Concours Physique Centrale-Supélec M, P' 1993 (Corrigé)

Centrale-Supelec 1993 - Physique M et P'

Partie I- Onde de courant dans une ligne électrique:

I.1) Equations différentielles liant i(x,t) et u(x,t):

Loi des noeuds: $i(x,t)-i(x+dx,t)=Cdx\frac{\partial u}{\partial t}\Rightarrow C\frac{\partial u}{\partial t}=-\frac{\partial i}{\partial x}$
Loi des mailles: $u(x,t)=u(x+dx,t)+Ldx\frac{\partial i}{\partial t}\Rightarrow \frac{\partial u}{\partial x}=-L\frac{\partial i}{\partial t}$

I.2) Vitesse de phase et expressions de i(x,t) et de u(x,t):

On en déduit les équations de propagation: $\frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{x}^{2}}}-\frac{1}{LC}\frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{t}^{2}}}=0\ \ et\ \ \frac{{{\partial }^{2}}i}{\partial {{x}^{2}}}-\frac{1}{LC}\frac{{{\partial }^{2}}i}{\partial {{t}^{2}}}=0$
La vitesse de phase est ${{v}_{\varphi }}=\frac{1}{\sqrt{LC}}$; la fonction I(x) vérifie l'équation $\frac{{{d}^{2}}I}{d{{x}^{2}}}+LC{{\omega }^{2}}I=0$ dont l'équation caractéristique ${{p}^{2}}+LC{{\omega }^{2}}=0$ admet les racines $p=\pm j\sqrt{LC}\omega =\pm j\frac{\omega }{{{v}_{\varphi }}}$; d'où:
$I(x)={{I}_{1}}{{e}^{-j\omega \frac{x}{{{v}_{\varphi }}}}}+{{I}_{2}}{{e}^{j\omega \frac{x}{{{v}_{\varphi }}}}}$ et $i(x,t)={{I}_{1}}{{e}^{j\omega (t-\frac{x}{{{v}_{\varphi }}})}}+{{I}_{2}}{{e}^{j\omega (t+\frac{x}{{{v}_{\varphi }}})}}$
Une des deux équations différentielles liant u et i permet d'obtenir l'expression de u(x,t):
$u(x,t)=\frac{1}{{{v}_{\varphi }}c}\left( {{I}_{1}}{{e}^{j\omega (t-\frac{x}{{{v}_{\varphi }}})}}-{{I}_{2}}{{e}^{j\omega (t+\frac{x}{{{v}_{\varphi }}})}} \right)$

I.3) Impédance caractéristique:

En x=0: $u={{Z}_{0}}i$; or à l'abscisse x<0 l'impédance est définie par $Z(x)=\frac{u(x,t)}{i(x,t)}=\frac{1}{{{v}_{\varphi }}c}\frac{{{I}_{1}}{{e}^{-j\omega \frac{x}{{{v}_{\varphi }}}}}-{{I}_{2}}{{e}^{j\omega \frac{x}{{{v}_{\varphi }}}}}}{{{I}_{1}}{{e}^{-j\omega \frac{x}{{{v}_{\varphi }}}}}+{{I}_{2}}{{e}^{j\omega \frac{x}{{{v}_{\varphi }}}}}}$; Z(x) est indépendante de x si =0 ${{Z}_{c}}=\frac{1}{{{v}_{\varphi }}c}=\sqrt{\frac{L}{C}}$
et $Z(0)={{Z}_{c}}$. Alors l'onde est progressive et se propage en sens >0 de x'x à la célérité ${{v}_{\varphi }}$.
$p=\operatorname{Re}(u)\operatorname{Re}(i)=\frac{1}{4}(u+{{u}^{*}})(i+{{i}^{*}})$; mais < ui>=0 et $<{{u}^{*}}{{i}^{*}}>$=0; avec $u={{Z}_{c}}i$, on obtient: $P=<p>=\frac{1}{2}{{Z}_{c}}{{\left| u \right|}^{2}}=\frac{I_{1}^{2}}{2{{Z}_{c}}}$. En x=0, la puissance moyenne est dissipée dans l'impédance caractéristique ${{Z}_{0}}$, réelle, par effet Joule.

