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Concours Physique École Polytechnique (M') 1995 (Corrigé)

Corrigé
Première Partie
1.a. C’est l’équation classique de continuité:
divj+Ct=0
1.b. La loi de Fick:
j=DgradC
mène immédiatement à:
DΔC=Ct
Δ désignant l’opérateur Laplacien.
2.a. Il suffit de vérifier l’équation différentielle (linéaire, donc indépendante de K) ci-dessous; on calcule donc:
t(Ktex2/4Dt)=Kex2/4Dt(12t32+1t52x24D)
qu’on écrira encore:
t(Ktex2/4Dt)=Kttex2/4Dt(12x24Dt)
et, d’autre part, le Laplacien s’écrit ici:
DΔ(Ktex2/4Dt)=D2x2(Ktex2/4Dt)=DKtx(2x4Dtex2/4Dt)
ou, après une seconde dérivation:
DΔ(Ktex2/4Dt)=K2ttex2/4Dt(12x4Dt)
d’où par identification:
DΔC=Ct
c’est-à-dire que cette fonction vérifie l’équation différentielle de la diffusion.
D’autre part, les conditions initiales sont données par le comportement asymptotique de cette fonction si t → 0; on a alors:
limt0=Ktex2/4Dt=0
car l’exponentielle l’emporte sur la puissance; mais cette convergence vers la fonction 0 n’est pas uniforme puisqu’on a aussi:
C(x,t)=Ktex2/4DtC(0,t)=Kt
correspondant à une densité très élevée en x = 0, en toute rigueur infinie à t = 0. On détermine enfin K en écrivant le nombre total de particules (conservé):
N0=x=C(x,t)Sdx=KStx=ex2/4Dtdx=KStueu24Dtdu
puisqu’on néglige les effets de bord et qu’on peut donc intégrer au delà de la longueur du tube. En utilisant les résultats fournis par l’énoncé, il vient:
N0=2KSDeu2du=2KSπD
soit enfin la relation demandée:
K=N02SπD
2.b. Le nombre demandé est bien sûr:
dN=CSdx=N02πDtex2/4Dtdx
et la probabilité demandée s’obtient par normalisation:
Pdx=dNN0
d’où l’expression:
P(x,t)=12πDtex2/4Dtdx
2.c. L’abscisse moyenne des molécules marquées reste évidemment nulle à tout instant puisque la diffusion est symétrique de part et d’autre du centre O; on le constate aussi par parité de l’intégrant dans:
<x>=+12πDtxex2/4Dtdx=0
Par contre, son écart quadratique moyen augmente régulièrement au fur et à mesure de la diffusion selon:
x2m=+12πDtx2ex2/4Dtdx=12πDt(4Dt)32u2eu2du
soit enfin, compte tenu des résultats de l’énoncé:
xm=2Dt
3. On a immédiatement:
D=kT6πηr0=1,79109m2s1
xm(t)=2Dt=189μm

Seconde Partie

1. a. Les effets mécaniques d’un champ magnétique sur un dipôle sont ceux d’un couple de moment:
Γ=μB0
d’où, par application du théorème du moment cinétique:
ddtI=1γdμdt=μB0
qu’on écrira encore:
dμdt=ω0μ
1. b. La nouvelle équation différentielle s’écrit:
dMdt=ω0M
d’où, par projection sur Oz:
dMzdt=0
et, en effectuant le produit scalaire par M:
MdMdt=ddtM2=0
qui constituent les résultats demandés.
1. c. L’équation devient après projection:
ddt(MxMy)=(ω0Myω0Mx)ddtM+=iω0M+
d’où, compte tenu des conditions initiales:
M+=M1eiω0tM=M1cos(ω0t)ex+M2sin(ω0t)ey
c’est-à-dire que le moment magnétique tourne autour du champ magnétique à la pulsation algébrique ω0. Comme il s’agit aussi d’une rotation d’un moment cinétique, on parle de mouvement de précession (rotation lente d’un système en rotation rapide).
La valeur numérique de la fréquence de rotation est:
ν0=γB02π=100MHz
1. d. En dehors du mouvement de précession envisagé ci-dessus, on a déjà vu que la composante de la magnétisation colinéaire au champ magnétique n’évolue pas; de plus, les phénomènes d’amortissement inévitables finiront par ralentir l’oscillation des composantes orthogonales au champ magnétique, et il ne restera plus, après dissipation de l’énergie liée à l’oscillation, que M0=M0ez.
Alternativement, on peut remarquer que l’énergie potentielle d’interaction d’un dipôle magnétique et du champ extérieur s’écrit:
Ep=μB0
et qu’elle est dont minimale lorsque les dipôles magnétiques sont colinéaires au champ magnétique.
