Concours Physique ENS de Cachan et École Polytechnique (PSI) 1999 (Corrigé)

On écrit les équations électriques et mécanique
\({U_0} = L\,\frac{{dI}}{{dt}} + RI + \Phi \Omega \,\,\,;\,\,\,J\frac{{d\Omega }}{{dt}} = \Phi I\)

I₀=0 et Ω₀=U₀/Φ
\(\frac{{\sqrt {LJ} }}{\Phi } = 3s{\rm{ et }}\frac{R}{{2\Phi }}\sqrt {\frac{J}{L}} = 5\)

Equation du second ordre on trouve deux racines réelles donc solutions exponentielles
r₁=-0.033 s^-1 et r₂=-3.30 s^-1 et Ω=Ω₀ (1+(r₁/r₂ exp(r₂t)-exp(r₁t))/(1- r₁/r₂))
On peut noter que le terme en exp(r₂t) est souvent négligeable devant l’autre, ainsi que le rapport r₁/r₂ devant 1

Ce n’est pas compatible, le courant en régime permanent devrait être nul.
On peut ajouter des frottements sous la forme d’un couple de frottement -C_r sur l’axe et le courant I_p=C_r/Φ.

I₀’=-C₀/Φ. et Ω₀’=U₀/Φ+RC₀/Φ²

Ω=Ω₀’ (1+(r₁/r₂ exp(r₂t)-exp(r₁t))/(1- r₁/r₂)( 1-Ω₀/Ω₀’))- (exp(r₂t)-exp(r₁t))C₀/(J(r₂-r₁))

cycle complémentaire de celui de K ouvert jusqu’à t=αT puis fermé jusqu’à T

valeur moyenne <U(t)>=αU₀

<P(t)>=αU₀ I₀

K est la fonction transistor et K’ la fonction diode

La continuité et la périodicité donnent les résultats demandés avec τ=L/R, β=exp(-αT/τ) et β’= exp(-(1--α)T/τ)
courant maximum I_M=((1-β)/(1-ββ’) U₀/R) et le courant minimum I_m=βI_M
0<t<αT on a i(t)=U₀/R+(I_m-U₀/R)exp(-t/τ)
αT<t<T on a i(t)=I_M exp(-(t-αT)/τ)

On peut avoir une conduction discontinue si E est différent de 0V

Il faut associer les deux interrupteurs précédents en parallèles
une fonction transistor et diode en antiparallèle

On peut raisonner sur l’énergie E_c=(M_bus v²+J_roues Ω²)/2 . La vitesse v est reliée à la rotation des roues par leur diamètre D : v=DΩ/2 donc avec J=M_bus D²/4+J_roues on a
E_c=JΩ²/2 ou la plus grande partie de J est due à la masse du bus

Le courant va décroître quand la vitesse augmente à cause de la fcem donc le courant maximum I_M=U₀/R ; on a I=I_M exp(-t/τ’) avec τ’=RJ/Φ²

A t=0 on est en fonctionnement générateur de courant α=(1+ t/τ’)/2 puis à partir de t=τ’ α=1
avec <U(t)>=αU₀ .

t<τ’ Ω=U₀ Φ/(2JR) t=U₀/(2Φ) t/τ’ puis pour t>τ’ Ω=U₀ /Φ (1-exp(1- t/τ’)/2)

t<τ’ I=I_M/2 puis pour t>τ’ I=I_M/2 exp(1- t/τ’)

L’inductance aurait changée l’ordre de l’équation différentielle ; avec un ordre 2 le courant n’aurait pas été maximum à t=0.
Avec U(t) seraient apparues des ondulations de courant

L’équation électrique en régime permanent donne :
U₀=Φ(Ω_d+Ω_g)= Φ2*Ω=Φ2 v2/D d’ou v=DU₀/4Φ

On a =Ω_d/R=Ω_g/(R+L)=Ω/(R+L/2) avec Ω=U₀/2Φ

Cette mesure peut être faite en mesurant la fcem d’une machine annexe ou à l’aide d’un capteur et d’un dispositif de comptage

On ne peut pas utiliser un transformateur, son rapport de transformation n’est valable qu’en régime variable

