Concours Physique Navale 1992 (Corrigé)

Navale 92 - Deuxième composition de physique (option P, 3 heures)
I.Questions préliminaires
1) Dans le vide, en l’absence de charges (ρ = 0), l’équation de Poisson, ΔV = -ρ/ε0, s’écrit ΔV = 0 (équation de Laplace).
2)
a) La force de pesanteur est négligée, la particule est donc soumise à la seule force magnétique F = qv∧B, B=B ez. La vitesse de la particule est constante car la force magnétique ne travaille pas.
Par translation et par rotation autour de ez, il est toujours possible de choisir un référentiel galiléen dont l’origine coïncide avec la position de la particule au temps t=0, et tel que la composante de la vitesse selon Oy soit nulle à t=0. Le mouvement est donc entièrement caractérisé par la donnée des composantes selon ex et ez de la vitesse initiale (la composante selon ez n’a en particulier aucune raison d’être nulle, puisque la direction de ez est imposée).
L’équation du mouvement est donnée par le théorème de la résultante cinétique Ma = qv∧B soit a = ε ωc v∧B, où ε = sign(q) et ωc = ⁄q⁄B/M. En projection sur les axes xyz du référentiel supposé galiléen on obtient :$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\ddot x}& = &{\varepsilon {\omega _c}\dot y}\\{\ddot y}& = &{ - \varepsilon {\omega _c}\dot x}\\{\ddot z}& = &0\end{array}} \right.$.

On en déduit vz = vz0 = cte ; z(t) = vz0 t. La norme de la vitesse étant constante, vz également, la norme de la projection de la vitesse sur xOy, notée v⊥ est constante.
En posant ρ = x+iy, le système d’équations en x et y s’écrit $\ddot \rho = \ddot x + {\rm{i}}\ddot y = - {\rm{i}}\varepsilon {\omega _c}\dot \rho $, équation différentielle du premier ordre qui admet pour solution $\dot \rho = {\dot \rho _0}\exp ( - {\rm{i}}\varepsilon {\omega _c}t)$ soit pour ρ : $\rho = \frac{{{{\dot \rho }_0}}}{{ - i\varepsilon {\omega _c}}}(\exp ( - i\varepsilon {\omega _c}t) - 1) + {\rho _0}$. Le tracé de ρ dans le plan complexe est identique à celui de xex + yey dans le plan xOy, l’axe réel correspondant à l’axe Ox, l’axe imaginaire à l’axe Oy
On en déduit qu’en projection sur le plan xOy le mouvement est un mouvement circulaire uniforme de rayon $\left| {\frac{{{{\dot \rho }_0}}}{{ - i\varepsilon {\omega _c}}}} \right| = \left| {\frac{{{v_ \bot }}}{{{\omega _c}}}} \right|$, parcouru à la vitesse v⊥, avec la pulsation ωc (pour s’en convaincre il suffit de représenter l’évolution de ρ dans le plan complexe). Le sens de parcours dépend en particulier du signe de q : direct pour les charges négatives, rétrograde pour les charges positives.
En utilisant les conditions initiales : ρ0 = 0, ${\dot \rho _0} = {v_{x0}} = {v_ \bot }$, on obtient finalement ρ = iε vx0/ωc (exp(-iεωct)-1), soit
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = }&{{\mathop{\rm Re}\nolimits} (\rho ) = \frac{{\varepsilon {v_ \bot }}}{{{\omega _c}}}\sin (\varepsilon {\omega _c}t) = \frac{{{v_ \bot }}}{{{\omega _c}}}\sin ({\omega _c}t)}\\{y = }&{{\mathop{\rm Im}\nolimits} (\rho ) = \frac{{\varepsilon {v_ \bot }}}{{{\omega _c}}}(\cos (\varepsilon {\omega _c}t) - 1) = \frac{{\varepsilon {v_ \bot }}}{{{\omega _c}}}(\cos ({\omega _c}t) - 1)}\end{array}} \right.$
b) AN : B=5 T ; q = e = 1,6.10-19 C ; M = 9,11.10-31 kg : ωc = 8,78 rad.s-1.

II. Etude du piège électrostatique
1)
a) En coordonnées cylindriques, V peut s’écrire V= V0/(4d2)(2z2 − r2). Il ne dépend pas de la variable θ et présente par conséquent la symétrie de révolution d’axe Oz. Le champ électrostatique est le gradient de V. Il ne dépend donc pas de θ et possède également la symétrie de révolution d’axe Oz.
b) La vérification est immédiate après avoir calculé ∂2V/∂x2 = ∂2V/∂y2 = -V0/2d2 et ∂2V/∂z2 = V0/d2. Par conséquent ΔV = 0.

c) Le long de l’axe Oz, x=y=0, soit V(z) = (V0/2) (z/d)2. Le graphe représentatif des variations de V est une parabole de sommet (z=0, V=0) passant par les points (z=±d,V=V0/2). L’orientation de la parabole dépend du signe de V0.
Dans le plan xOy, z=0, soit V(ρ) = −(V0/4) (ρ/d)2, ρ étant la distance du point considéré à l’axe Oz. Le graphe représentatif de V(ρ) est une demi-parabole de sommet (ρ=0,V=0) passant par le point (ρ=d,V=−V0/4). L’orientation de cette parabole est l’opposée de celle de la parabole précédente. Le point O est donc un point-selle, minimum de V(ρ=0,z) et maximum de V(ρ,z=0) si V0 est positif, l’inverse si V0 est négatif.
Remarque : Les points particuliers z=d, ou ρ=d ont une signification physique contrairement aux points z=1(m,cm,mm ou km?) ou ρ=1, dans la mesure ou z et ρ sont homogènes à des longueurs tout comme d.
d) Le potentiel ayant la symétrie de révolution, l’équipotentielle de potentiel Ve est une surface de révolution d’axe Oz engendrée par la rotation autour de Oz de sa trace dans un plan méridien quelconque.
L’équation de l’équipotentielle Ve est en coordonnées cylindriques
Ve = (V0/4d2) (2z2 − ρ2) soit 2(z/d)2 − (ρ/d)2 = 4Ve/V0.
Dans un plan méridien (O, uz, ur) cette équation est celle de deux familles d’hyperboles lorsque Ve varie.
* Si Ve /V0 > 0, on trouve un couple d’hyperboles d’axe Ouz symétriques par rapport à l’axe Our, passant par les points $(\rho = 0,z = \pm d\sqrt {2{V_e}/{V_0}} )$ Par révolution autour de Oz on génère un hyperboloïde à deux nappes.
* Si Ve /V0 < 0, on trouve un couple d’hyperboles d’axe Our symétriques par rapport à l’axe Ouz, passant par les points $(\rho = \pm 2d\sqrt { - {V_e}/{V_0}} ,z = 0)$. Par révolution autour de Oz on génère un hyperboloïde à une nappe.
* Si Ve /V0 = 0, l’équation devient 2(z/d)2 − (ρ/d)2 = 0 soit z = ±ρ/√2. On a une forme dégénérée correspondant aux droites d’équation z = ±ρ/√2. Par révolution autour de Oz on génère un cône d’axe Oz de sommet O.

Lorsque (z/d) >> Ve /V0 et (ρ/d) >> Ve /V0 on peut réécrire l’équation des équipotentielles sous la forme approchée 2(z/d)2 = (ρ/d)2, soit z = ±ρ/√2. L’ensemble des équipotentielles admet donc pour asymptote l’équipotentielle V = 0V, c’est à dire dans un plan méridien quelconque les deux droites d’équation
z = ±ρ/√2.
e) Les équipotentielles V=+V0 et V=−V0 forment une surface fermée (on peut considérer qu’elles se rejoignent à l’infini). Si on considère le système obtenu en matérialisant chacune de ces deux équipotentielles par une électrode métallique portée au même potentiel, le potentiel électrostatique à l’intérieur du volume délimité par les deux électrodes vérifiera l’équation de Laplace et sera égal à la surface de chaque électrode au potentiel imposé à cette électrode.

