I- PREMIERE PARTIE: Etude cinétique des gaz:
1)- Distribution des vitesses à l'équilibre thermodynamique:
a)- Le terme en exposant doit être sans dimension: B a donc la dimension d'une vitesse à la puissance –2.
d3NN est un nombre sans dimension: a a la dimension d'une vitesse à la puissance –1:
B est en s2.m-2 et a est en s.m-1.
Par ailleurs, le nombre de molécules ayant une vitesse quelconque est égal à N: on en déduit:
1=a3⋅+∞∫−∞e−Bvx2dvx⋅+∞∫−∞e−Bvy2dvy⋅+∞∫−∞e−Bvz2dvz=[a⋅+∞∫−∞e−Bvx2dvx]3
Soit:
a=1+∞∫−∞e−Bvx2dvx=12+∞∫0e−Bvx2dvx
C'est à dire, en utilisant l'intégrale I0:
a=√Bπ
b)- On écrit la loi précédente en passant en coordonnées sphériques dans l'espace des v:
v2=v2x+v2y+v2z et dvx⋅dvy⋅dvz=v2sinθ⋅dv⋅dθ⋅dϕ
et pour avoir la proportion de molécules dont le module de la vitesse est compris entre v et v + dv, on intègre sur toutes les directions, soit de 0 à π en θ et de 0 à 2π en ϕ. On a ainsi:
dN′N=a3⋅e−Bv2v2⋅dvπ∫0sinθ⋅dθ2π∫0dϕ=p(v)dv
et on en déduit: p(v)=4πa3v2e−Bv2, soit:
p(v)=4π(Bπ)32v2e−Bv2
p(v) est bien sûr toujours positif; par ailleurs, il tend vers 0 si v tend vers l'infini et il est nul pour v = 0: il présente donc un maximum;
dpdv=8π(Bπ)32ve−Bv2⋅(1−Bv2)
dpdv=0 pour vP2=1Bsoit pour:
c)- Par définition, la vitesse quadratique moyenne s'écrit:
(v∗)2=∞∫0v2p(v)⋅dv=∞∫04πa3v4e−Bv2⋅dv=4π(Bπ)32⋅38B2(πB)12
vP=√1B
Soit:
v∗=√32B
d)- D'après le théorème d'équipartition de l'énergie, l'énergie cinétique moyenne d'une particule ponctuelle, donc à trois degrés de liberté, s'écrit: 32kT: on peut donc écrire: 32kθ=12m(v∗)2.On en déduit, en identifiant les deux expressions de v*:3kθm=32B , soit:
B=m2kθv∗=√3kθm et vP=√2kθm
e)- Application numérique:
On tire θ de l'expression de la vitesse quadratique moyenne:
θ=m(v∗)23k=M(v∗)23R
2)- Distribution des vitesses dans un jet atomique:
a)- Le nombre dn d'atomes par unité de volume dont le module de la vitesse est compris entre v et v + dv est proportionnel à
θ=479,6 K vP = 245 m/s
p(v).dv; la distribution des vitesses étant à priori isotrope, le nombre dn' d'atomes par unité de volume dont le module de la vitesse est compris entre v et v + dv, et dont la direction est dans l'angle solide α est proportionnel à:
p(v)α4πdv
pendant l'intervalle de temps dt, le nombre d'atomes qui sortent par le trou dans la direction approximativement normale au plan du trou, et avec la vitesse voisine de v est égal au nombre d'atomes compris dans le cylindre de section droite S et de génératrice v.dt:
d2nv,αa=α4πn⋅p(v)dv⋅Svdt
On en déduit:
dnv,α=N0α4π⋅v3e−Bv4⋅dv
b)-la vitesse la plus probable dans le jet est atteinte lorsque g(v)=v3e−Bv2 passe par un maximum, c'est à dire lorsque sa dérivée s'annule: dgdv=v2e−Bv2(3−2Bv2)=0 pour v=√32B=vp√32.
vj=vp√32
La vitesse la plus probable dans le jet est plus grande que celle dans le gaz en équilibre: c'était prévisible dans la mesure où le flux de particules émises est proportionnel à v.
DEUXIEME PARTIE : Etude de l'horloge à césium:
1)- La matrice d'évolution dans le vide relie la valeur des grandeurs a1 et a2 à la sortie du milieu vide à leur valeur à l'entrée de ce milieu:
[a1(t0+τ)a1(t0+τ)]=[V11V12V21V22]⋅[a1(t0+τ+T)a1(t0+τ+T)]
Par ailleurs, les grandeurs a1 et a2 sont données par les équations différentielles (4), que l'on peut écrire:
da1a1=iω02⋅dt et da2a2=−iω02⋅dt
En intégrant ces deux équations depuis t = t0 + τ jusqu'à t = t0 + τ + T, on obtient:
a1(t0+τ+T)=a1(t0+τ)⋅eiω02T et a1(t0+τ+T)=a1(t0+τ)⋅e−iω02T
D'où:
[a1(t0+τ)a1(t0+τ)]=[eiω02T00e−iω02T]⋅[a1(t0+τ+T)a1(t0+τ+T)]
2)- A l'entrée de (R), le sélecteur d'état impose a1 = 1 et a2 = 0. A la sortie de (S), a1 et a2 sont donc donnés par la relation:
[a1a2]=[S]⋅[V]⋅[R]⋅[10]
et a2 pourra être obtenu par le produit:
[01]⋅[a1a2]
En effectuant le produit des trois matrices, on obtient:
[S]⋅[V]=[S11S12S21S22][V1100V22]=[S11V11S12V22S21V11S22V22]
[S]⋅[V]⋅[R]=[S11V11S12V22S21V11S22V22][R11R12R21R22]=[S11V11R11+S12V22R21S11V11R12+S12V22R22S21V11R11+S22V22R21S21V11R12+S22V22R22]
D'où l'expression de a2:
a2 = S21V11R11 + S22V22R21
Le terme S21V11R11 correspond au chemin suivant: l'atome reste dans l'état 1 lors de la traversée de (R) ( terme R11 ), il traverse le milieu vide dans l'état 1 ( terme V11 ), et il passe de l'état 1 à l'état 2 lors de la traversée de (S).
