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Concours Physique Centrale (M) Physique I 1988 (Énoncé)

ECOLE CENTRALE DES ARTS ET MANUFACTURES                    ECOLE SUPÉRIEURE D'ELECTRICITE
ECOLE CENTRALE DE LYON                                                ECOLE SUPÉRIEURE D'OPTIQUE
Concours d'Admission 1988
M
PHYSIQUE I
(4 pages dactylographiées)
Les vecteurs sont représentés par des lettres grasses sans flèche. (Exemple B à la place de B) [1].

Le but de ce problème est l'étude du mouvement d'une particule chargée dans un champ magnétique faiblement inhomogène pour deux configurations géométriques particulières. Une application est esquissée en direction des problèmes du confinement d'un plasma (gaz ionisé à très haute température qu'on cherche, malgré l'agitation thermique, à garder dans un volume clos mais en l'absence de parois matérielles). On présente la configuration magnétique tokamak qui constitue une des voies les plus prometteuses pour la réalisation d'un réacteur thermonucléaire.



QUESTION I.
En l'absence de champ électrostatique, et en présence d'un champ magnétique B uniforme et stationnaire B=Buz orienté selon l'axe Oz d'un référentiel galiléen, on étudie le mouvement d'une particule chargée de masse m, de charge q et de vitesse v.
a) Écrire l'équation fondamentale de la dynamique dans le repère ux,uy,uz lié au référentiel galiléen précédent.
b) En déduire les équations différentielles portant sur ¨vx,vx,¨vy,vy [2]. On introduira la pulsation cyclotron ωc=|q|B/m, et on posera ε=q/|q|.
c) Résoudre le système en notation complexe ; l'origine des phases sera déterminée de manière qu'au temps t=0 on ait vx=v (constante > 0 ), vy=0. On pourra dans la suite adopter pour toute vitesse v la décomposition v=v//+v v// est la composante de v parallèle au champ B (ici v//=vz) et v la composante du vecteur vitesse dans un plan orthogonal à B (ici v=vxux+vyuy).
d) Donner alors les équations du mouvement. On fera apparaître le "rayon de Larmor" ρL=v/ωc et les coordonnées (xG,yG,zG) d'un point appelé "centre guide du mouvement", noté G et défini à chaque instant comme le projeté de la position de la particule sur l'axe du cylindre sur lequel s'enroule la trajectoire. Faire un schéma indiquant un sens pour B, l'allure de la trajectoire, le sens de parcours sur celle-ci suivant le signe de q ainsi que la trajectoire du centre guide G. (On prendra B>0, vz>0).
e) Application numérique : B=5T, 12mv2=10keV. Calculer ρL et ωc pour un électron (me=9,1.1031kg) et pour un proton (m=mH=1,67.1027kg).

QUESTI0N II.
Au champ magnétique précédent s'ajoute maintenant un champ électrostatique E uniforme et stationnaire. On choisira l'axe uz toujours suivant B et l'axe ux de manière que Ey=0.
a) Résoudre les nouvelles équations du mouvement avec les mêmes conditions initiales que précédemment.
b) En déduire que le mouvement de la particule peut être décomposé en un mouvement autour d'un centre guide de même nature que précédemment, auquel se superpose un mouvement du centre guide que l'on précisera. Exprimer la vitesse de "dérive" transversale du centre guide notée vG. Sur un schéma tracer E, B et l'allure de la trajectoire pour une particule de charge q>0. (On supposera B>0, Ex>0, Ez>0).
c) A l'aide des résultats précédents, exprimer vG vectoriellement en fonction de E, Bet B2.



QUESTION III.
Les résultats précédents peuvent être étendus à d'autres forces que la force électrostatique en remplaçant le terme qE dans les équations par l'expression de la force appliquée.
a) Quelle est alors la vitesse de dérive du centre guide en fonction de F,B,q.
b) Appliquer ceci à la force de pesanteur dans le champ uniforme g.
c) Sur un schéma indiquant les directions de B, de g (pour plus de clarté on pourra prendre Bg) signaler dans quel sens se déplace le centre guide d'une particule dans les cas q>0, q<0. Dans un plasma globalement neutre, composé d'ions (masse M, charge +e) et d'électrons (masse m, charge e) de densité volumique ni=ne=n particules par unité de volume, y a-t-il création d'une densité de courant ? Si oui, calculer son expression et reporter le résultat trouvé sur le schéma.