On a la puissance mécanique P_m=ΦΩI et la puissance électrique P_e=α U₀I
Il faut connaître le paramètre Φ de la machine.
P_e>P_m la différence étant due aux pertes de conversion électromagnétique

Il faut utiliser les interrupteurs décrits au 2.7

Le bus étant immobile le courant atteint sa valeur maximum et au démarrage le couple est plus important. On peut noter que la différence entre les constantes de temps électrique et mécanique est telle que, de toute façon, le temps d’établissement du courant est très petit devant les temps caractéristiques du mouvement du bus

Courbe N°1 au départ alimentation en courant (cf 3.5) puis régulation de vitesse . la courbe est la réponse d’un système du second ordre (pente à l’origine non nulle (cf 5.5). Le courant ne s’annule pas en régime permanent il y a des frottements (cf 1.5).
Courbe N°2 dans la première partie le courant augmente pour maintenir une vitesse constante il y a un couple supplémentaire au couple de frottement, par exemple une montée. Puis il y a un couple qui se retranche au couple de frottement et qui lui est supérieur, par exemple une descente (cf 1.7). Dans ce dernier cas l’énergie et renvoyée vers l’alimentation (cf 5.4). D’après les courbes les montée et descente ont sensiblement le même pourcentage.
Courbe N°3 le démarrage est semblable, au début, à la courbe N°1 puis on remarque une brusque augmentation de la vitesse de rotation de la roue droite qui ne peut être due (différence d’inertie) qu’au patinage de celle-ci. Le système de commande réagit en diminuant le courant, donc le couple sur la roue qui se remet à rouler sans glisser (antipatinage). Le courant ayant diminué de moitié, la croissance de la vitesse sera diminuée d’1/4 pour un seul essieu moteur.
Courbe N°4 la vitesse de rotation de la roue gauche étant supérieur le bus tourne sur la droite (cf 4.2), on remarque que les courants en régime permanent, lors du virage, sont différents. On peut en déduire que les pertes par frottements dépendent de la vitesse

Le rendement maximum pour un cycle ditherme (rendement de Carnot) \(\eta = 1 - \frac{{{T_{froide}}}}{{{T_{chaude}}}}\) donne en prenant une température de source froide de 300K une température de la source chaude de 6000K, ce qui semble trop important

On écrit la loi de Fourier \( - K\,\frac{{dT}}{{dr}} = {j_r}\) et la conservation du flux thermique \({j_r}\,4\pi \,{r^2} = \Psi \)d’où après intégration \({T_{{\mathop{\rm intérieur}}}} = {T_0} + \frac{\Psi }{{K4\pi }}\,\frac{{{R_2} - {R_1}}}{{{R_2}{R_1}}}\)

On décharge le premier condensateur puis on le charge avec e₁=q/C. Ensuite on charge le deuxième sous une tension e₁ on fixe donc e à q/C et on l’isole. Puis on recommence un cycle. La tension de sortie est bloquée pendant la charge du premier condensateur (système échantillonneur bloqueur )

C’est un comparateur à hystérésis.
La sortie est binaire U_M ou 0V l’hystérésis évite un basculement intempestif, par exemple une tache sur la bande blanche.

On reconnaît un sommateur, en appliquant le théorème de Millmann au entrées de l’amplificateur opérationnel on obtient :\(E = \sum\limits_{i = 1}^N {\frac{{{G_i}}}{G}} ({U_{N - i + 1}} - {U_{N + 1 + i}})\)

Si l’on prend la bande centrée sur la caméra la tension E sera nulle, les tensions de U_N-P à U_N+1+P s’annulent deux à deux on peut prendre les conductances de G₁ à G_P quelconques par exemple une constante G₀ qui peut être nulle et que l’on choisira nulle.
Si l’on décale la bande d’une barrette la tension U_N-P va devenir égale à 0V et la tension U_N+2+P devient égale à U_M .Pour la tension E on ajoute -(G_P+G_P+1)U_M/G=-E₀.avec E₀=αU_M
Si l’on décale d’une bande supplémentaire on ajoute -(G_P-1+G_P+2)U_M/G=-E₀. On en déduit pour avoir un écart proportionnel que les G_i pour P+1≤i≤2P doivent être identiques =αG.
Si la bande est située maintenant d’un même coté ; les U_i non nuls sont pour K≤i≤K+2P avec K>N ;quand on décale la bande d’une barrette à E on ajoute (G_K-G_K+2P+1) U_M/G=-E₀ donc l’écart entre G_K et G_K+2P+1 doit être égale à αG donc G_K+2P+1= G_K +αG.
De ces relations on en déduit G_i=αG pour P+1≤i≤3P+1 et ensuite de proche en proche G_i=jαG pour j+(2j-1)P+1≤i≤j+(2j+1)P