I.4.a) Impédance équivalente:

${{Z}_{1}}={{Z}_{c}}//{{Z}_{c}}\Rightarrow {{Z}_{1}}=\frac{{{Z}_{c}}}{2}$

I.4.b)Coefficient de reflexion en intensité:

Par définition: $r=\frac{{{i}_{r}}(0,t)}{{{i}_{i}}(0,t)}$(coefficient de réflexion) et $t=\frac{{{i}_{t}}(0,t)}{{{i}_{i}}(0,t)}$(coefficient de transmission)
Continuité de la tension: ${{u}_{i}}+{{u}_{r}}={{u}_{t}}\Rightarrow {{Z}_{c}}{{i}_{i}}-{{Z}_{c}}{{i}_{r}}={{Z}_{c}}{{i}_{t}}\Rightarrow {{i}_{i}}-{{i}_{r}}={{i}_{t}}$ et $1-r=t$
Loi des noeuds: ${{i}_{i}}+{{i}_{r}}=2{{i}_{t}}({{i}_{t}}\ dans\ {{Z}_{c}}$ et dans la ligne à droite)$\Rightarrow 1+r=2t$; on en déduit $r=\frac{1}{3}$.

I.5.a) Forme de l'onde de courant entre x=0 et x=l:

On a la superposition de deux ondes progressives de sens de propagation opposés:
$i={{I}_{t}}{{e}^{j\omega (t-\frac{x}{{{v}_{\varphi }}})}}+{{I}_{r}}{{e}^{j\omega (t+\frac{x}{{{v}_{\varphi }}})}}$ et $\frac{u}{{{Z}_{c}}}={{I}_{t}}{{e}^{j\omega (t-\frac{x}{{{v}_{\varphi }}})}}-{{I}_{r}}{{e}^{j\omega (t+\frac{x}{{{v}_{\varphi }}})}}$
En x=l, u=0 (court-circuit): ${{I}_{t}}{{e}^{-j\omega \frac{l}{{{v}_{\varphi }}}}}={{I}_{r}}{{e}^{j\omega \frac{l}{{{v}_{\varphi }}}}}$$\Rightarrow i=2{{I}_{t}}{{e}^{j\omega (t-\frac{l}{{{v}_{\varphi }}})}}\cos \frac{\omega (l-x)}{{{v}_{\varphi }}}$

I.5.b) Coefficient de réflexion:

i=0 $\forall t\Rightarrow x=l-(2q+1)\frac{\lambda }{4},q\in Z$; on veut que ceci soit vrai en x=0 d'où $l=(2q+1)\frac{\lambda }{4}$; la valeur minimale possible est ${{l}_{0}}=\frac{\lambda }{4}$ et alors ${{I}_{r}}=-{{I}_{t}}$, u(0,t)=$2{{Z}_{c}}{{I}_{t}}{{e}^{j\omega t}}$; en écrivant la continuité de la tension et la loi des noeuds, on a: ${{u}_{i}}+{{u}_{r}}=2{{Z}_{c}}{{I}_{t}}{{e}^{j\omega t}}$ $\Rightarrow {{i}_{i}}-{{i}_{r}}=2{{I}_{t}}{{e}^{j\omega t}}$ et ${{i}_{i}}+{{i}_{r}}=2{{I}_{t}}{{e}^{j\omega t}}$ r=0.

Partie II-Champ électromagnétique dans la ligne:

II.1) Expression des champs en fonction des densités:

Le champ magnétique est selon z'z et le champ électrique selon y'y.Equation de passage du champ magnétique: ${{\vec{B}}_{2}}-{{\vec{B}}_{1}}={{\mu }_{0}}{{\vec{j}}_{s}}\wedge {{\vec{N}}_{12}}\Rightarrow B(x,t)={{\mu }_{0}}{{j}_{s}}(x,t)$ et $i(x,t)=a{{j}_{s}}\Rightarrow B(x,t)=\frac{{{\mu }_{0}}}{a}i(x,t)$;
Equation de passage du champ électrique: ${{\vec{E}}_{2}}-{{\vec{E}}_{1}}=\frac{\sigma (x,t)}{{{\varepsilon }_{0}}}{{\vec{N}}_{12}}\Rightarrow E(x,t)=\frac{\sigma }{{{\varepsilon }_{0}}}$;