QUESTION IV.
On considère maintenant un champ magnétique légèrement inhomogène : les lignes de champ sont toujours parallèles à l'axe uz mais le module de B dépend de y : B=B(y)uz. La variation de B est suffisamment faible pour que l'on puisse traiter son influence sur le mouvement d'une particule comme une perturbation petite de celui-ci. On se placera dans les conditions où ρL<<(1BdBdy)1 et on considèrera donc que la particule suit avec une bonne approximation le mouvement décrit dans la question I.
a) Donner les expressions des coordonnées de la force de Lorentz appliquée à une particule en mouvement en introduisant B(G)=B(xG,yG,zG).
b) Quelle est l'expression de la force moyenne appliquée sur la particule pendant une révolution autour du centre guide ?
c) Quelle est alors la vitesse de dérive du centre guide due au gradient du champ B, montrer qu'elle peut s'écrire sous la forme : vG=±12vρLBBB2B=Byuy


Dans la suite, on admettra que ces relations restent applicables même dans des situations géométriquement plus complexes.

QUESTION V.
On considère maintenant le cas d'un champ magnétique inhomogène B(r,z) ayant la symétrie de révolution autour d'un axe uz (r désigne la distance à l'axe) ; on désigne par Bz et Br les composantes //uz et uz.
a) Pouvez-vous citer un dispositif simple qui puisse créer un champ B ayant ces caractéristiques ?
b) Montrer qu'au voisinage de l'axe Oz, à une distance r de celui-ci telle que l'on ait rBzr<<Bz, il existe une composante radiale Br du champ B que l'on calculera en fonction de Bzz.
c) Ici encore on considérera que les inhomogénéités du champ sont faibles, si bien qu'en première approximation les particules chargées décrivent toujours un mouvement de révolution autour du centre guide G. Soit une particule dont le centre guide a un mouvement le long de l'axe de révolution Oz, calculer la composante moyenne sur uz de la force due à la composante radiale de B sur la particule durant une révolution autour du centre guide ; en déduire que le centre guide a un mouvement d'équation : dv//Gdt=v22BBzz
d) En écrivant la conservation de l'énergie cinétique de la particule dans le champ magnétique, montrer que la quantité μ=12mv2B reste constante au cours du mouvement.
e) En déduire qu'au cours du mouvement la trajectoire de la particule s'enroule toujours autour du même tube de champ.

QUESTION  VI.
On considère maintenant un champ magnétique faiblement inhomogène dont les lignes de champ ont localement un rayon de courbure fini R>>ρL.
a) A partir du résultat précédent (question V-e) montrer que l'on peut considérer qu'une particule suivant un tube de champ de rayon de courbure R subit en moyenne une force de type centrifuge : F=mv2//Runun est le vecteur unitaire de la normale principale au tube de champ. En déduire la vitesse de dérive vG due à cet "effet de courbure".
b) Par application du théorème d'Ampère (en l'absence de courant local), montrer que le gradient du module du champ B possède une composante sur un soit : (B)n=BRun avec B=B.
c) Exprimer la vitesse de dérive vG due à cet "effet de gradient" et former l'expression de la vitesse de dérive totale vG=vG+vG.

QUESTI0N VII.
On cherche à confiner un plasma dans un champ magnétique stationnaire de révolution autour d'un axe Oz et d'intensité variable en fonction de z et de r (distance à l'axe de révolution) selon le dispositif suivant :

