COMPOSITION DE PHYSIQUE
durée 4 heures
Ce problème étudie différents aspects de la propagation d'ondes longitudinales dans les fluides (ondes acoustiques). L'état mécanique et thermodynamique d'un fluide est entièrement caractérisé par la valeur en tout point de la masse volumique µ, de la vitesse $\vec{v}$et de la température T. La pression p est alors fixée par une équation d'état f(p,µ,T)=0. Dans tout le problème, on néglige l'effet des forces de pesanteur ainsi que les effets liés à la viscosité. La conduction thermique ne sera prise en compte que dans la partie C.
- La notation $\frac{D}{{Dt}}$ sera réservée à la dérivée particulaire et on rappelle que:
$\frac{D}{Dt}=\frac{\partial }{\partial \,t}+\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{v}}\,.\,\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{grad}}\,$
- on rappelle l'identité: $div{\rm{ }}f\vec A = f{\rm{ }}div\vec A + \vec A.\overrightarrow {grad} f$
- Dans tout le problème $\gamma = \frac{{{c_P}}}{{{c_V}}}$ désigne le rapport des capacités thermiques massiques cp et cV respectivement à
pression constante et à volume constant.
Le problème comporte quatre parties qui peuvent être abordées indépendamment à condition d'admettre certains résultats fournis dans l'énoncé.
Partie A: ondes acoustiques de faible amplitude.
A.1 Equations générales.
A.1.1. Ecrire la relation traduisant localement la conservation de la matière.
A.1.2. Ecrire la relation d’Euler liant la vitesse à la pression p.
A.2. On suppose à partir de maintenant que l'amplitude des ondes acoustiques est très faible par rapport à la longueur d'onde pour pouvoir développer les grandeurs µ, p, et $\vec v$ autour de leurs valeurs en l'absence d'onde soit, respectivement µ0 , p0 et${\vec v_0}$ . On pose:
µ’=µ-µ0 et p' =p-p0 avec |µ’| <<µ0 et |p'| <<p0
La grandeur p' est appelée surpression acoustique.
Par ailleurs, on suppose qu'il n'y a pas d'écoulement stationnaire dans le fluide, c'est-à-dire, $\left\langle {\vec v} \right\rangle = \vec 0$ (en notant $\left\langle {} \right\rangle $ la valeur moyenne par rapport au temps).
A.2.1. Linéariser l'équation de conservation de la matière ainsi que l'équation d'Euler en supposant que la vitesse est un infiniment petit.
A.2.2. Montrer que l'écoulement associé à l'onde acoustique peut être considéré comme potentiel. On notera Φ ce potentiel tel que $\vec v = \overrightarrow {grad} \Phi $
A.2.3. Montrer que de façon générale, pour un fluide compressible obéissant à une équation d'état du type f(p,µ,T)=0, la résolution du problème nécessite une hypothèse supplémentaire dont on précisera la nature.
A.2.4. On suppose que la compression associée à l'onde acoustique est isentropique. Montrer que la conservation de l'entropie de chaque particule de fluide peut se traduire, par une équation locale:
$div\,\,\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{j}_{s}}}}\,+\frac{\partial \,(\mu \,s)}{\partial \,t}=0$
où s représente l'entropie massique et $\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{j}_{s}}}}\,$est un vecteur densité de flux d'entropie, que l'on précisera.
A.2.5. On pose ${c^2} = {\left( {\frac{{\partial \,p}}{{\partial \,\mu }}} \right)_S}$
a. Donner la dimension de c.
b. Ecrire la relation liant p', µ' et c.
c. Montrer que p', Φ et µ' obéissent à la même équation différentielle:
$\Delta \Phi - \frac{1}{{{c^2}}}\frac{{\partial {\,^2}\,\Phi }}{{\partial \,t{\,^2}}} = 0$ où Δ représente l'opérateur laplacien.
A.2.6. On se limite au cas d'une onde plane dans la direction x'Ox.
a. Rappeler la définition d'une onde plane. On se limitera à ce cas particulier.
b.Vérifier que Φ(x,t) = f(x - ct) + g(x + ct) est solution. On admettra que cette expression est la forme générale de la solution. Décrire succinctement les ondes associées aux fonctions f et g.
c. On se limite à une onde plane progressive se déplaçant dans le sens des x croissants et on note v(x,t) la composante de la vitesse du fluide sur cet axe. Ecrire les relations existant entre p' et v puis entre µ' et v.
d. On note T la température du fluide et on pose T = T0 + T’ où T0 est la température du fluide en l'absence d'onde. Etablir la relation entre T’ et v à l'aide des grandeurs c, T0, cp, chaleur massique à pression constante et de β avec:
$\beta = - \frac{1}{\mu }{\left( {\frac{{\partial \,\mu }}{{\partial \,T}}} \right)_P}$
e. Le fluide considéré est de l'air, assimilé ici à un gaz parfait diatomique, de masse molaire M, de γ constant et égal à 1,4. Calculer c sachant que: M = 29 g.mol-1; T0 = 300 K; R = 8,31 J.mol-1.K-1.
