Concours Physique II École Polytechnique (PC) 2001 (Corrigé)

Ecole Polytechnique – ESPCI

Deuxième composition de physique ; année 2001 ; filière PC
Première partie : Propagation d’une onde sonore dans un tuyau.
1. Équation d’Euler, en négligeant la pesanteur : $\rho \frac{{D\vec v}}{{Dt}} = - \overrightarrow {grad} P$. L’approximation acoustique (on ne garde que les termes d’ordre 1), et le fait que P = P₀ + p, donnent alors $\frac{{\partial v}}{{\partial t}} + \frac{1}{{{\rho _0}}}\frac{{\partial p}}{{\partial x}} = 0$ (1)
2. a) Masse contenue à l’instant t dans une tranche [x,x+dx] : dM(t) = ρ(x,t) S(x,t) dx. Elle ne peut varier que par les flux de masse en x et x+dx :
$\frac{{d(dM)}}{{dt}} = + \rho (x,t)S(x,t)v(x,t) - \rho (x + dx,t)S(x + dx,t)v(x + dx,t)$
D’où l’équation $\frac{\partial }{{\partial t}}\left( {\rho S} \right) + \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\rho Sv} \right) = 0$ (2)
b) L’équation d’Euler est une équation locale, valable en tout point du fluide. Elle est indépendante des conditions aux limites.
c) (2) s’écrit $\frac{\partial }{{\partial t}}\left( {\rho S} \right) + \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\left( {{\rho _0} + \delta \rho } \right)\left( {{S_0} + \delta S} \right)v} \right) = 0$ ; S₀ étant indépendante de x (énoncé), et en ne gardant que les termes d’ordre 1, il vient : $\frac{\partial }{{\partial t}}\left( {\rho S} \right) + {\rho _0}{S_0}\frac{{\partial v}}{{\partial x}} = 0$ (2’).

Concours Physique I École Polytechnique (MP) 2000 (Corrigé)

ECOLE POLYTECHNIQUE 2000 PREMIERE COMPOSITION DE PHYSIQUE MP

Propulseur électromagnétique

Première partie

Principe et ordres de grandeur

A – 1. Par définition de L : Φ = LI(t) . Alors, d’après la loi de Faraday : $e = - \frac{{d\Phi }}{{dt}} = - L\frac{{dI}}{{dt}}$ (ici L est constant).
2. On applique la loi d’Ohm au circuit fermé : $E + e = RI$(en notant E la force électromotrice du générateur). La puissance fournie par le générateur est alors $P = EI = R{I^2} + LI\frac{{dI}}{{dt}} = {P_{{\rm{Joule}}}} + \frac{{d{E_m}}}{{dt}}$ où E_m (« énergie magnétique ») vaut :
${E_m} = \frac{1}{2}L{I^2}$

B – 1. Le courant crée un champ magnétique et le barreau subit alors une force de Laplace.
2. Il faut maintenant tenir compte, dans l’application de la loi de Faraday, du fait que L dépend de x et donc du temps : $e = - \frac{{d\Phi }}{{dt}} = - L\frac{{dI}}{{dt}} - I\dot x\frac{{dL}}{{dx}}$ et $P = EI = R{I^2} + LI\frac{{dI}}{{dt}} + {I^2}\dot x\frac{{dL}}{{dx}} = {P_{{\rm{Joule}}}} + LI\frac{{dI}}{{dt}} + {I^2}\dot x\frac{{dL}}{{dx}}$
3. En utilisant l’expression du A – 2. $\frac{{d{E_m}}}{{dt}} = LI\frac{{dI}}{{dt}} + \frac{1}{2}\dot x{I^2}\frac{{dL}}{{dx}}$ donc $P = {P_{{\rm{Joule}}}} + \frac{{d{E_m}}}{{dt}} + \frac{1}{2}{I^2}\dot x\frac{{dL}}{{dx}}$. Le dernier terme de cette expression est la puissance mécanique ${P_{méca.}} = \frac{1}{2}{I^2}\dot x\frac{{dL}}{{dx}}$ .
4. Avec P_méca $= F\dot x$ on obtient l’expression de l’énoncé : $F = \frac{1}{2}{I^2}\frac{{dL}}{{dx}}$ .

