Processing math: 100%

Recherche sur le blog!

Concours Physique ENSI Chimie Sud 1985 (Corrigé)

I.
Soit σtige le moment cinétique en O de la tige : dσtigedt=OMmR. La tige ayant une masse négligeable, ce moment cinétique est négligeable, donc R est parallèle à OM.
Le moment cinétique en O du mobile est σ=OMmv=(r0z)m(˙rr˙ϕ˙z)σz=mr2˙ϕ.
D’après le théorème du moment cinétique, dσdt=OM(mg+mR)=OMmgdσzdt=0. Donc  r2˙ϕ=C reste constant au cours du temps.
Dans la suite, nous supposerons cette constante non nulle, ce qui interdit à r de s’annuler et à z d’atteindre les valeurs extrêmes à priori possibles, a et a. Cela implique aussi que ˙ϕ, ne pouvant s’annuler, garde un signe constant, donc que le mobile tourne toujours dans le même sens autour de Oz. L’énoncé ne fait pas cette hypothèse, en III 2° il suppose ˙ϕ00, ce qui rend la discussion plus compliquée.


II.
Ec=12m(˙r2+r2˙ϕ2+˙z2).
Ep=mgz.
Em=Ec+Ep reste constant au cours du temps.
Em=12m(˙r2+r2˙ϕ2+˙z2)+mgz=12mKK=˙r2+C2r2+˙z2+2gz.
 r2+z2=a22r˙r+2z˙z=0˙r2=z2˙z2r2K=z2˙z2r2+C2r2+˙z2+2gz=a2˙z2+C2a2z2+2gz
En isolant a2˙z2, on obtient a2˙z2=(a2z2)(K2gz)C2=P(z)
Pour déterminer les racines de P(z)=0, cherchons les informations dont nous disposons sur le signe de P(z) :
·         P(z) de degré 3 a au plus trois zéros
·         limzP(z)=+
·         P(a)=C2<0
·         au cours du mouvement a2˙z20, donc il existe un domaine de z situé dans a<z<a pour lequel P(z)0
·         P(a)=C2<0.
Il n’y a que deux formes possibles du graphe de P(z) compatibles avec ces faits :

Le graphe de droite est le cas général : P(z) possède trois zéros, deux compris entre a et a, qu’on appellera z0 et z1 , et un supérieur à a, qu’on appellera z2. Le graphe de gauche correspond au cas particulier où il y a une racine double ; le mouvement est alors circulaire horizontal.
Il ne faut pas répondre que, puisque P(z) est de degré impair, il a au moins un zéro, car ce zéro est z2, alors que dans la suite on considère que c’est z0.


III.
1°  Si ˙z=0, ˙r=z˙zr=0, tandis que r˙ϕ0 : la vitesse, qui est orthoradiale, et la trajectoire sont tangentes à un cercle z=cste.
C=r20˙ϕ0K=r20˙ϕ20+2gz0.
 P(z)=(a2z2)(r20˙ϕ20+2gz02gz)r40˙ϕ20=(a2z2r20)r20˙ϕ20+(a2z2)(2gz02gz)=(z20z2)r20˙ϕ20+2g(a2z2)(z0z)=(z0z)Q(z)Q(z)=2g(a2z2)+(z+z0)r20˙ϕ20
Comme z0<a, Q(a)=r20˙ϕ20(z0a)<0 ; comme a<z0, Q(a)=r20˙ϕ20(z0+a)>0 ; Q(z) étant un polynôme du second degré,  il a une racine et une seule dans l’intervalle a,a.
Comme a2˙z20, le raisonnement de II 7° montre que z reste entre z0 et z1. En z=z1, Q(z1)=2g(a2z21)+(z1+z0)r20˙ϕ20=0˙ϕ20=2g(a2z21)(z1+z0)(a2z20)>0z1+z0<0
Factorisons z1z dans Q(z) :
Q(z)=2g(a2z2)+(z+z0)2g(a2z21)(z0+z1)=2g[(a2z2)(z0+z1)(z+z0)(a2z21)]z0+z1=2g[a2(z1z)z2z1z2z0+z21z+z21z0]z0+z1=2g[a2(z1z)+zz1(z1z)+z0(z21z2)]z0+z1=2g(z1z)[a2+zz1+z0(z+z1)]z0+z1=2g(z1z)(z+a2+z0z1z0+z1)=2g(z1z)(zz2)z2=a2+z0z1z0+z1
Autre méthode :
z1
et z2 sont les racines de Q(z)=2g(a2z2)+(z+z0)r20˙ϕ20=0, où d’après 5° r20˙ϕ20=2g(a2z21)(z1+z0) ; ils sont donc les racines de :
 Q(z)=2g(a2z2)(z+z0)2g(a2z21)(z1+z0)=0z2+a2z21z1+z0za2+a2z21z1+z0z0=0
En utilisant la somme (on peut aussi utiliser le produit) des racines de cette équation du second degré :
z1+z2=a2z21z1+z0z2=a2+z1z0z1+z0
Pour que la trajectoire soit circulaire, il faut que z1=z0, soit d’après III 5° ˙ϕ20=2g(a2z21)(z1+z0)(a2z20)=gz0v0C=g(z20a2)z0
Pour que le point atteigne le plan de l'équateur, il faut que z1>0 ; or z1 est racine de Q(z)=0, Q(a)<0 et Q(a)>0 ; donc la condition est :
Q(0)<02ga2+z0r20˙ϕ20<0v20=r20˙ϕ20>2ga2z0v0>vOE=2ga2z0
On peut imaginer la projection de la trajectoire sur le plan horizontal comme formée de parties tangentes aux cercles de rayons les valeurs extrêmes de r, soit r0, r1 et éventuellement a.
          
