Potentiel d'oxydo-réduction normal du couple Au3+/Au  à 25 °C:

              ${E^o}_{A{u^{3 + }}/Au} = $ 1,500 V/ENH.

Dans tout ce qui suit on confondra concentration volumique molaire et activité.

La pression de l'état référence des espèces gazeuses est égale à 1 bar.

1. L'or appartient au groupe I.B de la classification périodique des éléments. Le schéma ci-après reproduit les renseignements correspondants extraits d'une représentation classique.

1.1 Donner succinctement la définition précise des termes: masse molaire, nombre atomique, degré d'oxydation ( ou état d'oxydation).

1.2 La structure électronique décrite correspond à l'état fondamental de l'atome. Commenter sa description et la représenter en utilisant la notion de case quantique ou éventuellement d'orbitale, en se limitant aux deux dernières sous-couches.

Xe est le symbole du xénon, gaz rare qui précède l'or, dont le numéro atomique Z est égal à 54

1.3 Une des espèces représentant l'état d'oxydation III de l'or est l'ion aurique Au3+. Préciser sa structure électronique et la représenter en utilisant la notion de case quantique ou éventuellement d'orbitale, en se limitant aux deux dernières sous-couches.

2. A l'état solide, l'or est un métal cristallisant dans le système cubique à faces centrées.

2.1 Calculer le rayon ionique de l'or dans cette structure.

2.2 Schématiser, en projection sur le plan de la feuille, l'arrangement des ions centrés:

     a) dans les plans bissecteurs des dièdres droits de la maille élémentaire

     b) dans les plans diagonaux de la maille élémentaire.

3. A l'état d'oxydation III, l'or forme avec les ions chlorure Cl-, des ions complexes tétrachloroaurate III AuCl4- selon le schéma réactionnel:

                   Au3+  +  4 Cl-   $\rightleftarrows $   AuCl4-

3.1 On met en contact à 25°C, une électrode métallique d'or, parfaitement inattaquable, avec une solution aqueuse de concentration 3,98 g.l-1  en tétrachloroaurate de sodium dihydraté NaAuCl4,2H20. Le potentiel à l'équilibre de cette électrode est égal à 1,384 V/ENH.

En déduire la constante de formation Kf de l'ion complexe ainsi que l'enthalpie libre réactionnelle G°298 correspondante.

3.2 On ajoute à la solution précédente 0,0585 g.l-1  de chlorure de sodium NaCl.

Calculer le nouveau potentiel à l'équilibre de l'électrode d'or exprimé en V/ENH, en faisant des approximations éventuelles.

4. En présence du complexant Cl-, on peut considérer le demi-équilibre d'oxydo-réduction :

               AuCl4-  +  3 e-  $\rightleftarrows $  Au  +  Cl- 

4.1 Calculer le potentiel normal ${E^o}_{AuC{l_4}^ - /Au}$ du couple AuCl4- / Au .

4.2 On considère la cellule galvanique suivante:

L'électrolyte (1) est la solution décrite en 3.2 . L'électrolyte (2) est une solution aqueuse de chlorure d'hydrogène de concentration volumique molaire égale à 0,01 mol.l-1  L'hydrogène gazeux sous la pression de 1 bar est adsorbé sur l'électrode d'or.

42.1 Ecrire les schémas réactionnels correspondants aux deux demi-équilibres d'oxydo-réduction intervenant aux électrodes d'or Au( 1 ) et Au(2).

4.2.2 Calculer les potentiels à l'équilibre, en V/ENH, des deux électrodes d'or Au(1) et Au(2). En déduire:

     ‑ La f.è.m de la cellule galvanique schématisée ci-dessus.

     ‑ La réaction d'oxydo-réduction intervenant si on ferme la cellule sur un circuit extérieur résistif et l'enthalpie réactionnelle DG298 correspondante.

4.3 Certains circuits intégrés utilisent des conducteurs protégés par une métallisation d'or. En fonctionnement, une différence de potentiel U existe entre ces conducteurs et ils peuvent être en contact avec un électrolyte. On peut alors constater des dégradations du revêtement d'or d'un des fils ou même des courts-circuits entre conducteurs.

4.3.1 L'électrolyte en contact avec les conducteurs est une solution aqueuse dont les caractéristiques sont les suivantes:

          [Cl-] = 0,5 mol.l-1 ;        [AuCl4-] = 10-5 mol.l-1;          pH = 7.

Calculer la valeur maximale de la différence de potentiel U entre fils garantissant la non oxydation de l'or. On supposera que la pression de formation éventuelle d'hydrogène est égale à 1 bar.

4.3.2 Pour des valeurs de la différence de potentiel U supérieures a celle calculée en 4.3.1, on constate parfois la mise en court-circuit des fils conducteurs par croissance de cristaux d'or filamentaires les reliant.

Donner la raison de l'intervention de ce phénomène sur le plan électrochimique.

Concours Physique Mines de Douai 1988 (Énoncé)

Douai 88         Vibrographe

Étude d’un vibrographe

Soit le vibrographe schématisé ci-dessous :

Le point matériel pesant M de masse m, est suspendu au boîtier par l'intermédiaire d'un ressort de longueur à vide l₀ et de raideur k. Ce point M ne peut se mouvoir que verticalement.

On note x l'abscisse de M le long d'un axe vertical descendant dont l'origine O appartient au boîtier.

Un amortisseur exerce sur le point M une force de frottement $\vec F$égale à : $\vec{F}=-\,\vec{v}$, f étant une constante positive et $\vec v$la vitesse de M par rapport au boîtier.

Un cylindre permet d'enregistrer les variations de x en fonction du temps t.

A- OSCILLATIONS LIBRES AMORTIES

Le boîtier est initialement fixe par rapport à un référentiel galiléen.

A-1.      Déterminer l'abscisse x_e correspondant à la position d'équilibre du point M.

A-2.a.  Déterminer l'équation différentielle vérifiée par x ( fonction du temps t) lorsque le point M est en mouvement.

A-2.b.  On pose : $\omega _0^2 = \frac{k}{m}$; $Q=\frac{m\,{{\omega }_{0}}}{}$; X = x – x_e .

Déterminer l'équation différentielle vérifiée par X, les coefficients de cette équation différentielle dépendant seulement de w₀ et de Q.

A-3.      On donne : w₀ = 1,80 rad.s^-1 ; Q = ½.

