Concours Physique ENSAM Option T Mécanique 1994 (Corrigé)

ENSAM option T 1994: Corrigé de mécanique:
Etude d’un filtre mécanique à ressorts
Ce problème a pour finalité l’étude d’un filtre mécanique comportant un grand nombre de ressorts associés en série. Les analogies avec le régime forcé sinusoïdal sont nombreuses. Toutefois, il est regrettable que l’épreuve ait été tant calculatoire.
1. Préliminaires:
On veut approximer x = l . sinθ à l .θ avec une marge d’erreur de 0,5%.
Comme on est au voisinage de zéro, on utilise le D.L. de sinθ.
Il faut avoir: $\theta \,\left( {1\, - \,{{5.10}^{ - 3}}} \right)\, < \,\theta \, - \,\frac{{{\theta ^3}}}{6}\, < \,\theta \,\left( {1\, + \,{{5.10}^{ - 3}}} \right)$ puisque le terme de degré 5 est négligeable.
On a donc: $\left| \theta \right|\, < \,0,173\,rad\, = \,9,9^\circ$. On peut donc considérer que l’approximation reste valable tant que l’amplitude du mouvement ne dépasse pas 10°.

2. Etude du pendule simple:
2.1. On se place dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen.
Le point matériel O est donc soumis à quatre forces: son poids $\mathop P\limits^ \to \, = \,\frac{m}{2}\,\mathop g\limits^ \to \, = \, - \,\frac{m}{2}g.\,\mathop k\limits^ \to$, la tension de la tige $\mathop T\limits^ \to \, = \,T\,\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \,\sin \theta }\\{\cos \theta }\\0\end{array}} \right)$, la force de frottement $\mathop \Phi \limits^ \to \, = \, - \,f.\frac{{dx}}{{dt}}.\,\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \theta }\\{\sin \theta }\\0\end{array}} \right)$ et la force d’excitation: $\mathop F\limits^ \to \, = \,{F_M}.\sin \omega t.\mathop i\limits^ \to$.
Appliquons le théorème du moment cinétique en A pour le point matériel O.

On a ainsi: $\frac{m}{2}\,{\ell ^2}\ddot \theta \mathop k\limits^ \to \, = \,\mathop {AO}\limits^ \to \, \wedge \,\left( {\mathop T\limits^ \to \, + \,\mathop F\limits^ \to \, + \,\frac{m}{2}\mathop g\limits^ \to \, + \,\mathop \Phi \limits^ \to } \right)$. D’où, après calcul du produit vectoriel, simplification à l’aide des notations de l’énoncé et en tenant compte de l’approximation:
x = l θ (et même chose avec les dérivées): $\mu \ddot x\, + \,f\dot x\, + \,\lambda x\, = \,{F_M}.\sin \omega t$
Comme on est en régime sinusoïdal forcé, on passe en notation complexe:
On a alors: $x\, = \,{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {\underline x } \right)\, = \,{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {X.{e^{j\left( {\omega t - \alpha } \right)}}} \right)$
De la même façon, en dérivant: $\dot x\, = \,{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {\underline {\dot x} } \right)\, = \,{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {j\omega X.{e^{j\left( {\omega t - \alpha } \right)}}} \right)$ et: $\ddot x\, = \,{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {\underline {\ddot x} } \right)\, = \,{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( { - \,{\omega ^2}.X.{e^{j\left( {\omega t - \alpha } \right)}}} \right)$
Et: ${F_M}\, = \,{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {\underline {{F_M}} } \right)\, = \,{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {{F_M}.{e^{j\omega t}}} \right)$
On obtient alors: $X.{e^{ - j\alpha }}\, = \,\frac{{{F_M}}}{{\lambda \, - \,\mu {\omega ^2}\, + \,jf\omega }}$. On en déduit aisément le module et l’argument: $X\, = \,\frac{{{F_M}}}{{\sqrt {{{\left( {\lambda \, - \,\mu {\omega ^2}} \right)}^2}\, + \,{f^2}{\omega ^2}} }}$ et: $\alpha \, = \,Arc\tan \left( {\frac{{f\omega }}{{\lambda \, - \,\mu {\omega ^2}}}} \right)$.
