Concours Physique Centrale (M) Physique I 1988 (Énoncé)

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Concours d'Admission 1988

M

PHYSIQUE I

(4 pages dactylographiées)

Les vecteurs sont représentés par des lettres grasses sans flèche. (Exemple B à la place de B) [1].

Le but de ce problème est l'étude du mouvement d'une particule chargée dans un champ magnétique faiblement inhomogène pour deux configurations géométriques particulières. Une application est esquissée en direction des problèmes du confinement d'un plasma (gaz ionisé à très haute température qu'on cherche, malgré l'agitation thermique, à garder dans un volume clos mais en l'absence de parois matérielles). On présente la configuration magnétique tokamak qui constitue une des voies les plus prometteuses pour la réalisation d'un réacteur thermonucléaire.

QUESTION I.

En l'absence de champ électrostatique, et en présence d'un champ magnétique $\vec B$ uniforme et stationnaire $\vec B = B{\vec u_z}$ orienté selon l'axe $Oz$ d'un référentiel galiléen, on étudie le mouvement d'une particule chargée de masse $m$, de charge $q$ et de vitesse $\vec v$.

a) Écrire l'équation fondamentale de la dynamique dans le repère ${\vec u_x},{\vec u_y},{\vec u_z}$ lié au référentiel galiléen précédent.

b) En déduire les équations différentielles portant sur ${\ddot v_x},{v_x},{\ddot v_y},{v_y}$ [2]. On introduira la pulsation cyclotron ${\omega _c} = \left| q \right|B/m$, et on posera $\varepsilon  = q/\left| q \right|$.

c) Résoudre le système en notation complexe ; l'origine des phases sera déterminée de manière qu'au temps $t = 0$ on ait ${v_x} = {v_ \bot }$ (constante > 0 ), ${v_y} = 0$. On pourra dans la suite adopter pour toute vitesse $\vec v$ la décomposition $\vec v = {\vec v_{//}} + {\vec v_ \bot }$ où ${\vec v_{//}}$ est la composante de $\vec v$ parallèle au champ $\vec B$ (ici ${v_{//}} = {v_z}$) et ${\vec v_ \bot }$ la composante du vecteur vitesse dans un plan orthogonal à $\vec B$ (ici ${\vec v_ \bot } = {v_x}{\vec u_x} + {\vec v_y}{\vec u_y}$).

d) Donner alors les équations du mouvement. On fera apparaître le "rayon de Larmor" ${\rho _L} = {v_ \bot }/{\omega _c}$ et les coordonnées $\left( {{x_G},{y_G},{z_G}} \right)$ d'un point appelé "centre guide du mouvement", noté $G$ et défini à chaque instant comme le projeté de la position de la particule sur l'axe du cylindre sur lequel s'enroule la trajectoire. Faire un schéma indiquant un sens pour $\vec B$, l'allure de la trajectoire, le sens de parcours sur celle-ci suivant le signe de $q$ ainsi que la trajectoire du centre guide $G$. (On prendra $B > 0$, ${v_z} > 0$).

e) Application numérique : $B = 5T$, $\frac{1}{2}mv_ \bot ^2 = 10keV$. Calculer ${\rho _L}$ et ${\omega _c}$ pour un électron (${m_e} = {9,1.10^{ - 31}}kg$) et pour un proton ($m = {m_H} = {1,67.10^{ - 27}}kg$).

QUESTI0N II.

Au champ magnétique précédent s'ajoute maintenant un champ électrostatique $\vec E$ uniforme et stationnaire. On choisira l'axe ${\vec u_z}$ toujours suivant $\vec B$ et l'axe ${\vec u_x}$ de manière que ${E_y} = 0$.

a) Résoudre les nouvelles équations du mouvement avec les mêmes conditions initiales que précédemment.

b) En déduire que le mouvement de la particule peut être décomposé en un mouvement autour d'un centre guide de même nature que précédemment, auquel se superpose un mouvement du centre guide que l'on précisera. Exprimer la vitesse de "dérive" transversale du centre guide notée ${\vec v_{ \bot G}}$. Sur un schéma tracer $\vec E$, $\vec B$ et l'allure de la trajectoire pour une particule de charge $q > 0$. (On supposera $B > 0$, ${E_x} > 0$, ${E_z} > 0$).

c) A l'aide des résultats précédents, exprimer ${\vec v_{ \bot G}}$ vectoriellement en fonction de $\vec E$, $\vec B$et ${B^2}$.

QUESTION III.

Les résultats précédents peuvent être étendus à d'autres forces que la force électrostatique en remplaçant le terme $q\vec E$ dans les équations par l'expression de la force appliquée.

a) Quelle est alors la vitesse de dérive du centre guide en fonction de $\vec F,\vec B,q$.

b) Appliquer ceci à la force de pesanteur dans le champ uniforme $\vec g$.

c) Sur un schéma indiquant les directions de $\vec B$, de $\vec g$ (pour plus de clarté on pourra prendre $\vec B \bot \vec g$) signaler dans quel sens se déplace le centre guide d'une particule dans les cas $q > 0$, $q < 0$. Dans un plasma globalement neutre, composé d'ions (masse $M$, charge $ + e$) et d'électrons (masse $m$, charge $ - e$) de densité volumique ${n_i} = {n_e} = n$ particules par unité de volume, y a-t-il création d'une densité de courant ? Si oui, calculer son expression et reporter le résultat trouvé sur le schéma.

QUESTION IV.

On considère maintenant un champ magnétique légèrement inhomogène : les lignes de champ sont toujours parallèles à l'axe ${\vec u_z}$ mais le module de $\vec B$ dépend de $y$ : $\vec B = B\left( y \right){\vec u_z}$. La variation de $B$ est suffisamment faible pour que l'on puisse traiter son influence sur le mouvement d'une particule comme une perturbation petite de celui-ci. On se placera dans les conditions où ${\rho _L} <  < {\left( {\frac{1}{B}\frac{{dB}}{{dy}}} \right)^{ - 1}}$ et on considèrera donc que la particule suit avec une bonne approximation le mouvement décrit dans la question I.

a) Donner les expressions des coordonnées de la force de Lorentz appliquée à une particule en mouvement en introduisant $B\left( G \right) = B\left( {{x_G},{y_G},{z_G}} \right)$.

b) Quelle est l'expression de la force moyenne appliquée sur la particule pendant une révolution autour du centre guide ?

c) Quelle est alors la vitesse de dérive du centre guide due au gradient du champ $\vec B$, montrer qu'elle peut s'écrire sous la forme : ${\vec v_{ \bot G}} =  \pm \frac{1}{2}{v_ \bot }{\rho _L}\frac{{\vec B \wedge \vec \nabla B}}{{{B^2}}}$ où $\vec \nabla B = \frac{{\partial B}}{{\partial y}}{\vec u_y}$

Dans la suite, on admettra que ces relations restent applicables même dans des situations géométriquement plus complexes.