Le potentiel pour le système de deux électrodes portées à des potentiels adéquats satisfait donc à la même équation de Laplace et aux mêmes conditions aux limites que le potentiel étudié aux questions précédentes dans le volume intérieur aux deux électrodes. D’après le théorème d’unicité ces deux potentiels sont donc égaux en tout point du volume intérieur. (A l’extérieur le problème est plus complexe puisque la valeur du potentiel n’est pas définie de manière unique à l’infini ; d’autre part pour obtenir une surface fermée contenant le point O il est nécessaire de considérer deux équipotentielles dont les potentiels sont de signes opposés).
Le dispositif idéal est donc obtenu en matérialisant deux équipotentielles (hyperboloïdes de révolution) de signes opposés (+V0 et −V0 par exemple) par des électrodes portées aux mêmes potentiels. Cependant les électrodes devraient être d’extension infinie.
Le dispositif réel est analogue au dispositif idéal, mais seules les parties centrales des équipotentielles +V0 et −V0 ont été matérialisées par des électrodes. Les deux coupelles C1 et C2 correspondent à l’hyperboloïde à double nappe (Ve /V0>0) tandis que l’anneau correspond à l’hyperboloïde à nappe unique (Ve /V0<0). Si les bords des électrodes sont suffisament éloignés de O (à une distance très supérieure à ρ0 et z0) les effets de bords seront peu importants au voisinage de O et le potentiel sera pratiquement égal au potentiel théorique dans cette région.
Les grandeurs ρ0 et z0 ont déjà été calculées dans le cas général à la question précédente. En posant dans les relations obtenuesVe = ±V0/2 on trouve
ρ0 = √2 d ; z0 = d
2)
a) La force subie par un électron dans le champ électrostatique est -eE (e est la valeur absolue de la charge de l’électron, ne pas l’oublier par la suite). Les forces de pesanteur sont négligées par hypothèse. L’équation du mouvement s’écrit par conséquent
ma = −eE, soit a = -(e/m) E. En exprimant E = -grad V puis l’équation du mouvement en coordonnées cartésiennes on obtient :
${\bf{E}} = \frac{{{V_0}}}{{{d^2}}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{x/2}\\{y/2}\\{ - z}\end{array}} \right.$ puis $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\ddot x = - \frac{{e{V_0}}}{{2m{d^2}}}x}\\{\ddot y = - \frac{{e{V_0}}}{{2m{d^2}}}y}\\{\ddot z = + \frac{{e{V_0}}}{{\;\;m{d^2}}}z}\end{array}} \right.$
La projection sur Oz de l’équation du mouvement s’écrit $\ddot z = + \frac{{e{V_0}}}{{{\kern 1pt} m{d^2}}}z$. Si V0 > 0 cette équation admet pour solution générale $z(t) = A\exp ({\omega _z}t) + B\exp ( - {\omega _z}t)$ où ${\omega _z} = \sqrt {\frac{{e{V_0}}}{{m{d^2}}}} $. Dans ce cas z diverge si A est non nul, le mouvement selon Oz n’est pas confiné au voisinage de O.
Si V0 < 0, l’équation est l’équation d’un oscillateur harmonique : $\ddot z + \omega _z^2z = 0$ de pulsation propre ${\omega _z} = \sqrt {\frac{{ - e{V_0}}}{{m{d^2}}}} $. Le mouvement est un mouvement harmonique de pulsation ωz.
b) Si le mouvement selon Oz est confiné, V0 < 0. Dans ce cas le facteur −eV0/(2md2) est positif ; les deux équations du mouvement en projection sur Ox et Oy s’écrivent
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\ddot x = - \frac{{e{V_0}}}{{2m{d^2}}}x = \frac{{\omega _z^2}}{2}x}\\{\ddot y = - \frac{{e{V_0}}}{{2m{d^2}}}y = \frac{{\omega _z^2}}{2}y}\end{array}} \right.$. Ces équations sont analogues à celle obtenue pour z si V0 est positif, et leurs solutions générales divergent exponentiellement avec le temps.
La projection du mouvement n’est donc pas bornée dans xOy.
c) AN : d = 5.10-3m ; V0 = −12V (le mouvement selon Oz est donc confiné) ;
e = 1,6.10-19C ; m = 9,11.10-31kg d’où ωz = 2,903.108 rad.s-1 (ωz<<ωc)
Le fait qu’il n’est pas possible de confiner un électron autour de O à l’aide d’un champ électrique s’explique ainsi : L’énergie potentielle de l’électron dans le champ est U=-eV. Si l’électron restait confiné dans une région finie de l’espace, cela impliquerait la présence d’une position d’équilibre, donc d’un maximum de V, dans cette région. Or l’espace entre les électrodes créant le champ E est vide de charge donc V ne peut pas admettre de maximum dans cette région. Le confinement de l’électron dans cette région est donc impossible. On peut se reporter à la question II.1.c pour confirmer ce fait. En particulier O est un point-selle.

III Confinement magnétique
1) La force totale subie par l’électron en négligeant toujours les forces de pesanteur est la force de Lorentz F = −e(E + v∧B). Le champ B est dirigé selon Oz donc la composante selon Oz de la force magnétique est nulle. Par conséquent l’équation du mouvement selon Oz n’est pas modifiée et les conclusions de la question II.2.a restent valables.
Pour que l’électron soit piégé, son mouvement selon Oz devra être confiné au voisinage de O. Le potentiel V0/2 auquel sont portées les coupelles C1 et C2 doit être négatif.
2)
a) La projection de la force électrique subie par un électron a été calculée en II.2.b, celle de la force magnétique pour un champ B dirigé selon Oz en I.2.a) (pour un électron e < 0). La projection sur xOy de l’équation du mouvement de l’électron s’écrit donc en, combinant les résultats et en conservant les notations ωc=eB/m et ωz2=-eV0/(2md2) :
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\ddot x = - {\omega _c}\dot y + \frac{{\omega _z^2}}{2}x}\\{\ddot y = + {\omega _c}\dot x + \frac{{\omega _z^2}}{2}y}\end{array}} \right.$
b) En effectuant la somme de l’équation en x et du produit par i de l’équation en y on trouve $\ddot x + {\rm{i}}\ddot y = {\rm{i}}{\omega _c}(\dot x + {\rm{i}}\dot y) + \frac{{\omega _z^2}}{2}(x + {\rm{i}}y)$ soit en considérant la variable ρ = x + iy déjà introduite en I.
$\ddot \rho - {\rm{i}}{\omega _c}\dot \rho - \frac{{\omega _z^2}}{2}\rho = 0$
c) Qualitativement si B est faible, l’effet du champ électrique est prédominant et le mouvement transversal n’est pas confiné tandis que si B est fort, l’effet du champ magnétique est prédominant et le mouvement transversal est confiné et de plus en plus proche d’un mouvement circulaire.
A l’équation différentielle vérifiée par ρ on peut associer l’équation caractéristique
r2 - iωcr - (ωz2/2) = 0
(la présence d’un facteur complexe n’est pas génante puisque l’équation caractéristique est obtenue en posant ρ=exp(rt) dans l’équation différentielle vérifiée par ρ, le coefficient r appartenant au corps des complexes).
Il s’agit d’une équation du second degré en r (complexe) à coefficients complexes, dont le discriminant vaut $\Delta = {(i{\omega _c})^2} + 2\omega _z^2 = 2\omega _z^2 - \omega _c^2$ .
* Si Δ est positif, les solutions seront r = (iωc±√Δ)/2, soit en séparant la partie réelle et la partie imaginaire de r $\rho (t) = \exp (i{\omega _c}t/2)[A\exp (\sqrt \Delta t/2) + B\exp ( - \sqrt \Delta t/2)]$. Si A est non nul la norme de ρ, égale à la distance de l’électron à l’axe Oz diverge, l’électron n’est pas piégé.
* Si Δ est nul la solution est de la forme $\rho (t) = \exp (i{\omega _c}t/2)(At + B)$ qui diverge également : l’électron n’est pas piégé.
* Si Δ est négatif les solutions de l’équation caractéristique sont imaginaires pures et les termes correspondants sont de la forme A exp(iat). La variable ρ reste bornée et le mouvement transversal décrit par ρ reste borné au voisinage de O.
Le mouvement transversal est donc borné si Δ est négatif, ce qui se traduit par l’inégalité 2ωz2 < ωc2, soit en exprimant ωz et ωc : -2eV0/md2 < (eB/m)2. Le champ B doit être supérieur à la valeur critique Bc donnée par
${B_c} = \sqrt {\frac{{ - 2m{V_0}}}{{e{d^2}}}} $
AN : Bc = 2,34.10-3 T = 2,34 mT
Pour B>Bc , 2ωz2-ωc2<0, d’où r = i(ωc±√(ωc2-2ωz2))/2. Compte tenu des notations de l’énoncé et de l’inégalité forte ωc>>ωz on introduit les pulsations :
${\omega _b} = \left[ {{\omega _c} - \sqrt {{\omega _c}^2 - 2{\omega _z}^2} } \right]/2 \approx \{ {\omega _c} - {\omega _c}[1 - {({\omega _z}/{\omega _c})^2}]\} /2 = {\omega _c}\frac{{\omega _z^2}}{{2\omega _c^2}} < < {\omega _c}$
${\omega '_c} = \left[ {{\omega _c} + \sqrt {{\omega _c}^2 - 2{\omega _z}^2} } \right]/2 \approx \{ {\omega _c} + {\omega _c}[1 - {({\omega _z}/{\omega _c})^2}]\} /2 = {\omega _c}\left( {1 - \frac{{\omega _z^2}}{{2\omega _c^2}}} \right) \approx {\omega _c}$
La variable ρ vaut donc $\rho (t) = {\rho _{0b}}\exp (i{\omega _b}t) + {\rho _{0c}}\exp (i{\omega '_c}t)$ où ρ0b et ρ0c sont des constantes d’intégration. Chacun des termes représente un mouvement circulaire d’amplitude ρ0b et de pulsation ωb pour le premier, d’amplitude ρ0c et de pulsation ω’c pour le second. Le mouvement transversal est la superposition de ces deux mouvements.
d) Si seule la composante en ω’c du mouvement est présente le mouvement est circulaire d’axe Oz. Cependant la force électrique tend à écarter l’électron de sa trajectoire circulaire en l’entraînant vers l’extérieur de celle-ci. Comme elle s’oppose au mouvement circulaire de l’électron la force électrique doit donc se traduire par une diminution de la pulsation par rapport à la pulsation ωc.
e) ωz2/2ωc2 = 5,47.10-8 ;
ω’c = ωc (1 − 5,47.10-8) ≈ ωc = 8,78.1011 rad.s-1 ;
ωb = 5,47.10-8 ωc = 4,8.104rad.s-1 << ωz << ω’c ≈ ωc
3)
Mouvement transversal $\rho (t) = {\rho _{0b}}\exp (i{\omega _b}t) + {\rho _{0c}}\exp (i{\omega '_c}t) \approx {\rho _{0b}}\exp (i{\omega _b}t)$ puisque par hypothèse ρ0c<< ρ0b . Le mouvement transversal est pratiquement un mouvement circulaire uniforme de pulsation ωb auquel se superpose une perturbation de pulsation ω’c très supérieure (“festons”)
Ce mouvement transversal se compose avec le mouvement axial harmonique de pulsation ωz tel que ωb<<ωz<<ω’c. Durant une “révolution” l’électron effectue de nombreuses oscillations selon Oz, et durant chacune de ces oscillations il décrit de nombreux “festons” autour de sa position moyenne.