2.2.1. A.N: $X\, = \,\frac{{{F_M}}}{{\sqrt {{{\left( {0,981\, - \,0,1{\omega ^2}} \right)}^2}\, + \,0,25{\omega ^2}} }}$ et: $\alpha \, = \,Arc\tan \left( {\frac{{5\,\omega }}{{9,81\, - \,{\omega ^2}}}} \right)$
2.2.2. On obtient une courbe qu’il est facile de tracer à l’aide d’une calculatrice graphique ou d’un ordinateur. Cette courbe est décroissante et tend vers zéro avec une tangente horizontale lorsque ω = 0.
2.3.1. A l’aide de la relation obtenue à la question 2.1. il est très facile de trouver l’impédance complexe. On se rappelle cependant que: $\underline V \, = \,\underline {\dot x} \, = \,j\omega X.{e^{j\left( {\omega t - \alpha } \right)}}$.
On obtient alors: $\underline Z \, = \,f\, + \,j\left( {\mu \omega \, - \,\frac{\lambda }{\omega }} \right)$, soit: $\underline Z \, = \,0,5\, + \,0,1j\left( {\omega \, - \,\frac{{9,81}}{\omega }} \right)$.
2.3.2. En prenant le module et l’argument du complexe ci-dessus, on a:
$\left| {\underline Z } \right|\, = \,\sqrt {0,25\, + \,0,01{{\left( {\omega \, - \,\frac{{9,81}}{\omega }} \right)}^2}}$ et: $Arg\left( {\underline Z } \right)\, = \,Arc\tan \left( {\frac{{{\omega ^2}\, - \,9,81}}{{5\,\omega }}} \right)$.
De la même façon que précédemment, on utilise un outil de calcul pour trouver l’allure des courbes.
La courbe du module de Z possède une asymptote verticale en ω = 0 (le module tend alors vers l’infini) et une autre asymptote mais cette fois oblique à l’infini. La courbe est donc décroissante puis croissante.
La phase est par contre une courbe toujours croissante. En ω = 0 elle vaut - π/2 et possède une tangente oblique, tandis qu’elle tend vers + π/2 à l’infini (asymptote horizontale).

3. Etude d’un système excité possédant un seul ressort:
3.1. Nous allons utiliser l ’une des deux relations constituant le principe fondamental de la dynamique: le théorème du moment cinétique (l’autre étant la relation fondamentale de la dynamique).
On est dans le même référentiel du laboratoire (toujours supposé galiléen). D’après les notations de l’énoncé (position des axes x_a et x_b et ressort non tendu lorsque x_a = x_b = 0), on en déduit l’expression de la tension du ressort qui s’exerce sur le système (A): $\mathop Q\limits^ \to \, = \, - \,q\left( {{x_a}\, - \,{x_b}} \right).\mathop i\limits^ \to$. Il s’exerce bien entendu une force opposée sur le système (B).
En appliquant le théorème du moment cinétique en A pour le système (A) on obtient alors: $\mu {\ddot x_a}\, + \,f{\dot x_a}\, + \,\left( {\lambda \, + \,q} \right){x_a}\, - \,q{x_b}\, = \,0$. Et de même en utilisant le même théorème en B pour le système (B): $\mu {\ddot x_b}\, + \,\left( {\lambda \, + \,q} \right){x_b}\, - \,q{x_a}\, = \,{F_M}.\sin \omega t$.
3.2. En procédant de la même façon que dans la question 2.1. (passage en notation complexe), on a: $\left[ { - \,\mu {\omega ^2}\, + \,j\omega f\, + \,\left( {\lambda \, + \,q} \right)} \right]\underline {{X_a}} \, = \,q\underline {{X_b}}$ et: $\left[ { - \,\mu {\omega ^2}\, + \,\left( {\lambda \, + \,q} \right)} \right]\underline {{X_b}} \, - \,q\underline {{X_a}} \, = \,\underline {{F_M}}$.