En O le champ B est minimum, B=B0 ; en S et S le champ est maximum et prend la valeur B(S)=B(S)=Bm. On néglige les collisions des particules chargées entre elles dans le plasma, si bien que le mouvement de chaque particule est décrit par les résultats de la question V.
a) Montrer qualitativement, à l'aide des résultats précédents, que dans le mouvement des particules le long des lignes de champ, il peut arriver un moment où la composante v// s'annule. Quelle est la suite du mouvement ?
b) Soit une particule en O dont la vitesse v0 fait l'angle θ0 avec l'axe Oz. Montrer que, si l'on note θ l'angle qu'elle fait ensuite avec la ligne de champ en un point où la valeur du champ est B, on a la relation
sin2θB=sin2θ0B0
c) Quelle est la valeur θ0m de θ0 pour laquelle la particule est "réfléchie" au niveau de S ou S ? Que se passe t-i1 pour des angles θ0 inférieurs ou supérieurs à θ0m ?
d) Justifier les dénominations : effet de miroir magnétique, cône de perte.
e) Que se passe-t-il pour le plasma si l'on tient compte maintenant des collisions ? Si τc (durée moyenne entre deux collisions pour une particule) est de l'ordre de 104s, quel est l'ordre de grandeur de la "durée de confinement" du plasma dans le système magnétique étudié ?



QUESTION VIII.
Afin de remédier à l'inconvénient de l'existence du cône de perte qui nuit à la qualité d'un confinement magnétique, on songe à refermer les lignes de champ sur elles-mêmes ; on aboutit ainsi à une configuration toroïdale :

a) On considère un solénoïde toroïdal. On note R le rayon moyen du tore et rm le rayon d'un cercle méridien. Ce solénoïde comporte N spires enroulées uniformément et parcourues par un courant I.
En un point repéré par l'angle "azimutal" ϕ et par les coordonnées (r,θ) dans le plan méridien, calculer le champ Bϕ(r,θ), l'exprimer en fonction de B0=Bϕ(0,0).
b) Montrer que la vitesse de dérive étudiée à la question VI. a pour effet de précipiter les particules situées à l'intérieur de la configuration contre les parois limitant le tore à r=rm. Dans quelle direction ? (On distinguera le cas des ions et des électrons). Estimer numériquement l'ordre de grandeur de la durée de confinement d'un plasma d'ions et d'électrons ; on prendraR=1m, rm=20cm, B0=5T, ainsi que les relations: v2//=v2/2 et mv2/2=10keV (relations valables pour les ions et les électrons).

QUESTION IX.
Afin d'annuler cette dérive des particules, on rajoute au champ précédent B une composante Bθ(r) appelée champ poloïdal, créée par une densité de courant jϕ(r) circulant dans la direction azimutale à l'intérieur du plasma lui-même.
(Ce courant est induit de l'extérieur en utilisant le plasma comme le secondaire d'un transformateur). On obtient ainsi la configuration magnétique "Tokamak".
a) Calculer Bθ en fonction de r et de la quantité : I(r)=r02πρjϕ(ρ)dρ.
b) Montrer qu'une ligne du champ B=Bϕ+Bθ s'enroule autour d'un tore de rayon moyen R et de rayon de cercle méridien r. On appelle surfaces magnétiques ces tores emboîtés les uns dans les autres et sur lesquels s'enroulent les lignes de champ. En se limitant au cas r<<R, établir que, sur une surface magnétique, l'équation d'une ligne de champ obéit à une équation de la forme : ddθ=q(r) [3]. En utilisant B0, I(r) et la variable r/R, déterminer la fonction q(r) de façon approchée en négligeant les termes d'ordre 2 en r/R. Quelle est la signification géométrique du facteur q(r) ?
Application numérique : on réalise expérimentalement q(0)=1 ; en déduire jϕ(0), en reprenant les valeurs données dans la question VIII.
c) Décrire le mouvement d'une particule chargée dans cette configuration magnétique et mettre en évidence que l'effet de dérive observé précédemment est ici compensé exactement entre les portions de trajectoire du centre guide, situées de part et d'autre du plan équatorial du tore. Ceci est valable pour les particules qu'on appelle "circulantes", qui suivent dans leur mouvement une ligne de champ.
d) Etablir que 1e long d'une ligne de champ le module du champ magnétique oscille entre deux valeurs extrêmes (on se contentera d'un développement limité à l'ordre 1 en r/R). En déduire l'existence d'une autre classe de particules appelées particules "piégées".
e) Quel est l'effet de dérive pour ce type de particules ?
f) Conclure quant à la qualité de la configuration Tokamak utilisée pour confiner des particules chargées en mouvement. (On notera que l'étude simplifiée menée jusqu'ici concernait les mouvements individuels et sans collisions des particules mais qu'en réalité il faut tenir compte de mouvements collectifs dépendant des collisions, de phénomènes de pression, d'instabilités électromagnétiques qui apportent des limites et des correctifs à cette première étude)
**** FIN ****