Le module est divisé par 10 pour une multiplication de la fréquence par 10 environ un modèle passe-bas du premier ordre peut donc convenir pour H(p)=H₀/(1+p/ω₀).

dY/dt=v sin(α(t))=v b(t) à l’aide des transformée de Laplace on a Y(p)=B(p)v/p

Le schéma est réalisé pour A>0. Il faut noter que le soustracteur peut fonctionner à l’opposé si A est négatif

B est non nul tant que Y est différent de Y₀ et si Y<Y₀ alors b >0 et Y augmente.
La présence d’une intégration dans la boucle ouverte permet une erreur de position nulle.

La fonction de transfert entre Y et Y₀ en boucle ouverte vaut T(p)=A H(p)v/p , en boucle fermé on a T/(1+T) ce qui donne le résultat demandé avec \({\omega _1} = \sqrt {{\omega _0}vA{H_0}} \,\,et\,\,\lambda = \frac{1}{2}\sqrt {\frac{{{\omega _0}}}{{vA{H_0}}}} \)

La fonction de transfert H(p) est sûrement le résultat d’un asservissement (contre réaction) on retrouve une propriété de l’amplificateur opérationnel bouclé avec conservation du produit gain bande

On trouve ω₀=13.1 rd/s , le réglage permet de minimiser le temps de réponse à 5%

On observe une avance de la réponse le capteur est en avant des roues. L’écart est de ω₁t₀=0.2 d’où L=vt₀=30cm

Y_{0 observé}(t)=Y₀(t+t₀) donc Y_{0 observé}(p)=Y₀(p) exp(pt₀) donc Y(p)/Y₀(p)=G(p) exp(pt₀).

Le bus anticipe sur la route l’écart Y(t)-Y₀(t) est donc inférieur au cas L=0. Le coefficient d’amortissement dépend de la vitesse du bus, les zones sensibles devront donc être abordée à la même vitesse, ou λ devra changer en fonction de la vitesse.

Les quatre équation de Maxwell avec densité de charge et de courant nuls

K=ω/c

On est en représentation complexe pour une onde monochromatique ou sinusoïdale. Cette onde est progressive de direction u_r . Les champs tendent vers 0 quand on s’éloigne de l’origine

On a λ=2π/k

On a r>>λ donc kr>>1
\({\bf{\vec E}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0\\{( - {k^2})\frac{1}{{4\pi {\varepsilon _0}}}{P_0}\frac{{\sin (\theta )}}{r}\,{e^{i(\omega t - kr)}}}\\0\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,et\,\,\,\,\,{\bf{\vec B}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0\\0\\{ - c{\mu _0}\frac{{{k^2}}}{{4\pi }}{P_0}\frac{{\sin (\theta )}}{r}\,{e^{i(\omega t - kr)}}}\end{array}} \right.\)

Les champs électromagnétiques sont orthogonaux et forment avec le vecteur d’onde un trièdre direct, mais leurs amplitudes dépendent de la distance et de l’angle θ.

On note l’amplitude des champs électriques sous la forme E₀₁=E₀ a/r₁ et de la même manière pour l’antenne 2 on notera u_Z la direction verticale des deux champs.
Le champ total projeté sur cet axe E=E₀a exp(jωt)(exp(-jkr₁)/r₁+ exp(-jkr₂)/r₂)
Sur l’axe médiateur des antennes les champs s’ajoutent ainsi que si k(r₁-r₂) =2πn.
si k(r₁-r₂) =π(2n+1) les champs se retranchent, mais comme il n’ont pas la même amplitude le résultat est différent de 0.
On pourra donc observer des interférences, mais leur contraste (écart relative entre le maximum et le minimum) diminuera quand on s’écarte de l’axe médiateur et quand on se rapproche des antennes.

les antennes sont alors remplacées par deux sources lumineuses, mais celle-ci ne sont alors plus cohérentes, il faut donc fabriquer deux sources secondaires par division du front d’onde (trous d’Young)ou division d’amplitude (interféromètre de Michelson).
On peut remarquer que le signal n’est pas produit par les antennes, et que un seul générateur de signal les alimente , le système de division se faisant dans un circuit hyperfréquence .