IV Détection du mouvement axial
1)
a) Les charges se répartissent sur les coupelles en fonction des interactions électrostatiques qu’elles subissent. A un instant donné l’électron occupe une certaine position entre les deux coupelles et exerce une force électrique répulsive sur chaque électron (porteur de charges dans le circuit) présent sur l’une deux coupelles. Cette force décroît comme l’inverse du carré de la distance, puisqu’elle a pour origine le champ électrique créé par l’électron.

Si l’électron se rapproche d’une des coupelles, les forces répulsives qu’il exerce sur les électrons de cette coupelle augmentent, tandis que celles qu’il exerce sur les électrons présents sur l’autre coupelle diminuent. Par conséquent il y aura dans le circuit un mouvement d’électrons dirigé de la coupelle dont l’électron piégé s’approche vers celle dont il s’éloigne. Par conséquent le mouvement axial de l’électron induit dans le circuit un courant dirigé vers la coupelle dont il s’approche. Compte tenu des conventions d’orientation :
I dz/dt < 0.
(Le raisonnement reste vrai quelque soit le signe des porteurs de charge. Il faut bien se rendre compte que ce mouvement existe même si l’électron piégé n’atteint pas les armatures les actions électromagnétiques étant des actions à distance).
b) L’origine du courant I est le déplacement de l’électron piégé, caractérisé en particulier par sa vitesse (la position de l’électron et son accélération ne conviennent pas car on ne peut déduire de leur valeur le signe de la vitesse de l’électron qui caractérise le signe de l’intensité).
Il est donc raisonnable de penser que l’effet mesuré dépendra de cette vitesse et sera une fonction croissante de celle-ci. Le mouvement de l’électron piégé étant une superposition de mouvements sinusoïdaux, on a donc intérêt à choisir pour réaliser la détection un mouvement pour lequel
le produit amplitude x pulsation (égal à la norme de la vitesse) est élevé
la pulsation se trouve dans un domaine où la détection est aisée
ωz = 2,903.108 rad.s-1 correspond à fz = ωz/2π = 4,62 MHz, fréquence située dans le domaine des radio-fréquences dont la détection est facile.
ω’c=8,78.1011 rad.s-1 correspond à fc = 1,4.1011 Hz = 140 GHz, fréquence située dans le domaine de l’infrarouge lointain. Ce mouvement n’est pas détectable par des méthodes “électriques”. Il faudrait avoir recours à des méthodes de type optique : mesure du rayonnement émis. D’autre part l’amplitude de ce mouvement est très faible (cf. question IV.4)
On choisit donc de préférence la détection du mouvement axial.
c) L’approximation des régimes quasi-permanents s’applique si la longueur d’onde associée au courant induit, égale à 2πc/ωz est grande devant les dimensions du circuit.
AN : λ = (2π.3.108/2,9.108) m = 6,5 m. L’approximation des régimes quasi-permanents est donc vérifiée si la dimension du circuit est “petite” devant 6,5 m, ce qui représente une condition raisonnable.
2)
a) Si la résistance R est parcourue par l’intensité I, la tension UAB à ses bornes vaut dans l’approximation des régimes quasi-permanents UAB = VA − VB = RI en respectant la convention d’orientation de I.
Compte tenu de l’orientation de l’axe z le champ E régnant entre les coupelles est donné en assimilant les deux coupelles à un condensateur plan par la relation
E = Eez = (VB - VA)/(2d )ez = - RI/(2d )ez
Par conséquent la force à laquelle est soumis l’électron du fait de E a pour expression :
f = -eE = ReI/(2d) ez
b) On considère le système formé par le circuit : coupelles, fils de connexion et résistance, et l’électron piégé. Le seul échange d’énergie avec le milieu extérieur correspond à la chaleur qu’il cède par effet Joule. Son énergie totale doit donc décroître. L’énergie totale du système est la somme de l’énergie mécanique de l’électron (qui comprend son énergie cinétique et l’énergie potentielle de l’électron dans le champ électrique du piège) et de l’énergie électromagnétique du système. Si on néglige cette dernière devant l’énergie mécanique de l’électron on peut considérer que la puissance dissipée par effet Joule dans la résistance est entièrement prélevée sur l’énergie mécanique de l’électron.
PJ = - dEméca/dt.
La cause de la décroissance de l’énergie mécanique de l’électron est le couplage électrique avec le circuit, caractérisé par la force électrique f à laquelle est soumis l’électron. Le théorème de l’énergie mécanique appliqué à l’électron s’écrit
dEméca/dt. = Pf = f.v = f.dz/dt.
En combinant ces deux équations on obtient la relation :
f.dz/dt. = - RI2, soit en exprimant f
ReI/(2d) dz/dt = - RI2 qui donne après simplifications :
I = - dz/dt e/(2d) et UAB = RI = - dz/dt Re/(2d)
(On vérifie bien I.dz/dt < 0)
c) L’électron est une charge ponctuelle en mouvement qui crée un champ non permanent : il n’y a pas conservation du flux de la densité volumique de courant, mais de la somme de la densité volumique de courant et de la densité de courant de déplacement ε0∂E/∂t. Le calcul de ce terme est nécessaire pour pouvoir exprimer le courant I.
Un modèle approché consiste à supposer la charge de l’électron répartie uniformément entre les armatures d’où une densité volumique constante ρ = -e/(2dS) et une densité volumique de courant j = -e dz/dt /(2dS) ez entre les armatures, nulle à l’extérieur. Par intégration sur un plan parallèle aux armatures on en déduit une intensité équivalente au déplacement de l’électron Ie = - dz/dt e/(2d). La conservation de la charge consuit alors à une intensité dans le circuit I = - dz/dt e/(2d) qui est bien celle calculée précédemment.