QUESTION V.

On considère maintenant le cas d'un champ magnétique inhomogène $\vec B\left( {r,z} \right)$ ayant la symétrie de révolution autour d'un axe ${\vec u_z}$ ($r$ désigne la distance à l'axe) ; on désigne par ${B_z}$ et ${B_r}$ les composantes $//{\vec u_z}$ et $ \bot {\vec u_z}$.

a) Pouvez-vous citer un dispositif simple qui puisse créer un champ $\vec B$ ayant ces caractéristiques ?

b) Montrer qu'au voisinage de l'axe $Oz$, à une distance $r$ de celui-ci telle que l'on ait $r\frac{{\partial {B_z}}}{{\partial r}} <  < {B_z}$, il existe une composante radiale ${B_r}$ du champ $\vec B$ que l'on calculera en fonction de $\frac{{\partial {B_z}}}{{\partial z}}$.

c) Ici encore on considérera que les inhomogénéités du champ sont faibles, si bien qu'en première approximation les particules chargées décrivent toujours un mouvement de révolution autour du centre guide $G$. Soit une particule dont le centre guide a un mouvement le long de l'axe de révolution $Oz$, calculer la composante moyenne sur ${\vec u_z}$ de la force due à la composante radiale de $\vec B$ sur la particule durant une révolution autour du centre guide ; en déduire que le centre guide a un mouvement d'équation : $\frac{{d{v_{//G}}}}{{dt}} =  - \frac{{v_ \bot ^2}}{{2B}}\frac{{\partial {B_z}}}{{\partial z}}$

d) En écrivant la conservation de l'énergie cinétique de la particule dans le champ magnétique, montrer que la quantité $\mu  = \frac{1}{2}m\frac{{v_ \bot ^2}}{B}$ reste constante au cours du mouvement.

e) En déduire qu'au cours du mouvement la trajectoire de la particule s'enroule toujours autour du même tube de champ.

QUESTION  VI.

On considère maintenant un champ magnétique faiblement inhomogène dont les lignes de champ ont localement un rayon de courbure fini $R >  > {\rho _L}$.

a) A partir du résultat précédent (question V-e) montrer que l'on peut considérer qu'une particule suivant un tube de champ de rayon de courbure $R$ subit en moyenne une force de type centrifuge : $\vec F =  - m\frac{{v_{//}^2}}{R}{\vec u_n}$ où ${\vec u_n}$ est le vecteur unitaire de la normale principale au tube de champ. En déduire la vitesse de dérive ${\vec v'_{ \bot G}}$ due à cet "effet de courbure".

b) Par application du théorème d'Ampère (en l'absence de courant local), montrer que le gradient du module du champ $\vec B$ possède une composante sur ${\vec u_n}$ soit : ${\left( {\vec \nabla B} \right)_n} = \frac{B}{R}{\vec u_n}$ avec $B = \left\| {\vec B} \right\|$.

c) Exprimer la vitesse de dérive ${\vec v''_{ \bot G}}$ due à cet "effet de gradient" et former l'expression de la vitesse de dérive totale ${\vec v_{ \bot G}} = {\vec v'_{ \bot G}} + {\vec v''_{ \bot G}}$.

QUESTI0N VII.

On cherche à confiner un plasma dans un champ magnétique stationnaire de révolution autour d'un axe $Oz$ et d'intensité variable en fonction de $z$ et de $r$ (distance à l'axe de révolution) selon le dispositif suivant :

En $O$ le champ $B$ est minimum, $B = {B_0}$ ; en $S$ et $S'$ le champ est maximum et prend la valeur $B\left( S \right) = B\left( {S'} \right) = {B_m}$. On néglige les collisions des particules chargées entre elles dans le plasma, si bien que le mouvement de chaque particule est décrit par les résultats de la question V.

a) Montrer qualitativement, à l'aide des résultats précédents, que dans le mouvement des particules le long des lignes de champ, il peut arriver un moment où la composante ${v_{//}}$ s'annule. Quelle est la suite du mouvement ?

b) Soit une particule en $O$ dont la vitesse ${v_0}$ fait l'angle ${\theta _0}$ avec l'axe $Oz$. Montrer que, si l'on note $\theta $ l'angle qu'elle fait ensuite avec la ligne de champ en un point où la valeur du champ est $\vec B$, on a la relation
$\frac{{{{\sin }^2}\theta }}{B} = \frac{{{{\sin }^2}{\theta _0}}}{{{B_0}}}$

c) Quelle est la valeur ${\theta _{0m}}$ de ${\theta _0}$ pour laquelle la particule est "réfléchie" au niveau de $S$ ou $S'$ ? Que se passe t-i1 pour des angles ${\theta _0}$ inférieurs ou supérieurs à ${\theta _{0m}}$ ?

d) Justifier les dénominations : effet de miroir magnétique, cône de perte.

e) Que se passe-t-il pour le plasma si l'on tient compte maintenant des collisions ? Si ${\tau _c}$ (durée moyenne entre deux collisions pour une particule) est de l'ordre de ${10^4}s$, quel est l'ordre de grandeur de la "durée de confinement" du plasma dans le système magnétique étudié ?

QUESTION VIII.

Afin de remédier à l'inconvénient de l'existence du cône de perte qui nuit à la qualité d'un confinement magnétique, on songe à refermer les lignes de champ sur elles-mêmes ; on aboutit ainsi à une configuration toroïdale :

a) On considère un solénoïde toroïdal. On note $R$ le rayon moyen du tore et ${r_m}$ le rayon d'un cercle méridien. Ce solénoïde comporte $N$ spires enroulées uniformément et parcourues par un courant $I$.