Concours Physique I École Polytechnique (MP) 2000 (Énoncé)

ÉCOLE POLYTECHNIQUE concours 2000 FILIÈRE MP
CONCOURS D'ADMISSION
PREMIÈRE COMPOSITION DE PHYSIQUE
(Durée ; 4 heures)
L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.
Propulseur électromagnétique
L'objet de ce problème est l'analyse d'un propulseur électromagnétique capable d'accélérer de petites masses de l'ordre du gramme et de les éjecter à des vitesses supersoniques de l'ordre de plusieurs kilomètres par seconde. Dans la première partie, on en étudie le principe et on évalue les ordres de grandeur des paramètres cruciaux. La poussée sur le projectile est en fait exercée par un plasma ; ses propriétés et son action sont analysées dans la seconde partie. Enfin, la troisième et dernière partie est consacrée à une étude dynamique sur un modèle électromécanique du système.
Les trois parties sont largement indépendantes. Dans tout le problème, on se placera dans l'approximation des régimes quasi‑permanents (A.R.Q.P.).

Première partie
Principe et ordres de grandeur

A. Un circuit électrique rigide est caractérisé par sa résistance R et son inductance L. Soit I(t) l'intensité du courant qui le parcourt.
1. Exprimer le flux magnétique $\Phi$ propre à travers le circuit. En déduire la force électromo­trice d’auto-induction.
2. Lors de l'établissement du courant de 0 à I(t), le générateur doit fournir, en plus de l'éner­gie “dissipée ” par effet Joule, une énergie supplémentaire E_m, appelée “énergie magnétique ”. Exprimer E_m en fonction de L et de I(t).

Concours Physique II École Polytechnique (MP) 2000 (Énoncé)

ÉCOLE POLYTECHNIQUE
FILIÈRE MP
CONCOURS D’ADMISSION 2000
DEUXIÈME COMPOSITION DE PHYSIQUE
(Durée : 4 heures)
L’épreuve comporte deux problèmes indépendants, qui seront affectés $du$ même poids dans le barème de notation. L’utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

$\star \star \star$

Premier problème
L’objet de ce problème est l’étude de la répartition de charges « induite » dans un conducteur par une charge ponctuelle $q$ située dans son voisinage, et le calcul de la force exercée alors sur la charge, l’ensemble étant en équilibre électrostatique.
On donne $\in 0 = 8,85 \times {10^{ - 12}}F{m^{ - 1}}$
Première partie
Un matériau conducteur semi‐infini est limité par sa surface libre plane que l’on prendra comme plan $xOy$. Sur l’axe $Oz$, perpendiculaire à cette surface et orienté vers l’intérieur du conducteur, on place à l’extérieur du conducteur une charge ponctuelle $q$ positive, en $A$, à la distance $h$ de la surface libre (Fig. 1). On suppose dans cette première partie que le matériau est un conducteur parfait.

1. $a)$ Quel est, à l’équilibre, le champ électrique $Z$ à l’intérieur du conducteur? Que peut‐ on dire du potentiel électrique dans le conducteur? On prendra le potentiel nul à grande distance, aussi bien à l’intérieur qu’à l’extérieur du conducteur.
b) Montrer que les charges électriques apparaissant dans ce conducteur parfait sous l’in‐ fluence de la charge $q$ sont nécessairement situées à la surface du conducteur.

Concours Physique I École Polytechnique (PC) 2000 (Énoncé)

ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET CHIMIE INDUSTRIELLES
CONCOURS D’ADMISSION 2000 FILIÈRE PC
PREMIÈRE COMPOSITION DE PHYSIQUE
(Durée : 4 heures)
L’utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

$\star \star \star$

Phénomènes météorologiques associés à des mouvements verticaux de masses d’air
Les phénomènes météorologiques ont des origines multiples; une compréhension complète nécessite de prendre en compte de nombreux bilans d’échange (rayonnement, cycle de l’eau). Toutefois un certain nombre de phénomènes sont uniquement dus au déplacement adiabatique de masses d’air. Nous nous proposons dans ce problème d’analyser certains d’entre eux et étudierons leurs conséquences sur la formation de certains types de nuages.
Nous nous intéresserons dans une première partie aux mouvements verticaux d’air sec puis dans une seconde partie aux mouvements d’air humide et au phénomène de condensation. Enfin la troisième partie étudie quelques aspects de l’air humide saturé.
On supposera le champ de pesanteur localement uniforme : $\vec g = - g\overrightarrow {{e_z}}$ où $\overrightarrow {{e_z}}$ est le vecteur unitaire dirigé selon la verticale ascendante.
Constantes et données numériques.
Constante des gaz parfaits Accélération de la pesanteur
$R = 8,3J{K^{ - 1}}mo{1^{ - 1}}$ $g = 9,8m{s^{ - 2}}$
Air sec
Masse molaire moyenne ${M_a} = 29gmo{1^{ - 1}}$
Capacité thermique massique à pression constante ${c_p} = 1,0 \times {10^3}J{K^{ - 1}}k{g^{ - 1}}$
Rapport des capacités thermiques à $p$ et à $V$ constants $\gamma = {c_p}/{c_v} = 1,40$
Eau
Masse molaire ${M_e} = 18gmo{1^{ - 1}}$
Température du point triple ${T_t} = 273,16K\left( {{{0,01}^ \circ }C} \right)$
Pression du point triple ${p_t} = 610{\rm{ Pa}}$
Enthalpie massique de vaporisation à ${0^o}C$ ${L_v} = 2,50 \times {10^6}Jk{g^{ - 1}}$
Enthalpie massique de vaporisation à ${100^0}C$ ${L_v} = 2,25 \times {10^6}Jk{g^{ - 1}}$