3)
a) En reportant l’expression de I dans celle de f, on trouve la relation liant f à dz/dt :
f = fez = - R(e/2d)2 dz/dt ez. La force f est équivalente à une force de freinage fluide ce qui est cohérent avec l’analyse énergétique. En comptant f dans le bilan des forces subies par l’électron, l’équation de la projection de son mouvement sur l’axe Oz s’écrit après division par la masse m : $\ddot z = - \omega _z^2z - f/m = - \omega _z^2z - \frac{{R{\kern 1pt} {e^2}}}{{4m{d^2}}}\dot z$ qui est l’équation d’un oscillateur harmonique amorti :
$\ddot z + \frac{{R{\kern 1pt} {e^2}}}{{4m{d^2}}}\dot z + \omega _z^2z = 0$
b) Si l’amortissement est très faible, le discriminant de l’équation caractéristique vaut
Δ = (1/τ)2 - 4ωz2 ≈ - 4ωz2 en posant τ = 4md2/(Re2). Les solutions sont donc
r = -(1/2τ) ± iωz et les variations de la coordonnées axiale z de l’électron sont de la forme
z(t) = (Acos(ωzt+ϕ)).exp(-t/2τ)
L’amplitude du mouvement est amortie exponentiellement, avec une constante de temps égale à 2τ.
L’énergie du mouvement axial est la somme de l’énergie cinétique de l’électron et de son énergie potentielle dans le champ électrique du piège pour le mouvement axial :
$E = 1/2m{\dot z^2} + 1/2m\omega _z^2{z^2} = \frac{m}{2}({\dot z^2} + \omega _z^2{z^2})$. Par dérivation on obtient
$\dot z = A\exp ( - t/2\tau )[ - {\omega _z}\sin ({\omega _z}t + \varphi ) - {(2\tau )^{ - 1}}\cos ({\omega _z}t + \varphi )] \approx A\exp ( - t/2\tau )[ - {\omega _z}\sin ({\omega _z}t + \varphi )$puisque 1/τ est très petit devant ωz (hypothèse d’amortissement négligeable). En reportant les valeurs de z et de dz/dt dans l’expresion de E, on en déduit son expression approchée
$E \approx \frac{m}{2}\{ {(A{\omega _z})^2}\exp ( - t/\tau )[{\sin ^2}({\omega _z}t + \varphi ) + {\cos ^2}({\omega _z}t + \varphi )\} = \frac{m}{2}{(A{\omega _z})^2}\exp ( - t/\tau )$
La constante de temps d’amortissement de l’énergie de l’électron est donc
$\tau = \frac{{4m{d^2}}}{{R{\kern 1pt} {e^2}}}$
c) AN : τ = 56,2 s, γ = 1/τ = 1,78.10-2 s-1. On vérifie bien (1/τ)<<ωz (facteur 1010).
Q = ωz/γ = 1,63.1010.
Le facteur de qualité Q est relié à la décroissance relative d’énergie par période (cours).
Pendant une période
$\Delta E = E(t + T) - E(t) = \frac{m}{2}{(A{\omega _z})^2}[\exp ( - \frac{{t + T}}{\tau }) - \exp ( - \frac{t}{\tau })] = E(t)[\exp ( - \frac{T}{\tau }) - 1]$
Or τ>>T = 2π/ωz, E(t) est pratiquement constant sur une période, et la variation relative d’énergie sur une période a pour expression approchée
$\frac{{\Delta E}}{E} = \exp ( - T/\tau ) - 1 \approx - T/\tau = - 2\pi \gamma /{\omega _z} = - \frac{{2\pi }}{Q}$
La décroissance relative d’énergie de l’électron est donc inversement proportionnelle au facteur de qualité. Compte tenu de la valeur numérique de Q, l’électron perd 3,85.10-8% de son énergie par période : la détection du mouvement a une influence négligeable sur celui-ci (tant que la durée de la mesure est très petite devant τ).
4) Parmi les autres causes d’amortissement on peut penser aux chocs entre l’électron et des particules présentes dans le piège (le vide absolu ne peut être atteint). Mais seules les particules négatives sont piégées au centre du piège, et ce problème n’est pas génant tant que la qualité du vide dans le piège est bonne.
Par contre une cause essentielle d’amortissement du mouvement, dont on ne peut s’affranchir, est le rayonnement émis par l’électron. En effet toute particule chargée dont le mouvement a une accélération non nulle est une source de rayonnement électromagnétique (rayonnement de freinage ou Bremstrahlung) ; La puissance associée est proportionnelle au carré de la norme de l’accélération, donc pour un mouvement harmonique de pulsation ω à ω4. La composante du mouvement transversal de pulsation ω’c est beaucoup plus fortement amortie que la composante de pulsation ωb, donc l’amplitude de ce dernier est prédominante (à amplitudes égales il y a un facteur (8,78.1011/4,8.104)4 = 1,2.1029 entre les puissances dissipées pour chacune des composantes supposées indépendantes). Ceci justifie l’hypothèse faite à la question III.3.

Concours Physique TPE 1992 (Énoncé)

CONCOURS COMMUN D'ADMISSION

AUX ECOLES SUPERIEURES

DES TRAVAUX PUBLICS

DU BATIMENT

DE MECANIQUE‑ELECTRICITE

DE TOPOGRAPHIE

SESSION 1992

P H Y S 10 U E

Durée: 4 heures

PREMIER PROBLEME.
NOTA : La partie C peut être traitée indépendamment de la partie B.
ETUDE D'UN SYSTEME MASSE‑RESSORT.

On se place dans le repère (R) (0 x y z) orthonormé, direct, galiléen, de vecteurs unitaires de base$\vec i,\vec j,\vec k$. Le système envisagé est constitué d'un ressort R, d'un demi‑cercle C et d'une perle P. Le ressort R est partait, c'est‑à‑dire sans masse et développant selon sa propre direction une force proportionnelle à son élongation. On note K ce coefficient de proportionnalité et $\ell $ la longueur à vide de R. Le demi‑cercle (fixe dans (R)) C, de rayon a, de centre 0, est contenu dans le demi‑plan xOy, x ≥ 0, supposé vertical, Ox étant la verticale descendante. La perle P est un objet quasi‑ponctuel de masse M astreint à se déplacer sans frottement sur C. Le ressort R a une extrémité liée à P et l'autre à un point Ω situé aux cotes x = - a, y = 0, z = 0 de (R).
La position de P dans (R) est repérée par l'angle θ = $\left( {\vec i,O\vec P} \right)$, $\theta \in \left[ { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right]$ . On note $\vec u$le vecteur unitaire de OP, $\vec v$ le vecteur unitaire déduit de $\vec u$ par la rotation de $ + \frac{\pi }{2}$ autour de $\vec k$. Le système est placé dans le champ de pesanteur d'accélération $\vec g = g\vec i$de module g constant.
A. Etude d'équilibres possibles.
Les expressions vectorielles demandées (questions 1, 3, 4 et 5) seront exprimées dans la base$\vec u,\vec v$.
1. Donner l'expression du vecteur $P\vec \Omega $en fonction de a et θ.
2. Donner l'expression du module PΩ de $P\vec \Omega $ en fonction de a et θ (ou mieux, de $\frac{\theta }{2}$).
3. Donner l'expression de la tension $\vec T$du ressort en fonction de a, K, $\ell $ et θ (ou mieux, de $\frac{\theta }{2}$).
4. Soit $\vec F$ la résultante des forces extérieures appliquées à la masse M. On note r le module de la réaction de C sur P. Donner l'expression de $\vec F$ en fonction de a. g, K, $\ell $, M, r et θ.
5. Donner l'expression de la vitesse $\vec V$de P dans (R) en fonction de a et de la dérivée temporelle convenable de θ. On notera : $\dot \theta = \frac{{d\theta }}{{dt}}$.
6.Donner, en fonction de a, g, K, $\ell $, M, θ et $\dot \theta $, l'expression du produit scalaire $\vec F.\vec V$. 7.En déduire, en fonction des mêmes paramètres à l'exception de $\dot \theta $, l'expression de l'énergie potentielle E_p dont dérive la force $\vec F$. 8. Ecrire l'expression de l'énergie mécanique totale E du système.
9. En déduire, lorsque le mouvement de M a lieu, son équation différentielle en fonction de a, g, K, $\ell $, M, θ et ses dérivées convenables.
10. Déterminer l'expression des positions d'équilibre θ = θ_i envisageables pour le système.
11. On veut imposer l'existence d'une position d'équilibre pour une valeur θ₁ ≠ 0 de θ comprise entre 0 et $\frac{\pi }{2}$ (ce qui implique par symétrie une position équivalente ‑ θ₁ entre 0 et$ - \frac{\pi }{2}$). Écrire les inégalités que cela implique sur les paramètres du problème. Donner une interprétation physique de ces conditions.
12. Les conditions ci‑dessus étant réalisées, étudier la stabilité des équilibres ainsi obtenus.
B. Etude d'un cas particulier.
On se donne ici les relations entre paramètres suivants : $a = 2\frac{{Mg}}{K}$ et $\ell = \sqrt 3 \left( {a - \frac{{Mg}}{K}} \right)$
13. Vérifier que les conditions établies à la question 11 sont réalisées. Expliciter les positions d'équilibre. Donner, pour ces positions, les valeurs numériques du facteur $\frac{1}{{K{a^2}}}\frac{{{d^2}{E_p}}}{{d{\theta ^2}}}$ et valider les conclusions de la question 12.
14. Pour étudier les petits mouvements autour de la position d'équilibre θ₁ , on pose θ = θ₁ + ε. Établir l'équation différentielle linéaire en ε de ces petits mouvements. On posera${\omega ^2} = \frac{K}{M}$, où $\omega $ est la pulsation naturelle intrinsèque du système masse‑ressort libre.
15. Donner l'expression de la solution de l'équation ci‑dessus pour les conditions initiales suivantes:
$\varepsilon \left( 0 \right) = 0$, $\frac{{d\varepsilon }}{{dt}}\left( 0 \right) = {\dot \varepsilon _0} = \sqrt {\frac{{Ka - Mg}}{{2Ma}}} $
Applications numériques.
Soient les valeurs numériques : g = 9,81 rn.s^‑2, K = 10³ N.m^-1, M = 1 kg.
16. Calculer la constante K’ du ressort donnant la même pulsation naturelle en régime de vibrations libres que celle obtenue à la question 14. Interpréter physiquement.
17. Calculer la longueur L du pendule simple synchrone équivalent. Interpréter le rôle de a.
C. Approche analytique complémentaire.
18. Donner, dans le repère (R) l'expression du moment cinétique ${\sigma _0}$de la masse M par rapport à 0 en fonction de a, M et$\dot \theta $.
19. Donner, en fonction de a, g, K, $\ell $, M et θ. l'expression du produit vectoriel $O\vec P \wedge \vec F$($\vec F$ étant, cf question 4, la résultante des forces extérieures appliquées à P).
20. En déduire, par application du théorème du moment cinétique, l'expression de l'équation différentielle du mouvement de P. Vérifier que l'on retrouve l'expression obtenue à la question 9.