       
Un calcul précis (voir annexe) pour z0=3a/2 donne les courbes suivantes, où les distances sont graduées en unités de r/a :

On voit qu’un feston correspond à plus d’un demi tour et que la trajectoire n’est pas fermée.


IV.
a2˙z2=P(z)adzdt=±P(z)dt=±adzP(z).
r2˙ϕ=Cdϕ=Cdtr2=±aCdz(a2z2)P(z)
T2=|z1z0adzP(z)| ; Φ2=|z1z0aCdz(a2z2)P(z)|.
N.B. Il faut prendre la valeur absolue de l’intégrale, car on ne sait pas si z0 est inférieur ou supérieur à z1.
V.
 zz2=a2+zz1+z0(z+z1)z0+z1=a2+(a+u)(2a+u0+u1)+(a+u0)(a+u1)2a+u0+u1=4a22a(u+u0+u1)+O(u2)2a+u0+u1=2a1u+u0+u12a+O(u2)1u0+u12a2a(1u/2a+O(u2))(zz2)1/2=12a(1+u/4a+O(u2))k=12al=14a2a
 
1r2=1a2z2=1a2(a+u)2=12auu2=12au(1u/2a)1=12au(1+u/2a+O(u2))m=12an=14a2
 (z2z)1/2×r2=12a(1+u/4a+O(u2))12au(1+u/2a+O(u2))=1+3u/4a+O(u2)(2a)3/2up=1(2a)3/2q=32(2a)5/2.
T2=|z1z0adz(z0z)2g(zz1)(zz2)|=a2g|u1u0[du(uu0)(u1u)12a(1+u/4a+O(u2))]|T=ag|u1u0(1+u/4a+O(u2))du(uu0)(u1u)|

C2=r40˙ϕ2=(a2z20)×2g(a2z21)z0+z1=2g(2au0u20)(2au1u21)2au0u1=4agu0u1(1u0/2)(1u1/2)(1u0/2u1/2)C2=4agu0u1+O(u4)C=4agu0u1(1+O(u2))
L’intégrant de Φ est celui  de T multiplié par Ca2z2=C2auu2=gau0u1u(1+u2a+O(u2)).
Φ=|u1u0u0u1u(1+u2a+O(u2))(1+u/4a+O(u2))du(uu0)(u1u)|=u0u1|u1u01u(1+3u/4a+O(u2))du(uu0)(u1u)|
VI.
Comme : In=u1u0undu(uu0)(u1u) où : I1=πu0u1;I0=π;I1=(u0+u1)π2
T=ag(I0+I1/4a)=πag(1+u0+u18a)Φ=u0u1(I1+3I0/4a)=π+3πu0u14a
ΔΦ=3πu0u14a.
3° Nature de la trajectoire.
D’après la loi fondamentale de la dynamique,mR+mg=ma ou :
m¨x=mRxm¨y=mRym¨z=mRzmg
Comme mR est parallèle au rayon vecteur, Rxx=Ryy=Rzz.
En outre, x2+y2+z2=a2.
Pour les petites oscillations, en développant ces équations jusqu’à l’ordre 1 en x,y, on obtient :
zamRzmgmRxmgxamRymgya¨x+gxa=0¨y+gya=0ω=gax=Xmcos(ωt+ϕ)y=Ymcos(ωt+ϕ)
A cet ordre, la projection de la trajectoire sur le plan horizontal est une ellipse fixe parcourue avec la période 2πa/g.
Lente rotation de cette ellipse.
Si on pousse les calculs à l’ordre suivant, l’ellipse tourne lentement :ΔΦT34u0u1ga3.
Pour des festons proches du fond de la cuvette u0=az0=aa2r20=aa(1r20a2)1/2aa(1r202a2)=r202a et u1r212a, donc ΔΦT3r0r1g8a5/2. Pour réussir de façon convaincante l’expérience du pendule de Foucault, il faudrait que ce terme soit petit devant ωsinλ=11/h.
Si r10, on remarque que ΔΦ0 et surtout queTπag(1+u08a). Or u0=az0=aa2r20=aa(1r20a2)1/2aa(1r202a2)=r202a. D’où Tπag(1+r2016a2). On retrouve la formule de Borda T2πag(1+θ2m16) car r0/a=sinθm est voisin de l’amplitude angulaire θm du pendule et une période du pendule correspond à deux festons : T=2T.