En un point repéré par l'angle "azimutal" $\phi $ et par les coordonnées $\left( {r,\theta } \right)$ dans le plan méridien, calculer le champ ${B_\phi }\left( {r,\theta } \right)$, l'exprimer en fonction de ${B_0} = {B_\phi }\left( {0,0} \right)$.

b) Montrer que la vitesse de dérive étudiée à la question VI. a pour effet de précipiter les particules situées à l'intérieur de la configuration contre les parois limitant le tore à $r = {r_m}$. Dans quelle direction ? (On distinguera le cas des ions et des électrons). Estimer numériquement l'ordre de grandeur de la durée de confinement d'un plasma d'ions et d'électrons ; on prendra$\,R = 1m\,$, ${r_m} = 20cm$, ${B_0} = 5T$, ainsi que les relations: $v_{//}^2 = v_ \bot ^2/2$ et $mv_ \bot ^2/2 = 10keV$ (relations valables pour les ions et les électrons).

QUESTION IX.

Afin d'annuler cette dérive des particules, on rajoute au champ précédent $\vec B$ une composante ${B_\theta }\left( r \right)$ appelée champ poloïdal, créée par une densité de courant ${j_\phi }\left( r \right)$ circulant dans la direction azimutale à l'intérieur du plasma lui-même.

(Ce courant est induit de l'extérieur en utilisant le plasma comme le secondaire d'un transformateur). On obtient ainsi la configuration magnétique "Tokamak".

a) Calculer ${B_\theta }$ en fonction de $r$ et de la quantité : $I\left( r \right) = \int_0^r {2\pi \rho {j_\phi }\left( \rho  \right)d\rho } $.

b) Montrer qu'une ligne du champ $\vec B = {\vec B_\phi } + {\vec B_\theta }$ s'enroule autour d'un tore de rayon moyen $R$ et de rayon de cercle méridien $r$. On appelle surfaces magnétiques ces tores emboîtés les uns dans les autres et sur lesquels s'enroulent les lignes de champ. En se limitant au cas $r <  < R$, établir que, sur une surface magnétique, l'équation d'une ligne de champ obéit à une équation de la forme : $\frac{d}{{d\theta }} = q\left( r \right)$ [3]. En utilisant ${B_0}$, $I\left( r \right)$ et la variable $r/R$, déterminer la fonction $q\left( r \right)$ de façon approchée en négligeant les termes d'ordre 2 en $r/R$. Quelle est la signification géométrique du facteur $q\left( r \right)$ ?

Application numérique : on réalise expérimentalement $q\left( 0 \right) = 1$ ; en déduire ${j_\phi }\left( 0 \right)$, en reprenant les valeurs données dans la question VIII.

c) Décrire le mouvement d'une particule chargée dans cette configuration magnétique et mettre en évidence que l'effet de dérive observé précédemment est ici compensé exactement entre les portions de trajectoire du centre guide, situées de part et d'autre du plan équatorial du tore. Ceci est valable pour les particules qu'on appelle "circulantes", qui suivent dans leur mouvement une ligne de champ.

d) Etablir que 1e long d'une ligne de champ le module du champ magnétique oscille entre deux valeurs extrêmes (on se contentera d'un développement limité à l'ordre 1 en $r/R$). En déduire l'existence d'une autre classe de particules appelées particules "piégées".

e) Quel est l'effet de dérive pour ce type de particules ?

f) Conclure quant à la qualité de la configuration Tokamak utilisée pour confiner des particules chargées en mouvement. (On notera que l'étude simplifiée menée jusqu'ici concernait les mouvements individuels et sans collisions des particules mais qu'en réalité il faut tenir compte de mouvements collectifs dépendant des collisions, de phénomènes de pression, d'instabilités électromagnétiques qui apportent des limites et des correctifs à cette première étude)

**** FIN ****

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[2] Lire ${\dot v_x},{v_x},{\dot v_y},{v_y}$.

[3] Lire $\frac{{d\phi }}{{d\theta }} = q\left( r \right)$

Concours Physique ENSI Chimie Sud 1985 (Corrigé)

I.

1° Soit ${\vec \sigma _{tige}}$ le moment cinétique en O de la tige : $\frac{{d{{\vec \sigma }_{tige}}}}{{dt}} = \overrightarrow {OM}  \wedge  - m\vec R$. La tige ayant une masse négligeable, ce moment cinétique est négligeable, donc $\vec R$ est parallèle à $\overrightarrow {OM} $.

2° Le moment cinétique en O du mobile est $\vec \sigma  = \overrightarrow {OM}  \wedge m\vec v = \left( \begin{array}{l}r\\0\\z\end{array} \right) \wedge m\left( \begin{array}{l}{\dot r}\\r\dot \phi \\{\dot z}\end{array} \right) \Rightarrow {\sigma _z} = m{r^2}\dot \phi $.

3° D’après le théorème du moment cinétique, $\frac{{d\vec \sigma }}{{dt}} = \overrightarrow {OM}  \wedge (m\vec g + m\vec R) = \overrightarrow {OM}  \wedge m\vec g \Rightarrow \frac{{d{\sigma _z}}}{{dt}} = 0$. Donc  ${r^2}\dot \phi  = C$ reste constant au cours du temps.

Dans la suite, nous supposerons cette constante non nulle, ce qui interdit à $r$ de s’annuler et à $z$ d’atteindre les valeurs extrêmes à priori possibles, $ - a$ et $a$. Cela implique aussi que $\dot \phi $, ne pouvant s’annuler, garde un signe constant, donc que le mobile tourne toujours dans le même sens autour de Oz. L’énoncé ne fait pas cette hypothèse, en III 2° il suppose ${\dot \phi _0} \ge 0$, ce qui rend la discussion plus compliquée.

II.

1° ${E_c} = {\textstyle{1 \over 2}}m({\dot r^2} + {r^2}{\dot \phi ^2} + {\dot z^2})$.

2° ${E_p} = mgz$.

3° ${E_m} = {E_c} + {E_p}$ reste constant au cours du temps.