Concours Physique ENSI P’ Physique 2 1992 (Énoncé)

DEUXIÈME PROBLÈME

Étude d'une pompe à chaleur destinée au chauffage d'une habitation

Une pompe à chaleur à fréon 22 (CHF₂Cl : difluoromonochlorométhane) prélève de la chaleur à un circuit d'eau froide et cède de la chaleur à de l'eau chaude qui circule dans le sol de l'habitation.
Le fréon décrit un cycle :
– dans l'évaporateur, il subit une évaporation complète sous la pression de vapeur saturante p₂ et à la température T₂ ;
– le fréon gazeux sort du compresseur à la température T₃ et sous la pression p₁ ;
– dans le condenseur le fréon gazeux se refroidit, puis se liquéfie complètement sous la pression de vapeur saturante p₁ et à la température T_l ;
– en traversant le détendeur, le fréon subit une détente adiabatique et isenthalpique passant de T₁, p₁ à T₂, p₂ ; cette détente s'accompagne d'une vaporisation partielle du liquide.

Tous les calculs seront réalisés pour une masse m = 1 kg de fréon et on pose :
– L_v (T) : chaleur latente de vaporisation du fréon ;
– c_L : capacité thermique massique du fréon liquide, supposée indépendante de T et de p ;
– le fréon gazeux est assimilé à un gaz parfait de masse moléculaire molaire M, et pour lequel $\gamma = 1,20$;
– l'énergie cinétique macroscopique ainsi que l'énergie potentielle de pesanteur seront négligées dans tout le problème ;
– le volume massique v_L du fréon liquide est indépendant de la pression et de la température ;
– l'installation fonctionne en régime permanent.
Données :
${T_2} = 273K;{\rm{ }}{T_1} = 305K;{\rm{ }}{L_\nu }({T_2}) = 205{\rm{ }}kJ.k{g^{ - 1}};{\rm{ }}{L_\nu }({T_1}) = 175{\rm{ }}kJ.k{g^{ - 1}};$
${c_L} = 1,38{\rm{ }}kJ.k{g^{ - 1}}.{K^{ - 1}};{\rm{ }}{p_2} = {5.10^5}{\rm{ }}Pa;{\rm{ }}{p_1} = {12,65.10^5}{\rm{ }}Pa;{\rm{ }}{v_L} = 0,75{\rm{ }}d{m^3}.k{g^{ - 1}};$
$R = 8,31{\rm{ }}J.mo{l^{ - 1}}.{K^{ - 1}};{\text{ masse molaire de fréron : }}M = {86,5.10^{ - 3}}{\rm{ kg}}{\rm{.mo}}{{\rm{l}}^{ - 1}}.$
1. Étude de la compression.
1.1. En raisonnant sur un système que l'on définira soigneusement, relier la variation d'enthalpie du fréon, durant la traversée du compresseur, à la quantité de chaleur Q et au travail W qu'il a échangés durant celle‑ci.
1.2. La compression est adiabatique et on admet que le gaz suit une compression de type polytropique $p{V^\gamma } = {\rm{constante}}$; en déduire T₃ puis le travail W en fonction des données.
1.3. Évaluer la variation d'entropie du fréon et conclure.
1.4. Utilisation d'un diagramme entropique pour le calcul de W.
a. Pour une transformation quelconque du fréon gazeux entre les états T₀, p₀, et T, p, calculer sa variation d'entropie $\Delta S = S - {S_0}$; en déduire l'équation d'une isobare dans le diagramme entropique (S en abscisse, T en ordonnée).
Tracer l'isobare p₁.
Par quel déplacement la courbe isobare correspondant à p₂ se déduira‑t‑elle de celle correspondant à p₁ ?
b. Représenter sur le diagramme précédent la compression du fréon gazeux de l'état T₂, p₂ à l'état T₃, P_l . Montrer que le travail W échangé par le fréon correspond à l'aire d'une surface que l'on hachurera sur le diagramme (pour cela, introduire le point correspondant à l'état T₂, p₁).

2. Passage dans le condenseur.
2.1. Calculer la quantité de chaleur Q₁ échangée par le fréon.
2.2. Calculer sa variation d'entropie.
3. Passage dans le détendeur à parois adiabatiques.
3.1. Démontrer que la détente est isenthalpique.
3.2. En déduire la fraction massique x de fréon gazeux à la sortie du détendeur.
3.3. Calculer la variation d'entropie du fréon.
4. Passage dans l'évaporateur.
4. 1. Évaluer la quantité de chaleur Q₂ échangée par le fréon.
4.2. Calculer sa variation d'entropie.
5.
Le compresseur est entraîné par un moteur électrique de rendement électro‑mécanique r = 0,8. Définir l'efficacité e de cette pompe à chaleur et l'évaluer.
Dans quelles conditions portant sur T_l et T₂ l'améliore‑t‑on ? Quel avantage présente ce chauffage par rapport au chauffage électrique ?
6. Étude du cycle.
6. 1. Vérifier le bilan énergétique sur le cycle.
6.2. Représenter son diagramme entropique.
7.
Cette pompe à chaleur sert à compenser les pertes de chaleur de l'habitation maintenue à la température T₄ = 293 K, alors que la température extérieure est T_e = 273 K.

7.1. Dans le but d'évaluer ces pertes, on coupe le chauffage ; la température de l'habitation passe alors en une durée $\Delta t = 4{\rm{ heures}}$ de T₄ = 293 K à T₅ = 283 K. On admet que la quantité de chaleur perdue pendant la durée dt petite s’écrit $\delta Q = - ak(T - {T_\varepsilon })dt,{\rm{ }}k = {2.10^7}{\rm{ }}J.{K^{ - 1}}$ désignant la capacité thermique de l'habitation, T sa température à l'instant t, et a une constante dépendant de l'isolation. Donner une équation différentielle décrivant l'évolution T (t) ; en déduire a.
7.2. Calculer la puissance électrique consommée ${P_\varepsilon }$ pour maintenir la température de l'habitation à la valeur constante T₄.
7.3. L'eau qui alimente la source froide subit une chute de température $\Delta T = 4$ degrés centésimaux durant la traversée de l'échangeur. En déduire son débit massique.
Capacité thermique massique de l'eau froide utilisée : ${c_f} = 4,18{\rm{ }}kJ.k{g^{ - 1}}.{K^{ - 1}}.$

Concours Physique ENSAM (Option T) Thermodynamique-Chimie 1991 (Énoncé)

THERMODYNAMIQUE ‑ CHIMIE
Option T
( Durée 4 heures )
L épreuve comprend une partie Thermodynamique et une partie Chimie que les candldats devront obligatoirement traiter sur des copies séparées convenablement repérées.
THERMODYNAMIQUE
Cette partie de l'épreuve comprend deux exercices indépendants à traiter dans un ordre laissé au choix du candidat.
I
Un ensemble moteur destiné à un véhicule automobile est représenté schématiquement Figure 1. On admet que le fluide qui circule dans l'installation est de l'air assimilable à un gaz parfait dont les caractéristiques thermiques sont les suivantes:
‑ Capacité thermique massique à pression constante: cp = 1 kJ.kg-1.K-1
‑ Rapport des capacités thermiques à pression constante et à volume constant: γ = 1,4.
Le débit masse qm de l'air est égal à 0,9 kg.s-1.
L'installation comporte les éléments décrits ci‑dessous.
a) Un turbocompresseur TC de caractéristiques suivantes:
‑ Rendement mécanique: ηm = 0,95
‑ Température d'aspiration de l'air : t1 = 10°C
‑ Pression d'aspiration de l'air: p1 = 1 bar
‑ Rapport de compression : ( p2 / p1 ) = 4
‑ Compression de p1 à p2 : adiabatique
‑ Rendement indiqué de la compression par rapport à l'isentropique: ηsc = 0,9
${\eta _{SC}} = \frac{{{W_{i12'}}}}{{{W_{i12}}}}$
Wi12 : travail indiqué de la compression réelle.
Wi12' : travail indiqué d'une compression isentropique fictive entre l'état 1 et la pression P2 .
L'indice 2' désigne l'état final atteint.
b) Une turbine TU de caractéristiques suivantes:
‑ Rendement mécanique: ηm = 0,95
‑ Température d'admission de l'air: t4 =927°C
‑ Détente de p4 à p5 : adiabatique
‑ Rendement indiqué de la détente par rapport à l'isentropique: ηST = 0,81
${\eta _{ST}} = \frac{{{W_{i45}}}}{{{W_{i45'}}}}$
Wi45 : travail indiqué de la détente réelle.
Wi45' : travail indiqué d'une détente isentropique fictive entre l'état 4 et la pression p5.
L'indice 5' désigne l'état final atteint.
La turbine entraîne le turbocompresseur et la transmission du véhicule.
c) Un échangeur adiabatique E d'efficacité ε égale à 0,74.
L'efficacité est définic par le rapport:
$\varepsilon = \frac{{{t_3} - {t_2}}}{{{t_5} - {t_2}}}$

d) Une chambre de combustion CH de caractéristiques suivantes:
‑ Parois : adiabatiques
‑ Combustion : isobare
‑ Rendement de combustion: η C = 0,97
C = (Quantité de chaleur reçue par le fluide) / (Quantité de chaleur fournie par le combustible)
On néglige:
‑ les pertes de charge, d où p2 = p3= p4 et p5 = p6= pl
‑ les variations d'énergie cinétique et d'énergie potentielle,
‑ les variations de température dans les canalisations reliant les divers éléments,
‑ les variations de débit dues au combustible injecté.
1‑ Calculer la température t2 du gaz à la sortie du turbocompresseur ainsi que la puissance PC fournie à l'arbre du compresseur.
2‑ Calculer la température t5 du gaz à la sortie de la turbine et la puissance PT disponible sur l'arbre de la turbine. En déduire la puissance utile Pu reçue par la transmission du véhicule.
3‑ Calculer la température t3 du gaz à l'entrée de la chambre de combustion, le rendement global ηt de l'installation et le débit masse horaire qh du combustible dont le pouvoir calorifique est égal à 4.104 kJ.kg-1.
4‑ Calculer la température t6 à la sortie de l'échangeur E.
5‑ Calculer les entropies massiques s en kJ.kg-1.K-1 pour les états 1 - 2 - 3 -4 - S et 6 du fluide en prenant s = 0 pour l'état 1. Représenter le cycle d'évolution du fluide dans le diagramme entropique, en choisissant des échelles convenables sur les deux axes.