A.3. On s'intéresse à l'énergie massique associée à l'onde sonore.
A.3.1. Que vaut l'énergie cinétique massique ec ?
A.3 2. Le travail des forces de surpression entre l'état de repos et l'état de surpression p' permet de définir une énergie potentielle massique epot ; montrer que l'expression de celle-ci est:
${e_{pot}} = \frac{{{c^2}}}{2}{\left( {\frac{{\mu '}}{{{\mu _0}}}} \right)^2}$
A.3.3. En déduire la densité massique d'énergie totale e associée à l'onde sonore en fonction de v dans le cas d'une
onde progressive.
A.3.4. En prenant v sous la forme f(x-ct), montrer que:
$div({p}'\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{v}}\,)+\frac{\partial \,({{\mu }_{0}}e)}{\partial \,t}=0$
Que traduit œtte équation ? A quelle vitesse se propage l'énergie de l'onde sonore ?
Partie B: propagation.
On s'intéresse aux phénomènes de réflexion et de transmission des ondes sonores à la surface séparant deux milieux et l'on reste dans le cadre de l'approximation linéaire de la partie A. On utilisera le vecteur densité de flux d'énergie acoustique introduit dans la question A.3.4 que l'on notera $\vec \Pi = p'\vec v$. Les milieux fluides (i) sont caractérisés par la même pression p0, une masse volumique µi et la relation:
$c_i^2 = {\left( {\frac{{\partial \,{p_i}}}{{\partial \,{\mu _i}}}} \right)_S}$
B.1. Réflexion et réfraction d'une onde acoustique.
On considère une onde plane progressive monochromatique se propageant dans le milieu (1). Elle est représentée par son potentiel des vitesses complexe ${{\Phi }_{i}}={{A}_{i}}{{e}^{i\,(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{k}_{i}}}}\,.\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{r}}\,-{{\omega }_{i}}t)}}$. La surface de séparation entre les milieux (1) et (2) est assimilée à un plan infini. On cherche alors les potentiels respectivement associés aux ondes réfléchies et transmises sous la forme:
${{\Phi }_{r}}={{A}_{r}}{{e}^{i\,(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{k}_{r}}}}\,.\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{r}}\,-{{\omega }_{r}}t)}}$ ${{\Phi }_{t}}={{A}_{t}}{{e}^{i\,(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{k}_{t}}}}\,.\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{r}}\,-{{\omega }_{t}}t)}}$
B.1.1. On note pi’, pr’,. pt’ les surpressions acoustiques et $\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{v}_{i}}}}\,$,$\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{v}_{r}}}}\,$,$\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{v}_{t}}}}\,$ les vitesses associées aux ondes respectivement incidente, réfléchie et transmise. Donner deux conditions au niveau de la limite séparant les deux fluides 1 et 2. Quelles formes prennent-elles si celle-ci est le plan d'équation x = 0 ?
B.1.2. En déduire que les ondes incidente, réfléchie et transmise ont même pulsation.
B.1.3. En déduire l'existence d'un angle d'incidence limite θ0 au-delà duquel il n'y a plus d'onde transmise dans le milieu (2) lorsque cl < c2. Exprimer θ0 en fonction des vitesses cl et c2.
B.1.4. Dans le cas de l'incidence normale, calculer les coefficients de réflexion et de transmission en énergie:
$R=\left| \frac{<\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{\Pi }_{r}}}}\,.\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{n}_{12}}}}\,>}{<\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{\Pi }_{i}}}}\,.\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{n}_{12}}}}\,>} \right|$ $T=\left| \frac{<\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{\Pi }_{t}}}}\,.\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{n}_{12}}}}\,>}{<\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{\Pi }_{i}}}}\,.\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{n}_{12}}}}\,>} \right|$
où < > représente la valeur moyenne temporelle, en fonction de µ1 , µ2 , c1 , c2.