4° ${E_m} = {\textstyle{1 \over 2}}m({\dot r^2} + {r^2}{\dot \phi ^2} + {\dot z^2}) + mgz = {\textstyle{1 \over 2}}mK \Rightarrow K = {\dot r^2} + \frac{{{C^2}}}{{{r^2}}} + {\dot z^2} + 2gz$.

5°

 $\begin{array}{l}{r^2} + {z^2} = {a^2} \Rightarrow 2r\dot r + 2z\dot z = 0 \Rightarrow {{\dot r}^2} = \frac{{{z^2}{{\dot z}^2}}}{{{r^2}}}\\K = \frac{{{z^2}{{\dot z}^2}}}{{{r^2}}} + \frac{{{C^2}}}{{{r^2}}} + {{\dot z}^2} + 2gz = \frac{{{a^2}{{\dot z}^2} + {C^2}}}{{{a^2} - {z^2}}} + 2gz\end{array}$

6° En isolant ${a^2}{\dot z^2}$, on obtient ${a^2}{\dot z^2} = ({a^2} - {z^2})(K - 2gz) - {C^2} = P(z)$

7° Pour déterminer les racines de $P(z) = 0$, cherchons les informations dont nous disposons sur le signe de $P(z)$ :

·         $P(z)$ de degré 3 a au plus trois zéros

·         ${\lim _{z \to \infty }}P(z) =  + \infty $

·         $P(a) =  - {C^2} < 0$

·         au cours du mouvement ${a^2}{\dot z^2} \ge 0$, donc il existe un domaine de $z$ situé dans $ - a < z < a$ pour lequel $P(z) \ge 0$

·         $P( - a) =  - {C^2} < 0$.

Il n’y a que deux formes possibles du graphe de $P(z)$ compatibles avec ces faits :

Le graphe de droite est le cas général : $P(z)$ possède trois zéros, deux compris entre $ - a$ et $a$, qu’on appellera ${z_0}$ et ${z_1}$ , et un supérieur à $a$, qu’on appellera ${z_2}$. Le graphe de gauche correspond au cas particulier où il y a une racine double ; le mouvement est alors circulaire horizontal.

Il ne faut pas répondre que, puisque $P(z)$ est de degré impair, il a au moins un zéro, car ce zéro est ${z_2}$, alors que dans la suite on considère que c’est ${z_0}$.

III.

1°  Si $\dot z = 0$, $\dot r =  - \frac{{z\dot z}}{r} = 0$, tandis que $r\dot \phi  \ne 0$ : la vitesse, qui est orthoradiale, et la trajectoire sont tangentes à un cercle $z = cste$.

2° $C = r_0^2{\dot \phi _0}\quad K = r_0^2\dot \phi _0^2 + 2g{z_0}$.

3°

 $\begin{array}{l}P(z) = ({a^2} - {z^2})(r_0^2\dot \phi _0^2 + 2g{z_0} - 2gz) - r_0^4\dot \phi _0^2 = ({a^2} - {z^2} - r_0^2)r_0^2\dot \phi _0^2 + ({a^2} - {z^2})(2g{z_0} - 2gz)\\ = (z_0^2 - {z^2})r_0^2\dot \phi _0^2 + 2g({a^2} - {z^2})({z_0} - z) = ({z_0} - z)Q(z)\\Q(z) = 2g({a^2} - {z^2}) + (z + {z_0})r_0^2\dot \phi _0^2\end{array}$

4° Comme ${z_0} < a$, $Q( - a) = r_0^2\dot \phi _0^2({z_0} - a) < 0$ ; comme $ - a < {z_0}$, $Q(a) = r_0^2\dot \phi _0^2({z_0} + a) > 0$ ; $Q(z)$ étant un polynôme du second degré,  il a une racine et une seule dans l’intervalle $ - a,a$.

5° Comme ${a^2}{\dot z^2} \ge 0$, le raisonnement de II 7° montre que $z$ reste entre ${z_0}$ et ${z_1}$. En $z = {z_1}$, $Q({z_1}) = 2g({a^2} - z_1^2) + ({z_1} + {z_0})r_0^2\dot \phi _0^2 = 0 \Rightarrow \dot \phi _0^2 = \frac{{ - 2g({a^2} - z_1^2)}}{{({z_1} + {z_0})({a^2} - z_0^2)}} > 0 \Rightarrow {z_1} + {z_0} < 0$

6° Factorisons ${z_1} - z$ dans Q(z) :

$\begin{array}{l}Q(z) = 2g({a^2} - {z^2}) + (z + {z_0})\frac{{ - 2g({a^2} - z_1^2)}}{{({z_0} + {z_1})}} = \frac{{2g[({a^2} - {z^2})({z_0} + {z_1}) - (z + {z_0})({a^2} - z_1^2)]}}{{{z_0} + {z_1}}}\\ = \frac{{2g[{a^2}({z_1} - z) - {z^2}{z_1} - {z^2}{z_0} + z_1^2z + z_1^2{z_0}]}}{{{z_0} + {z_1}}} = \frac{{2g[{a^2}({z_1} - z) + z{z_1}({z_1} - z) + {z_0}(z_1^2 - {z^2})]}}{{{z_0} + {z_1}}}\\ = \frac{{2g({z_1} - z)[{a^2} + z{z_1} + {z_0}(z + {z_1})]}}{{{z_0} + {z_1}}} = 2g({z_1} - z)\left( {z + \frac{{{a^2} + {z_0}{z_1}}}{{{z_0} + {z_1}}}} \right) = 2g({z_1} - z)(z - {z_2})\\{z_2} =  - \frac{{{a^2} + {z_0}{z_1}}}{{{z_0} + {z_1}}}\end{array}$

Autre méthode :
${z_1}$ et ${z_2}$ sont les racines de $Q(z) = 2g({a^2} - {z^2}) + (z + {z_0})r_0^2\dot \phi _0^2 = 0$, où d’après 5° $r_0^2\dot \phi _0^2 = \frac{{ - 2g({a^2} - z_1^2)}}{{({z_1} + {z_0})}}$ ; ils sont donc les racines de :