De la même façon, le terme S22V22R21 correspond à une transition de 1 à 2 dans (R), une traversée du vide dans l'état 2; l'atome reste alors dans l'état 2 lors de la traversée de (S).
b)- Le système de tri placé à l'entrée est le même: les atomes entrent encore dans (R) dans l'état 1. Les grandeurs en sortie ont donc la même expression que précédemment, soit:
[a1a2]=[S]⋅[V]⋅[R]⋅[10]
On en déduit la valeur de a1 en sortie:
a1 = S11V11R11 + S12V22R21
Les deux contributions qui apparaissent correspondent aux deux chemins de phase suivants:
- Chemin IK'1: l'atome reste toujours dans l'état 1.
- chemin IJ1L1K'1: l'atome passe de l'état 1 à l'état 2 dans (R), traverse (V) dans l'état 2, puis passe de l'état 2 à l'état 1 dans (S).
( Je ne vois pas où se situe la symétrie évoquée dans l'énoncé ! )
3)-
a)- En effectuant le produit des deux matrices proposées, on obtient pour la matrice [R] l'expression:
[R]=1√2[eiχ−iei(ωt0+χ)−ie−i(ωt0+χ)e−iχ]
La cavité (S) étant identique à (R), la matrice d'évolution est la même, à condition de remplacer t0 par t0 + T + τ. En utilisant la matrice [V] calculée plus haut, on obtient:
S22V22R21=−i2e−iωt0⋅e−2iχ⋅e−iωT2
b)- De la même façon, on trouve pour le second chemin de phase:
S21V11R11=−i2e−iωt0⋅e−iω(T+τ)⋅eiω0T2
4)-
a)- A partir des deux résultats précédents, on détermine a2:
a2=S22V22R21+S21V11R11=−i2e−iωt0(e−i(ω0T2+2χ)+ei(ω0T2−ω(T+τ)) avec χ=ωτ2
et on en déduit p2= a2.a2*:
p2=14[2+ei(ω0T+2χ−ω(T+τ))+e−i(ω0T+2χ−ω(T+τ))]=12(1+cos[(ω−ω0)T])
le flux Φ s'écrit alors:
Φ=Φ02[1+cos[(ω−ω0)T]]
b)-Faut-il composer, ou comparer ?
Le déphasage entre les deux contributions est la somme des déphasages introduits par (V) d'une part, par (R) et (S) d'autre part. Dans (V), le déphasage introduit est -ω0T.
Dans (R) + (S), les deux contributions sont S22R21 et S21R11 qui s'écrivent:
−i2e−i(ωt0+2χ) et −i2e−i(ω(t0+T+τ)+χ)
On constate que les deux contributions subissent un déphasage de ωt0: t0 disparaît de l'expression du déphasage. En revanche, la liaison avec l'expression du champ magnétique paraît difficile à établir, dans la mesure où on ne possède aucune donnée permettant de relier cette expression aux matrices d'évolution.
c)-Si le système de sélection (A') avait sélectionné l'état 1, il aurait fallu étudier la grandeur a1 en sortie: on peut tirer sa valeur de la relation matricielle établie plus haut:
a1 = S11 V11.R11 + S12.V22.R21
On peut alors tirer p1 = a1.a1*, mais on sait qu'il faudra de toutes façons obtenir p1 = 1-p2. On peut le vérifier:
a1=12eiχ⋅eiω0T2⋅eiχ−i√2ei(ω(t0+τ+T))+χ⋅e−iω0T2−i√2e−iω(t0+χ)=12[ei(ω0T2+2χ)−ei(ω(T+τ)+ω0T2)]
on en déduit p1:
p1=a1⋅a∗1=12(1−cos[(ω−ω0)t)
On vérifie bien que p1 + p2 = 1.
d)- A part constater qu'une cavité double est équivalente à deux cavités à la file, je ne vois pas ce qu'on peut répondre à cette question.
5)- Le flux dΦ obtenu pour les particules ayant un temps de vol compris entre T et T + dT s'écrit, en admettant l'hypothèse de la distribution gaussienne:
dΦ=Φ⋅dp=Φ021√2πT2ie−(T−T0)22T21⋅(1+cos[(ω−ω0)T)⋅dT
$$Pour prendre en compte toutes les particules quel que soit leur temps de vol, il conviendrait d'intégrer cette expression de 0 à l'infini.