[2] Lire ˙vx,vx,˙vy,vy.
[3] Lire dϕdθ=q(r)

Concours Physique ENSI Chimie Sud 1985 (Corrigé)

I.
Soit σtige le moment cinétique en O de la tige : dσtigedt=OMmR. La tige ayant une masse négligeable, ce moment cinétique est négligeable, donc R est parallèle à OM.
Le moment cinétique en O du mobile est σ=OMmv=(r0z)m(˙rr˙ϕ˙z)σz=mr2˙ϕ.
D’après le théorème du moment cinétique, dσdt=OM(mg+mR)=OMmgdσzdt=0. Donc  r2˙ϕ=C reste constant au cours du temps.
Dans la suite, nous supposerons cette constante non nulle, ce qui interdit à r de s’annuler et à z d’atteindre les valeurs extrêmes à priori possibles, a et a. Cela implique aussi que ˙ϕ, ne pouvant s’annuler, garde un signe constant, donc que le mobile tourne toujours dans le même sens autour de Oz. L’énoncé ne fait pas cette hypothèse, en III 2° il suppose ˙ϕ00, ce qui rend la discussion plus compliquée.


II.
Ec=12m(˙r2+r2˙ϕ2+˙z2).
Ep=mgz.
Em=Ec+Ep reste constant au cours du temps.
Em=12m(˙r2+r2˙ϕ2+˙z2)+mgz=12mKK=˙r2+C2r2+˙z2+2gz.
 r2+z2=a22r˙r+2z˙z=0˙r2=z2˙z2r2K=z2˙z2r2+C2r2+˙z2+2gz=a2˙z2+C2a2z2+2gz
En isolant a2˙z2, on obtient a2˙z2=(a2z2)(K2gz)C2=P(z)
Pour déterminer les racines de P(z)=0, cherchons les informations dont nous disposons sur le signe de P(z) :
·         P(z) de degré 3 a au plus trois zéros
·         limzP(z)=+
·         P(a)=C2<0
·         au cours du mouvement a2˙z20, donc il existe un domaine de z situé dans a<z<a pour lequel P(z)0
·         P(a)=C2<0.
Il n’y a que deux formes possibles du graphe de P(z) compatibles avec ces faits :

Le graphe de droite est le cas général : P(z) possède trois zéros, deux compris entre a et a, qu’on appellera z0 et z1 , et un supérieur à a, qu’on appellera z2. Le graphe de gauche correspond au cas particulier où il y a une racine double ; le mouvement est alors circulaire horizontal.
Il ne faut pas répondre que, puisque P(z) est de degré impair, il a au moins un zéro, car ce zéro est z2, alors que dans la suite on considère que c’est z0.