Pour trouver les relations concernant les vitesses, on se rappelle que: $\underline V \, = \,j\omega \underline X$ d’où l’on tire:
$\left[ { - \,\mu {\omega ^2}\, + \,j\omega f\, + \,\left( {\lambda \, + \,q} \right)} \right]\underline {{V_a}} \, = \,q\underline {{V_b}}$ et: $\left[ { - \,\mu {\omega ^2}\, + \,\left( {\lambda \, + \,q} \right)} \right]\underline {{V_b}} \, - \,q\underline {{V_a}} \, = \,j\omega .\underline {{F_M}}$.
3.3. A l’aide des résultats de la question précédente, on reporte l’expression de $\underline {{V_a}} \,\,dans\,celle\,de\,\,\underline {{V_b}}$. On a alors l’impédance complexe d’entrée du système: $\underline {{Z_e}} \, = \,j\mu \omega \, + \,\frac{{\lambda \, + \,q}}{{j\omega }}\, + \,\frac{{{q^2}}}{{j\omega }}\frac{1}{{\mu {\omega ^2}\, - \,\lambda \, - \,q\, - \,jf\omega }}$. A.N: $\underline {{Z_e}} \, = \,0,1j\omega \, + \,\frac{{6,981}}{{j\omega }}\, + \,\frac{{36}}{{j\omega }}\frac{1}{{\,0,1{\omega ^2}\, - \,6,981\, - \,jf\omega \,}}$.
3.4.1. On cherche maintenant f_o pour que l’impédance soit réelle positive. Nous allons donc séparer l’impédance en sa partie réelle et sa partie imaginaire.
On trouve: $\underline {{Z_e}} \, = \,\frac{{f{q^2}}}{{{{\left( {\mu {\omega ^2}\, - \,\lambda \, - \,q} \right)}^2}\, + \,{f^2}{\omega ^2}}}\, + \,\frac{j}{\omega }\left[ {\mu {\omega ^2}\, - \,\lambda \, - \,q\, - \,\frac{{{q^2}\left( {\mu {\omega ^2}\, - \,\lambda \, - \,q} \right)}}{{{{\left( {\mu {\omega ^2}\, - \,\lambda \, - \,q} \right)}^2}\, + \,{f^2}{\omega ^2}}}} \right]$
La partie imaginaire étant nulle lorsque f = f_o, on en déduit après calculs: ${f_o}\, = \, + \,\sqrt {\frac{{{q^2}\, - \,{{\left( {\mu {\omega ^2}\, - \,\lambda \, - \,q} \right)}^2}}}{{{\omega ^2}}}}$ puisque la racine négative est impossible (f_o > 0).
On remarque qu’alors: $\underline {{Z_e}} \, = \,j\mu \omega \, + \,\frac{{\lambda \, + \,q}}{{j\omega }}\, + \,\frac{{{q^2}}}{{j\omega }}\frac{1}{{\mu {\omega ^2}\, - \,\lambda \, - \,q\, - \,j{f_o}\omega }}\, = \,{f_o}$.
A.N: ${f_o}\, = \,\frac{1}{\omega }\,\sqrt {36\, - \,{{\left( {0,1{\omega ^2}\, - \,6,981} \right)}^2}}$
3.4.2. Pour que f_o existe, il faut que la racine carrée soit définie, c’est à dire que ${q^2}\, - \,{\left( {\mu {\omega ^2}\, - \,\lambda \, - \,q} \right)^2}\, \ge \,0$ donc: $\sqrt {\frac{\lambda }{\mu }} \, \le \,\omega \, \le \,\sqrt {\frac{{\lambda \, + \,2q}}{\mu }}$. Ainsi: ${\omega _1}\, = \,\sqrt {\frac{\lambda }{\mu }} \,\,\,et:\,\,{\omega _2}\, = \,\sqrt {\frac{{\lambda \, + \,2q}}{\mu }}$
A.N: ω₁ = 3,13 rad/s et: ω₂ = 11,39 rad/s.