Les conditions initiales sont : pour t = 0, X = 0  et $\frac{{dX}}{{dt}} = {V_0}$              (V₀ > 0).

A-3.a.  Déterminer X en fonction de t.

A-3.b.  Calculer l'instant t₁ pour lequel X passe par un maximum.

B- OSCILLATIONS FORCEES

Q n'est plus égal à ½.

Le boîtier du vibrographe est maintenant fixé sur une machine-outil animée, par rapport à un référentiel (R) galiléen, d'un mouvement de translation rectiligne (suivant la verticale), sinusoïdal, défini par : z = z_m cos wt , z_m étant une constante et w la pulsation.

B-1.a.    En raisonnant par rapport à un référentiel lié au boîtier du vibrographe, déterminer l’équation différentielle vérifiée par z fonction de t.

B-1.b.   Montrer que cette équation différentielle se met sous la forme suivante (w₀, Q et X ayant été définis précédemment ) : $\frac{{{d^2}X}}{{d{t^2}}} + \frac{{{\omega _0}}}{Q}\frac{{dX}}{{dt}} + \omega _0^2\,X = {z_m}\,{\omega ^2}\cos \omega t$.

B-2.a.   Déterminer quelle est, en régime forcé, l'amplitude X_m (des oscillations du point M par rapport au boîtier), en fonction de Q, z_m et $u = \frac{\omega }{{{\omega _0}}}$ .

B-2.b.   Montrer que, lorsque u varie, X_m ne passe par un maximum que si Q est supérieur à une certaine valeur que l'on déterminera.

B-2.c.   Cette condition étant remplie, déterminer la valeur maximale X_max de X_m.

B-3.       Tracer la courbe représentant le rapport $\frac{{{X_m}}}{{{z_m}}}$en fonction de u pour Q = 0,7 puis pour Q = 4.

B-4.       En régime forcé, on appelle f le retard de phase des oscillations du point M (relativement au boîtier) par rapport aux oscillations de la machine-outil (relativement au référentiel (R) galiléen).

B-4.a.   Déterminer cos f et tan f en fonction de u et de Q.

B-4.b.   Montrer que, si la pulsation w est beaucoup plus grande que w₀, alors le point M est quasiment fixe par rapport au référentiel (R) galiléen.

Concours Physique Centrale (M) Physique I 1988 (Énoncé)

ECOLE CENTRALE DES ARTS ET MANUFACTURES                    ECOLE SUPÉRIEURE D'ELECTRICITE

ECOLE CENTRALE DE LYON                                                ECOLE SUPÉRIEURE D'OPTIQUE

Concours d'Admission 1988

M

PHYSIQUE I

(4 pages dactylographiées)

Les vecteurs sont représentés par des lettres grasses sans flèche. (Exemple B à la place de B) [1].

Le but de ce problème est l'étude du mouvement d'une particule chargée dans un champ magnétique faiblement inhomogène pour deux configurations géométriques particulières. Une application est esquissée en direction des problèmes du confinement d'un plasma (gaz ionisé à très haute température qu'on cherche, malgré l'agitation thermique, à garder dans un volume clos mais en l'absence de parois matérielles). On présente la configuration magnétique tokamak qui constitue une des voies les plus prometteuses pour la réalisation d'un réacteur thermonucléaire.

QUESTION I.

En l'absence de champ électrostatique, et en présence d'un champ magnétique $\vec B$ uniforme et stationnaire $\vec B = B{\vec u_z}$ orienté selon l'axe $Oz$ d'un référentiel galiléen, on étudie le mouvement d'une particule chargée de masse $m$, de charge $q$ et de vitesse $\vec v$.

a) Écrire l'équation fondamentale de la dynamique dans le repère ${\vec u_x},{\vec u_y},{\vec u_z}$ lié au référentiel galiléen précédent.

b) En déduire les équations différentielles portant sur ${\ddot v_x},{v_x},{\ddot v_y},{v_y}$ [2]. On introduira la pulsation cyclotron ${\omega _c} = \left| q \right|B/m$, et on posera $\varepsilon  = q/\left| q \right|$.

c) Résoudre le système en notation complexe ; l'origine des phases sera déterminée de manière qu'au temps $t = 0$ on ait ${v_x} = {v_ \bot }$ (constante > 0 ), ${v_y} = 0$. On pourra dans la suite adopter pour toute vitesse $\vec v$ la décomposition $\vec v = {\vec v_{//}} + {\vec v_ \bot }$ où ${\vec v_{//}}$ est la composante de $\vec v$ parallèle au champ $\vec B$ (ici ${v_{//}} = {v_z}$) et ${\vec v_ \bot }$ la composante du vecteur vitesse dans un plan orthogonal à $\vec B$ (ici ${\vec v_ \bot } = {v_x}{\vec u_x} + {\vec v_y}{\vec u_y}$).

d) Donner alors les équations du mouvement. On fera apparaître le "rayon de Larmor" ${\rho _L} = {v_ \bot }/{\omega _c}$ et les coordonnées $\left( {{x_G},{y_G},{z_G}} \right)$ d'un point appelé "centre guide du mouvement", noté $G$ et défini à chaque instant comme le projeté de la position de la particule sur l'axe du cylindre sur lequel s'enroule la trajectoire. Faire un schéma indiquant un sens pour $\vec B$, l'allure de la trajectoire, le sens de parcours sur celle-ci suivant le signe de $q$ ainsi que la trajectoire du centre guide $G$. (On prendra $B > 0$, ${v_z} > 0$).

e) Application numérique : $B = 5T$, $\frac{1}{2}mv_ \bot ^2 = 10keV$. Calculer ${\rho _L}$ et ${\omega _c}$ pour un électron (${m_e} = {9,1.10^{ - 31}}kg$) et pour un proton ($m = {m_H} = {1,67.10^{ - 27}}kg$).

QUESTI0N II.