III.
1°  Si ˙z=0, ˙r=z˙zr=0, tandis que r˙ϕ0 : la vitesse, qui est orthoradiale, et la trajectoire sont tangentes à un cercle z=cste.
C=r20˙ϕ0K=r20˙ϕ20+2gz0.
 P(z)=(a2z2)(r20˙ϕ20+2gz02gz)r40˙ϕ20=(a2z2r20)r20˙ϕ20+(a2z2)(2gz02gz)=(z20z2)r20˙ϕ20+2g(a2z2)(z0z)=(z0z)Q(z)Q(z)=2g(a2z2)+(z+z0)r20˙ϕ20
Comme z0<a, Q(a)=r20˙ϕ20(z0a)<0 ; comme a<z0, Q(a)=r20˙ϕ20(z0+a)>0 ; Q(z) étant un polynôme du second degré,  il a une racine et une seule dans l’intervalle a,a.
Comme a2˙z20, le raisonnement de II 7° montre que z reste entre z0 et z1. En z=z1, Q(z1)=2g(a2z21)+(z1+z0)r20˙ϕ20=0˙ϕ20=2g(a2z21)(z1+z0)(a2z20)>0z1+z0<0
Factorisons z1z dans Q(z) :
Q(z)=2g(a2z2)+(z+z0)2g(a2z21)(z0+z1)=2g[(a2z2)(z0+z1)(z+z0)(a2z21)]z0+z1=2g[a2(z1z)z2z1z2z0+z21z+z21z0]z0+z1=2g[a2(z1z)+zz1(z1z)+z0(z21z2)]z0+z1=2g(z1z)[a2+zz1+z0(z+z1)]z0+z1=2g(z1z)(z+a2+z0z1z0+z1)=2g(z1z)(zz2)z2=a2+z0z1z0+z1
Autre méthode :
z1
et z2 sont les racines de Q(z)=2g(a2z2)+(z+z0)r20˙ϕ20=0, où d’après 5° r20˙ϕ20=2g(a2z21)(z1+z0) ; ils sont donc les racines de :
 Q(z)=2g(a2z2)(z+z0)2g(a2z21)(z1+z0)=0z2+a2z21z1+z0za2+a2z21z1+z0z0=0
En utilisant la somme (on peut aussi utiliser le produit) des racines de cette équation du second degré :
z1+z2=a2z21z1+z0z2=a2+z1z0z1+z0
Pour que la trajectoire soit circulaire, il faut que z1=z0, soit d’après III 5° ˙ϕ20=2g(a2z21)(z1+z0)(a2z20)=gz0v0C=g(z20a2)z0
Pour que le point atteigne le plan de l'équateur, il faut que z1>0 ; or z1 est racine de Q(z)=0, Q(a)<0 et Q(a)>0 ; donc la condition est :
Q(0)<02ga2+z0r20˙ϕ20<0v20=r20˙ϕ20>2ga2z0v0>vOE=2ga2z0
On peut imaginer la projection de la trajectoire sur le plan horizontal comme formée de parties tangentes aux cercles de rayons les valeurs extrêmes de r, soit r0, r1 et éventuellement a.
          
       
Un calcul précis (voir annexe) pour z0=3a/2 donne les courbes suivantes, où les distances sont graduées en unités de r/a :

On voit qu’un feston correspond à plus d’un demi tour et que la trajectoire n’est pas fermée.


IV.
a2˙z2=P(z)adzdt=±P(z)dt=±adzP(z).
r2˙ϕ=Cdϕ=Cdtr2=±aCdz(a2z2)P(z)
T2=|z1z0adzP(z)| ; Φ2=|z1z0aCdz(a2z2)P(z)|.
N.B. Il faut prendre la valeur absolue de l’intégrale, car on ne sait pas si z0 est inférieur ou supérieur à z1.
V.
 zz2=a2+zz1+z0(z+z1)z0+z1=a2+(a+u)(2a+u0+u1)+(a+u0)(a+u1)2a+u0+u1=4a22a(u+u0+u1)+O(u2)2a+u0+u1=2a1u+u0+u12a+O(u2)1u0+u12a2a(1u/2a+O(u2))(zz2)1/2=12a(1+u/4a+O(u2))k=12al=14a2a
 
1r2=1a2z2=1a2(a+u)2=12auu2=12au(1u/2a)1=12au(1+u/2a+O(u2))m=12an=14a2
 (z2z)1/2×r2=12a(1+u/4a+O(u2))12au(1+u/2a+O(u2))=1+3u/4a+O(u2)(2a)3/2up=1(2a)3/2q=32(2a)5/2.
T2=|z1z0adz(z0z)2g(zz1)(zz2)|=a2g|u1u0[du(uu0)(u1u)12a(1+u/4a+O(u2))]|T=ag|u1u0(1+u/4a+O(u2))du(uu0)(u1u)|

