Concours Physique TPE 1992 (Énoncé)

CONCOURS COMMUN D'ADMISSION

AUX ECOLES SUPERIEURES

DES TRAVAUX PUBLICS

DU BATIMENT

DE MECANIQUE‑ELECTRICITE

DE TOPOGRAPHIE

SESSION 1992

P H Y S 10 U E

Durée: 4 heures

PREMIER PROBLEME.
NOTA : La partie C peut être traitée indépendamment de la partie B.
ETUDE D'UN SYSTEME MASSE‑RESSORT.

On se place dans le repère (R) (0 x y z) orthonormé, direct, galiléen, de vecteurs unitaires de base$\vec i,\vec j,\vec k$. Le système envisagé est constitué d'un ressort R, d'un demi‑cercle C et d'une perle P. Le ressort R est partait, c'est‑à‑dire sans masse et développant selon sa propre direction une force proportionnelle à son élongation. On note K ce coefficient de proportionnalité et $\ell$ la longueur à vide de R. Le demi‑cercle (fixe dans (R)) C, de rayon a, de centre 0, est contenu dans le demi‑plan xOy, x ≥ 0, supposé vertical, Ox étant la verticale descendante. La perle P est un objet quasi‑ponctuel de masse M astreint à se déplacer sans frottement sur C. Le ressort R a une extrémité liée à P et l'autre à un point Ω situé aux cotes x = - a, y = 0, z = 0 de (R).
La position de P dans (R) est repérée par l'angle θ = $\left( {\vec i,O\vec P} \right)$, $\theta \in \left[ { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right]$ . On note $\vec u$le vecteur unitaire de OP, $\vec v$ le vecteur unitaire déduit de $\vec u$ par la rotation de $+ \frac{\pi }{2}$ autour de $\vec k$. Le système est placé dans le champ de pesanteur d'accélération $\vec g = g\vec i$de module g constant.
A. Etude d'équilibres possibles.
Les expressions vectorielles demandées (questions 1, 3, 4 et 5) seront exprimées dans la base$\vec u,\vec v$.
1. Donner l'expression du vecteur $P\vec \Omega$en fonction de a et θ.
2. Donner l'expression du module PΩ de $P\vec \Omega$ en fonction de a et θ (ou mieux, de $\frac{\theta }{2}$).
3. Donner l'expression de la tension $\vec T$du ressort en fonction de a, K, $\ell$ et θ (ou mieux, de $\frac{\theta }{2}$).
4. Soit $\vec F$ la résultante des forces extérieures appliquées à la masse M. On note r le module de la réaction de C sur P. Donner l'expression de $\vec F$ en fonction de a. g, K, $\ell$, M, r et θ.
5. Donner l'expression de la vitesse $\vec V$de P dans (R) en fonction de a et de la dérivée temporelle convenable de θ. On notera : $\dot \theta = \frac{{d\theta }}{{dt}}$.
6.Donner, en fonction de a, g, K, $\ell$, M, θ et $\dot \theta$, l'expression du produit scalaire $\vec F.\vec V$. 7.En déduire, en fonction des mêmes paramètres à l'exception de $\dot \theta$, l'expression de l'énergie potentielle E_p dont dérive la force $\vec F$. 8. Ecrire l'expression de l'énergie mécanique totale E du système.
9. En déduire, lorsque le mouvement de M a lieu, son équation différentielle en fonction de a, g, K, $\ell$, M, θ et ses dérivées convenables.
10. Déterminer l'expression des positions d'équilibre θ = θ_i envisageables pour le système.
11. On veut imposer l'existence d'une position d'équilibre pour une valeur θ₁ ≠ 0 de θ comprise entre 0 et $\frac{\pi }{2}$ (ce qui implique par symétrie une position équivalente ‑ θ₁ entre 0 et$- \frac{\pi }{2}$). Écrire les inégalités que cela implique sur les paramètres du problème. Donner une interprétation physique de ces conditions.
12. Les conditions ci‑dessus étant réalisées, étudier la stabilité des équilibres ainsi obtenus.
B. Etude d'un cas particulier.
On se donne ici les relations entre paramètres suivants : $a = 2\frac{{Mg}}{K}$ et $\ell = \sqrt 3 \left( {a - \frac{{Mg}}{K}} \right)$
13. Vérifier que les conditions établies à la question 11 sont réalisées. Expliciter les positions d'équilibre. Donner, pour ces positions, les valeurs numériques du facteur $\frac{1}{{K{a^2}}}\frac{{{d^2}{E_p}}}{{d{\theta ^2}}}$ et valider les conclusions de la question 12.
14. Pour étudier les petits mouvements autour de la position d'équilibre θ₁ , on pose θ = θ₁ + ε. Établir l'équation différentielle linéaire en ε de ces petits mouvements. On posera${\omega ^2} = \frac{K}{M}$, où $\omega$ est la pulsation naturelle intrinsèque du système masse‑ressort libre.
15. Donner l'expression de la solution de l'équation ci‑dessus pour les conditions initiales suivantes:
$\varepsilon \left( 0 \right) = 0$, $\frac{{d\varepsilon }}{{dt}}\left( 0 \right) = {\dot \varepsilon _0} = \sqrt {\frac{{Ka - Mg}}{{2Ma}}}$
Applications numériques.
Soient les valeurs numériques : g = 9,81 rn.s^‑2, K = 10³ N.m^-1, M = 1 kg.
16. Calculer la constante K’ du ressort donnant la même pulsation naturelle en régime de vibrations libres que celle obtenue à la question 14. Interpréter physiquement.
17. Calculer la longueur L du pendule simple synchrone équivalent. Interpréter le rôle de a.
C. Approche analytique complémentaire.
18. Donner, dans le repère (R) l'expression du moment cinétique ${\sigma _0}$de la masse M par rapport à 0 en fonction de a, M et$\dot \theta$.
19. Donner, en fonction de a, g, K, $\ell$, M et θ. l'expression du produit vectoriel $O\vec P \wedge \vec F$($\vec F$ étant, cf question 4, la résultante des forces extérieures appliquées à P).
20. En déduire, par application du théorème du moment cinétique, l'expression de l'équation différentielle du mouvement de P. Vérifier que l'on retrouve l'expression obtenue à la question 9.