II.2) Equations différentielles vérifiées par les densités:

L'équation de Maxwell-Faraday donne: $\vec{B}=-\frac{1}{j\omega }\frac{\partial E}{\partial x}{{\vec{u}}_{z}}$$\Rightarrow i(x,t)=-\frac{a{{c}^{2}}}{j\omega }\frac{\partial \sigma }{\partial x}$
L'équation de Maxwell-Ampère donne: $\vec{E}=-\frac{{{c}^{2}}}{j\omega }\frac{\partial B}{\partial x}{{\vec{u}}_{y}}$$\Rightarrow \sigma =-\frac{1}{j\omega a}\frac{\partial i}{\partial x}$

II.3) Coefficient d'autoinduction:

Pour la longeur dx de ligne, de section droite S=ab, $d{{\varepsilon }_{B}}=abdx\frac{{{B}^{2}}}{2{{\mu }_{0}}}=\frac{{{\mu }_{0}}b}{2a}{{i}^{2}}dx\Rightarrow L=\frac{{{\mu }_{0}}b}{a}$

II.4) Coefficient de capacité:

Pour la longueur dx de la ligne: $d{{\varepsilon }_{E}}=abdx\frac{{{\varepsilon }_{0}}{{E}^{2}}}{2}=abdx\frac{{{\sigma }^{2}}}{2{{\varepsilon }_{0}}}=\frac{b{{q}^{2}}}{2a{{\varepsilon }_{0}}dx}\Rightarrow C=\frac{{{\varepsilon }_{0}}a}{b}$

II.5) Vitesse de phase:

$LC={{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}=\frac{1}{{{c}^{2}}}\Rightarrow {{v}_{\varphi }}=c$; il y a accord avec le précédent résultat.

II.6) Définition de la d.d.p. u(x,t):

$\vec{E}=-\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{\nabla }V-\frac{\partial \vec{A}}{\partial t}$; or le potentiel vecteur est polaire et de ce fait perpendiculaire au plan d'antisymétrie des courants, selon x'x$\Rightarrow \int\limits_{y=b}^{y=0}{\vec{E}.d\vec{l}}=-\int\limits_{y=b}^{y=0}{\vec{\nabla }V.d\vec{l}}=V(x,b,t)-V(x,0,t)=u(x,t)$ E(x,t)=bu(x,t).

II.3.a) Expression de l'impédance caractéristique:

${{Z}_{c}}=\rho \frac{b}{ea}\Rightarrow {{R}_{c}}=\frac{\rho }{e}$ et ${{R}_{c}}=\sqrt{\frac{L}{C}}=\sqrt{\frac{{{\mu }_{0}}}{{{\varepsilon }_{0}}}}\frac{b}{a}\Rightarrow si\ b=a,\ {{R}_{c}}=\sqrt{\frac{{{\mu }_{0}}}{{{\varepsilon }_{0}}}}$
A.N.: ${{R}_{c}}=377\Omega$

II.3b) Calcul numérique de e:

Cuivre: e=45 pm; impossible car e< à la dimension d'un atome.Carbone: e=9,28 µm.

II.8) Puissance moyenne transportée par l'onde:

Vecteur de Poynting: $\vec{R}=\vec{E}\wedge \frac{{\vec{B}}}{{{\mu }_{0}}}=\frac{ui}{ab}{{\vec{u}}_{x}}$ et puissance instantanée: p=Re(u)Re(i)
P=<p>=$\frac{1}{4}(u{{i}^{*}}+{{u}^{*}}i)$=$\frac{1}{2}{{Z}_{c}}\left| {{i}^{2}} \right|\Rightarrow P=\frac{1}{2}{{Z}_{c}}{{I}^{2}}$
L'énergie est dissipée dans l'impédance caractéristique (résistance) par effet Joule.