C2=r40˙ϕ2=(a2z20)×2g(a2z21)z0+z1=2g(2au0u20)(2au1u21)2au0u1=4agu0u1(1u0/2)(1u1/2)(1u0/2u1/2)C2=4agu0u1+O(u4)C=4agu0u1(1+O(u2))
L’intégrant de Φ est celui  de T multiplié par Ca2z2=C2auu2=gau0u1u(1+u2a+O(u2)).
Φ=|u1u0u0u1u(1+u2a+O(u2))(1+u/4a+O(u2))du(uu0)(u1u)|=u0u1|u1u01u(1+3u/4a+O(u2))du(uu0)(u1u)|
VI.
Comme : In=u1u0undu(uu0)(u1u) où : I1=πu0u1;I0=π;I1=(u0+u1)π2
T=ag(I0+I1/4a)=πag(1+u0+u18a)Φ=u0u1(I1+3I0/4a)=π+3πu0u14a
ΔΦ=3πu0u14a.
3° Nature de la trajectoire.
D’après la loi fondamentale de la dynamique,mR+mg=ma ou :
m¨x=mRxm¨y=mRym¨z=mRzmg
Comme mR est parallèle au rayon vecteur, Rxx=Ryy=Rzz.
En outre, x2+y2+z2=a2.
Pour les petites oscillations, en développant ces équations jusqu’à l’ordre 1 en x,y, on obtient :
zamRzmgmRxmgxamRymgya¨x+gxa=0¨y+gya=0ω=gax=Xmcos(ωt+ϕ)y=Ymcos(ωt+ϕ)
A cet ordre, la projection de la trajectoire sur le plan horizontal est une ellipse fixe parcourue avec la période 2πa/g.
Lente rotation de cette ellipse.
Si on pousse les calculs à l’ordre suivant, l’ellipse tourne lentement :ΔΦT34u0u1ga3.
Pour des festons proches du fond de la cuvette u0=az0=aa2r20=aa(1r20a2)1/2aa(1r202a2)=r202a et u1r212a, donc ΔΦT3r0r1g8a5/2. Pour réussir de façon convaincante l’expérience du pendule de Foucault, il faudrait que ce terme soit petit devant ωsinλ=11/h.
Si r10, on remarque que ΔΦ0 et surtout queTπag(1+u08a). Or u0=az0=aa2r20=aa(1r20a2)1/2aa(1r202a2)=r202a. D’où Tπag(1+r2016a2). On retrouve la formule de Borda T2πag(1+θ2m16) car r0/a=sinθm est voisin de l’amplitude angulaire θm du pendule et une période du pendule correspond à deux festons : T=2T.



Annexe 1 : tracé numérique des trajectoires.
Pour calculer numériquement les projections sur l’horizontale des trajectoires, il est malaisé d’utiliser les équations différentielles de l’énoncé, car elles comportent des racines carrées. Il est préférable d’opérer comme suit.
Exprimons la conservation du moment cinétique :r2˙ϕ=r0v0˙ϕ=r0v0a2z2=˙ϕ0a2z20a2z2.
En utilisant r2+z2=a2r˙r+z˙z=0, exprimons le carré de la vitesse :
v2=˙r2+r2˙ϕ2+˙z2=z2˙z2r2+r20v20r2+˙z2=a2˙z2+r20v20a2z2
Exprimons la conservation de l’énergie, ce qui donne le résultat de II 6° :
E=12mv20+mgz0=12ma2˙z2+r20v20a2z2+mgza2˙z2=(v20+2gz02gz)(a2z2)r20v20
Dérivons par rapport au temps et éliminons la solution parasite ˙z=0 :
2a2˙z¨z=2(v20+2gz0)z˙z2ga2˙z+6gz2˙za2¨z=(v20+2gz0)zga2+3gz2v20=(a2z20)˙ϕ20
D’où le système différentiel en ϕ(t),z(t) :
{¨z=g(3z22z0za2)(a2z20)˙ϕ20za2˙ϕ=˙ϕ0a2z20a2z2
qu’on résout numériquement et dont on trace les courbes en coordonnées polaires a2z2,ϕ, soit en langage maple :
> a:=1:g:=1:
graphe:=proc(z0,derphi0,duree,couleur)
local K,eq1,eq2,ci,sol,phi,z:
global a,g:
eq1:=diff(z(t),t,t)=g*((3*z(t)^2-2*z(t)*z0)/a^2-1)-(1-z0^2/a^2)*derphi0^2*z(t);
eq2:=diff(phi(t),t)=derphi0*(a^2-z0^2)/(a^2-z(t)^2);
ci:=z(0)=z0,D(z)(0)=0,phi(0)=0;
sol:=dsolve({eq1,eq2,ci},{z(t),phi(t)},numeric);
plots[odeplot](sol,[sqrt(a^2-z(t)^2)*cos(phi(t)),sqrt(a^2-z(t)^2)*sin(phi(t))],0..duree,numpoints=200,color=couleur);
end:
> zi:=-evalf(sqrt(3)/2):derphi0C:=sqrt(-g/zi);derphi0E:=sqrt(-2*g*a^2/zi/(a^2-zi^2));
> liste:=[0.7,0.85,1,1.2,1.4]:
couleurgraphe:=proc(i);
if i<3 then green elif i=3 then blue else red fi
end:
> plots[display]({seq(graphe(zi,derphi0C*liste[i],5.7,couleurgraphe(i)),i=1..5)},scaling=constrained);
> plots[display]({seq(graphe(zi,derphi0E*liste[i],5,couleurgraphe(i)),i=1..5),plots[polarplot](1,color=black,linestyle=3)},scaling=constrained);
> plots[display]({graphe(zi,derphi0C*0.7,5.7,black),graphe(zi,derphi0C*1.4,5.7,black)},scaling=constrained);
> plots[display]({graphe(zi,derphi0E*1.4,5.7,black),plots[polarplot](1,color=black,linestyle=3)},scaling=constrained);
>