Au champ magnétique précédent s'ajoute maintenant un champ électrostatique $\vec E$ uniforme et stationnaire. On choisira l'axe ${\vec u_z}$ toujours suivant $\vec B$ et l'axe ${\vec u_x}$ de manière que ${E_y} = 0$.

a) Résoudre les nouvelles équations du mouvement avec les mêmes conditions initiales que précédemment.

b) En déduire que le mouvement de la particule peut être décomposé en un mouvement autour d'un centre guide de même nature que précédemment, auquel se superpose un mouvement du centre guide que l'on précisera. Exprimer la vitesse de "dérive" transversale du centre guide notée ${\vec v_{ \bot G}}$. Sur un schéma tracer $\vec E$, $\vec B$ et l'allure de la trajectoire pour une particule de charge $q > 0$. (On supposera $B > 0$, ${E_x} > 0$, ${E_z} > 0$).

c) A l'aide des résultats précédents, exprimer ${\vec v_{ \bot G}}$ vectoriellement en fonction de $\vec E$, $\vec B$et ${B^2}$.

QUESTION III.

Les résultats précédents peuvent être étendus à d'autres forces que la force électrostatique en remplaçant le terme $q\vec E$ dans les équations par l'expression de la force appliquée.

a) Quelle est alors la vitesse de dérive du centre guide en fonction de $\vec F,\vec B,q$.

b) Appliquer ceci à la force de pesanteur dans le champ uniforme $\vec g$.

c) Sur un schéma indiquant les directions de $\vec B$, de $\vec g$ (pour plus de clarté on pourra prendre $\vec B \bot \vec g$) signaler dans quel sens se déplace le centre guide d'une particule dans les cas $q > 0$, $q < 0$. Dans un plasma globalement neutre, composé d'ions (masse $M$, charge $ + e$) et d'électrons (masse $m$, charge $ - e$) de densité volumique ${n_i} = {n_e} = n$ particules par unité de volume, y a-t-il création d'une densité de courant ? Si oui, calculer son expression et reporter le résultat trouvé sur le schéma.

QUESTION IV.

On considère maintenant un champ magnétique légèrement inhomogène : les lignes de champ sont toujours parallèles à l'axe ${\vec u_z}$ mais le module de $\vec B$ dépend de $y$ : $\vec B = B\left( y \right){\vec u_z}$. La variation de $B$ est suffisamment faible pour que l'on puisse traiter son influence sur le mouvement d'une particule comme une perturbation petite de celui-ci. On se placera dans les conditions où ${\rho _L} <  < {\left( {\frac{1}{B}\frac{{dB}}{{dy}}} \right)^{ - 1}}$ et on considèrera donc que la particule suit avec une bonne approximation le mouvement décrit dans la question I.

a) Donner les expressions des coordonnées de la force de Lorentz appliquée à une particule en mouvement en introduisant $B\left( G \right) = B\left( {{x_G},{y_G},{z_G}} \right)$.

b) Quelle est l'expression de la force moyenne appliquée sur la particule pendant une révolution autour du centre guide ?

c) Quelle est alors la vitesse de dérive du centre guide due au gradient du champ $\vec B$, montrer qu'elle peut s'écrire sous la forme : ${\vec v_{ \bot G}} =  \pm \frac{1}{2}{v_ \bot }{\rho _L}\frac{{\vec B \wedge \vec \nabla B}}{{{B^2}}}$ où $\vec \nabla B = \frac{{\partial B}}{{\partial y}}{\vec u_y}$

Dans la suite, on admettra que ces relations restent applicables même dans des situations géométriquement plus complexes.

QUESTION V.

On considère maintenant le cas d'un champ magnétique inhomogène $\vec B\left( {r,z} \right)$ ayant la symétrie de révolution autour d'un axe ${\vec u_z}$ ($r$ désigne la distance à l'axe) ; on désigne par ${B_z}$ et ${B_r}$ les composantes $//{\vec u_z}$ et $ \bot {\vec u_z}$.

a) Pouvez-vous citer un dispositif simple qui puisse créer un champ $\vec B$ ayant ces caractéristiques ?

b) Montrer qu'au voisinage de l'axe $Oz$, à une distance $r$ de celui-ci telle que l'on ait $r\frac{{\partial {B_z}}}{{\partial r}} <  < {B_z}$, il existe une composante radiale ${B_r}$ du champ $\vec B$ que l'on calculera en fonction de $\frac{{\partial {B_z}}}{{\partial z}}$.

c) Ici encore on considérera que les inhomogénéités du champ sont faibles, si bien qu'en première approximation les particules chargées décrivent toujours un mouvement de révolution autour du centre guide $G$. Soit une particule dont le centre guide a un mouvement le long de l'axe de révolution $Oz$, calculer la composante moyenne sur ${\vec u_z}$ de la force due à la composante radiale de $\vec B$ sur la particule durant une révolution autour du centre guide ; en déduire que le centre guide a un mouvement d'équation : $\frac{{d{v_{//G}}}}{{dt}} =  - \frac{{v_ \bot ^2}}{{2B}}\frac{{\partial {B_z}}}{{\partial z}}$

d) En écrivant la conservation de l'énergie cinétique de la particule dans le champ magnétique, montrer que la quantité $\mu  = \frac{1}{2}m\frac{{v_ \bot ^2}}{B}$ reste constante au cours du mouvement.

e) En déduire qu'au cours du mouvement la trajectoire de la particule s'enroule toujours autour du même tube de champ.

QUESTION  VI.

On considère maintenant un champ magnétique faiblement inhomogène dont les lignes de champ ont localement un rayon de courbure fini $R >  > {\rho _L}$.

a) A partir du résultat précédent (question V-e) montrer que l'on peut considérer qu'une particule suivant un tube de champ de rayon de courbure $R$ subit en moyenne une force de type centrifuge : $\vec F =  - m\frac{{v_{//}^2}}{R}{\vec u_n}$ où ${\vec u_n}$ est le vecteur unitaire de la normale principale au tube de champ. En déduire la vitesse de dérive ${\vec v'_{ \bot G}}$ due à cet "effet de courbure".

b) Par application du théorème d'Ampère (en l'absence de courant local), montrer que le gradient du module du champ $\vec B$ possède une composante sur ${\vec u_n}$ soit : ${\left( {\vec \nabla B} \right)_n} = \frac{B}{R}{\vec u_n}$ avec $B = \left\| {\vec B} \right\|$.

c) Exprimer la vitesse de dérive ${\vec v''_{ \bot G}}$ due à cet "effet de gradient" et former l'expression de la vitesse de dérive totale ${\vec v_{ \bot G}} = {\vec v'_{ \bot G}} + {\vec v''_{ \bot G}}$.

QUESTI0N VII.