Partie III-Reflexion d'une onde électromagnétique sur une plaque conductrice:

III.1) Coefficient de reflexion:

On est ramené à la question I.4.a; l'onde progressive peut se propager en aval de la plaque$\Rightarrow r=\frac{1}{3}$

III.2) Expression de l'épaisseur de l'effet de peau:

On suppose la conductivité du métal réelle; c'est possible si la fréquence est nettement inférieure aux fréquences optiques; dans l'équation de Maxwell-Ampère, on peut négliger le courant de déplacement devant le courant ohmique si, en utilisant la notation complexe, $\left\| j\omega {{\varepsilon }_{0}}\vec{E} \right\|<<\left\| \sigma \overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{E} \right\|\Rightarrow \rho \omega {{\varepsilon }_{0}}<<1$
Les équations de Maxwell s'écrivent alors:
$\vec{\nabla }\wedge \vec{B}={{\mu }_{0}}\sigma \vec{E}\Rightarrow -j\vec{k}\wedge \vec{E}={{\mu }_{0}}\sigma \vec{E}$
$\vec{\nabla }\wedge \vec{E}=-j\omega \overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{B}\Rightarrow -j\vec{k}\wedge \vec{E}=-j\omega \vec{B}$
$\vec{\nabla }.\vec{E}=0(m\acute{e}tal\ neutre)\ et\ \vec{\nabla }.\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{B}=0\Rightarrow \vec{k}.\vec{E}=0\ et\ \vec{k}.\vec{B}=0$
En reportant le champ magnétique tiré de la seconde équation dans la première et en developpant le produit vectoriel, on obtient: ${{k}^{2}}=-j{{\mu }_{0}}\sigma \omega \Rightarrow k=\pm \frac{1-j}{\delta }\ avec\ \delta =\sqrt{\frac{2}{{{\mu }_{0}}\sigma \omega }}$
On a deux solutions; la solution générale en est une combinaison linéaire.
${{\vec{E}}_{p}}=\left[ {{A}_{1}}{{e}^{-\frac{x}{\delta }}}{{e}^{j(\omega t-\frac{x}{\delta })}}+{{A}_{2}}{{e}^{\frac{x}{\delta }}}{{e}^{j(\omega t+\frac{x}{\delta })}} \right]{{\vec{u}}_{y}}$ et ${{\vec{B}}_{p}}=\frac{1-j}{\delta \omega }\left[ {{A}_{1}}{{e}^{-\frac{x}{\delta }}}{{e}^{j(\omega t-\frac{x}{\delta })}}-{{A}_{2}}{{e}^{\frac{x}{\delta }}}{{e}^{j(\omega t+\frac{x}{\delta })}} \right]{{\vec{u}}_{z}}$

III.3) Relations entre les coefficients:

${{\vec{E}}_{r}}=\alpha {{E}_{0}}{{e}^{j\omega (t+\frac{x}{c})}}{{\vec{u}}_{y}}\ et\ {{\vec{B}}_{r}}=-\frac{\alpha {{E}_{0}}}{c}{{e}^{j\omega (t+\frac{x}{c})}}{{\vec{u}}_{z}}$ et ${{\vec{E}}_{t}}=\tau {{E}_{0}}{{e}^{j\omega (t-\frac{x}{c})}}{{\vec{u}}_{y}}\ et\ {{\vec{B}}_{t}}=\frac{\tau {{E}_{0}}}{c}{{e}^{j\omega (t-\frac{x}{c})}}{{\vec{u}}_{z}}$
Equations de passage: en x=0, il y a continuité du champ électrique tangentiel et du champ magnétique tangentiel(car les courants sont volumiques et non surfaciques);
${{{\vec{E}}}_{i}}+{{{\vec{E}}}_{r}}={{{\vec{E}}}_{p}}\Rightarrow (1+\alpha ){{E}_{0}}={{A}_{1}}+{{A}_{2}}$
${{{\vec{B}}}_{i}}+{{{\vec{B}}}_{r}}={{{\vec{B}}}_{p}}\Rightarrow (1-\alpha ){{E}_{0}}=\frac{c(1-j)}{\delta \omega }({{A}_{1}}-{{A}_{2}})$
Equations de passage en x=e:
${{A}_{1}}{{e}^{-(1+j)\frac{e}{\delta }}}+{{A}_{2}}{{e}^{(1+j)\frac{e}{\delta }}}=\tau {{E}_{0}}{{e}^{-j\omega \frac{e}{c}}}$ et $\frac{1-j}{\delta \omega }({{A}_{1}}{{e}^{-(1+j)\frac{e}{\delta }}}-{{A}_{2}}{{e}^{(1+j)\frac{e}{\delta }}})=\frac{\tau {{E}_{0}}}{c}{{e}^{-j\omega \frac{e}{c}}}$