On a r₁ et r₂ suffisamment proche et égaux à r. Soit ϕ l’angle entre l’axe médiateur et la direction d’observation orienté par la vertical ascendante. la différence de r₂-r₁ est égale à δ=a sin(ϕ)

Les deux champs magnétiques sont colinéaires d’amplitude divisée par c par rapport aux champs électriques et orthogonaux
\(\left\langle \Pi \right\rangle = c\,{\varepsilon _0}\left\langle {{E^2}} \right\rangle = \frac{{c\,{\varepsilon _0}\,\underline {\vec E\,{{\vec E}^ \times }} }}{2} = c\,{\varepsilon _0}E_0^22\frac{{{a^2}}}{{{r^2}}}\,{\cos ^2}(\frac{{\pi \delta }}{\lambda })\) révélateur d’interférences

Il faut qu’il ne se trouve qu’une interférence constructive vers l’avant du bus l’interférence d’ordre 0, par exemple. On pose δ₀=λφ/2π donc δ=a sin(ϕ)+δ₀.
δ=0 pour ϕ₀=60° donc δ=-λ pour ϕ<-90° a sin(ϕ₀)+δ₀=0 et, à la limite –a+δ₀=-λ d’où :
a=λ/(1+sin(ϕ₀) on a donc a<2.7 cm

En posant ω₂=ω₁ +Δω ≈ω , on obtient par un même calcul que précédemment par une moyenne portant sur ω₁>>Δω, δ(t)=a sin(ϕ)+δ₀+Δω/ω (ct-r) la différence de marche, donc le déphasage entre les deux ondes dépend du temps de manière affine. La direction des interférences constructive va donc balayer les directions vers l’avant du bus.

On a une différence de marche entre deux antennes consécutives δ=a sin(ϕ) à l’aide d’un calcul analogue aux deux antennes, on a cette fois ci une progression géométriques des exp(-jkr_i)= exp(-jk(r₁+(i-1)δ) . la somme des amplitudes va faire intervenir la fonction, \(f(x) = \frac{{\sin (Nx)}}{{\sin (x)}}\) (série géométrique) ,avec N=20,que l’on retrouvera au carré dans le vecteur de Poynting avec \(\left\langle \Pi \right\rangle = c\,{\varepsilon _0}\left\langle {{E^2}} \right\rangle = \frac{{c\,{\varepsilon _0}\,\underline {\vec E\,{{\vec E}^ \times }} }}{2} = c\,{\varepsilon _0}E_0^2\frac{{{a^2}}}{{2{r^2}}}\,{f^2}(\frac{{\pi \delta }}{\lambda })\)

On obtient l’angle ϕ=4.76°=4°45’=0.083rd , On pose δ₀=λφ/2π donc δ=a sin(ϕ)+δ₀ d’où φ=-0.209rd=-11.9°=-11°54’

On utilise le critère de Rayleigh en déterminant la valeur de ϕ annulant pour la première fois <Π> et on la compare à l’écart angulaire correspondant à 3 mètres à cette distance afin de déterminer si l’objet échappe au faisceau du radar.
\(f({x_{\min }}) = 0\, \Rightarrow \,{x_{\min }} = \frac{\pi }{N}\) d’où \(\Delta \delta = \frac{\lambda }{N}{\rm{ avec }}\Delta \delta = a\sin \left( \varphi \right) \approx a\Delta \varphi \).. la demi largeur du faisceau à 60m et de 4m50 on ne peut donc pas distinguer les deux objets

Il s’agit de distinguer deux fréquences proches. En utilisant un multiplieur et un filtre passe bas, on obtient une tension de pulsation égale à la différence. Ensuite, à l’aide d’un fréquencemètre (compteur) ou un dérivateur et un voltmètre, on détermine cette écart de fréquence donc la vitesse.