 $\begin{array}{l}Q(z) = 2g({a^2} - {z^2}) - (z + {z_0})\frac{{2g({a^2} - z_1^2)}}{{({z_1} + {z_0})}} = 0\\{z^2} + \frac{{{a^2} - z_1^2}}{{{z_1} + {z_0}}}z - {a^2} + \frac{{{a^2} - z_1^2}}{{{z_1} + {z_0}}}{z_0} = 0\end{array}$

En utilisant la somme (on peut aussi utiliser le produit) des racines de cette équation du second degré :

${z_1} + {z_2} =  - \frac{{{a^2} - z_1^2}}{{{z_1} + {z_0}}} \Rightarrow {z_2} =  - \frac{{{a^2} + {z_1}{z_0}}}{{{z_1} + {z_0}}}$

7° Pour que la trajectoire soit circulaire, il faut que ${z_1} = {z_0}$, soit d’après III 5° $\dot \phi _0^2 = \frac{{ - 2g({a^2} - z_1^2)}}{{({z_1} + {z_0})({a^2} - z_0^2)}} =  - \frac{g}{{{z_0}}} \Rightarrow {v_{0C}} = \sqrt {\frac{{g(z_0^2 - {a^2})}}{{{z_0}}}} $

Pour que le point atteigne le plan de l'équateur, il faut que ${z_1} > 0$ ; or ${z_1}$ est racine de $Q(z) = 0$, $Q( - a) < 0$ et $Q(a) > 0$ ; donc la condition est :

$\begin{array}{l}Q(0) < 0\\2g{a^2} + {z_0}r_0^2\dot \phi _0^2 < 0\\v_0^2 = r_0^2\dot \phi _0^2 >  - \frac{{2g{a^2}}}{{{z_0}}}\\{v_0} > {v_{OE}} = \sqrt { - \frac{{2g{a^2}}}{{{z_0}}}} \end{array}$

8° On peut imaginer la projection de la trajectoire sur le plan horizontal comme formée de parties tangentes aux cercles de rayons les valeurs extrêmes de $r$, soit ${r_0}$, ${r_1}$ et éventuellement $a$.

          

       

Un calcul précis (voir annexe) pour ${z_0} =  - \sqrt 3 a/2$ donne les courbes suivantes, où les distances sont graduées en unités de $r/a$ :

On voit qu’un feston correspond à plus d’un demi tour et que la trajectoire n’est pas fermée.

IV.

1° ${a^2}{\dot z^2} = P(z) \Rightarrow a\frac{{dz}}{{dt}} =  \pm \sqrt {P(z)} \quad dt =  \pm \frac{{adz}}{{\sqrt {P(z)} }}$.

2° ${r^2}\dot \phi  = C\quad d\phi  = \frac{{Cdt}}{{{r^2}}} =  \pm \frac{{aCdz}}{{({a^2} - {z^2})\sqrt {P(z)} }}$

3° $\frac{T}{2} = \left| {\int\limits_{{z_0}}^{{z_1}} {\frac{{adz}}{{\sqrt {P(z)} }}} } \right|$ ; $\frac{\Phi }{2} = \left| {\int\limits_{{z_0}}^{{z_1}} {\frac{{aCdz}}{{({a^2} - {z^2})\sqrt {P(z)} }}} } \right|$.

N.B. Il faut prendre la valeur absolue de l’intégrale, car on ne sait pas si ${z_0}$ est inférieur ou supérieur à ${z_1}$.

V.

1°

 $\begin{array}{l}z - {z_2} = \frac{{{a^2} + z{z_1} + {z_0}(z + {z_1})}}{{{z_0} + {z_1}}} = \frac{{{a^2} + ( - a + u)( - 2a + {u_0} + {u_1}) + ( - a + {u_0})( - a + {u_1})}}{{ - 2a + {u_0} + {u_1}}}\\ = \frac{{4{a^2} - 2a(u + {u_0} + {u_1}) + O({u^2})}}{{ - 2a + {u_0} + {u_1}}} = 2a\frac{{1 - \frac{{u + {u_0} + {u_1}}}{{2a}} + O({u^2})}}{{1 - \frac{{{u_0} + {u_1}}}{{2a}}}} \approx 2a(1 - u/2a + O({u^2}))\\{(z - {z_2})^{ - 1/2}} = \frac{1}{{\sqrt {2a} }}(1 + u/4a + O({u^2}))\\k = \frac{1}{{\sqrt {2a} }}\quad l = \frac{1}{{4a\sqrt {2a} }}\end{array}$

 2°

$\begin{array}{l}\frac{1}{{{r^2}}} = \frac{1}{{{a^2} - {z^2}}} = \frac{1}{{{a^2} - {{( - a + u)}^2}}} = \frac{1}{{2au - {u^2}}} = \frac{1}{{2au}}{(1 - u/2a)^{ - 1}} = \frac{1}{{2au}}(1 + u/2a + O({u^2}))\\m = \frac{1}{{2a}}\quad n = \frac{1}{{4{a^2}}}\end{array}$

3°

 $\begin{array}{l}{({z_2} - z)^{ - 1/2}} \times {r^{ - 2}} = \frac{1}{{\sqrt {2a} }}(1 + u/4a + O({u^2}))\frac{1}{{2au}}(1 + u/2a + O({u^2})) = \frac{{1 + 3u/4a + O({u^2})}}{{{{(2a)}^{3/2}}u}}\\p = \frac{1}{{{{(2a)}^{3/2}}}}\quad q = \frac{3}{{2{{(2a)}^{5/2}}}}\end{array}$.