3.4.3. Lorsque f = f_o, la relation entre les amplitudes complexes $\underline {{X_a}} \,et\,\underline {{X_b}}$ devient: $\left[ { - \,\mu {\omega ^2}\, + \,j\omega {f_o}\, + \,\left( {\lambda \, + \,q} \right)} \right]\underline {{X_a}} \, = \,q\underline {{X_b}}$ donc, en passant aux modules: ${X_{aM}}.\sqrt {{{\left( {\mu {\omega ^2}\, - \,\lambda \, - \,q} \right)}^2}\, + \,{f_o}^2{\omega ^2}} \, = \,q.{X_{bM}}$. Ainsi, quand on remplace f_o par son expression, on trouve après simplification: X_aM = X_bM.
Soit $\beta \, = \,Arg\left( {\underline {{X_a}} } \right)\, - \,Arg\left( {\underline {{X_b}} } \right)\, = \,Arg\left( {\frac{{\underline {{X_a}} }}{{\underline {{X_b}} }}} \right)\, = \,Arc\tan \left( {\frac{{\sqrt {{q^2}\, - \,{{\left( {\mu {\omega ^2}\, - \,\lambda \, - \,q} \right)}^2}} }}{{\mu {\omega ^2}\, - \,\lambda \, - \,q}}} \right)$. β est le déphasage entre les déplacements des systèmes (A) et (B).
3.4.4. Lorsque ω tend vers ω₁ on trouve que β tend vers 0. Le résultat est le même lorsque ω tend vers ω₂. On peut donc affirmer que les deux masses vibrent en phase avec la même amplitude quand ω tend vers ω₁ ou vers ω₂.
On peut interpréter cela en disant qu’il n’y a pas de retard dans la transmission de l’énergie de (B) vers (A). Le ressort n’est qu’un intermédiaire qui n’est jamais ni tendu ni comprimé.
4. Etude d’un système à masse double:
La seule différence avec le système précédent est la masse de (C₁) qui est le double de la masse de (B). Les calculs sont donc encore valables à condition de remplacer, pour (B) µ par 2µ et λ par 2λ. Ainsi les équations entre grandeurs complexes deviennent (lorsque f = f_o):
$\left[ { - \,\mu {\omega ^2}\, + \,j\omega {f_o}\, + \,\left( {\lambda \, + \,q} \right)} \right]\underline {{V_a}} \, = \,q\underline {{V_c}}$ et: $\left[ { - \,2\mu {\omega ^2}\, + \,\left( {2\lambda \, + \,q} \right)} \right]\underline {{V_c}} \, - \,q\underline {{V_a}} \, = \,j\omega .\underline {{F_M}}$.
Alors, après calculs, on trouve que: $\underline {{Z_e}} \, = \,\,\frac{{\underline {{F_M}} }}{{\underline {{V_c}} }}\, = \,{f_o}\, + \,j\left( {\mu \omega \, - \,\frac{\lambda }{\omega }} \right)$ qui est exactement l’expression obtenue pour l’impédance $\underline Z$ de la question 2.3.1.

5. Etude du filtre mécanique complet:
5.1. Etudions pour commencer le système simple composé uniquement de (B), (C₁) et (A).
Par analogie avec les questions précédentes, les équations entre grandeurs complexes sont:
Pour (A): $\left[ { - \,\mu {\omega ^2}\, + \,j\omega {f_o}\, + \,\left( {\lambda \, + \,q} \right)} \right]\underline {{V_a}} \, = \,q\underline {{V_1}}$
Pour (C₁): $- 2\mu {\omega ^2}\underline {{V_1}} \, + \,2\lambda \underline {{V_1}} \, + \,q\left( {\underline {{V_1}} \, - \,\underline {{V_a}} } \right)\, + \,q\left( {\underline {{V_1}} \, - \,\underline {{V_b}} } \right)\, = \,0$
Pour (B): $\left[ { - \,\mu {\omega ^2}\, + \,\left( {\lambda \, + \,q} \right)} \right]\underline {{V_b}} \, - \,q\underline {{V_1}} \, = \,j\omega .\underline {{F_M}}$
Par ailleurs, la remarque de la question 3.4.1. nous indique: $\frac{1}{{j\omega }}\left[ { - \,\mu {\omega ^2}\, + \,\lambda \, + \,q\, + \frac{{{q^2}}}{{\mu {\omega ^2}\, - \,\lambda \, - \,q\, - \,j{f_o}\omega }}} \right]\, = \,{f_o}$
Ainsi, en reportant l’expression de $\underline {{V_a}}$ obtenue avec l’équation de (A) dans l’équation de (C₁), on trouve, en tenant compte de la remarque ci-dessus: $\left[ { - \,\mu {\omega ^2}\, + \,j\omega {f_o}\, + \,\left( {\lambda \, + \,q} \right)} \right]\underline {{V_1}} \, = \,q\underline {{V_b}}$ c’est à dire une relation en tout point similaire entre d’une part $\underline {{V_a}}$ et $\underline {{V_1}}$ et, d’autre part $\underline {{V_1}}$ et $\underline {{V_b}}$.