Annexe 2 : dessins vectoriels utilisés.


Concours Physique Véto 1984 (Énoncé)

I. QUESTION de COURS
SUBLIMATION D’UN CORPS PUR
Définition, diagramme d’équilibre.
Chaleur latente de sublimation Ls : définition, établir une expression de Ls (relation de Clapeyron).
Application numérique :
Sur la plaque chauffante d'une enceinte à lyophiliser est étendu 100 g d’une préparation sous forme d'un gel comportant 98 % en poids d'eau libre. La température est - 5°C. Calculer l'ordre de grandeur de la quantité de chaleur Q à fournir par l'intermédiaire de la plaque chauffante pour lyophiliser totalement à - 5°C la préparation.
Données :
Masse molaire de l'eau : 18 g
Constante des gaz parfaits : R = 8,31 J.K-1.mole-1
Volume massique de la glace : 1,09.10-3 m3 kg-1
Pression de vapeur de la glace :
 à t = 0 °C,  610,8 Pa
 à t = - 5°C, 401,7 Pa
 à t = - 10°C,  260,0 Pa


II. PROBLÈME
Un endoscope est un appareil d'optique utilisé en investigation paraclinique permettant l'observation, sous faible grossissement, de cavités et de conduits naturels : appareils digestif, respiratoire.
Le tube de l'endoscope comporte un objectif, un système optique transportant l'image objective et un oculaire.
La lumière nécessaire à l'observation est conduite jusqu'à l'objet par un guide de lumière parallèle au tube endoscopique.
Ce problème comprend deux parties, indépendantes pour l'essentiel.
Conventions pour l'ensemble du problème :
L'axe optique est orienté dans le sens de propagation de la lumière (de gauche à droite). Les objets et images perpendiculaires à l'axe optique sont mesurés algébriquement sur l'axe orienté vers le haut de la page.
Les angles des rayons avec l'axe principal sont évalués algébriquement avec la convention habituelle (sens trigonométrique).
Exemples

Les conditions de l'approximation de Gauss sont supposées remplies.

1. OBJECTIF ET OCULAIRE

1° On assimile l'objectif à une lentille mince convergente L1, de distance focale f’1 = 10 mm. L'objet AB assimilé à un segment de droite perpendiculaire à l'axe optique (A sur l'axe) est placé, pour les conditions standard d'utilisation, à 50 mm devant le centre optique 01 de L1 .
Déterminer par p1=¯O1A la position de l'image donnée par l'objectif. Calculer le grandissement γ=¯AB¯AB.