4°

$\begin{array}{l}\frac{T}{2} = \left| {\int\limits_{{z_0}}^{{z_1}} {\frac{{adz}}{{\sqrt {({z_0} - z)2g(z - {z_1})(z - {z_2})} }}} } \right| = \frac{a}{{\sqrt {2g} }}\left| {\int\limits_{{u_0}}^{{u_1}} {\left[ {\frac{{du}}{{\sqrt {(u - {u_0})({u_1} - u)} }}\frac{1}{{\sqrt {2a} }}(1 + u/4a + O({u^2}))} \right]} } \right|\\T = \sqrt {\frac{a}{g}} \left| {\int\limits_{{u_0}}^{{u_1}} {\frac{{(1 + u/4a + O({u^2}))du}}{{\sqrt {(u - {u_0})({u_1} - u)} }}} } \right|\end{array}$

5°

$\begin{array}{l}{C^2} = r_0^4{{\dot \phi }^2} = ({a^2} - z_0^2) \times  - \frac{{2g({a^2} - z_1^2)}}{{{z_0} + {z_1}}} = \frac{{2g(2a{u_0} - u_0^2)(2a{u_1} - u_1^2)}}{{2a - {u_0} - {u_1}}} = 4ag{u_0}{u_1}\frac{{(1 - {u_0}/2)(1 - {u_1}/2)}}{{(1 - {u_0}/2 - {u_1}/2)}}\\{C^2} = 4ag{u_0}{u_1} + O({u^4})\quad C = \sqrt {4ag{u_0}{u_1}} (1 + O({u^2}))\end{array}$

6° L’intégrant de $\Phi $ est celui  de $T$ multiplié par $\frac{C}{{{a^2} - {z^2}}} = \frac{C}{{2au - {u^2}}} = \sqrt {\frac{g}{a}} \frac{{\sqrt {{u_0}{u_1}} }}{u}(1 + \frac{u}{{2a}} + O({u^2}))$.

$\Phi  = \left| {\int\limits_{{u_0}}^{{u_1}} {\frac{{\sqrt {{u_0}{u_1}} }}{u}(1 + \frac{u}{{2a}} + O({u^2}))\frac{{(1 + u/4a + O({u^2}))du}}{{\sqrt {(u - {u_0})({u_1} - u)} }}} } \right| = \sqrt {{u_0}{u_1}} \left| {\int\limits_{{u_0}}^{{u_1}} {\frac{1}{u}\frac{{(1 + 3u/4a + O({u^2}))du}}{{\sqrt {(u - {u_0})({u_1} - u)} }}} } \right|$

VI.

1° Comme : ${I_n} = \int_{{u_0}}^{{u_1}} {\frac{{{u^n}du}}{{\sqrt {(u - {u_0})({u_1} - u)} }}} $ où : ${I_{ - 1}} = \frac{\pi }{{\sqrt {{u_0}{u_1}} }}\;;\quad {I_0} = \pi \;;\quad {I_1} = \frac{{({u_0} + {u_1})\pi }}{2}$

$\begin{array}{l}T = \sqrt {\frac{a}{g}} ({I_0} + {I_1}/4a) = \pi \sqrt {\frac{a}{g}} \left( {1 + \frac{{{u_0} + {u_1}}}{{8{a_{}}}}} \right)\\\Phi  = \sqrt {{u_0}{u_1}} ({I_{ - 1}} + 3{I_0}/4a) = \pi  + \frac{{3\pi \sqrt {{u_0}{u_1}} }}{{4a}}\end{array}$

2° $\Delta \Phi  = \frac{{3\pi \sqrt {{u_0}{u_1}} }}{{4a}}$.

3° Nature de la trajectoire.

D’après la loi fondamentale de la dynamique,$m\vec R + m\vec g = m\vec a$ ou :
$\begin{array}{l}m\ddot x = m{R_x}\\m\ddot y = m{R_y}\\m\ddot z = m{R_z} - mg\end{array}$

Comme $m\vec R$ est parallèle au rayon vecteur, $\frac{{{R_x}}}{x} = \frac{{{R_y}}}{y} = \frac{{{R_z}}}{z}$.

En outre, ${x^2} + {y^2} + {z^2} = {a^2}$.

Pour les petites oscillations, en développant ces équations jusqu’à l’ordre 1 en $x,y$, on obtient :

$\begin{array}{l}z \approx  - a\quad m{R_z} \approx mg\quad m{R_x} \approx  - \frac{{mgx}}{a}\quad m{R_y} \approx  - \frac{{mgy}}{a}\\\ddot x + \frac{{gx}}{a} = 0\quad \ddot y + \frac{{gy}}{a} = 0\\\omega  = \sqrt {\frac{g}{a}} \quad x = {X_m}\cos (\omega t + \phi )\quad y = {Y_m}\cos (\omega t + \phi ')\end{array}$

A cet ordre, la projection de la trajectoire sur le plan horizontal est une ellipse fixe parcourue avec la période $2\pi \sqrt {a/g} $.

Lente rotation de cette ellipse.

Si on pousse les calculs à l’ordre suivant, l’ellipse tourne lentement :$\frac{{\Delta \Phi }}{T} \approx \frac{3}{4}\sqrt {\frac{{{u_0}{u_1}g}}{{{a^3}}}} $.
Pour des festons proches du fond de la cuvette ${u_0} = a - {z_0} = a - \sqrt {{a^2} - r_0^2}  = a - a{\left( {1 - \frac{{r_0^2}}{{{a^2}}}} \right)^{1/2}} \approx a - a\left( {1 - \frac{{r_0^2}}{{2{a^2}}}} \right) = \frac{{r_0^2}}{{2a}}$ et ${u_1} \approx \frac{{r_1^2}}{{2a}}$, donc $\frac{{\Delta \Phi }}{T} \approx \frac{{3{r_0}{r_1}g}}{{8{a^{5/2}}}}$. Pour réussir de façon convaincante l’expérience du pendule de Foucault, il faudrait que ce terme soit petit devant $\omega \sin \lambda  = 11^\circ /h$.

4° Si ${r_1} \to 0$, on remarque que $\Delta \Phi  \to 0$ et surtout que$T \to \pi \sqrt {\frac{a}{g}} \left( {1 + \frac{{{u_0}}}{{8{a_{}}}}} \right)$. Or ${u_0} = a - {z_0} = a - \sqrt {{a^2} - r_0^2}  = a - a{\left( {1 - \frac{{r_0^2}}{{{a^2}}}} \right)^{1/2}} \approx a - a\left( {1 - \frac{{r_0^2}}{{2{a^2}}}} \right) = \frac{{r_0^2}}{{2a}}$. D’où $T \approx \pi \sqrt {\frac{a}{g}} \left( {1 + \frac{{r_0^2}}{{16{a^2}}}} \right)$. On retrouve la formule de Borda $T' \approx 2\pi \sqrt {\frac{a}{g}} \left( {1 + \frac{{\theta _m^2}}{{16}}} \right)$ car ${r_0}/a = \sin {\theta _m}$ est voisin de l’amplitude angulaire ${\theta _m}$ du pendule et une période du pendule correspond à deux festons : $T' = 2T$.