On cherche à confiner un plasma dans un champ magnétique stationnaire de révolution autour d'un axe $Oz$ et d'intensité variable en fonction de $z$ et de $r$ (distance à l'axe de révolution) selon le dispositif suivant :

En $O$ le champ $B$ est minimum, $B = {B_0}$ ; en $S$ et $S'$ le champ est maximum et prend la valeur $B\left( S \right) = B\left( {S'} \right) = {B_m}$. On néglige les collisions des particules chargées entre elles dans le plasma, si bien que le mouvement de chaque particule est décrit par les résultats de la question V.

a) Montrer qualitativement, à l'aide des résultats précédents, que dans le mouvement des particules le long des lignes de champ, il peut arriver un moment où la composante ${v_{//}}$ s'annule. Quelle est la suite du mouvement ?

b) Soit une particule en $O$ dont la vitesse ${v_0}$ fait l'angle ${\theta _0}$ avec l'axe $Oz$. Montrer que, si l'on note $\theta $ l'angle qu'elle fait ensuite avec la ligne de champ en un point où la valeur du champ est $\vec B$, on a la relation
$\frac{{{{\sin }^2}\theta }}{B} = \frac{{{{\sin }^2}{\theta _0}}}{{{B_0}}}$

c) Quelle est la valeur ${\theta _{0m}}$ de ${\theta _0}$ pour laquelle la particule est "réfléchie" au niveau de $S$ ou $S'$ ? Que se passe t-i1 pour des angles ${\theta _0}$ inférieurs ou supérieurs à ${\theta _{0m}}$ ?

d) Justifier les dénominations : effet de miroir magnétique, cône de perte.

e) Que se passe-t-il pour le plasma si l'on tient compte maintenant des collisions ? Si ${\tau _c}$ (durée moyenne entre deux collisions pour une particule) est de l'ordre de ${10^4}s$, quel est l'ordre de grandeur de la "durée de confinement" du plasma dans le système magnétique étudié ?

QUESTION VIII.

Afin de remédier à l'inconvénient de l'existence du cône de perte qui nuit à la qualité d'un confinement magnétique, on songe à refermer les lignes de champ sur elles-mêmes ; on aboutit ainsi à une configuration toroïdale :

a) On considère un solénoïde toroïdal. On note $R$ le rayon moyen du tore et ${r_m}$ le rayon d'un cercle méridien. Ce solénoïde comporte $N$ spires enroulées uniformément et parcourues par un courant $I$.

En un point repéré par l'angle "azimutal" $\phi $ et par les coordonnées $\left( {r,\theta } \right)$ dans le plan méridien, calculer le champ ${B_\phi }\left( {r,\theta } \right)$, l'exprimer en fonction de ${B_0} = {B_\phi }\left( {0,0} \right)$.

b) Montrer que la vitesse de dérive étudiée à la question VI. a pour effet de précipiter les particules situées à l'intérieur de la configuration contre les parois limitant le tore à $r = {r_m}$. Dans quelle direction ? (On distinguera le cas des ions et des électrons). Estimer numériquement l'ordre de grandeur de la durée de confinement d'un plasma d'ions et d'électrons ; on prendra$\,R = 1m\,$, ${r_m} = 20cm$, ${B_0} = 5T$, ainsi que les relations: $v_{//}^2 = v_ \bot ^2/2$ et $mv_ \bot ^2/2 = 10keV$ (relations valables pour les ions et les électrons).

QUESTION IX.

Afin d'annuler cette dérive des particules, on rajoute au champ précédent $\vec B$ une composante ${B_\theta }\left( r \right)$ appelée champ poloïdal, créée par une densité de courant ${j_\phi }\left( r \right)$ circulant dans la direction azimutale à l'intérieur du plasma lui-même.

(Ce courant est induit de l'extérieur en utilisant le plasma comme le secondaire d'un transformateur). On obtient ainsi la configuration magnétique "Tokamak".

a) Calculer ${B_\theta }$ en fonction de $r$ et de la quantité : $I\left( r \right) = \int_0^r {2\pi \rho {j_\phi }\left( \rho  \right)d\rho } $.

b) Montrer qu'une ligne du champ $\vec B = {\vec B_\phi } + {\vec B_\theta }$ s'enroule autour d'un tore de rayon moyen $R$ et de rayon de cercle méridien $r$. On appelle surfaces magnétiques ces tores emboîtés les uns dans les autres et sur lesquels s'enroulent les lignes de champ. En se limitant au cas $r <  < R$, établir que, sur une surface magnétique, l'équation d'une ligne de champ obéit à une équation de la forme : $\frac{d}{{d\theta }} = q\left( r \right)$ [3]. En utilisant ${B_0}$, $I\left( r \right)$ et la variable $r/R$, déterminer la fonction $q\left( r \right)$ de façon approchée en négligeant les termes d'ordre 2 en $r/R$. Quelle est la signification géométrique du facteur $q\left( r \right)$ ?

Application numérique : on réalise expérimentalement $q\left( 0 \right) = 1$ ; en déduire ${j_\phi }\left( 0 \right)$, en reprenant les valeurs données dans la question VIII.

c) Décrire le mouvement d'une particule chargée dans cette configuration magnétique et mettre en évidence que l'effet de dérive observé précédemment est ici compensé exactement entre les portions de trajectoire du centre guide, situées de part et d'autre du plan équatorial du tore. Ceci est valable pour les particules qu'on appelle "circulantes", qui suivent dans leur mouvement une ligne de champ.

d) Etablir que 1e long d'une ligne de champ le module du champ magnétique oscille entre deux valeurs extrêmes (on se contentera d'un développement limité à l'ordre 1 en $r/R$). En déduire l'existence d'une autre classe de particules appelées particules "piégées".

e) Quel est l'effet de dérive pour ce type de particules ?

f) Conclure quant à la qualité de la configuration Tokamak utilisée pour confiner des particules chargées en mouvement. (On notera que l'étude simplifiée menée jusqu'ici concernait les mouvements individuels et sans collisions des particules mais qu'en réalité il faut tenir compte de mouvements collectifs dépendant des collisions, de phénomènes de pression, d'instabilités électromagnétiques qui apportent des limites et des correctifs à cette première étude)

**** FIN ****

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[2] Lire ${\dot v_x},{v_x},{\dot v_y},{v_y}$.

[3] Lire $\frac{{d\phi }}{{d\theta }} = q\left( r \right)$

Concours Physique ENSI Chimie Sud 1985 (Corrigé)

I.