En fait, comme la dispersion des temps de vol est faible devant le temps moyen (T1<<T0), on aura pratiquement la même valeur numérique en intégrant de moins l'infini à plus l'infini; on aura alors:
Φ=Φ021√2πT2i⋅+∞∫−∞e−(T−T0)22T21(1+cos[(ω−ω0)T)⋅dT
C'est à dire, en utilisant les intégrales tabulées en début d'énoncé:
Φ=Φ02⋅(1+e−(ω−ω0)2T122⋅cos[(ω−ω0)T0])
b)- En réalité, les temps de vol doivent se calculer à partir de la vitesse du jet, c'est à dire: L = v.T. La distribution des vitesses dans le jet est de la forme : v3⋅e−mv22kθ⋅dv; Comme on a : dT=−Lv2⋅dv, la distribution en temps de vol des atomes est proportionnelle à: 1T5e−mL22kθ2
c)- La courbe tracée donne l'allure de la fonction ΦΦ0=f(x), avec x = (ω−ω0)T0/3: avec les applications numériques de la
question suivante, une graduation de l'axe des abscisses correspond environ à 100 rd/s. Les deux maxima latéraux sont atteints pour x voisin de 6π (maximum de la fonction cos). Leur valeur approchée est de 0,64.Φ0.
d)- On a un phénomène voisin de celui obtenu en optique par les interférences entre deux ondes qui présentent une certaine largeur spectrale
e)- Plus le rapport T1T0 est faible, plus la visibilité des franges décroît lentement: par analogie avec l'optique, on se rapproche d'une lumière monochromatique. Le contraste est amélioré, mais il peut être problématique de repérer la frange centrale.
On peut considérer par convention que les franges deviennent peu visibles à partir du moment où le contraste est divisé par e par rapport à sa valeur initiale: ω−ω0=√2T1. "La distance" entre deux franges est : ω−ω0=2πT0: ily aura ainsi environ T0T1⋅√2π, soit un ordre de grandeur de T0T1 franges visibles.
III- Etude de la précision de l'horloge:
1)- La mi hauteur est atteinte lorsque le cos s'annule pour la première fois depuis ω = ω0, soit pour:
(ω−ω0)⋅T=±π2, soit ω=ω0±π2T
On en déduit: Δω=πT
Soit, pour la largeur en fréquence: Δf=12T
Comme L = v.T, Δf s'écrit: Δf=v2L
Soit numériquement
Δf=150 Hz
2)- Atomes lents:
a)- Les relations établies précédemment sont toujours vraies: comme on a divisé la vitesse par un facteur 100, on divise la largeur à mi hauteur par le même coefficient:
Δf2 = 1,5 Hz
b)- L = v.T: L étant donné, les écart relatifs de v et de T sont relié par la relation:
ΔTT=Δvv=0,13
ΔT a la même signification que T1 dans la question II- 5- a. Le nombre de franges est donc de l'ordre de 30/
c)- Dans le premier cas, on prenait en compte tous les atomes du faisceau. Ici, on ne conserve que ceux dont la vitesse est comprise entre 2,9 et 3 m/s. On en déduit la valeur de KF :
KF=3,1∫2,9v3⋅e−mv22kθdv+∞∫−∞vP3⋅e−mvP22kθ⋅dv
On peut considérer que l'exponentielle reste sensiblement constante sur le faible domaine d'intégration du numérateur. Quant à l'intégrale du dénominateur, elle est donnée dans le formulaire: on trouve ainsi:
KF=B22⋅(3,14−2,94)
Numériquement, on trouve:KF≈10−9.
Avec des flux aussi faibles, on rencontre toutes sortes de difficultés expérimentales: en admettant que l'on ait des capteurs suffisamment sensibles, les mesures risquent d'être erronées à la suite de prise en compte de signaux parasites, tels que le bruit de fond dans l'électronique.
3)- A la température de 2 µK, la vitesse quadratique moyenne v∗=√3RθMprend la valeur:
v* = 1,94 cm/s
a)- Par rapport au cas précédent, on utilise tous les atomes qui sont envoyés avec la vitesse de 3 m/s, la vitesse d'agitation thermique étant négligeable à cette température.
Le temps de vol est plus long, ce qui rend la frange centrale beaucoup plus fine.
b)- Les atomes sont envoyés le long de l'axe des x horizontal avec la vitesse initiale v0 = 3 m/s à partir de l'origine O. en désignant par z l'axe vertical descendant, les équations du mouvement d'un atome s'écrivent:
¨x=0¨z=gm soit, compte tenu des conditions initiales: x=v⋅tz=12g⋅t2 l'équation de la trajectoire est donc: z=12gx2v2.
Au bout de un mètre de parcours horizontal, les particules auront donc chuté de:
z=0,5∗9,89=54,5cm cm
z=0,5∗9,89=54,5 cm
L'inconvénient majeur est que l'on est obligé d'avoir alors une cavité d'hyperfréquences de grandes dimensions, ce qui pose un problème, ne serait - ce que pour créer un champ magnétique uniforme.
c)- placer une horloge atomique à atomes refroidis dans un satellite aura l'avantage de se soustraire à la pesanteur, c'est à dire de faire disparaître l'inconvénient que l'on vient de mettre en évidence.