II
Une unité de dessalement de l'eau de mer destinée à l'alimentation en eau potable des membres de l'expédition française en Terre Adélie est schématiquement représentée Figure 2.
Son fonctionnement en régime permanent peut être décrit comme suit.
L'eau de mer entre en A dans un récupérateur RC où elle est réchauffée par la saumure chaude extraite en H de l'évaporateur E2.
Elle traverse ensuite successivement les condenseurs C2 et C1. Elle entre en D dans l'échangeur principal EP où elle reçoit de la chaleur foumie par une source exteme constituée par l'eau de refroidissement des moteurs Diesel de la centrale électrique de la base.
L'eau de mer ainsi préchauffée est introduite au point E dans l'évaporateur E1 où elle est soumise au vide correspondant à la température d'extraction, soit 50°C. Une évaporation partielle a lieu et la vapeur produite se condense dans le condenseur C1, produisant ainsi de l'eau distillée qui est extraite en continu en K
La saumure restante entre en F dans l'évaporateur E2 où règne un vide correspondant à la température d'extraction de 40°C. Une nouvelle évaporation partielle a lieu et la vapeur se condense dans le condenseur C2, produisant de nouveau de l'eau distillée qui est également extraite en continu en L.
Les températures suivantes sont données aux points correspondants de la Figure 2:
tA = 2°C ; tB = 26,5°C ; tE = 60°C ; tF = tG = 50°C ; tH = tI = 40°C
‑ Enthalpies massiques de la vapeur d'eau saturée:
à 50°C h = 2591 kJ.kg-l ; à 40°C h = 2573 kJ.kg-l
Ces valeurs correspondent à h = 0 pour le liquide saturant à 0°C.
‑ Capacité thermique massique de l'eau liquide douce ou salée: c = 4,186 kJ.kg-l.K-l.
Les parois de tous les éléments de l'installation sont supposées adiabatiques.

1‑ Calculer, pour 1 kg d'eau de mer entrant en A, les masses ml et m2 d'eau distillée extraites en régime permanent des condenseurs C1 et C2 aux points K et L.
2‑ Calculer les températures tJ, tC et tD aux points correspondants de l'installation.
3‑ L'unité produit 2800 kg d'eau distillée par jour. Calculer la puissance thermique Pth foumie par l'échangeur principal.

CHIMIE
Les parties A et B sont indépendantes. Elles seront traitées dans un ordre laissé au choix du candidat .
A ‑ On étudie l'équilibre homogène en phase gazeuse décrit par le schéma réactionnel ( 1 ):
CO + H2O CO2 + H2 (1 )
1- Etudier la variance du système et exprimer la constante d'équilibre Kp en fonction des pressions partielles des différentes espèces gazeuses.
2‑ Calculer Kp aux températures de 750K et 1500K pour l'équilibre (1).
Données :
‑ Enthalpies libres réactionnelles standard des équilibres homogènes en phase gazeuse décrits par les schémas réactionnels (2) et (3).
2CO + O2 $\rightleftarrows $ 2 CO2 (2)
2H2 + O2 $\rightleftarrows $ 2 H2O (3)
ΔG° (2) = ‑ 565260 + 173,5 T
ΔG° (3) = ‑ 493570 + 112 T
où les enthalpies libres sont exprimées en joules et les températures en kelvin. La pression de référence pour les espèces gazeuses est égale à 1 bar.
‑ Constante molaire des gaz parfaits: R = 8,314 J.mol-1.K-1.
3‑ Afin d'étudier l'évolution des systèmes gazeux constitués par des mélanges quelconques de dioxyde de carbone, de monoxyde de carbone, d'hydrogène et de vapeur d'eau, on représente leur composition en utilisant le diagramme carré décrit ci-dessous ( Figure 3.) Pour un mélange constitué de:
$n_{CO}$moles de CO; n$_{C{O_2}}$ moles de CO2; n$_{{H_2}}$ moles de H2; n$_{{H_2}O}$ moles de H2O
on définit les variables:
$x = \frac{{{n_{CO}}}}{{{n_{CO}} + {n_{C{O_2}}}}}$ et $y = \frac{{{n_{{H_2}}}}}{{{n_{{H_2}}} + {n_{{H_2}O}}}}$
x et y sont les coordonnées du point représentatif de la composition du mélange étudié.

3.1 Il est facile de vérifier que le point O (0,0) représente un mélange CO2 + H2O en proportions quelconques. Que représentent :
a) le point A (0,1)?
b) le point B (1,0)?
c) le point C (1,1)?
d) un point appartenant au segment OA?
e) un point appartenant au segment OB?
f) un point appartenant au segment AC?
g) un point appartenant au segment BC?
3.2 Exprimer Kp en fonction des valeurs de x et y à l'équilibre.
3.3 Représenter graphiquement sur le diagramme carré, le lieu des points correspondant aux divers mélanges à l'équilibre à T = 750K et à T = 1500K. Les courbes seront tracées point par point en faisant varier x à partir de zéro par incréments de 0,1.
4‑ On part d'un mélange initial à la température T K contenant (nCO)0 moles de monoxyde de carbone et (n$_{{H_2}O}$)0 moles d'eau.
4.1 Montrer que l'évolution du système vers son état d'équilibre à la température T K est représentée, sur le diagramme carré, par une droite dont on donnera l'équation.
4.2 Application : On part à 1500K d'un mélange contenant 2 moles de CO et 1 mole de H2O.
Représenter l'évolution du système vers l'équilibre et donner sa composition une fois cet équilibre atteint.
5‑ A 750K, un mélange à l'équilibre est tel que le rapport du nombre de moles d'hydrogène au nombre de moles d'eau est égal à 2. Donner le lieu des points représentant les mélanges initiaux ne contenant pas de dioxyde de carbone qui conduisent à cet état d'équilibre.

B‑ On considère, à la température de 298K, le système hétérogène formé par une atmosphère contenant du CO2 gazeux en contact avec une solution aqueuse contenant du CO2 dissous et des
ions hydrogénocarbonate HC03-. Les équilibres mis en jeu sont décrits de manière simplifiée par les schémas réactionnels (4) et (5) . On néglige l'équilibre faisant intervenir les ions carbonate.
CO2 gazeux $\rightleftarrows $ CO2 dissous (4)
CO2 dissous + 2 H2O $\rightleftarrows $ HC03- + H3O+ (5)
Pour l'équilibre (4), la concentration volumique molaire de CO2 dissous est reliée à la pression partielle p$_{C{O_2}}$ de CO2 gazeux par la relation suivante valable à la température de 298K:
[CO2] dissous = 0.035.p$_{C{O_2}}$ où p$_{C{O_2}}$ est exprimée en bars et [CO2] en mol.l-1.
La constante d'équilibre relative aux concentrations volumiques molaires de la réaction (S) sera notée Kc
1. Exprimer Kc en fonction de la pression partielle p$_{C{O_2}}$ et des concentrations volumiques molaires
[CO2] dissous, [HCO3-] et [H3O+].
2. Afin de déterminer la valeur de Kc à la température de 298K, on construit la cellule de mesure représentée Figure 4.
La demi-cellule A contient une solution aqueuse de HCl de concentration volumique molaire 0,1 mol.l-1. La demi-cellule B contient une solution aqueuse de NaHCO3 de concentration volumique molaire 0,001 mol.l-1. La solution est en équilibre avec une atmosphère gazeuse dans laquelle la pression partielle de CO2 est égale à 0,01 bar. Les deux demi-cellules sont reliées par un pont d'électrolyte pour lequel les différences de potentiel de jonction sont négligeables.

On mesure la différence de potentiel E entre deux électrodes à hydrogène immergées dans les deux solutions.
2.1 Exprimer E en fonction des valeurs pHA et pHB du pH des deux solutions.
Données: R = 8,314 J.mol-1.K-1
1 Faraday = 96487 C.
2.2 A la température de 298K, on mesure E = 350mV. En déduire la valeur de la constante d'équilibre Kc.