1° Soit ${\vec \sigma _{tige}}$ le moment cinétique en O de la tige : $\frac{{d{{\vec \sigma }_{tige}}}}{{dt}} = \overrightarrow {OM}  \wedge  - m\vec R$. La tige ayant une masse négligeable, ce moment cinétique est négligeable, donc $\vec R$ est parallèle à $\overrightarrow {OM} $.

2° Le moment cinétique en O du mobile est $\vec \sigma  = \overrightarrow {OM}  \wedge m\vec v = \left( \begin{array}{l}r\\0\\z\end{array} \right) \wedge m\left( \begin{array}{l}{\dot r}\\r\dot \phi \\{\dot z}\end{array} \right) \Rightarrow {\sigma _z} = m{r^2}\dot \phi $.

3° D’après le théorème du moment cinétique, $\frac{{d\vec \sigma }}{{dt}} = \overrightarrow {OM}  \wedge (m\vec g + m\vec R) = \overrightarrow {OM}  \wedge m\vec g \Rightarrow \frac{{d{\sigma _z}}}{{dt}} = 0$. Donc  ${r^2}\dot \phi  = C$ reste constant au cours du temps.

Dans la suite, nous supposerons cette constante non nulle, ce qui interdit à $r$ de s’annuler et à $z$ d’atteindre les valeurs extrêmes à priori possibles, $ - a$ et $a$. Cela implique aussi que $\dot \phi $, ne pouvant s’annuler, garde un signe constant, donc que le mobile tourne toujours dans le même sens autour de Oz. L’énoncé ne fait pas cette hypothèse, en III 2° il suppose ${\dot \phi _0} \ge 0$, ce qui rend la discussion plus compliquée.

II.

1° ${E_c} = {\textstyle{1 \over 2}}m({\dot r^2} + {r^2}{\dot \phi ^2} + {\dot z^2})$.

2° ${E_p} = mgz$.

3° ${E_m} = {E_c} + {E_p}$ reste constant au cours du temps.

4° ${E_m} = {\textstyle{1 \over 2}}m({\dot r^2} + {r^2}{\dot \phi ^2} + {\dot z^2}) + mgz = {\textstyle{1 \over 2}}mK \Rightarrow K = {\dot r^2} + \frac{{{C^2}}}{{{r^2}}} + {\dot z^2} + 2gz$.

5°

 $\begin{array}{l}{r^2} + {z^2} = {a^2} \Rightarrow 2r\dot r + 2z\dot z = 0 \Rightarrow {{\dot r}^2} = \frac{{{z^2}{{\dot z}^2}}}{{{r^2}}}\\K = \frac{{{z^2}{{\dot z}^2}}}{{{r^2}}} + \frac{{{C^2}}}{{{r^2}}} + {{\dot z}^2} + 2gz = \frac{{{a^2}{{\dot z}^2} + {C^2}}}{{{a^2} - {z^2}}} + 2gz\end{array}$

6° En isolant ${a^2}{\dot z^2}$, on obtient ${a^2}{\dot z^2} = ({a^2} - {z^2})(K - 2gz) - {C^2} = P(z)$

7° Pour déterminer les racines de $P(z) = 0$, cherchons les informations dont nous disposons sur le signe de $P(z)$ :

·         $P(z)$ de degré 3 a au plus trois zéros

·         ${\lim _{z \to \infty }}P(z) =  + \infty $

·         $P(a) =  - {C^2} < 0$

·         au cours du mouvement ${a^2}{\dot z^2} \ge 0$, donc il existe un domaine de $z$ situé dans $ - a < z < a$ pour lequel $P(z) \ge 0$

·         $P( - a) =  - {C^2} < 0$.

Il n’y a que deux formes possibles du graphe de $P(z)$ compatibles avec ces faits :

Le graphe de droite est le cas général : $P(z)$ possède trois zéros, deux compris entre $ - a$ et $a$, qu’on appellera ${z_0}$ et ${z_1}$ , et un supérieur à $a$, qu’on appellera ${z_2}$. Le graphe de gauche correspond au cas particulier où il y a une racine double ; le mouvement est alors circulaire horizontal.

Il ne faut pas répondre que, puisque $P(z)$ est de degré impair, il a au moins un zéro, car ce zéro est ${z_2}$, alors que dans la suite on considère que c’est ${z_0}$.

III.

1°  Si $\dot z = 0$, $\dot r =  - \frac{{z\dot z}}{r} = 0$, tandis que $r\dot \phi  \ne 0$ : la vitesse, qui est orthoradiale, et la trajectoire sont tangentes à un cercle $z = cste$.

2° $C = r_0^2{\dot \phi _0}\quad K = r_0^2\dot \phi _0^2 + 2g{z_0}$.

3°

 $\begin{array}{l}P(z) = ({a^2} - {z^2})(r_0^2\dot \phi _0^2 + 2g{z_0} - 2gz) - r_0^4\dot \phi _0^2 = ({a^2} - {z^2} - r_0^2)r_0^2\dot \phi _0^2 + ({a^2} - {z^2})(2g{z_0} - 2gz)\\ = (z_0^2 - {z^2})r_0^2\dot \phi _0^2 + 2g({a^2} - {z^2})({z_0} - z) = ({z_0} - z)Q(z)\\Q(z) = 2g({a^2} - {z^2}) + (z + {z_0})r_0^2\dot \phi _0^2\end{array}$

4° Comme ${z_0} < a$, $Q( - a) = r_0^2\dot \phi _0^2({z_0} - a) < 0$ ; comme $ - a < {z_0}$, $Q(a) = r_0^2\dot \phi _0^2({z_0} + a) > 0$ ; $Q(z)$ étant un polynôme du second degré,  il a une racine et une seule dans l’intervalle $ - a,a$.