4)- Si H est la hauteur maximale du vol, on peut écrire: v02 = 2g.H, soit:
H = 46 cm
Et le temps de vol: T=2v0g soit:0,61 s
Par rapport à l'horloge atomique à jet thermique, on a un temps de vol environ 180 fois plus grand: on obtiendra une raie centrale de largeur inférieure à 1 Hz. Par ailleurs, la dispersion très faible des vitesses permettra l'observation de nombreuses raies.
5)- Avec un champ magnétique de 10-7 T, le décalage en fréquence dû à l'effet Zeeman est de 4.10-4 Hz, c'est à dire nettement supérieure à l'inexactitude de l'horloge à atomes froids qui est de l'ordre de 9.109.2.10-15 =1,8.10-5 Hz :.il faut donc tenir compte du décalage Zeeman, et pour cela, il faut qu'il soit le même dans toutes les zones d'interaction, donc que le champ magnétique B0 soit le plus uniforme possible.
Le champ magnétique terrestre, avec une valeur de l'ordre de 5.10-5 T a une influence loin d'être négligeable sur l'horloge ( écart Zeeman de 100 Hz ), qui pourra avoir son bon fonctionnement perturbé par un changement d'orientation.
Pour que l'effet Zeeman ne diminue pas les performances de l'horloge, il faut connaître Δfz avec une précision de l'ordre de 1,8.10-5 Hz, soit δ(Δfz)Δfz=0,045. La précision avec laquelle on doit connaître B0 et K0 est donnée par:
δK0K0+2δB0B0=0,045
Soit, en prenant des précisions relatives égales pour les deux grandeurs: 1,5%, ce qui représente:
δK0 = 6.108 Hz.K-2
δB0 = 1,5.10-9 T
6)- Les équations couplées proposées s'écrivent:
ida1dt=−ω02a1+a2ω1eiωtida2dt=ω02a2+a1ω1e−iωt et on effectue le changement de fonction: a1=b1eiωt2a2=b2e−iωt2
da1dt=(db1dt+iω2b1)⋅eiωt2da2dt=(db2dt−iω2b2)⋅e−iωt2 et le système en b s'écrit: idb1dt−ω2b1=−ω02b1+ω1b2idb2dt+ω2b2=ω02b2+ω1b1
on tire de la première équation: b2=1ω1db1dt+ω0−ω2ω1b1
et en portant dans la seconde, on obtient l'équation en b1:
d2b1dt2+[ω12+(ω0−ω)24]⋅b1=0
On se place dans le cas où (ω - ω0)2<<ω12 : l'équation en b1 se réduit à:
d2b1dt2+ω12b=0
Dont la solution générale s'écrit:
b1=A⋅eiω1t+B⋅e−iω1t
On en déduit b2:
b2=A⋅[ω0−ω2ω1−1]⋅eiω1t+B⋅[ω0−ω2ω1+1]⋅e−iω1t
Soit, dans le cadre de l'approximation:
b2=−A⋅eiω1t+B⋅e−iω1t
Pour retrouver les quatre coefficients de la matrice, on peut prendre les conditions initiales les plus générales sous la forme:
a1(t0) = a10 et a2(t0) = a20
Pour les b, ces conditions initiales s'écrivent:
b10=a10⋅e−iω2t0b20=a20⋅eiω2t0
Le plus commode est de les appliquer à b1 + b2 et b1 – b2 :
b1+b2=2B⋅e−iω1tb1−b2=2A⋅eiω1t
Soit:
B=12⋅[a10⋅ei(ω1−ω2)t0+a20⋅ei(ω1+ω2)t0]A=12⋅[a10⋅e−i(ω1+ω2)t0−a20⋅e−i(ω1−ω2)t0]
On en déduit l'expression de a1 et de a2:
a1=12⋅[a10⋅e−i(ω1+ω2)t0−a20⋅e−i(ω1−ω2)t0]⋅ei(ω1+ω2)t+12⋅[a10⋅ei(ω1−ω2)t0+a20⋅ei(ω1+ω2)t0]⋅e−i(ω1−ω2)ta2=−12⋅[a10⋅e−i(ω1+ω2)t0−a20⋅e−i(ω1−ω2)t0]⋅ei(ω1−ω2)t+12⋅[a10⋅ei(ω1−ω2)t0+a20⋅ei(ω1+ω2)t0]⋅e−i(ω1+ω2)t
Soit, après simplification:
a1=eiω2τ⋅cos(ω1τ)⋅a10−i⋅ei(ωt0+ω2τ)⋅sin(ω1τ)⋅a20a2=−i⋅e−i(ωt0+ω2τ)⋅sin(ω1τ)⋅a10+e−iω2τ⋅cos(ω1τ)⋅a20
On retrouve bien ainsi les éléments de la matrice [R] proposée dans l'énoncé, à condition de prendre:
ω1=π4τ
b)- Si on ne choisit pas cette valeur particulière, on ne modifie pas les termes de phase, et les deux contributions S22V22R21 et S21V11R11 on encore la même amplitude :sin(ω1τ).cos(ω1τ); le flux s'écrit donc:
Φ=Φ0⋅sin2(ω1τ)⋅cos2(ω1τ)⋅(1+cos[(ω0−ω)T])Z
On obtient donc encore des franges de Ramsey du même type. Le choix effectué correspond à un maximum de la fonction sin(ω1τ).cos(ω1τ), donc à un maximum du flux, c'est à dire aux franges les plus "lumineuses.