Concours Physique École de l’Air 1991 (Énoncé)

Ecole de l'Air 1991

Première épreuve de sciences physiques

Partie I

Un fil recti1igne infini f de dimensions transversales nég1igeables, placé dans 1e vide, porte des charges é1ectriques réparties uniformément, avec une densité 1inéique λ. Ce fil est para11èle à l'axe de coordonnées Oz et i1 a pour trace sur 1e p1an xOy le point F de coordonnes x = a et y = 0.

Pour 1es app1ications numériques de cette partie, on prendra :
$\lambda = {5.10^{ - 10}}{\rm{ }}C/m$ et a = 4 cm
On rappelle enfin que : ${\varepsilon _o} = \frac{1}{{36\pi {{.10}^9}}}$
1) En quelles unités est exprimée habituellement 1a permittivité ε ? Justifier 1e choix de ces unités.
2) Montrer que le champ é1ectrostatique E produit par ce fil est indépendant de z.
3) Déterminer 1e champ électrostatique en un point quelconque M du plan xOy en introduisant la variable FM = r.
On fera un schéma clair. App1ication numérique r = 4 cm.
4) V désignant 1e potentiel é1ectrostatique en M et V° le potentiel en 0, calculer 1a différence de potentie1 V-V°.
Faire l'application numérique.

Partie II

On étudie maintenant toujours dans le vide, le système constitué par 1e fil f associé à un second fil f' symétrique de f par rapport à Oz et portant des charges électriques uniformément réparties, avec la densité linéique -λ. La trace de f' dur le plan xOy est le point F'.
Pour les applications numériques de 1a partie II, on prendra encore $\lambda = {5.10^{ - 10}}{\rm{ }}C/m$ et a = 4 cm
l) M étant un point quelconque du p1an xOy, r sa distance à F et r' sa distance à F', V le potentiel en M et V° en 0, calculer dans ce nouveau cas la différence de potentiel V-V°. Déterminer la valeur de V° telle que V tende vers zéro quant M s'éloigne indéfiniment dans 1e plan xOy. Tracer à l'échelle 1es équipotentielles pour V = ± 14,5 V
2) Si l'on fait tendre a vers zéro, mais en gardant le produit (2λa) constant et éga1 à p, on obtient un "dipôle cylindrique" de moment p (p para11èle à Ox). Ca1cuIer 1e potentiel V(ρ,θ) en M. En déduire E_ρ et E_θ du champ E en M.
On posera $\rho = OM$

Partie III

On se donne maintenant, toujours dans 1e vide, deux cercles Γ et Γ' du plan xOy, dont les centres respectifs C et C' sont situés sur Ox, symétriquement par rapport à 0. On désigne par R leur rayon, et on pose $OC = OC' = \ell {\rm{ avec }}\ell > R$
Pour les applications numériques de cette partie. on prendra $\ell = 5{\rm{ cm}}$ et R = 3 cm
l) Montrer que l'on peut placer les fils f et f' étudiés dans la deuxième partie de façon que Γ et Γ' soient des lignes équipotentielles et calculer en fonction de et de R la valeur de a et celle du rapport $\alpha = r'/r$ correspondant au cercle Γ.
Application numérique : calculer les valeurs de a et de α.

2) Si l'on impose le potentiel V₁ de Γ. Calculer la densité linéique λ que l'on doit attribuer au fil f .
App1ication numérique : calculer λ pour V₁ = 10 V.
3) On imagine maintenant que 1'on remplace les fils f et f' par deux cylindres conducteurs ayant pour sections droites Γ et Γ' et respectivement portés aux potentiels +V₁ et -V₁ . Qu'appelle-t-on équilibre électrostatique ? Montrer que 1a distribution de potentiel à l'extérieur de Γ et Γ' satisfait toutes les conditions de l'équilibre électrostatique.

Partie IV

On imagine maintenant N fils rectilignes et chargés comme précédemment (+ λ) répartis régulièrement sur un cylindre de rayon a, centré en 0. Calculer le potentiel en un point M à grande distance des fils. On fera un développement limité au second ordre en a/r. Cas où N = 8 .

Partie V

Cette fois on considère deux cylindres conducteurs très allongés identiques, de longueur L et de rayon R placés parallèlement à une distance a. Ces cylindres constituent une ligne bifilaire : on supposera que R << a << L et on ne tiendra pas compte des effets de bords.

l) Le cylindre (1) portant la charge électrique +Q et 1e cylindre (2) portant la charge -Q , calculer en tenant compte des approximations, les potentiels V₁ et V₂ des deux cylindres; on supposera que les charges sont uniformément réparties sur chaque cylindre et, on utilisera une valeur moyenne de la densité superficielle. On donnera au préalable et sans aucun calcul, une idée de la répartition des charges sur les cylindres.
2) Déterminer la quantité (capacité 1inéique) définie par : $Q/L = \gamma ({V_1} - {V_2})$
Calculer γ pour a = 4 cm et R = 2 mm.
3) Les deux cylindres étant initialement déchargés, sont portés aux potentiels V₁ et V₂ quelconques. Calculer les charges totales Q₁ et Q₂ que prennent les deux cylindres, et déterminer 1es expressions des quatre coefficients C_ij définis comme suit: ${Q_i} = \sum {{C_{ij}}{V_j}} $
Cette écriture signifie que les charges Q₁ et Q₂ se mettent sous la forme : $\left\{ \begin{array}{l}{Q_1} = {C_{11}}{V_1} + {C_{12}}{V_2}\\{Q_2} = {C_{21}}{V_1} + {C_{22}}{V_2}\end{array} \right.$
6) Lorsque la 1ongueur L augmente indéfiniment, déterminer la 1imite des coefficients 1inéiques C_ij/L .
Comparer ces valeurs à 1a capacité γ précédente.

Concours Physique Centrale M, P’ Physique II 1991 (Énoncé)

Concours d'admission 1991

M-P'

PHYSIQUE II
(4 pages dactylographiées)
ETUDE D'UN PIEGE A NEUTRONS
Le neutron est une particule sans charge électrique, il n'est donc pas possible de le piéger dans les anneaux de stockage traditionnels. Nous allons voir qu'il est néanmoins possible de confiner des neutrons très lents, appelés "ultra-froids", dans un champ magnétique approprié. La première partie du problème étudie le ralentissement des neutrons. La seconde partie s'intéresse au confinement des neutrons.
Les deux parties sont très largement indépendantes.
Données : Masse du neutron m = 1,67. 10⁻²⁷ kg
Moment magnétique du neutron M = 9,66. 10⁻²⁷ Am²
Constante de Boltzmann k = 1,38.10⁻²³ .J.K⁻¹
Electron-volt 1 eV = 1,6.10⁻¹⁹ J
Le référentiel du laboratoire sera supposé galiléen dans tout le problème.
<F(x)>_x représente la valeur moyenne de la fonction F(x) par rapport à la variable aléatoire x
<F(x)>_x = ∫_D F(x') dP(x') où D est le domaine de définition de x et où dP(x') = probabilité de trouver la variable x entre les valeurs x' et x' +dx' .
On donne la loi de répartition en énergie de la statistique de Boltzmann :
${\rm{dP(E) = }}\frac{{\rm{1}}}{{\sqrt {{\rm{2}}\pi } }}\frac{{\rm{1}}}{{\sqrt {{{{\rm{(kT)}}}^{\rm{3}}}} }}\sqrt {\rm{E}} \,\exp \left( {E/kT} \right)\,dE$.