5° Comme ${a^2}{\dot z^2} \ge 0$, le raisonnement de II 7° montre que $z$ reste entre ${z_0}$ et ${z_1}$. En $z = {z_1}$, $Q({z_1}) = 2g({a^2} - z_1^2) + ({z_1} + {z_0})r_0^2\dot \phi _0^2 = 0 \Rightarrow \dot \phi _0^2 = \frac{{ - 2g({a^2} - z_1^2)}}{{({z_1} + {z_0})({a^2} - z_0^2)}} > 0 \Rightarrow {z_1} + {z_0} < 0$

6° Factorisons ${z_1} - z$ dans Q(z) :

$\begin{array}{l}Q(z) = 2g({a^2} - {z^2}) + (z + {z_0})\frac{{ - 2g({a^2} - z_1^2)}}{{({z_0} + {z_1})}} = \frac{{2g[({a^2} - {z^2})({z_0} + {z_1}) - (z + {z_0})({a^2} - z_1^2)]}}{{{z_0} + {z_1}}}\\ = \frac{{2g[{a^2}({z_1} - z) - {z^2}{z_1} - {z^2}{z_0} + z_1^2z + z_1^2{z_0}]}}{{{z_0} + {z_1}}} = \frac{{2g[{a^2}({z_1} - z) + z{z_1}({z_1} - z) + {z_0}(z_1^2 - {z^2})]}}{{{z_0} + {z_1}}}\\ = \frac{{2g({z_1} - z)[{a^2} + z{z_1} + {z_0}(z + {z_1})]}}{{{z_0} + {z_1}}} = 2g({z_1} - z)\left( {z + \frac{{{a^2} + {z_0}{z_1}}}{{{z_0} + {z_1}}}} \right) = 2g({z_1} - z)(z - {z_2})\\{z_2} =  - \frac{{{a^2} + {z_0}{z_1}}}{{{z_0} + {z_1}}}\end{array}$

Autre méthode :
${z_1}$ et ${z_2}$ sont les racines de $Q(z) = 2g({a^2} - {z^2}) + (z + {z_0})r_0^2\dot \phi _0^2 = 0$, où d’après 5° $r_0^2\dot \phi _0^2 = \frac{{ - 2g({a^2} - z_1^2)}}{{({z_1} + {z_0})}}$ ; ils sont donc les racines de :

 $\begin{array}{l}Q(z) = 2g({a^2} - {z^2}) - (z + {z_0})\frac{{2g({a^2} - z_1^2)}}{{({z_1} + {z_0})}} = 0\\{z^2} + \frac{{{a^2} - z_1^2}}{{{z_1} + {z_0}}}z - {a^2} + \frac{{{a^2} - z_1^2}}{{{z_1} + {z_0}}}{z_0} = 0\end{array}$

En utilisant la somme (on peut aussi utiliser le produit) des racines de cette équation du second degré :

${z_1} + {z_2} =  - \frac{{{a^2} - z_1^2}}{{{z_1} + {z_0}}} \Rightarrow {z_2} =  - \frac{{{a^2} + {z_1}{z_0}}}{{{z_1} + {z_0}}}$

7° Pour que la trajectoire soit circulaire, il faut que ${z_1} = {z_0}$, soit d’après III 5° $\dot \phi _0^2 = \frac{{ - 2g({a^2} - z_1^2)}}{{({z_1} + {z_0})({a^2} - z_0^2)}} =  - \frac{g}{{{z_0}}} \Rightarrow {v_{0C}} = \sqrt {\frac{{g(z_0^2 - {a^2})}}{{{z_0}}}} $

Pour que le point atteigne le plan de l'équateur, il faut que ${z_1} > 0$ ; or ${z_1}$ est racine de $Q(z) = 0$, $Q( - a) < 0$ et $Q(a) > 0$ ; donc la condition est :

$\begin{array}{l}Q(0) < 0\\2g{a^2} + {z_0}r_0^2\dot \phi _0^2 < 0\\v_0^2 = r_0^2\dot \phi _0^2 >  - \frac{{2g{a^2}}}{{{z_0}}}\\{v_0} > {v_{OE}} = \sqrt { - \frac{{2g{a^2}}}{{{z_0}}}} \end{array}$

8° On peut imaginer la projection de la trajectoire sur le plan horizontal comme formée de parties tangentes aux cercles de rayons les valeurs extrêmes de $r$, soit ${r_0}$, ${r_1}$ et éventuellement $a$.

          

       

Un calcul précis (voir annexe) pour ${z_0} =  - \sqrt 3 a/2$ donne les courbes suivantes, où les distances sont graduées en unités de $r/a$ :

On voit qu’un feston correspond à plus d’un demi tour et que la trajectoire n’est pas fermée.

IV.

1° ${a^2}{\dot z^2} = P(z) \Rightarrow a\frac{{dz}}{{dt}} =  \pm \sqrt {P(z)} \quad dt =  \pm \frac{{adz}}{{\sqrt {P(z)} }}$.

2° ${r^2}\dot \phi  = C\quad d\phi  = \frac{{Cdt}}{{{r^2}}} =  \pm \frac{{aCdz}}{{({a^2} - {z^2})\sqrt {P(z)} }}$

3° $\frac{T}{2} = \left| {\int\limits_{{z_0}}^{{z_1}} {\frac{{adz}}{{\sqrt {P(z)} }}} } \right|$ ; $\frac{\Phi }{2} = \left| {\int\limits_{{z_0}}^{{z_1}} {\frac{{aCdz}}{{({a^2} - {z^2})\sqrt {P(z)} }}} } \right|$.

N.B. Il faut prendre la valeur absolue de l’intégrale, car on ne sait pas si ${z_0}$ est inférieur ou supérieur à ${z_1}$.

V.

1°

 $\begin{array}{l}z - {z_2} = \frac{{{a^2} + z{z_1} + {z_0}(z + {z_1})}}{{{z_0} + {z_1}}} = \frac{{{a^2} + ( - a + u)( - 2a + {u_0} + {u_1}) + ( - a + {u_0})( - a + {u_1})}}{{ - 2a + {u_0} + {u_1}}}\\ = \frac{{4{a^2} - 2a(u + {u_0} + {u_1}) + O({u^2})}}{{ - 2a + {u_0} + {u_1}}} = 2a\frac{{1 - \frac{{u + {u_0} + {u_1}}}{{2a}} + O({u^2})}}{{1 - \frac{{{u_0} + {u_1}}}{{2a}}}} \approx 2a(1 - u/2a + O({u^2}))\\{(z - {z_2})^{ - 1/2}} = \frac{1}{{\sqrt {2a} }}(1 + u/4a + O({u^2}))\\k = \frac{1}{{\sqrt {2a} }}\quad l = \frac{1}{{4a\sqrt {2a} }}\end{array}$