Annexe 1 : tracé numérique des trajectoires.

Pour calculer numériquement les projections sur l’horizontale des trajectoires, il est malaisé d’utiliser les équations différentielles de l’énoncé, car elles comportent des racines carrées. Il est préférable d’opérer comme suit.

Exprimons la conservation du moment cinétique :${r^2}\dot \phi  = {r_0}{v_0} \Rightarrow \dot \phi  = \frac{{{r_0}{v_0}}}{{{a^2} - {z^2}}} = {\dot \phi _0}\frac{{{a^2} - z_0^2}}{{{a^2} - {z^2}}}$.

En utilisant ${r^2} + {z^2} = {a^2} \Rightarrow r\dot r + z\dot z = 0$, exprimons le carré de la vitesse :
${v^2} = {\dot r^2} + {r^2}{\dot \phi ^2} + {\dot z^2} = \frac{{{z^2}{{\dot z}^2}}}{{{r^2}}} + \frac{{r_0^2v_0^2}}{{{r^2}}} + {\dot z^2} = \frac{{{a^2}{{\dot z}^2} + r_0^2v_0^2}}{{{a^2} - {z^2}}}$

Exprimons la conservation de l’énergie, ce qui donne le résultat de II 6° :
$\begin{array}{l}E = {\textstyle{1 \over 2}}mv_0^2 + mg{z_0} = {\textstyle{1 \over 2}}m\frac{{{a^2}{{\dot z}^2} + r_0^2v_0^2}}{{{a^2} - {z^2}}} + mgz\\{a^2}{{\dot z}^2} = (v_0^2 + 2g{z_0} - 2gz)({a^2} - {z^2}) - r_0^2v_0^2\end{array}$

Dérivons par rapport au temps et éliminons la solution parasite $\dot z = 0$ :
$\begin{array}{l}2{a^2}\dot z\ddot z =  - 2(v_0^2 + 2g{z_0})z\dot z - 2g{a^2}\dot z + 6g{z^2}\dot z\\{a^2}\ddot z =  - (v_0^2 + 2g{z_0})z - g{a^2} + 3g{z^2}\\v_0^2 = ({a^2} - z_0^2)\dot \phi _0^2\end{array}$

D’où le système différentiel en $\phi (t),z(t)$ :

$\left\{ \begin{array}{l}\ddot z = \frac{{g(3{z^2} - 2{z_0}z - {a^2}) - ({a^2} - z_0^2)\dot \phi _0^2z}}{{{a^2}}}\\\dot \phi  = {{\dot \phi }_0}\frac{{{a^2} - z_0^2}}{{{a^2} - {z^2}}}\end{array} \right.$

qu’on résout numériquement et dont on trace les courbes en coordonnées polaires $\sqrt {{a^2} - {z^2}} ,\phi $, soit en langage maple :

> a:=1:g:=1:

graphe:=proc(z0,derphi0,duree,couleur)

local K,eq1,eq2,ci,sol,phi,z:

global a,g:

eq1:=diff(z(t),t,t)=g*((3*z(t)^2-2*z(t)*z0)/a^2-1)-(1-z0^2/a^2)*derphi0^2*z(t);

eq2:=diff(phi(t),t)=derphi0*(a^2-z0^2)/(a^2-z(t)^2);

ci:=z(0)=z0,D(z)(0)=0,phi(0)=0;

sol:=dsolve({eq1,eq2,ci},{z(t),phi(t)},numeric);

plots[odeplot](sol,[sqrt(a^2-z(t)^2)*cos(phi(t)),sqrt(a^2-z(t)^2)*sin(phi(t))],0..duree,numpoints=200,color=couleur);

end:

> zi:=-evalf(sqrt(3)/2):derphi0C:=sqrt(-g/zi);derphi0E:=sqrt(-2*g*a^2/zi/(a^2-zi^2));

> liste:=[0.7,0.85,1,1.2,1.4]:

couleurgraphe:=proc(i);

if i<3 then green elif i=3 then blue else red fi

end:

> plots[display]({seq(graphe(zi,derphi0C*liste[i],5.7,couleurgraphe(i)),i=1..5)},scaling=constrained);

> plots[display]({seq(graphe(zi,derphi0E*liste[i],5,couleurgraphe(i)),i=1..5),plots[polarplot](1,color=black,linestyle=3)},scaling=constrained);

> plots[display]({graphe(zi,derphi0C*0.7,5.7,black),graphe(zi,derphi0C*1.4,5.7,black)},scaling=constrained);

> plots[display]({graphe(zi,derphi0E*1.4,5.7,black),plots[polarplot](1,color=black,linestyle=3)},scaling=constrained);

>

Annexe 2 : dessins vectoriels utilisés.

Concours Physique Véto 1984 (Énoncé)

I. QUESTION de COURS

SUBLIMATION D’UN CORPS PUR

Définition, diagramme d’équilibre.

Chaleur latente de sublimation L_s : définition, établir une expression de L_s (relation de Clapeyron).

Application numérique :

Sur la plaque chauffante d'une enceinte à lyophiliser est étendu 100 g d’une préparation sous forme d'un gel comportant 98 % en poids d'eau libre. La température est - 5°C. Calculer l'ordre de grandeur de la quantité de chaleur Q à fournir par l'intermédiaire de la plaque chauffante pour lyophiliser totalement à - 5°C la préparation.

Données :

Masse molaire de l'eau : 18 g

Constante des gaz parfaits : R = 8,31 J.K^-1.mole^-1

Volume massique de la glace : 1,09.10^-3 m³ kg^-1

Pression de vapeur de la glace :

 à t = 0 °C,  610,8 Pa

 à t = - 5°C, 401,7 Pa

 à t = - 10°C,  260,0 Pa

II. PROBLÈME

Un endoscope est un appareil d'optique utilisé en investigation paraclinique permettant l'observation, sous faible grossissement, de cavités et de conduits naturels : appareils digestif, respiratoire.