Première partie
Les mouvements d’air dans l’atmosphère peuvent se présenter sous forme d’oscillations verticales. Nous cherchons à en déterminer les principales caractéristiques.
1. Pour une atmosphère en équilibre « hydrostatique » les différentes grandeurs physiques qui la caractérisent ne dépendent que de l’altitude $z.$
a) Donner l’équation qui relie à l’équilibre la pression $p\left( z \right)$ , la masse volumique $\rho \left( z \right)$ et $g.$
b) On considère l’air sec comme un gaz parfait; on suppose de plus l’atmosphère isotherme de température ${T_0}$. Déterminer $p\left( z \right)$ et $\rho \left( z \right)$ à l’aide de $p\left( 0 \right),$ $\rho \left( 0 \right),$ ${M_a},$ $g,$ $R$ et ${T_0}$
c) Calculer la hauteur caractéristique correspondante pour une température de ${10^o}$ C.

Concours Physique II École Polytechnique (PC) 2000 (Énoncé)

ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES
CONCOURS D’ADMISSION 2000 FILIÈRE PC
DEUXIÈME COMPOSITION DE PHYSIQUE
(Durée : 4 heures)
L’utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

$\star \star \star$

Commutateur optoélectronique
Dans un circuit intégré électronique l’information est véhiculée par des électrons. Un des buts de l’optoélectronique est de remplacer autant que faire se peut l’électron par le photon. On sera donc amené à acheminer des faisceaux lumineux d’un point d’un circuit où ils auront été mis en forme à un autre point où ils subiront des opérations logiques. Ce transport s’effectue à l’aide de guides optiques. Le but de ce problème est l’étude de quelques propriétés de ces guides. Dans la première partie on s’intéresse au principe de guidage des ondes lumineuses dans le cadre d’un modèle théorique simple. Une situation plus réaliste où le guidage des ondes est plus complexe est étudiée dans la deuxième partie. Dans la troisième partie on introduira un couplage entre deux guides optiques et on utilisera ce couplage dans la quatrième partie pour réaliser un commutateur électro‐optique.

Formulaire
Célérité des ondes électromagnétiques dans le vide : $c = 3 \times {10^8}m{s^{ - 1}}$
Equations de Maxwell pour les milieux diélectriques non magnétiques :
$div\vec{D}=\rho ~div\vec{B}=0$ (1)
$r\vec{o}t\vec{E}=-\partial \vec{B}/\partial t~r\vec{o}t\vec{B}={{\mu }_{0}}\left( \vec{j}+\partial \vec{D}/\partial t \right)$ (2)
Pour tout champ de vecteurs $\vec A$, on rappelle que:
$r\vec{o}tr\vec{o}t\vec{A}=gr\vec{a}d\left( div\vec{A} \right)-\vec{\vartriangle }\vec{A}$
Première partie
Principe du guidage d’une onde lumineuse
On s’intéresse à la propagation d’une onde électromagnétique monochromatique de pulsation $\omega$ dans un guide dont le schéma est représenté sur la figure 1. Ce guide est constitué d’une couche coeur infinie d’arséniure de gallium $($GaAs) , d’épaisseur $d$, insérée entre deux plans parfaitement conducteurs, totalement réfléchissants. L’arséniure de gallium est un matériau semi‐conducteur que l’on considérera comme un milieu diélectrique linéaire, homogène, isotrope et non magné‐ tique. On le caractérise par son indice de réfraction $\left( \omega \right)$ . À la pulsation $\omega$ de l’onde, on a $n\left( \omega \right) = n = 3,3.$