 2°

$\begin{array}{l}\frac{1}{{{r^2}}} = \frac{1}{{{a^2} - {z^2}}} = \frac{1}{{{a^2} - {{( - a + u)}^2}}} = \frac{1}{{2au - {u^2}}} = \frac{1}{{2au}}{(1 - u/2a)^{ - 1}} = \frac{1}{{2au}}(1 + u/2a + O({u^2}))\\m = \frac{1}{{2a}}\quad n = \frac{1}{{4{a^2}}}\end{array}$

3°

 $\begin{array}{l}{({z_2} - z)^{ - 1/2}} \times {r^{ - 2}} = \frac{1}{{\sqrt {2a} }}(1 + u/4a + O({u^2}))\frac{1}{{2au}}(1 + u/2a + O({u^2})) = \frac{{1 + 3u/4a + O({u^2})}}{{{{(2a)}^{3/2}}u}}\\p = \frac{1}{{{{(2a)}^{3/2}}}}\quad q = \frac{3}{{2{{(2a)}^{5/2}}}}\end{array}$.

4°

$\begin{array}{l}\frac{T}{2} = \left| {\int\limits_{{z_0}}^{{z_1}} {\frac{{adz}}{{\sqrt {({z_0} - z)2g(z - {z_1})(z - {z_2})} }}} } \right| = \frac{a}{{\sqrt {2g} }}\left| {\int\limits_{{u_0}}^{{u_1}} {\left[ {\frac{{du}}{{\sqrt {(u - {u_0})({u_1} - u)} }}\frac{1}{{\sqrt {2a} }}(1 + u/4a + O({u^2}))} \right]} } \right|\\T = \sqrt {\frac{a}{g}} \left| {\int\limits_{{u_0}}^{{u_1}} {\frac{{(1 + u/4a + O({u^2}))du}}{{\sqrt {(u - {u_0})({u_1} - u)} }}} } \right|\end{array}$

5°

$\begin{array}{l}{C^2} = r_0^4{{\dot \phi }^2} = ({a^2} - z_0^2) \times  - \frac{{2g({a^2} - z_1^2)}}{{{z_0} + {z_1}}} = \frac{{2g(2a{u_0} - u_0^2)(2a{u_1} - u_1^2)}}{{2a - {u_0} - {u_1}}} = 4ag{u_0}{u_1}\frac{{(1 - {u_0}/2)(1 - {u_1}/2)}}{{(1 - {u_0}/2 - {u_1}/2)}}\\{C^2} = 4ag{u_0}{u_1} + O({u^4})\quad C = \sqrt {4ag{u_0}{u_1}} (1 + O({u^2}))\end{array}$

6° L’intégrant de $\Phi $ est celui  de $T$ multiplié par $\frac{C}{{{a^2} - {z^2}}} = \frac{C}{{2au - {u^2}}} = \sqrt {\frac{g}{a}} \frac{{\sqrt {{u_0}{u_1}} }}{u}(1 + \frac{u}{{2a}} + O({u^2}))$.

$\Phi  = \left| {\int\limits_{{u_0}}^{{u_1}} {\frac{{\sqrt {{u_0}{u_1}} }}{u}(1 + \frac{u}{{2a}} + O({u^2}))\frac{{(1 + u/4a + O({u^2}))du}}{{\sqrt {(u - {u_0})({u_1} - u)} }}} } \right| = \sqrt {{u_0}{u_1}} \left| {\int\limits_{{u_0}}^{{u_1}} {\frac{1}{u}\frac{{(1 + 3u/4a + O({u^2}))du}}{{\sqrt {(u - {u_0})({u_1} - u)} }}} } \right|$

VI.

1° Comme : ${I_n} = \int_{{u_0}}^{{u_1}} {\frac{{{u^n}du}}{{\sqrt {(u - {u_0})({u_1} - u)} }}} $ où : ${I_{ - 1}} = \frac{\pi }{{\sqrt {{u_0}{u_1}} }}\;;\quad {I_0} = \pi \;;\quad {I_1} = \frac{{({u_0} + {u_1})\pi }}{2}$

$\begin{array}{l}T = \sqrt {\frac{a}{g}} ({I_0} + {I_1}/4a) = \pi \sqrt {\frac{a}{g}} \left( {1 + \frac{{{u_0} + {u_1}}}{{8{a_{}}}}} \right)\\\Phi  = \sqrt {{u_0}{u_1}} ({I_{ - 1}} + 3{I_0}/4a) = \pi  + \frac{{3\pi \sqrt {{u_0}{u_1}} }}{{4a}}\end{array}$

2° $\Delta \Phi  = \frac{{3\pi \sqrt {{u_0}{u_1}} }}{{4a}}$.

3° Nature de la trajectoire.

D’après la loi fondamentale de la dynamique,$m\vec R + m\vec g = m\vec a$ ou :
$\begin{array}{l}m\ddot x = m{R_x}\\m\ddot y = m{R_y}\\m\ddot z = m{R_z} - mg\end{array}$

Comme $m\vec R$ est parallèle au rayon vecteur, $\frac{{{R_x}}}{x} = \frac{{{R_y}}}{y} = \frac{{{R_z}}}{z}$.

En outre, ${x^2} + {y^2} + {z^2} = {a^2}$.

Pour les petites oscillations, en développant ces équations jusqu’à l’ordre 1 en $x,y$, on obtient :

$\begin{array}{l}z \approx  - a\quad m{R_z} \approx mg\quad m{R_x} \approx  - \frac{{mgx}}{a}\quad m{R_y} \approx  - \frac{{mgy}}{a}\\\ddot x + \frac{{gx}}{a} = 0\quad \ddot y + \frac{{gy}}{a} = 0\\\omega  = \sqrt {\frac{g}{a}} \quad x = {X_m}\cos (\omega t + \phi )\quad y = {Y_m}\cos (\omega t + \phi ')\end{array}$

A cet ordre, la projection de la trajectoire sur le plan horizontal est une ellipse fixe parcourue avec la période $2\pi \sqrt {a/g} $.

Lente rotation de cette ellipse.