Alors, le calcul de l’impédance d’entrée devient simple, et après des simplifications du type exprimé ci-dessus, on trouve: $\underline {{Z_e}} \, = \,\,\frac{{\underline {{F_M}} }}{{\underline {{V_b}} }}\, = \,{f_o}$.
Nous ferons donc l’hypothèse de récurrence suivante:
« On suppose que, jusqu’au rang k, $\left[ { - \,\mu {\omega ^2}\, + \,j\omega {f_o}\, + \,\left( {\lambda \, + \,q} \right)} \right]\underline {{V_{i - 1}}} \, = \,q\underline {{V_i}}$ ».
Démontrons maintenant que cette relation est vraie jusqu’au rang k+1.
En effet, le principe fondamental de la dynamique nous permet de dire, en étudiant le système (C_k): $- 2\mu {\omega ^2}\underline {{V_k}} \, + \,2\lambda \underline {{V_k}} \, + \,q\left( {\underline {{V_k}} \, - \,\underline {{V_{k - 1}}} } \right)\, + \,q\left( {\underline {{V_k}} \, - \,\underline {{V_{k + 1}}} } \right)\, = \,0$. Soit, en utilisant la relation de récurrence ainsi que la remarque énoncée plus haut: $\left[ { - \,\mu {\omega ^2}\, + \,j\omega {f_o}\, + \,\left( {\lambda \, + \,q} \right)} \right]\underline {{V_k}} \, = \,q\underline {{V_{k + 1}}}$ qui permet d’énoncer l’hypothèse de récurrence au rang k+1.
Or, puisque cette relation est correcte au rang 1, on en déduit qu’elle est vraie jusqu’au rang n.
L’étude menée plus haut nous permet alors d’affirmer: $\underline {{Z_e}} \, = \,\,\frac{{\underline {{F_M}} }}{{\underline {{V_b}} }}\, = \,{f_o}$. Donc, quel que soit le nombre n de ressorts l’impédance d’entrée du système complet est f_o.
5.2. On a vu que: $\frac{1}{{j\omega }}\left[ { - \,\mu {\omega ^2}\, + \,\lambda \, + \,q\, + \frac{{{q^2}}}{{\mu {\omega ^2}\, - \,\lambda \, - \,q\, - \,j{f_o}\omega }}} \right]\, = \,{f_o}$.
Il en découle: (µω² - λ - q - jf_oω)² = q² , soit, en reportant dans la relation de récurrence: $\underline {{V_{i - 1}}} \, = \, \pm \,\underline {{V_i}}$. On en déduit la relation entre les amplitudes complexes, puisque l’on sait que: $\underline V \, = \,j\omega \underline X$, $\underline {{X_{i - 1}}} \, = \, \pm \,\underline {{X_i}}$
Donc, tous les pendules effectuent des oscillations de même amplitude.
5.3. Lorsqu’on est à l’extérieur de l’intervalle $\left[ {{\omega _1}\,,\,{\omega _2}} \right]$ il n’est plus possible d’avoir f = f_o, donc les masses ne vibrent plus en phase. Par analogie avec un circuit RLC série, on n’est plus à la résonance et x_a décroît rapidement.