7)- A ce degré de précision, il est à peu près évident que tout phénomène secondaire ne devient plus négligeable. Il semble difficile de faire d'autres commentaires sérieux sans être spécialiste de la question.
1)- Distribution des vitesses à l'équilibre thermodynamique:
a)- Le terme en exposant doit être sans dimension: B a donc la dimension d'une vitesse à la puissance –2.
d3NN est un nombre sans dimension: a a la dimension d'une vitesse à la puissance –1:
B est en s2.m-2 et a est en s.m-1.
Par ailleurs, le nombre de molécules ayant une vitesse quelconque est égal à N: on en déduit:
1=a3⋅+∞∫−∞e−Bvx2dvx⋅+∞∫−∞e−Bvy2dvy⋅+∞∫−∞e−Bvz2dvz=[a⋅+∞∫−∞e−Bvx2dvx]3
a=1+∞∫−∞e−Bvx2dvx=12+∞∫0e−Bvx2dvx
C'est à dire, en utilisant l'intégrale I0:
a=√Bπ
b)- On écrit la loi précédente en passant en coordonnées sphériques dans l'espace des v:
v2=v2x+v2y+v2z et dvx⋅dvy⋅dvz=v2sinθ⋅dv⋅dθ⋅dϕ
et pour avoir la proportion de molécules dont le module de la vitesse est compris entre v et v + dv, on intègre sur toutes les directions, soit de 0 à π en θ et de 0 à 2π en ϕ. On a ainsi:
dN′N=a3⋅e−Bv2v2⋅dvπ∫0sinθ⋅dθ2π∫0dϕ=p(v)dv
et on en déduit: p(v)=4πa3v2e−Bv2, soit:
p(v)=4π(Bπ)32v2e−Bv2
p(v) est bien sûr toujours positif; par ailleurs, il tend vers 0 si v tend vers l'infini et il est nul pour v = 0: il présente donc un maximum;
dpdv=8π(Bπ)32ve−Bv2⋅(1−Bv2)dpdv=0 pour vP2=1Bsoit pour:
c)- Par définition, la vitesse quadratique moyenne s'écrit:
(v∗)2=∞∫0v2p(v)⋅dv=∞∫04πa3v4e−Bv2⋅dv=4π(Bπ)32⋅38B2(πB)12
vP=√1B
v∗=√32B
B=m2kθv∗=√3kθm et vP=√2kθm
e)- Application numérique:
On tire θ de l'expression de la vitesse quadratique moyenne:
θ=m(v∗)23k=M(v∗)23R
2)- Distribution des vitesses dans un jet atomique:
a)- Le nombre dn d'atomes par unité de volume dont le module de la vitesse est compris entre v et v + dv est proportionnel à
θ=479,6 K vP = 245 m/s
p(v).dv; la distribution des vitesses étant à priori isotrope, le nombre dn' d'atomes par unité de volume dont le module de la vitesse est compris entre v et v + dv, et dont la direction est dans l'angle solide α est proportionnel à:
p(v)α4πdv
pendant l'intervalle de temps dt, le nombre d'atomes qui sortent par le trou dans la direction approximativement normale au plan du trou, et avec la vitesse voisine de v est égal au nombre d'atomes compris dans le cylindre de section droite S et de génératrice v.dt:
d2nv,αa=α4πn⋅p(v)dv⋅Svdt
On en déduit:
dnv,α=N0α4π⋅v3e−Bv4⋅dv
vj=vp√32
La vitesse la plus probable dans le jet est plus grande que celle dans le gaz en équilibre: c'était prévisible dans la mesure où le flux de particules émises est proportionnel à v.