A l’équilibre thermodynamique, les différents dipôles magnétiques se disposent de part et d’autre de cette direction d’énergie minimale, mais de façon symétrique puisque deux moments symétriques par rapport au champ vérifient:
μ1B0=μ2B0
les contributions de μ1etμ2 à la magnétisation totale sont donc équiprobables et les termes non parallèles au champ magnétique dans la magnétisation totale se compensent deux à deux; après sommation sur l’élément de volume, il restera:
M0=M0ez
2. a. Les termes ajoutés sont tous de la forme:
dMidt=(MiMéquilibrei)Ti+ωiMidûàB0
et constituent donc des termes d’amortissement développés au premier ordre, les constantes T1 et T2 étant des constantes de temps (temps de relaxation).
Une solution indépendante du temps de l’équation différentielle ne peut exister que si:
dMdt=0doncω0M=0et{Mx=0My=0Mz=M0
ce qui est bien le cas de la solution du régime permanent M0.
Les équations d’évolution deviennent, en projection parallèle au champ magnétique:
dMzdt=1T1(MzM0)
et en projection perpendiculaire:
ddtM=ω0M1T2M
soit encore:
ddtM+=iω0M+1T2M+
2. c. Si l’aimantation initiale est perpendiculaire à Oz on peut, sans perte de généralité, la reprendre égale à M1 sur le seul axe Ox, d’où la solution de l’équation différentielle ci-dessus:
M+=M1e(iω01T2)t{Mx(t)=M1cos(ω0t)etT2Mx(t)=M1sin(ω0t)etT2
c’est-à-dire que le moment magnétique tourne autour de Oz en s’amortissant avec une constante de temps T2 et finit par s’annuler.
3. a. Il suffit de généraliser l’expression de ω0:
ω(x)=γB(x)=ω0γGx
3. b. L’équation d’évolution de M+ devient ici:
tM+(x,t)=iω(x,t)M+(x,t)1T2M+(x,t)
et, compte tenu des conditions initiales:
M+(x,t)=M0eiφ1ei(ω0γGx)tetT2
3. c. L’interaction du liquide avec le bobinage est décrit par les lois de l’induction électromagnétique; la tension U est donc égale à - dΦ/dt, où le flux Φ du champ magnétique à travers un bobinage d’axe Ox ne dépend que de la composante sur Ox du champ:
Φ=BMdSM o ˊu dS=dSux
Sans effectuer le calcul complet, on comprend que ce flux ne dépend bien que de la seule composante sur Ox du champ magnétique, les autres termes s’annulant par intégration.
On remarquera que ce modèle simple suggère ici plutôt une tension proportionnelle à la dérivée de cette composante de M. Compte tenu de la forme des fonctions étudiées pour M+ (qui admettent une modélisation en exponentielle complexe), M est de toute façon proportionnel à sa dérivée dM /dt.
Mx(t) sera donc de la forme:
Mx(t)=ax=0Re[M+(x,t)]Sdx=SM0ax=0cos[(ω0γGx)t+φ1]dx etT2
soit encore:
Mx(t)=SM0γGt[sin[(ω0γGx)t+φ1]]a0etT2
qu’on mettra sous la forme:
Mx(t)=SaM0sinc(12γGat)sin(ω0t+φ1)etT2
en utilisant la notation sinc u = sin u/u.
On aura donc de même pour forme du signal électrique:
U(t)=U0sinc(12γGat)sin(ω0t+φ1)etT2
Puisque T2 est très grand, on peut pratiquement considérer l’exponentielle comme une constante, le signal s’amortissant ensuite très longtemps sans changer de forme. Comparer les échelles de temps des deux autres fonctions présentes revient à remarquer:
Ga<<B0γGa<<γB0=|ω0|
c’est-à-dire que le sinus est une fonction rapide du temps, enveloppée par une fonction à variation lente, le sinc.
Les temps caractéristiques demandés figurent sur le schéma ci-dessus et ont pour valeurs numériques:
2πω0=10,0ns2πγGa=11,7ms
Au bout de quelques millisecondes, tout le signal a disparu (à cause du sinc) et il n’est donc pas possible de visualiser T2.
