I.
1° Soit →σtige le moment cinétique en O de la tige : d→σtigedt=→OM∧−m→R. La tige ayant une masse
négligeable, ce moment cinétique est négligeable, donc →R est parallèle à →OM.
2° Le moment cinétique en O du mobile est →σ=→OM∧m→v=(r0z)∧m(˙rr˙ϕ˙z)⇒σz=mr2˙ϕ.
3° D’après le théorème du moment cinétique, d→σdt=→OM∧(m→g+m→R)=→OM∧m→g⇒dσzdt=0. Donc r2˙ϕ=C reste constant au cours
du temps.
Dans la suite, nous supposerons cette constante non nulle, ce
qui interdit à r de s’annuler et à z d’atteindre les valeurs extrêmes à priori
possibles, −a et a. Cela implique aussi que ˙ϕ, ne pouvant s’annuler, garde un
signe constant, donc que le mobile tourne toujours dans le même sens autour de
Oz. L’énoncé ne fait pas cette hypothèse, en III 2° il suppose ˙ϕ0≥0, ce qui rend la discussion
plus compliquée.
II.
1° Ec=12m(˙r2+r2˙ϕ2+˙z2).
2° Ep=mgz.
3° Em=Ec+Ep
reste constant au cours du temps.
4° Em=12m(˙r2+r2˙ϕ2+˙z2)+mgz=12mK⇒K=˙r2+C2r2+˙z2+2gz.
5°
r2+z2=a2⇒2r˙r+2z˙z=0⇒˙r2=z2˙z2r2K=z2˙z2r2+C2r2+˙z2+2gz=a2˙z2+C2a2−z2+2gz
6° En isolant a2˙z2, on obtient a2˙z2=(a2−z2)(K−2gz)−C2=P(z)
7° Pour déterminer les racines de P(z)=0, cherchons les informations dont
nous disposons sur le signe de P(z) :
·
P(z) de
degré 3 a au plus trois zéros
·
limz→∞P(z)=+∞
·
P(a)=−C2<0
·
au cours du mouvement a2˙z2≥0, donc il existe un
domaine de z situé dans −a<z<a pour lequel P(z)≥0
·
P(−a)=−C2<0.
Il n’y a que deux formes possibles du graphe de P(z) compatibles avec ces faits :
Le graphe de droite est le cas général : P(z) possède trois zéros, deux compris entre
−a et a, qu’on appellera z0 et z1
, et un supérieur à a, qu’on appellera
z2. Le graphe de gauche correspond
au cas particulier où il y a une racine double ; le mouvement est alors
circulaire horizontal.
Il ne faut pas répondre que, puisque P(z) est de degré impair, il a au moins un
zéro, car ce zéro est z2, alors que
dans la suite on considère que c’est z0.
III.
1° Si ˙z=0, ˙r=−z˙zr=0,
tandis que r˙ϕ≠0 : la vitesse, qui est
orthoradiale, et la trajectoire sont tangentes à un cercle z=cste.
2° C=r20˙ϕ0K=r20˙ϕ20+2gz0.
3°
P(z)=(a2−z2)(r20˙ϕ20+2gz0−2gz)−r40˙ϕ20=(a2−z2−r20)r20˙ϕ20+(a2−z2)(2gz0−2gz)=(z20−z2)r20˙ϕ20+2g(a2−z2)(z0−z)=(z0−z)Q(z)Q(z)=2g(a2−z2)+(z+z0)r20˙ϕ20
4° Comme z0<a,
Q(−a)=r20˙ϕ20(z0−a)<0 ; comme −a<z0,
Q(a)=r20˙ϕ20(z0+a)>0 ;
Q(z) étant un polynôme du second
degré, il a une racine et une
seule dans l’intervalle −a,a.
5° Comme a2˙z2≥0, le raisonnement de II 7° montre que z reste entre z0 et z1.