DEUXIEME PARTIE : Etude de l'horloge à césium:
1)- La matrice d'évolution dans le vide relie la valeur des grandeurs a1 et a2 à la sortie du milieu vide à leur valeur à l'entrée de ce milieu:
[a1(t0+τ)a1(t0+τ)]=[V11V12V21V22]⋅[a1(t0+τ+T)a1(t0+τ+T)]
Par ailleurs, les grandeurs a1 et a2 sont données par les équations différentielles (4), que l'on peut écrire:
da1a1=iω02⋅dt et da2a2=−iω02⋅dt
En intégrant ces deux équations depuis t = t0 + τ jusqu'à t = t0 + τ + T, on obtient:
a1(t0+τ+T)=a1(t0+τ)⋅eiω02T et a1(t0+τ+T)=a1(t0+τ)⋅e−iω02T
D'où:
[a1(t0+τ)a1(t0+τ)]=[eiω02T00e−iω02T]⋅[a1(t0+τ+T)a1(t0+τ+T)]
2)- A l'entrée de (R), le sélecteur d'état impose a1 = 1 et a2 = 0. A la sortie de (S), a1 et a2 sont donc donnés par la relation:
[a1a2]=[S]⋅[V]⋅[R]⋅[10]
et a2 pourra être obtenu par le produit:
[01]⋅[a1a2]
En effectuant le produit des trois matrices, on obtient:
[S]⋅[V]=[S11S12S21S22][V1100V22]=[S11V11S12V22S21V11S22V22]
[S]⋅[V]⋅[R]=[S11V11S12V22S21V11S22V22][R11R12R21R22]=[S11V11R11+S12V22R21S11V11R12+S12V22R22S21V11R11+S22V22R21S21V11R12+S22V22R22]
D'où l'expression de a2:
a2 = S21V11R11 + S22V22R21
Le terme S21V11R11 correspond au chemin suivant: l'atome reste dans l'état 1 lors de la traversée de (R) ( terme R11 ), il traverse le milieu vide dans l'état 1 ( terme V11 ), et il passe de l'état 1 à l'état 2 lors de la traversée de (S).
De la même façon, le terme S22V22R21 correspond à une transition de 1 à 2 dans (R), une traversée du vide dans l'état 2; l'atome reste alors dans l'état 2 lors de la traversée de (S).
[a1a2]=[S]⋅[V]⋅[R]⋅[10]
On en déduit la valeur de a1 en sortie:
a1 = S11V11R11 + S12V22R21
Les deux contributions qui apparaissent correspondent aux deux chemins de phase suivants:
- chemin IJ1L1K'1: l'atome passe de l'état 1 à l'état 2 dans (R), traverse (V) dans l'état 2, puis passe de l'état 2 à l'état 1 dans (S).
( Je ne vois pas où se situe la symétrie évoquée dans l'énoncé ! )
3)-
a)- En effectuant le produit des deux matrices proposées, on obtient pour la matrice [R] l'expression:
[R]=1√2[eiχ−iei(ωt0+χ)−ie−i(ωt0+χ)e−iχ]
La cavité (S) étant identique à (R), la matrice d'évolution est la même, à condition de remplacer t0 par t0 + T + τ. En utilisant la matrice [V] calculée plus haut, on obtient:
S22V22R21=−i2e−iωt0⋅e−2iχ⋅e−iωT2
b)- De la même façon, on trouve pour le second chemin de phase:
S21V11R11=−i2e−iωt0⋅e−iω(T+τ)⋅eiω0T2
4)-
a)- A partir des deux résultats précédents, on détermine a2:
a2=S22V22R21+S21V11R11=−i2e−iωt0(e−i(ω0T2+2χ)+ei(ω0T2−ω(T+τ)) avec χ=ωτ2
et on en déduit p2= a2.a2*:
p2=14[2+ei(ω0T+2χ−ω(T+τ))+e−i(ω0T+2χ−ω(T+τ))]=12(1+cos[(ω−ω0)T])
le flux Φ s'écrit alors:
Φ=Φ02[1+cos[(ω−ω0)T]]
b)-Faut-il composer, ou comparer ?
Le déphasage entre les deux contributions est la somme des déphasages introduits par (V) d'une part, par (R) et (S) d'autre part. Dans (V), le déphasage introduit est -ω0T.
Dans (R) + (S), les deux contributions sont S22R21 et S21R11 qui s'écrivent:
−i2e−i(ωt0+2χ) et −i2e−i(ω(t0+T+τ)+χ)
On constate que les deux contributions subissent un déphasage de ωt0: t0 disparaît de l'expression du déphasage. En revanche, la liaison avec l'expression du champ magnétique paraît difficile à établir, dans la mesure où on ne possède aucune donnée permettant de relier cette expression aux matrices d'évolution.
c)-Si le système de sélection (A') avait sélectionné l'état 1, il aurait fallu étudier la grandeur a1 en sortie: on peut tirer sa valeur de la relation matricielle établie plus haut:
a1 = S11 V11.R11 + S12.V22.R21
On peut alors tirer p1 = a1.a1*, mais on sait qu'il faudra de toutes façons obtenir p1 = 1-p2. On peut le vérifier:
a1=12eiχ⋅eiω0T2⋅eiχ−i√2ei(ω(t0+τ+T))+χ⋅e−iω0T2−i√2e−iω(t0+χ)=12[ei(ω0T2+2χ)−ei(ω(T+τ)+ω0T2)]
on en déduit p1:
p1=a1⋅a∗1=12(1−cos[(ω−ω0)t)
On vérifie bien que p1 + p2 = 1.
d)- A part constater qu'une cavité double est équivalente à deux cavités à la file, je ne vois pas ce qu'on peut répondre à cette question.
dΦ=Φ⋅dp=Φ021√2πT2ie−(T−T0)22T21⋅(1+cos[(ω−ω0)T)⋅dT
$$Pour prendre en compte toutes les particules quel que soit leur temps de vol, il conviendrait d'intégrer cette expression de 0 à l'infini.