PREMIERE PARTIE

Dans toute cette partie,$\vec v$ et E représentant la vitesse et l'énergie cinétique du neutron, et $\vec w$ la vitesse du noyau dans le référentiel du laboratoire. L'indice 1 sera réservé aux grandeurs avant le choc et l'indice 2 aux grandeurs après le choc.
On pose A = Masse du noyau / Masse du neutron.
On se place dans l'approximation non relativiste.
I. COLLISION NEUTRON-NOYAU AU REPOS
Un neutron de vitesse ${\vec v_1}$et d'énergie E₁ entre en collision élastique avec un noyau atomique initialement au repos (${\vec w_1} = \vec 0$).
1). Ecrire les équations de conservation de la quantité de mouvement et de l'énergie en fonction de A et des vitesses.
2). On appelle θ l'angle défini positif, que fait la direction du noyau après 1e choc avec la direction du neutron incident θ = (${\vec v_1},{\vec w_1}$) avec 0 < θ < π
a). Montrer que θ < π/2 .
b). Exprimer le rapport E₂/E₁ en fonction de A et θ.
II. MODELE DES SPHERES DURES
Dans ce modèle, on représente le neutron et le noyau par deux sphères rigides de rayons respectifs R₁ et R₂. On définit le paramètre d'impact b comme étant la distance entre la trajectoire du neutron incident et le centre du noyau initialement au repos. On admettra que les actions de contact, lors du choc sont normales aux surfaces de contact.
1). Donner la relation entre l'angle θ défini au I.2 et le paramètre b.
2). Exprimer la probabilité dP'(b) que le paramètre d'impact soit compris entre b et b+db au cours d'une collision.
3). Montrer que <− ln(1-K cos²θ)>_b = 1 + $\frac{{1 - K}}{K}$ ln(1-K) où K est une constante vérifiant K< 1 .
4). En déduire le coefficient de ralentissement γ défini par γ = <−Ln E₂/E₁>_b .
5). a). Pour quelle valeur de A le ralentissement est-il en principe le plus efficace?
b). Application numérique. Calculer γ pour les noyaux suivants :
¹H, ²H, ¹²C, ²³⁸U. On assimilera A au nombre de masse du noyau.
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III. APPLICATION AU RALENTISSEMENT DES NEUTRONS
On considère un neutron d'énergie initiale E₀ = l MeV . A l'instant t = 0 s, ce neutron entame un processus de collisions élastiques en chaîne avec un milieu, que l'on supposera homogène, illimité et constitué de noyaux tous identiques.
1). Le milieu est maintenu à la température T = 300 K. calculer l'énergie moyenne d'agitation thermique des noyaux E_300K en électron-volts (la démonstration de la relation utilisée n'est pas exigée). Est-il légitime de négliger le mouvement des noyaux ?
2).a). En utilisant la définition II.4). de γ exprimer l'énergie E_n du neutron après n collisions en fonction de E₀, γ et n. On pourra, pour justifier le calcul, considérer que n est un grand nombre.
b). Calculer, pour les 4 noyaux du II.5)., le nombre de collisions nécessaires pour faire passer l'énergie du neutron de sa valeur initiale E₀ à la valeur finale E_300K calculée plus haut.
3). On considère maintenant que l'énergie du neutron est une fonction continue du temps E(t). On note λ, le libre parcours moyen du neutron dans le milieu.
a). Exprimer la fréquence de collision dn/dt en fonction de λ, E(t) et m.
b). En déduire l'équation différentielle vérifiée par E(t).
c). Calculer E(t).
4). On donne, dans le cas du graphite, λ =2,6 cm.
a). Calculer le temps nécessaire pour abaisser l'énergie du neutron à la valeur finale E_300K.Que pensez-vous de l'influence de E₀ sur le temps de ralentissement ?
b). Calculer la distance parcourue par le neutron.

DEUXIEME PARTIE

I. CALCUL DE CHAMP MAGNETIQUE
Soit (O,$\vec i,\vec j,\vec k$) un trièdre orthonormé direct. On considère 6 fils rectilignes infinis, parallèles, de direction $\vec k$. La disposition des fils est telle que leurs traces dans le plan (O, $\vec i,\vec j$) notées A₁ B₃ A₂ B₁ A₃ B₂ sont réparties sur les sommets d'un hexagone régulier inscrit dans un cercle de centre O et de rayon a (voir Figure 1).
Le fil A₁, tel que $O{A_1} \to = a\,\vec i$, est parcouru par un courant I dans le sens de $\vec k$ et deux fils voisins sont parcourus par des courants opposés. On veut calculer le champ magnétique créé par cette distribution de courant au voisinage de O.

1).a). Soit M un point du plan (O, $\vec i,\vec j$). on pose $OM \to $$ = \vec r$. Donner rapidement en fonction de I. a, $\vec i,\vec k$ ct$\vec r$ l'expression du champ magnétique en M créé par le fil A₁ seul.
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b). On repère M par ses coordonnées polaires (r, θ) avec θ = ($\vec i,\vec r$). On pose u = r/a et B₀ = µ₀I/2πa . Donner les composantes radiale B'_r et orthoradiale B'_θ du champ crée par A₁ seul en fonction de B₀, u et θ .
c). Faire un développement limité à l'ordre 2 en u de ces expressions.
2).a). Par quelle transformation passe-t-on du champ crée par le fil A1, au champ créé par le seul fil B₁ diamétralement opposé à A₁ ?
b). En déduire, à l'ordre 2 en u. les composantes B1r et B_1θ du champ créé par le couple (A₁, B₁). I1 est conseillé, pour la suite du calcul. de linéariser les expressions en sinθ et cosθ .
3).a). Par quelle transformation obtient-on les champs créés par les deux autres couples de fils (A₂, B₂) et (A₃, B₃) ?
b). Montrer que le champ total se met sous la forme
B_r = − C B₀ u² sin3θ
B_θ = − C B₀ u² cos3θ où C est une constante numérique à déterminer.
4).a). Donner l'équation des lignes de champ.
b). Représenter l'allure des lignes de champ.
5).a). Calculer le module du champ que l'on notera B(r).
b). Comment sont les lignes isomodules B(r) = Constante ?
On conviendra que cette expression de B(r) est valable pour tout r < a.
II. ACTION DU CHAMP SUR UN NEUTRON
On admet qu'un neutron placé dans un champ magnétique oriente toujours son moment magnétique dans la direction du champ mais que son sens peut-étre, de façon équiprobable, parallèle ou antiparallèle au vecteur champ magnétique.
On pose Ω = ( 2CB₀M/ma² ) ^1/2
1).a). Exprimer en fonction de Ω, m et r l'énergie potentielle d'interaction entre le neutron et le champ magnétique $\vec B$déterminé dans la question I.. On distinguera le cas des neutrons "parallèles" et celui des neutrons "antiparallèles" au champ.
b). Exprimer la force qui s'exerce sur ces neutrons. En déduire qu'il est possible de confiner certains neutrons dans ce champ, on précisera lesquels.
Dans toute la suite du problème on ne s'intéresse qu'aux neutrons confinés.
2). Soit le repère d'axe cartésien (O, x, y, z) engendré par le trièdre (O, $\vec i,\vec j,\vec k$) défini au I.
a). Ecrire les équations différentielles du mouvement du neutron.
b). On considère un neutron qui, à t = 0 s. a pour coordonnées (x₀. 0, 0) et pour vecteur vitesse (0, u₀, v₀). Exprimer x(t). y(t) et z(t).
c). Représenter sa trajectoire.
3). Soit $\vec u$ la projection du vecteur vitesse sur le plan (O, x, y).
a). Montrer qu'il existe une vitesse critique u_C telle que si |$\vec u$| > u_C aucun neutron n'est confiné. On exprimera u_C en fonction de B₀, M et m.
b). Calculer u_C pour B₀ = 0,5 T. Calculer l'énergie cinétique critique E_C correspondante en électron-volts. Justifier, par un calcul numérique, le qualificatif d' "ultra-froids" que l'on donne aux neutrons confinés.
c). On considère un faisceau de neutrons ralentis et en équilibre thermique dans un milieu de température T = 300 K. Evaluer la fraction de ces neutrons qui sont susceptibles d'être piégés dans le champ. On utilisera la
valeur E_C calculée précédemment et on fera une approximation justifiée.
4). Expliquer pourquoi. en pratique, la durée de confinement sera forcément limitée.

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III. AMELIORATION DU CONFINEMENT
On referme le volume cylindrique de la zone de confinement sur lui-même pour former un tore de rayon moyen R et de section circulaire de rayon a. Les 6 fils rectilignes infinis du I sont donc remplacés par 6 fils circulaires coaxiaux et on définit un nouveau repère d'axe en coordonnées cylindriques (ρ, θ, z) l'axe z étant maintenant confondu avec l'axe du tore (voir Figure 2.)
1). On admet que la configuration du champ dans une section θ = constante du tore est identique à celle déjà calculée dans le cas des fils infinis.
a). Exprimer. en coordonnées cylindriques. la force qui s'exerce sur un neutron confiné en fonction de m, Ω, R, ρ et z.
b). Exprimer les composantes de l'accélération en coordonnées cylindriques.
c). En déduire les équations différentielles du mouvement.

On choisit l'origine des temps telle que dρ/dt(t=0) = 0 et l'origine des angles telle que θ(t=0) = 0 . On pose ρ(0) = ρ₀, z(0) = z₀, dθ/dt (t=0) = ω₀ et dz/dt (t=0) = vo.
2).a). Calculer z(t).
b). Montrer que ρ²dθ/dt est une constante du mouvement. Comment aurait-on pu prévoir directement ce résultat ?
c). En déduire une équation différentielle en ρ(t) uniquement.
3). Décrire complètement le mouvement dans les deux cas particuliers suivants :
a). ω₀ = 0. Donner la nature des trajectoires.
b). dθ/dt = constante. Calculer ρ en fonction de R. Ω et ω₀ et représenter les trajectoires. A quelle condition sont-elles fermées ?
4). On cherche maintenant des solutions pour lesquelles ρ varie peu autour de sa valeur moyenne.
On pose ρ(t) = ρ_m ( 1 + ε (t) ) avec ρ_m = < ρ(t) >_t et | ε | << 1.
a). En ne conservant que les termes d'ordre 1 en ε, établir l'équation différentielle linéaire vérifiée par ε(t) .
b). Donner l'équation qui lie ρ_m aux grandeurs initiales ρ₀ et ω₀ . On ne cherchera pas à la résoudre.
c). En déduire les expressions de ρ(t) et de dθ /dt en fonction de ρ_m, ω₀, Ω ,R et t.
d). Représenter l'allure des trajectoires.
5). Si on suppose l'axe z vertical, quel serait l'effet de la pesanteur sur la trajectoire du neutron ?
Faire l'application numérique pour g = 9,81 m.s⁻², B₀ = 0.5T et a =10 cm.
**** FIN ****