4. a. L’effet de l’impulsion est une rotation qui conserve la composante parallèle à u et change l’autre en son opposé. On peut écrire:
Mu=Mu=Mxcosφ2+Mysinφ2M=Mxsinφ2+Mycosφ2
avant cette impulsion, et:
M’u = Mu M’ = - M
après celle-ci, c’est-à-dire que la nouvelle aimantation s’écrit:
Mu=Mxcosφ2+Mysinφ2M=Mxsinφ2Mycosφ2
ou, en projection sur Oxy:
Mx=Mucosφ2Msinφ2My=Musinφ2+Mcosφ2
ou, après développement:
Mx=Mxcos(2φ2)+Mysin(2φ2)My=Mxsin(2φ2)Mycos(2φ2)
qu’on pourra écrire sous la forme:
M+=M+e2iφ2
L’aimantation juste après l’impulsion devient donc:
M+(x,t=t+1)=M0ei(2φ2φ1)ei(ω0γGx)t1et1T2
L’évolution ultérieure à partir de ces nouvelles conditions initiales est régie par l’expression établie en 3.b. et il vient donc:
M+(x,t=t1+t2)=M+(x,t=t+1)ei(ω0γGx)t2et2T2
qu’on mettra sous la forme:
M+(x,t=t1+t2)=M0ei(2φ2φ1)ei(ω0γGx)(t2t1)et1+t2T2
4. b. Si on pose:
t2 = t1 + ε
on pourra réécrire l’aimantation:
M+(x,2t1+ε)=M0ei(2φ2φ1)ei(ω0γGx)εe2t1T2eεT2
exactement semblable à l’expression obtenue juste après la première impulsion à la question 3.b.:
M+(x,ε)=M0eiφ1ei(ω0γGx)εeεT2
à un terme d’amortissement et de déphasage près. On obtiendra donc pour signal, et par analogie avec cette question:
U(2t1+ε)=U0e2t1T2sinc(12γGaε)sin(ω0ε+2φ2φ1)eεT2
Ce signal a exactement la même forme que l’autre (à l’amortissement près), ce qui justifie le terme d’« écho de spin » employé dans ce cas.
4. c. Il suffit par exemple de mesurer le décrément logarithmique d’un signal à son écho; de la mesure de l’exponentielle:
UéchomaxUinitialmax=e2t1T2
(où on peut choisir t1), on déduit celle de T2.
Troisième Partie
1. a. Il suffit d’ajouter le terme de diffusion à l’équation d’évolution établie en II.2.b., qui devient ici:
tM+(x,t)=iω(x)M+1T2M++D2x2M+(x,t)
1. b. Il suffit de reporter la solution proposée dans l’équation ci-dessus, avec respectivement:
tM+(x,t)=eiω(x)ttT2[dAdt+(iω(x)1T2)A(t)]
xM+(x,t)=itA(t)eiω(x)ttT2dωdx=iγGtA(t)eiω(x)ttT2
2x2M+(x,t)=γGt2A(t)eiω(x)ttT2dωdx=γ2G2t2A(t)eiω(x)ttT2
d’où par substitution:
dAdt+A(iω(x)1T2)=iω(x)A1T2Aγ2G2t2DA
ou après simplification:
dAdt=γ2G2Dt2A(t)
C’est une équation à variables séparables:
dAA=γ2G2Dt2dtlnA(t)M0=13γ2G2Dt3
qu’on écrira plutôt:
A(t)=M0e13γ2G2Dt3
2. a. Il suffit de reprendre les expressions précédentes en tenant compte d’un amortissement supplémentaire, c’est-à-dire en remplaçant M0 par M0e13γ2G2Dt3; les expressions de l’aimantation juste avant et juste après l’impulsion deviennent:
M+(x,t1)=M0e13γ2G2Dt31t1T2ei(φ1+ω(x)t1)
M+(x,t+1)=M0e13γ2G2Dt31t1T2ei(2φ2φ1ω(x)t1)
Enfin, aux instants ultérieures, on aura pour magnétisation:
M+(x,t>t1)=M0e13γ2G2Dt3tT2ei(2φ2φ1+ω(x)(tt1))
2. b. Cette amplitude se met sous la forme:
Uéchomax=Uoriginalmaxe83γ2G2Dt312t1T2
2. c. Le facteur d’atténuation dû à la diffusion s’écrit:
αD=e83γ2G2Dt31=e13γ2G2DT32
et celui dû à la relaxation est:
αR=e2t1T2=1e
au même instant; on les compare en calculant:
lnαDαR=113γ2G2DT32
soit numériquement:
lnαDαR=113γ2G2DT32=8,1αD<<αR
3. a. On reprend les calculs faits ci-dessus, donnant l’expression de l’aimantation à l’instant de l’écho:
M+(x,2nt1)=M0e13γ2G2D(2nt1)31tT22nt1ei(2φ2φ1+ω(x)(2n1)t1)
3. b. Il s’agit d’une décroissance exponentielle, proportionnellement à
(αDαR)n
3. c. Le rôle de la diffusion est négligeable si αD ≈ 1 donc encore si:
83γ2G2Dt31<<2T2t1
donc effectivement si t1 reste faible:
t1<<12γG3DT2
Ces deux rôles sont par contre comparables si t1 = T2/10 avec:
αD=e83γ2G2Dt31=0,80
αR=e2t1T2=0,82

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