En fait, comme la dispersion des temps de vol est faible devant le temps moyen (T1<<T0), on aura pratiquement la même valeur numérique en intégrant de moins l'infini à plus l'infini; on aura alors:
Φ=Φ021√2πT2i⋅+∞∫−∞e−(T−T0)22T21(1+cos[(ω−ω0)T)⋅dT
C'est à dire, en utilisant les intégrales tabulées en début d'énoncé:
Φ=Φ02⋅(1+e−(ω−ω0)2T122⋅cos[(ω−ω0)T0])
b)- En réalité, les temps de vol doivent se calculer à partir de la vitesse du jet, c'est à dire: L = v.T. La distribution des vitesses dans le jet est de la forme : v3⋅e−mv22kθ⋅dv; Comme on a : dT=−Lv2⋅dv, la distribution en temps de vol des atomes est proportionnelle à: 1T5e−mL22kθ2
c)- La courbe tracée donne l'allure de la fonction ΦΦ0=f(x), avec x = (ω−ω0)T0/3: avec les applications numériques de laquestion suivante, une graduation de l'axe des abscisses correspond environ à 100 rd/s. Les deux maxima latéraux sont atteints pour x voisin de 6π (maximum de la fonction cos). Leur valeur approchée est de 0,64.Φ0.
d)- On a un phénomène voisin de celui obtenu en optique par les interférences entre deux ondes qui présentent une certaine largeur spectrale
e)- Plus le rapport T1T0 est faible, plus la visibilité des franges décroît lentement: par analogie avec l'optique, on se rapproche d'une lumière monochromatique. Le contraste est amélioré, mais il peut être problématique de repérer la frange centrale.
On peut considérer par convention que les franges deviennent peu visibles à partir du moment où le contraste est divisé par e par rapport à sa valeur initiale: ω−ω0=√2T1. "La distance" entre deux franges est : ω−ω0=2πT0: ily aura ainsi environ T0T1⋅√2π, soit un ordre de grandeur de T0T1 franges visibles.
III- Etude de la précision de l'horloge:
1)- La mi hauteur est atteinte lorsque le cos s'annule pour la première fois depuis ω = ω0, soit pour:
(ω−ω0)⋅T=±π2, soit ω=ω0±π2T
On en déduit: Δω=πT
Soit, pour la largeur en fréquence: Δf=12T
Comme L = v.T, Δf s'écrit: Δf=v2L
Soit numériquement
Δf=150 Hz
a)- Les relations établies précédemment sont toujours vraies: comme on a divisé la vitesse par un facteur 100, on divise la largeur à mi hauteur par le même coefficient:
Δf2 = 1,5 Hz
b)- L = v.T: L étant donné, les écart relatifs de v et de T sont relié par la relation:
ΔTT=Δvv=0,13
ΔT a la même signification que T1 dans la question II- 5- a. Le nombre de franges est donc de l'ordre de 30/
c)- Dans le premier cas, on prenait en compte tous les atomes du faisceau. Ici, on ne conserve que ceux dont la vitesse est comprise entre 2,9 et 3 m/s. On en déduit la valeur de KF :
KF=3,1∫2,9v3⋅e−mv22kθdv+∞∫−∞vP3⋅e−mvP22kθ⋅dv
On peut considérer que l'exponentielle reste sensiblement constante sur le faible domaine d'intégration du numérateur. Quant à l'intégrale du dénominateur, elle est donnée dans le formulaire: on trouve ainsi:
KF=B22⋅(3,14−2,94)
Numériquement, on trouve:KF≈10−9.
Avec des flux aussi faibles, on rencontre toutes sortes de difficultés expérimentales: en admettant que l'on ait des capteurs suffisamment sensibles, les mesures risquent d'être erronées à la suite de prise en compte de signaux parasites, tels que le bruit de fond dans l'électronique.
3)- A la température de 2 µK, la vitesse quadratique moyenne v∗=√3RθMprend la valeur:
v* = 1,94 cm/s
a)- Par rapport au cas précédent, on utilise tous les atomes qui sont envoyés avec la vitesse de 3 m/s, la vitesse d'agitation thermique étant négligeable à cette température.
Le temps de vol est plus long, ce qui rend la frange centrale beaucoup plus fine.
b)- Les atomes sont envoyés le long de l'axe des x horizontal avec la vitesse initiale v0 = 3 m/s à partir de l'origine O. en désignant par z l'axe vertical descendant, les équations du mouvement d'un atome s'écrivent:
¨x=0¨z=gm soit, compte tenu des conditions initiales: x=v⋅tz=12g⋅t2 l'équation de la trajectoire est donc: z=12gx2v2.
Au bout de un mètre de parcours horizontal, les particules auront donc chuté de:
z=0,5∗9,89=54,5cm cm
z=0,5∗9,89=54,5 cm
L'inconvénient majeur est que l'on est obligé d'avoir alors une cavité d'hyperfréquences de grandes dimensions, ce qui pose un problème, ne serait - ce que pour créer un champ magnétique uniforme.
c)- placer une horloge atomique à atomes refroidis dans un satellite aura l'avantage de se soustraire à la pesanteur, c'est à dire de faire disparaître l'inconvénient que l'on vient de mettre en évidence.