En z=z1, Q(z1)=2g(a2−z21)+(z1+z0)r20˙ϕ20=0⇒˙ϕ20=−2g(a2−z21)(z1+z0)(a2−z20)>0⇒z1+z0<0
6° Factorisons z1−z
dans Q(z) :
Q(z)=2g(a2−z2)+(z+z0)−2g(a2−z21)(z0+z1)=2g[(a2−z2)(z0+z1)−(z+z0)(a2−z21)]z0+z1=2g[a2(z1−z)−z2z1−z2z0+z21z+z21z0]z0+z1=2g[a2(z1−z)+zz1(z1−z)+z0(z21−z2)]z0+z1=2g(z1−z)[a2+zz1+z0(z+z1)]z0+z1=2g(z1−z)(z+a2+z0z1z0+z1)=2g(z1−z)(z−z2)z2=−a2+z0z1z0+z1
Autre méthode :
z1 et z2 sont les racines de Q(z)=2g(a2−z2)+(z+z0)r20˙ϕ20=0, où d’après 5° r20˙ϕ20=−2g(a2−z21)(z1+z0) ; ils sont donc les racines de :
z1 et z2 sont les racines de Q(z)=2g(a2−z2)+(z+z0)r20˙ϕ20=0, où d’après 5° r20˙ϕ20=−2g(a2−z21)(z1+z0) ; ils sont donc les racines de :
Q(z)=2g(a2−z2)−(z+z0)2g(a2−z21)(z1+z0)=0z2+a2−z21z1+z0z−a2+a2−z21z1+z0z0=0
En utilisant la somme (on peut aussi utiliser le produit) des
racines de cette équation du second degré :
z1+z2=−a2−z21z1+z0⇒z2=−a2+z1z0z1+z0
7° Pour que la trajectoire soit circulaire, il faut que z1=z0, soit d’après III 5° ˙ϕ20=−2g(a2−z21)(z1+z0)(a2−z20)=−gz0⇒v0C=√g(z20−a2)z0
Pour que le point atteigne le plan de l'équateur, il faut que z1>0 ; or z1 est racine de Q(z)=0, Q(−a)<0 et Q(a)>0 ;
donc la condition est :
Q(0)<02ga2+z0r20˙ϕ20<0v20=r20˙ϕ20>−2ga2z0v0>vOE=√−2ga2z0
8° On peut imaginer la projection de la trajectoire sur
le plan horizontal comme formée de parties tangentes aux cercles de rayons les
valeurs extrêmes de r, soit r0, r1
et éventuellement a.
Un calcul précis (voir annexe) pour z0=−√3a/2 donne les courbes suivantes, où les distances sont graduées
en unités de r/a :
On voit qu’un feston correspond à plus d’un demi tour et que la
trajectoire n’est pas fermée.
IV.
1° a2˙z2=P(z)⇒adzdt=±√P(z)dt=±adz√P(z).
2° r2˙ϕ=Cdϕ=Cdtr2=±aCdz(a2−z2)√P(z)
3° T2=|z1∫z0adz√P(z)| ;
Φ2=|z1∫z0aCdz(a2−z2)√P(z)|.
N.B. Il faut prendre la valeur absolue de l’intégrale, car on ne
sait pas si z0 est inférieur ou
supérieur à z1.
V.
1°
z−z2=a2+zz1+z0(z+z1)z0+z1=a2+(−a+u)(−2a+u0+u1)+(−a+u0)(−a+u1)−2a+u0+u1=4a2−2a(u+u0+u1)+O(u2)−2a+u0+u1=2a1−u+u0+u12a+O(u2)1−u0+u12a≈2a(1−u/2a+O(u2))(z−z2)−1/2=1√2a(1+u/4a+O(u2))k=1√2al=14a√2a
2°
1r2=1a2−z2=1a2−(−a+u)2=12au−u2=12au(1−u/2a)−1=12au(1+u/2a+O(u2))m=12an=14a2
3°
(z2−z)−1/2×r−2=1√2a(1+u/4a+O(u2))12au(1+u/2a+O(u2))=1+3u/4a+O(u2)(2a)3/2up=1(2a)3/2q=32(2a)5/2.