B.l.5. Calculer R et T dans le cas d'une surface séparant l'air de l'eau. On donne:
µ1 = 1,30 kg.m-3 ; µ2 = 1,00 103 kg.m-3 ; c1 = 340 m.s-1 ; c2 = 1,40 103 m.s-1 .
B.2. On se place dans le cas où cl < c2. Une source sonore S ponctuelle se trouve dans le milieu (1) à une hauteur h au-dessus du plan de séparation avec le milieu (2) (cf.figure-2).
Soit M un point du milieu (1). La source S émet de brèves impulsions sonores.
B.2.1.
a) Enoncer le principe de Fermat dans le cadre de l'optique géométrique.
b) Peut-on le traduire par une propriété portant sur le temps mis par la lumière pour aller d'un point A à un point B ? Nous admettons que cette forme du principe de Fermat est généralisable à l'acoustique.
c) Justifier que l'on percevra l'impulsion sonore en M seulement si la durée mise par l'onde sonore pour aller de S à M est stationnaire relativement aux durées mises sur des chemins infiniment voisins.
B.2.2. On considère deux fluides (situation B1) tels que cl < c2. Une source ponctuelle S située dans le milieu (1) à une hauteur h au-dessus du plan du dioptre émet une onde sphérique. On recherche les ondes issues de S reçues en M (M appartenant au milieu (1) ).
a) Montrer qu'il existe trois types de rayons acoustiques:
* le chemin direct,
* un chemin correspondant à une réflexion sur le dioptre,
* un chemin SIJM où la portion IJ est effectuée dans le milieu (2).
Dans ce dernier cas, on précisera la position des points I et J.
b) Déterminer le temps mis par une onde acoustique pour aller de S à M.
* Δt pour le chemin direct SM
* Δt’ pour celui mettant en jeu une réflexion
* Δt’’ pour le chemin du type SIJM. On exprimera les résultats en fonction de L, h, h', θ0 , c1 , c2.
B.2.3. Comparez Δt’ et Δt’’ (on pourra calculer (Δt’)2-(Δt ’’)2).
B.2.4. Application numérique: L = 100 m, h = h' = 2 m.
Calculer Δt, Δt’, Δt’’. Conclure.
Partie C: absorption par conduction thermique.
Dans cette partie, on étudie l'influence de la conduction thermique sur le phénomène de propagation de l'onde sonore. On rappelle que le vecteur densité de flux de chaleur $\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{j}_{Q}}}}\,$ résultant d'une inhomogénéité de température dans un milieu est donné par: $\overrightarrow {{j_Q}} - K\overrightarrow {grad} T$, où K est la conductivité thermique du milieu.
C.1. Préliminaire
Soient 2 corps de même capacité calorifique C et de températures initiales respectives T1 et T2. L'ensemble étant isolé, on met les 2 corps en contact thermique.
a) Calculer la température finale Tf .
b) Calculer la variation d'entropie de l'Univers en fonction de C, T1 et T2 (C est considéré comme constante).
c) si T2 = Tl + δT, avec |δT|<<T1, montrer que la création d'entropie est nulle au ler ordre en δT/T1.
C.2. Dans les conditions normales de température et de pression pour les gaz, la conduction thermique est suffisamment faible pour pouvoir conserver une vitesse de propagation de l'onde sonore égale à ${\left[ {{{\left( {\frac{{\partial \,p}}{{\partial \,\mu }}} \right)}_S}} \right]^{1/2}}$
On pourra utiliser la formulation du second principe de la thermodynamique écrivant la variation d'entropie d'un système fermé comme la somme d'un terme d'échange avec l'extérieur et d'un terme de création:
dS = δSéch + δScréation
C.2.1. En écrivant que la chaleur recue par une particule de fluide infinitésimale de masse δm n'est due qu'au
phénomène de conduction thermique, montrer que l'on a:
$\frac{\delta \,{{s}_{\acute{e}ch}}}{d\,t}=\frac{1}{\mu \,T}div(K\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{grad}}\,\,T)$
et justifier, à l'aide des résultats du C- 1 que l'on peut identifier $\frac{{\delta \,{s_{\'e ch}}}}{{d\,t}}$ à $\frac{{Ds}}{{Dt}}$ lorsqu'on se limite au terme d'ordre le plus bas non nul en (s est l'entropie massique et $\frac{{Ds}}{{Dt}}$ la dérivée particulaire).