H = 46 cm
Et le temps de vol: T=2v0g soit:0,61 s
Par rapport à l'horloge atomique à jet thermique, on a un temps de vol environ 180 fois plus grand: on obtiendra une raie centrale de largeur inférieure à 1 Hz. Par ailleurs, la dispersion très faible des vitesses permettra l'observation de nombreuses raies.
5)- Avec un champ magnétique de 10-7 T, le décalage en fréquence dû à l'effet Zeeman est de 4.10-4 Hz, c'est à dire nettement supérieure à l'inexactitude de l'horloge à atomes froids qui est de l'ordre de 9.109.2.10-15 =1,8.10-5 Hz :.il faut donc tenir compte du décalage Zeeman, et pour cela, il faut qu'il soit le même dans toutes les zones d'interaction, donc que le champ magnétique B0 soit le plus uniforme possible.
Le champ magnétique terrestre, avec une valeur de l'ordre de 5.10-5 T a une influence loin d'être négligeable sur l'horloge ( écart Zeeman de 100 Hz ), qui pourra avoir son bon fonctionnement perturbé par un changement d'orientation.
Pour que l'effet Zeeman ne diminue pas les performances de l'horloge, il faut connaître Δfz avec une précision de l'ordre de 1,8.10-5 Hz, soit δ(Δfz)Δfz=0,045. La précision avec laquelle on doit connaître B0 et K0 est donnée par:
δK0K0+2δB0B0=0,045
Soit, en prenant des précisions relatives égales pour les deux grandeurs: 1,5%, ce qui représente:
δK0 = 6.108 Hz.K-2
δB0 = 1,5.10-9 T
6)- Les équations couplées proposées s'écrivent:
ida1dt=−ω02a1+a2ω1eiωtida2dt=ω02a2+a1ω1e−iωt et on effectue le changement de fonction: a1=b1eiωt2a2=b2e−iωt2
da1dt=(db1dt+iω2b1)⋅eiωt2da2dt=(db2dt−iω2b2)⋅e−iωt2 et le système en b s'écrit: idb1dt−ω2b1=−ω02b1+ω1b2idb2dt+ω2b2=ω02b2+ω1b1
on tire de la première équation: b2=1ω1db1dt+ω0−ω2ω1b1
et en portant dans la seconde, on obtient l'équation en b1:
d2b1dt2+[ω12+(ω0−ω)24]⋅b1=0
On se place dans le cas où (ω - ω0)2<<ω12 : l'équation en b1 se réduit à:
d2b1dt2+ω12b=0
Dont la solution générale s'écrit:
b1=A⋅eiω1t+B⋅e−iω1t
On en déduit b2:
b2=A⋅[ω0−ω2ω1−1]⋅eiω1t+B⋅[ω0−ω2ω1+1]⋅e−iω1t
Soit, dans le cadre de l'approximation:
b2=−A⋅eiω1t+B⋅e−iω1t
Pour retrouver les quatre coefficients de la matrice, on peut prendre les conditions initiales les plus générales sous la forme:
a1(t0) = a10 et a2(t0) = a20
Pour les b, ces conditions initiales s'écrivent:
b10=a10⋅e−iω2t0b20=a20⋅eiω2t0
Le plus commode est de les appliquer à b1 + b2 et b1 – b2 :
b1+b2=2B⋅e−iω1tb1−b2=2A⋅eiω1t
Soit:
B=12⋅[a10⋅ei(ω1−ω2)t0+a20⋅ei(ω1+ω2)t0]A=12⋅[a10⋅e−i(ω1+ω2)t0−a20⋅e−i(ω1−ω2)t0]
On en déduit l'expression de a1 et de a2:
a1=12⋅[a10⋅e−i(ω1+ω2)t0−a20⋅e−i(ω1−ω2)t0]⋅ei(ω1+ω2)t+12⋅[a10⋅ei(ω1−ω2)t0+a20⋅ei(ω1+ω2)t0]⋅e−i(ω1−ω2)ta2=−12⋅[a10⋅e−i(ω1+ω2)t0−a20⋅e−i(ω1−ω2)t0]⋅ei(ω1−ω2)t+12⋅[a10⋅ei(ω1−ω2)t0+a20⋅ei(ω1+ω2)t0]⋅e−i(ω1+ω2)t
Soit, après simplification:
a1=eiω2τ⋅cos(ω1τ)⋅a10−i⋅ei(ωt0+ω2τ)⋅sin(ω1τ)⋅a20a2=−i⋅e−i(ωt0+ω2τ)⋅sin(ω1τ)⋅a10+e−iω2τ⋅cos(ω1τ)⋅a20
On retrouve bien ainsi les éléments de la matrice [R] proposée dans l'énoncé, à condition de prendre:
ω1=π4τ
Φ=Φ0⋅sin2(ω1τ)⋅cos2(ω1τ)⋅(1+cos[(ω0−ω)T])Z
On obtient donc encore des franges de Ramsey du même type. Le choix effectué correspond à un maximum de la fonction sin(ω1τ).cos(ω1τ), donc à un maximum du flux, c'est à dire aux franges les plus "lumineuses.
7)- A ce degré de précision, il est à peu près évident que tout phénomène secondaire ne devient plus négligeable. Il semble difficile de faire d'autres commentaires sérieux sans être spécialiste de la question.