III.4) Expression de :

On considère le seul cas possible: celui du carbone avec e=9,28 µm; $\Rightarrow \delta =\frac{29.8}{\sqrt{\nu }}m$
e<<δ
$\Rightarrow \nu <<{{1,03.10}^{13}}Hz$
; or la formule établie pour δ n'est valable qu'aux fréquences très inférieures aux fréquences optiques; la condition qu'on vient d'obtenir étant déjà nécessaire, l'inégalité e<<δ est donc vérifiée.
Les deux dernières relations de III.3, en utilisant ${{e}^{\varepsilon }}\approx 1+\varepsilon$, conduisent à:
${{A}_{1}}+{{A}_{2}}+\frac{e}{\delta }(1+j)({{A}_{2}}-{{A}_{1}})=\tau {{E}_{0}}{{e}^{-j\omega \frac{e}{c}}}$ et $\frac{c(1-j)}{\delta \omega }\left[ ({{A}_{1}}-{{A}_{2}})-(1+j)\frac{e}{\delta }({{A}_{1}}+{{A}_{2}}) \right]=\tau {{E}_{0}}{{e}^{-j\omega \frac{e}{c}}}$
d'où $\alpha =\frac{-1+j\frac{1}{2}{{\left( \frac{\delta \omega }{c} \right)}^{2}}}{1+\frac{{{\delta }^{2}}\omega }{ce}+j\frac{1}{2}{{\left( \frac{\delta \omega }{c} \right)}^{2}}}$; or $\frac{1}{2}{{\left( \frac{\delta \omega }{c} \right)}^{2}}=\rho {{\varepsilon }_{0}}\omega <<1\ et\ \frac{{{\delta }^{2}}\omega }{ce}=2\frac{{{R}_{c}}}{{{\mu }_{0}}c}=2$$\Rightarrow \alpha \approx \frac{-1}{1+\frac{{{\delta }^{2}}\omega }{ce}}=-\frac{1}{3}$
Mais $r=\frac{1}{3}$ est relatif au coefficient de réflexion de i(x,t), donc de B(x,t) opposé à celui de E(x,t).

III.5) Positionnement d'une plaque de métal parfait:

D'aprèsI.5.b, pour annuler l'onde réfléchie, il faut placer, à la distance $x=e+\frac{\lambda }{4}$, une plaque de métal parfaitement conducteur. On peut le vérifier: sur le métal parfait, on a un noeud de champ électrique, donc en x= e on a un noeud de champ magnétique(propriété des ondes stationnaires) et de ce fait en x=e: $\frac{1-j}{\delta \omega }\left[ {{A}_{1}}-{{A}_{2}}-(1+j)\frac{e}{\delta }({{A}_{1}}+{{A}_{2}}) \right]=0$$\Rightarrow \frac{{{A}_{1}}-{{A}_{2}}}{{{A}_{1}}+{{A}_{2}}}=(1+j)\frac{e}{\delta }$; par ailleurs les deux premières relations de III.3 restent valables$\Rightarrow \frac{{{A}_{1}}-{{A}_{2}}}{{{A}_{1}}+{{A}_{2}}}=\frac{\delta \omega }{c(1-j)}\frac{1-\alpha }{1+\alpha }$; on en déduit $\alpha =0$ comme prévu.