Si on pousse les calculs à l’ordre suivant, l’ellipse tourne lentement :$\frac{{\Delta \Phi }}{T} \approx \frac{3}{4}\sqrt {\frac{{{u_0}{u_1}g}}{{{a^3}}}} $.
Pour des festons proches du fond de la cuvette ${u_0} = a - {z_0} = a - \sqrt {{a^2} - r_0^2}  = a - a{\left( {1 - \frac{{r_0^2}}{{{a^2}}}} \right)^{1/2}} \approx a - a\left( {1 - \frac{{r_0^2}}{{2{a^2}}}} \right) = \frac{{r_0^2}}{{2a}}$ et ${u_1} \approx \frac{{r_1^2}}{{2a}}$, donc $\frac{{\Delta \Phi }}{T} \approx \frac{{3{r_0}{r_1}g}}{{8{a^{5/2}}}}$. Pour réussir de façon convaincante l’expérience du pendule de Foucault, il faudrait que ce terme soit petit devant $\omega \sin \lambda  = 11^\circ /h$.

4° Si ${r_1} \to 0$, on remarque que $\Delta \Phi  \to 0$ et surtout que$T \to \pi \sqrt {\frac{a}{g}} \left( {1 + \frac{{{u_0}}}{{8{a_{}}}}} \right)$. Or ${u_0} = a - {z_0} = a - \sqrt {{a^2} - r_0^2}  = a - a{\left( {1 - \frac{{r_0^2}}{{{a^2}}}} \right)^{1/2}} \approx a - a\left( {1 - \frac{{r_0^2}}{{2{a^2}}}} \right) = \frac{{r_0^2}}{{2a}}$. D’où $T \approx \pi \sqrt {\frac{a}{g}} \left( {1 + \frac{{r_0^2}}{{16{a^2}}}} \right)$. On retrouve la formule de Borda $T' \approx 2\pi \sqrt {\frac{a}{g}} \left( {1 + \frac{{\theta _m^2}}{{16}}} \right)$ car ${r_0}/a = \sin {\theta _m}$ est voisin de l’amplitude angulaire ${\theta _m}$ du pendule et une période du pendule correspond à deux festons : $T' = 2T$.

Annexe 1 : tracé numérique des trajectoires.

Pour calculer numériquement les projections sur l’horizontale des trajectoires, il est malaisé d’utiliser les équations différentielles de l’énoncé, car elles comportent des racines carrées. Il est préférable d’opérer comme suit.

Exprimons la conservation du moment cinétique :${r^2}\dot \phi  = {r_0}{v_0} \Rightarrow \dot \phi  = \frac{{{r_0}{v_0}}}{{{a^2} - {z^2}}} = {\dot \phi _0}\frac{{{a^2} - z_0^2}}{{{a^2} - {z^2}}}$.

En utilisant ${r^2} + {z^2} = {a^2} \Rightarrow r\dot r + z\dot z = 0$, exprimons le carré de la vitesse :
${v^2} = {\dot r^2} + {r^2}{\dot \phi ^2} + {\dot z^2} = \frac{{{z^2}{{\dot z}^2}}}{{{r^2}}} + \frac{{r_0^2v_0^2}}{{{r^2}}} + {\dot z^2} = \frac{{{a^2}{{\dot z}^2} + r_0^2v_0^2}}{{{a^2} - {z^2}}}$

Exprimons la conservation de l’énergie, ce qui donne le résultat de II 6° :
$\begin{array}{l}E = {\textstyle{1 \over 2}}mv_0^2 + mg{z_0} = {\textstyle{1 \over 2}}m\frac{{{a^2}{{\dot z}^2} + r_0^2v_0^2}}{{{a^2} - {z^2}}} + mgz\\{a^2}{{\dot z}^2} = (v_0^2 + 2g{z_0} - 2gz)({a^2} - {z^2}) - r_0^2v_0^2\end{array}$

Dérivons par rapport au temps et éliminons la solution parasite $\dot z = 0$ :
$\begin{array}{l}2{a^2}\dot z\ddot z =  - 2(v_0^2 + 2g{z_0})z\dot z - 2g{a^2}\dot z + 6g{z^2}\dot z\\{a^2}\ddot z =  - (v_0^2 + 2g{z_0})z - g{a^2} + 3g{z^2}\\v_0^2 = ({a^2} - z_0^2)\dot \phi _0^2\end{array}$

D’où le système différentiel en $\phi (t),z(t)$ :

$\left\{ \begin{array}{l}\ddot z = \frac{{g(3{z^2} - 2{z_0}z - {a^2}) - ({a^2} - z_0^2)\dot \phi _0^2z}}{{{a^2}}}\\\dot \phi  = {{\dot \phi }_0}\frac{{{a^2} - z_0^2}}{{{a^2} - {z^2}}}\end{array} \right.$

qu’on résout numériquement et dont on trace les courbes en coordonnées polaires $\sqrt {{a^2} - {z^2}} ,\phi $, soit en langage maple :

> a:=1:g:=1:

graphe:=proc(z0,derphi0,duree,couleur)

local K,eq1,eq2,ci,sol,phi,z:

global a,g:

eq1:=diff(z(t),t,t)=g*((3*z(t)^2-2*z(t)*z0)/a^2-1)-(1-z0^2/a^2)*derphi0^2*z(t);

eq2:=diff(phi(t),t)=derphi0*(a^2-z0^2)/(a^2-z(t)^2);

ci:=z(0)=z0,D(z)(0)=0,phi(0)=0;

sol:=dsolve({eq1,eq2,ci},{z(t),phi(t)},numeric);

plots[odeplot](sol,[sqrt(a^2-z(t)^2)*cos(phi(t)),sqrt(a^2-z(t)^2)*sin(phi(t))],0..duree,numpoints=200,color=couleur);

end:

> zi:=-evalf(sqrt(3)/2):derphi0C:=sqrt(-g/zi);derphi0E:=sqrt(-2*g*a^2/zi/(a^2-zi^2));

> liste:=[0.7,0.85,1,1.2,1.4]:

couleurgraphe:=proc(i);

if i<3 then green elif i=3 then blue else red fi

end:

> plots[display]({seq(graphe(zi,derphi0C*liste[i],5.7,couleurgraphe(i)),i=1..5)},scaling=constrained);

> plots[display]({seq(graphe(zi,derphi0E*liste[i],5,couleurgraphe(i)),i=1..5),plots[polarplot](1,color=black,linestyle=3)},scaling=constrained);

> plots[display]({graphe(zi,derphi0C*0.7,5.7,black),graphe(zi,derphi0C*1.4,5.7,black)},scaling=constrained);

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Annexe 2 : dessins vectoriels utilisés.