4°
T2=|z1∫z0adz√(z0−z)2g(z−z1)(z−z2)|=a√2g|u1∫u0[du√(u−u0)(u1−u)1√2a(1+u/4a+O(u2))]|T=√ag|u1∫u0(1+u/4a+O(u2))du√(u−u0)(u1−u)|
5°
C2=r40˙ϕ2=(a2−z20)×−2g(a2−z21)z0+z1=2g(2au0−u20)(2au1−u21)2a−u0−u1=4agu0u1(1−u0/2)(1−u1/2)(1−u0/2−u1/2)C2=4agu0u1+O(u4)C=√4agu0u1(1+O(u2))
6° L’intégrant de Φ
est celui de T multiplié par Ca2−z2=C2au−u2=√ga√u0u1u(1+u2a+O(u2)).
Φ=|u1∫u0√u0u1u(1+u2a+O(u2))(1+u/4a+O(u2))du√(u−u0)(u1−u)|=√u0u1|u1∫u01u(1+3u/4a+O(u2))du√(u−u0)(u1−u)|
VI.
1° Comme : In=∫u1u0undu√(u−u0)(u1−u)
où : I−1=π√u0u1;I0=π;I1=(u0+u1)π2
T=√ag(I0+I1/4a)=π√ag(1+u0+u18a)Φ=√u0u1(I−1+3I0/4a)=π+3π√u0u14a
2° ΔΦ=3π√u0u14a.
3° Nature de la trajectoire.
D’après la loi fondamentale de la dynamique,m→R+m→g=m→a ou :
m¨x=mRxm¨y=mRym¨z=mRz−mg
m¨x=mRxm¨y=mRym¨z=mRz−mg
Comme m→R est
parallèle au rayon vecteur, Rxx=Ryy=Rzz.
En outre, x2+y2+z2=a2.
Pour les petites oscillations, en développant ces équations
jusqu’à l’ordre 1 en x,y, on
obtient :
z≈−amRz≈mgmRx≈−mgxamRy≈−mgya¨x+gxa=0¨y+gya=0ω=√gax=Xmcos(ωt+ϕ)y=Ymcos(ωt+ϕ′)
A cet ordre, la projection de la trajectoire sur le plan
horizontal est une ellipse fixe parcourue avec la période 2π√a/g.
Lente rotation de cette ellipse.
Si on pousse les calculs à l’ordre suivant, l’ellipse tourne
lentement :ΔΦT≈34√u0u1ga3.
Pour des festons proches du fond de la cuvette u0=a−z0=a−√a2−r20=a−a(1−r20a2)1/2≈a−a(1−r202a2)=r202a et u1≈r212a, donc ΔΦT≈3r0r1g8a5/2. Pour réussir de façon convaincante l’expérience du pendule de Foucault, il faudrait que ce terme soit petit devant ωsinλ=11∘/h.
Pour des festons proches du fond de la cuvette u0=a−z0=a−√a2−r20=a−a(1−r20a2)1/2≈a−a(1−r202a2)=r202a et u1≈r212a, donc ΔΦT≈3r0r1g8a5/2. Pour réussir de façon convaincante l’expérience du pendule de Foucault, il faudrait que ce terme soit petit devant ωsinλ=11∘/h.
4° Si r1→0,
on remarque que ΔΦ→0 et surtout queT→π√ag(1+u08a). Or u0=a−z0=a−√a2−r20=a−a(1−r20a2)1/2≈a−a(1−r202a2)=r202a.
D’où T≈π√ag(1+r2016a2). On retrouve la formule de
Borda T′≈2π√ag(1+θ2m16) car r0/a=sinθm est voisin de
l’amplitude angulaire θm du
pendule et une période du pendule correspond à deux festons : T′=2T.
Annexe 1 : tracé numérique des trajectoires.