Annexe 1 : tracé numérique des trajectoires.
Pour calculer numériquement les projections sur l’horizontale des trajectoires, il est malaisé d’utiliser les équations différentielles de l’énoncé, car elles comportent des racines carrées. Il est préférable d’opérer comme suit.
Exprimons la conservation du moment cinétique :r2˙ϕ=r0v0˙ϕ=r0v0a2z2=˙ϕ0a2z20a2z2.
En utilisant r2+z2=a2r˙r+z˙z=0, exprimons le carré de la vitesse :
v2=˙r2+r2˙ϕ2+˙z2=z2˙z2r2+r20v20r2+˙z2=a2˙z2+r20v20a2z2
Exprimons la conservation de l’énergie, ce qui donne le résultat de II 6° :
E=12mv20+mgz0=12ma2˙z2+r20v20a2z2+mgza2˙z2=(v20+2gz02gz)(a2z2)r20v20
Dérivons par rapport au temps et éliminons la solution parasite ˙z=0 :
2a2˙z¨z=2(v20+2gz0)z˙z2ga2˙z+6gz2˙za2¨z=(v20+2gz0)zga2+3gz2v20=(a2z20)˙ϕ20
D’où le système différentiel en ϕ(t),z(t) :
{¨z=g(3z22z0za2)(a2z20)˙ϕ20za2˙ϕ=˙ϕ0a2z20a2z2
qu’on résout numériquement et dont on trace les courbes en coordonnées polaires a2z2,ϕ, soit en langage maple :
> a:=1:g:=1:
graphe:=proc(z0,derphi0,duree,couleur)
local K,eq1,eq2,ci,sol,phi,z:
global a,g:
eq1:=diff(z(t),t,t)=g*((3*z(t)^2-2*z(t)*z0)/a^2-1)-(1-z0^2/a^2)*derphi0^2*z(t);
eq2:=diff(phi(t),t)=derphi0*(a^2-z0^2)/(a^2-z(t)^2);
ci:=z(0)=z0,D(z)(0)=0,phi(0)=0;
sol:=dsolve({eq1,eq2,ci},{z(t),phi(t)},numeric);
plots[odeplot](sol,[sqrt(a^2-z(t)^2)*cos(phi(t)),sqrt(a^2-z(t)^2)*sin(phi(t))],0..duree,numpoints=200,color=couleur);
end:
> zi:=-evalf(sqrt(3)/2):derphi0C:=sqrt(-g/zi);derphi0E:=sqrt(-2*g*a^2/zi/(a^2-zi^2));
> liste:=[0.7,0.85,1,1.2,1.4]:
couleurgraphe:=proc(i);
if i<3 then green elif i=3 then blue else red fi
end:
> plots[display]({seq(graphe(zi,derphi0C*liste[i],5.7,couleurgraphe(i)),i=1..5)},scaling=constrained);
> plots[display]({seq(graphe(zi,derphi0E*liste[i],5,couleurgraphe(i)),i=1..5),plots[polarplot](1,color=black,linestyle=3)},scaling=constrained);
> plots[display]({graphe(zi,derphi0C*0.7,5.7,black),graphe(zi,derphi0C*1.4,5.7,black)},scaling=constrained);
> plots[display]({graphe(zi,derphi0E*1.4,5.7,black),plots[polarplot](1,color=black,linestyle=3)},scaling=constrained);
>

Annexe 2 : dessins vectoriels utilisés.


Aucun commentaire:

Enregistrer un commentaire

Autres Concours

2011  : Concours ENAC de  physique 2011  :  énoncé ,  corrigé Concours ICNA de  physique 2011  :  énoncé ,  corrigé Concours ICNA de ...