2° L'image A'B' est observée à travers un oculaire assimilé à une lentille mince convergente L2 de centreO2, de distance focale imagef2=¯O2F2=20mm.
a. Pour un oeil normal effectuant une observation sans accommodation (observation à travers l'instrument d'une image située à l'infini), indiquer la place du foyer objet F2 de l'oculaire.
b. Calculer le grossissement commercial Gc de l'appareil défini par Gc=αα
a étant l'angle sous lequel serait vu directement par l'oeil l'objet AB placé à 250 mm; a' l'angle. sous lequel est vu, à travers l'instrument, l'objet placé comme indiqué au paragraphe 1°.
3° On admet que l'observateur, par la faculté d'accommodation de son oeil perçoit nettes les images situées de l'infini à 250 mm. Les positions respectives de l'oculaire et de l'objectif n'étant pas modifiées, dans quel intervalle de p1=¯O1A1l'observateur a‑t‑il une perception nette de l'objet AB? Calculer la latitude de mise au point ou profondeur de champ.

2.   TRANSPORT DE L'IMAGE DONNÉE PAR L'OBJECTIF.



Pour allonger la distance entre l'objet et l'oculaire, on intercale une association de lentilles entre l'objectif et l'oculaire.
1° a. L'image A'B' fournie par l'objectif est reprise par une lentille mince convergente de centre S1, de distance. focale image f' = S1j1, placée à une distance ¯AS1=2f derrière A'.
Déterminer la position de l'image A’1B’1, sa grandeur¯A1B1, le grandissement. On poseray=¯AB.
b. On utilise une série de p lentilles identiques à la précédente, de centres S1, S2, ... Sn, Sn+1, ... Sp, équidistants :¯SnSn+1=4f. L'image obtenue après passage de la lumière à travers l'objectif et les n premières lentilles est notée A’nB’n, n Î {1, 2, ..., p}.
Quelles sont les valeurs de p qui permettent une observation sans inversion à travers l'instrument ?
Faire un schéma indiquant la marche d'un rayon quelconque passant par B'n-1, B'n, B'n+1. On note un-1 l'angle avec l'axe principal d'un rayon passant par B'n-1.
Calculer l'angle un que fait ce rayon avec l'axe principal après traversée de la lentille de centre Sn, en fonction de un‑ 1, yn1=¯An1Bn1 et f’.
En déduire l'angle up du rayon sortant du système des p lentilles et qui provient de B' où il faisait l'angle u0 avec l'axe principal, en fonction de p, u0 ety=¯AB.
c. Les lentilles ont le même diamètre. L'objet AB est également lumineux pour tous ses points entre A et B. Quelles conclusions vous suggèrent les résultats précédents, quant à la perception par l'oeil de l'image de AB ?
2° On remplace le dispositif précédent par une série de 2 p lentilles convergentes identiques, de distance focale f', telles que le foyer image de l'une soit confondu avec le foyer objet de la suivante.
Le foyer objet j1 de la première lentille est placé en A'. On note A’1B’1 l'image de A’B’ donnée par les deux premières lentilles.
a. Quelle est la position de A’1B’1 ? Quelle est la mesure algébrique y1=¯A1B1 de cette image en fonction de¯AB ?
b. Faire un schéma donnant la marche d'au moins 3 rayons passant par B', allant en B’1 et traversant les deux premières lentilles.
c. Soient u0 l'angle avec l'axe principal que fait un rayon quelconque en passant par B' , u1 l'angle que fait ce rayon avec l'axe en passant par B'1. Exprimer u1 en fonction de u0 .


d. Quel est l'angle up à la sortie du système, en B'p, de ce rayon ?
e. Les conclusions du 2.1° c. sont‑elles modifiées ?
f. On utilise 34 lentilles semblables (p = 17) de distance focale f' = 15 mm. Sur quelle longueur est transportée l'image par cette association ? Y a‑t‑il une inversion dans l'observation à travers l'appareil ?
g. En fait, une lentille ne laisse passer qu'une “ fraction T de la lumière ” (à cause principalement des réflexions secondaires sur les surfaces air verre).
Pour une lentille ordinaire T = 0,900. Quelle fraction de la lumière est effectivement transportée par ces 34 lentilles ?
Même question pour des lentilles ayant reçu un traitement antireflet multicouches, avec T = 0,996.



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