Pour calculer numériquement les projections sur l’horizontale
des trajectoires, il est malaisé d’utiliser les équations différentielles de
l’énoncé, car elles comportent des racines carrées. Il est préférable d’opérer
comme suit.
Exprimons la conservation du moment cinétique :r2˙ϕ=r0v0⇒˙ϕ=r0v0a2−z2=˙ϕ0a2−z20a2−z2.
En utilisant r2+z2=a2⇒r˙r+z˙z=0, exprimons le carré de la
vitesse :
v2=˙r2+r2˙ϕ2+˙z2=z2˙z2r2+r20v20r2+˙z2=a2˙z2+r20v20a2−z2
v2=˙r2+r2˙ϕ2+˙z2=z2˙z2r2+r20v20r2+˙z2=a2˙z2+r20v20a2−z2
Exprimons la conservation de l’énergie, ce qui donne le résultat
de II 6° :
E=12mv20+mgz0=12ma2˙z2+r20v20a2−z2+mgza2˙z2=(v20+2gz0−2gz)(a2−z2)−r20v20
E=12mv20+mgz0=12ma2˙z2+r20v20a2−z2+mgza2˙z2=(v20+2gz0−2gz)(a2−z2)−r20v20
Dérivons par rapport au temps et éliminons la solution parasite ˙z=0 :
2a2˙z¨z=−2(v20+2gz0)z˙z−2ga2˙z+6gz2˙za2¨z=−(v20+2gz0)z−ga2+3gz2v20=(a2−z20)˙ϕ20
2a2˙z¨z=−2(v20+2gz0)z˙z−2ga2˙z+6gz2˙za2¨z=−(v20+2gz0)z−ga2+3gz2v20=(a2−z20)˙ϕ20
D’où le système différentiel en ϕ(t),z(t) :
{¨z=g(3z2−2z0z−a2)−(a2−z20)˙ϕ20za2˙ϕ=˙ϕ0a2−z20a2−z2
qu’on résout numériquement et dont on
trace les courbes en coordonnées polaires √a2−z2,ϕ, soit en langage maple :
> a:=1:g:=1:
graphe:=proc(z0,derphi0,duree,couleur)
local
K,eq1,eq2,ci,sol,phi,z:
global
a,g:
eq1:=diff(z(t),t,t)=g*((3*z(t)^2-2*z(t)*z0)/a^2-1)-(1-z0^2/a^2)*derphi0^2*z(t);
eq2:=diff(phi(t),t)=derphi0*(a^2-z0^2)/(a^2-z(t)^2);
ci:=z(0)=z0,D(z)(0)=0,phi(0)=0;
sol:=dsolve({eq1,eq2,ci},{z(t),phi(t)},numeric);
plots[odeplot](sol,[sqrt(a^2-z(t)^2)*cos(phi(t)),sqrt(a^2-z(t)^2)*sin(phi(t))],0..duree,numpoints=200,color=couleur);
end:
> zi:=-evalf(sqrt(3)/2):derphi0C:=sqrt(-g/zi);derphi0E:=sqrt(-2*g*a^2/zi/(a^2-zi^2));
> liste:=[0.7,0.85,1,1.2,1.4]:
couleurgraphe:=proc(i);
if i<3 then green elif i=3 then blue else
red fi
end:
> plots[display]({seq(graphe(zi,derphi0C*liste[i],5.7,couleurgraphe(i)),i=1..5)},scaling=constrained);
> plots[display]({seq(graphe(zi,derphi0E*liste[i],5,couleurgraphe(i)),i=1..5),plots[polarplot](1,color=black,linestyle=3)},scaling=constrained);
> plots[display]({graphe(zi,derphi0C*0.7,5.7,black),graphe(zi,derphi0C*1.4,5.7,black)},scaling=constrained);
> plots[display]({graphe(zi,derphi0E*1.4,5.7,black),plots[polarplot](1,color=black,linestyle=3)},scaling=constrained);
>
Annexe 2 : dessins vectoriels utilisés.
Aucun commentaire:
Enregistrer un commentaire