Le tube de l'endoscope comporte un objectif, un système optique transportant l'image objective et un oculaire.

La lumière nécessaire à l'observation est conduite jusqu'à l'objet par un guide de lumière parallèle au tube endoscopique.

Ce problème comprend deux parties, indépendantes pour l'essentiel.

Conventions pour l'ensemble du problème :

L'axe optique est orienté dans le sens de propagation de la lumière (de gauche à droite). Les objets et images perpendiculaires à l'axe optique sont mesurés algébriquement sur l'axe orienté vers le haut de la page.

Les angles des rayons avec l'axe principal sont évalués algébriquement avec la convention habituelle (sens trigonométrique).

Exemples

Les conditions de l'approximation de Gauss sont supposées remplies.

1. OBJECTIF ET OCULAIRE

1° On assimile l'objectif à une lentille mince convergente L₁, de distance focale f’₁ = 10 mm. L'objet AB assimilé à un segment de droite perpendiculaire à l'axe optique (A sur l'axe) est placé, pour les conditions standard d'utilisation, à 50 mm devant le centre optique 0₁ de L₁ .

Déterminer par $p{'_1} = \overline {{O_1}A'} $ la position de l'image donnée par l'objectif. Calculer le grandissement $\gamma  = \frac{{\overline {A'B'} }}{{\overline {AB} }}$.

2° L'image A'B' est observée à travers un oculaire assimilé à une lentille mince convergente L₂ de centreO₂, de distance focale image$f{'_2} = \overline {{O_2}F{'_2}}  = 20{\rm{ mm}}$.

a. Pour un oeil normal effectuant une observation sans accommodation (observation à travers l'instrument d'une image située à l'infini), indiquer la place du foyer objet F₂ de l'oculaire.

b. Calculer le grossissement commercial G_c de l'appareil défini par ${G_c} = \frac{{\alpha '}}{\alpha }$

a étant l'angle sous lequel serait vu directement par l'oeil l'objet AB placé à 250 mm; a' l'angle. sous lequel est vu, à travers l'instrument, l'objet placé comme indiqué au paragraphe 1°.

3° On admet que l'observateur, par la faculté d'accommodation de son oeil perçoit nettes les images situées de l'infini à 250 mm. Les positions respectives de l'oculaire et de l'objectif n'étant pas modifiées, dans quel intervalle de ${p_1} = \overline {{O_1}{A_1}} $l'observateur a‑t‑il une perception nette de l'objet AB? Calculer la latitude de mise au point ou profondeur de champ.

2.   TRANSPORT DE L'IMAGE DONNÉE PAR L'OBJECTIF.

Pour allonger la distance entre l'objet et l'oculaire, on intercale une association de lentilles entre l'objectif et l'oculaire.

1° a. L'image A'B' fournie par l'objectif est reprise par une lentille mince convergente de centre S₁, de distance. focale image f' = S₁j’₁, placée à une distance $\overline {A'{S_1}}  = 2f'$ derrière A'.

Déterminer la position de l'image A’₁B’₁, sa grandeur$\overline {A{'_1}B{'_1}} $, le grandissement. On posera$y' = \overline {A'B'} $.

b. On utilise une série de p lentilles identiques à la précédente, de centres S₁, S₂, ... S_n, S_n+1, ... S_p, équidistants :$\overline {{S_n}{S_{n + 1}}}  = 4f'$. L'image obtenue après passage de la lumière à travers l'objectif et les n premières lentilles est notée A’_nB’_n, n Î {1, 2, ..., p}.

Quelles sont les valeurs de p qui permettent une observation sans inversion à travers l'instrument ?

Faire un schéma indiquant la marche d'un rayon quelconque passant par B'_n-1, B'_n, B'_n+1. On note u_n-1 l'angle avec l'axe principal d'un rayon passant par B'_n-1.

Calculer l'angle u_n que fait ce rayon avec l'axe principal après traversée de la lentille de centre S_n, en fonction de u_{n‑ 1}, $y{'_{n - 1}} = \overline {A{'_{n - 1}}B{'_{n - 1}}} $ et f’.

En déduire l'angle u_p du rayon sortant du système des p lentilles et qui provient de B' où il faisait l'angle u₀ avec l'axe principal, en fonction de p, u₀ et$y' = \overline {A'B'} $.

c. Les lentilles ont le même diamètre. L'objet AB est également lumineux pour tous ses points entre A et B. Quelles conclusions vous suggèrent les résultats précédents, quant à la perception par l'oeil de l'image de AB ?

2° On remplace le dispositif précédent par une série de 2 p lentilles convergentes identiques, de distance focale f', telles que le foyer image de l'une soit confondu avec le foyer objet de la suivante.

Le foyer objet j₁ de la première lentille est placé en A'. On note A’₁B’₁ l'image de A’B’ donnée par les deux premières lentilles.

a. Quelle est la position de A’₁B’₁ ? Quelle est la mesure algébrique $y{'_1} = \overline {A{'_1}B{'_1}} $ de cette image en fonction de$\overline {A'B'} $ ?

b. Faire un schéma donnant la marche d'au moins 3 rayons passant par B', allant en B’₁ et traversant les deux premières lentilles.

c. Soient u₀ l'angle avec l'axe principal que fait un rayon quelconque en passant par B' , u₁ l'angle que fait ce rayon avec l'axe en passant par B'₁. Exprimer u₁ en fonction de u₀ .

d. Quel est l'angle u_p à la sortie du système, en B'_p, de ce rayon ?

e. Les conclusions du 2.1° c. sont‑elles modifiées ?

f. On utilise 34 lentilles semblables (p = 17) de distance focale f' = 15 mm. Sur quelle longueur est transportée l'image par cette association ? Y a‑t‑il une inversion dans l'observation à travers l'appareil ?

g. En fait, une lentille ne laisse passer qu'une “ fraction T de la lumière ” (à cause principalement des réflexions secondaires sur les surfaces air verre).

Pour une lentille ordinaire T = 0,900. Quelle fraction de la lumière est effectivement transportée par ces 34 lentilles ?

Même question pour des lentilles ayant reçu un traitement antireflet multicouches, avec T = 0,996.