C.2.2. La conduction thermique étant considérée comme une perturbation au phénomène de propagation isentropique, le vecteur densité de flux d’entropie s'écrit alors:
$\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{J}_{s}}^{\prime }}}\,=\mu .s.\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{v}}\,-\frac{K\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{grad}}\,\,T}{T}$
a) Calculer $div\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{J}_{s}}^{\prime }}}\,+\frac{\partial \,(\mu \,s)}{\partial \,t}$
b) En déduire, sous forme d'intégrale, l'entropie créée par unité de temps dans un volume V0 du fluide (le fluide est toujours au repos en l'absence d'onde sonore). Son signe était-il prévisible ?
C.3. L'énergie E associée à l'onde sonore est une énergie libre au sens de la thermodynamique; à énergie totale constante, on admettra que l'on peut relier la variation d'énergie de l'onde acoustique à l'entropie créée au sein du fluide par la relation:
dE = - T0.dS
où T0 est la température d'équilibre du fluide en l'absence d'onde.
On considère une onde plane progressive de la forme vx(x,t) = v0(x) cos(kx - ωt) où la distance caractéristique de la variation de v0(x) est très supérieure à la longueur d'onde $\lambda = \frac{{2\pi }}{k}$ où $k = \frac{\omega }{c}$. Le milieu est assimilé à un gaz
parfait.
On considère alors un cylindre de génératrices parallèles à x'Ox, de section droite Σ, compris entre les plans d'abscisses respectives x1 et x2 (x2>x1). On suppose que la longueur de ce cylindre est petite devant la longueur caractéristique des variations de v0 (x). On désigne par E l'énergie acoustique du système fermé qui coïncide avec ce cylindre à un instant donné.
a) En admettant que la relation donnant T' en fonction de vx reste:
$T' = \frac{{{T_0}\beta \,c}}{{{c_P}}}{v_x}$ ,(les notations sont celles de A-2-6-c)
exprimer l'augmentation d'entropie par unité de temps sur ce volume. En déduire une expression de $\left\langle {\frac{{dE}}{{dt}}} \right\rangle $.
b) Par un bilan énergétique, établir une autre expression de $\left\langle {\frac{{dE}}{{dt}}} \right\rangle $ en fonction de $\mu {\,_0}$, c, Σ, x2-x1 et $\frac{{d\left\langle e \right\rangle }}{{dx}}$où <e> désigne toujours la valeur moyenne temporelle de l'énergie acoustique massique.
c) En déduire l'équation différentielle qui régit v0(x) et montrer que la distance caractéristique d'amortissement de
l'onde acoustique s'écrit:
$\delta = \frac{{2{\mu _0}\,{c^5}}}{{K\,{T_0}{{(\gamma - 1)}^2}\omega {\,^2}}}$
d) Application numérique: To = 300 K; µ0 = 1,30 kg.m-3; K = 3,00xl0-2 W.m-1.K-1; γ= 1,4
Calculer δ pour la fréquence 2000 Hz. Le résultat vous paraît-il réaliste ?
La longueur d'absorption liée aux phénomènes de viscosité varie également comme l'inverse du carré de la fréquence sonore. On sait aujourd'hui que les éléphants communiquent au moyen d'infrasons d'une fréquence inférieure 20 Hz. En admettant une portée de l'ordre du kilomètre pour un signal de fréquence 200 Hz, estimer la distance à laquelle les éléphants peuvent ainsi communiquer.
Partie D: ondes acoustiques de grande amplitude.
Dans cette partie, les transformations subies par le fluide parfait sont adiabatiques, mais les amplitudes ne sont plus considérées comme des infiniment petits. On envisagera la propagation d'ondes suivant l'axe x'Ox.
D.1. La propagation de l'onde acoustique étant isentropique, les variables µ et s ne dépendent que de p; de même la quantité
$c = {\sqrt {\;\left( {\frac{{\partial \,p}}{{\partial \,\mu }}} \right)} _S}$
ne dépend que de p (on admettra que cette fonction est croissante). On recherche des solutions des équations de la mécanique des fluides telles que $$, vitesse du fluide en un point, ne dépend que de p.
D.1.1. Ecrire les deux équations différentielles qui régissent µ, p et v.
D.1.2. En déduire un système linéaire pour $\frac{{\partial \,p}}{{\partial \,x}}$ et $\frac{{\partial \,p}}{{\partial \,t}}$ dont les cœfficients sont des fonctions de p uniquement.
D.1.3. En déduire que$\frac{{dv}}{{dp}} = \pm \frac{1}{{\mu \,c}}$. Si on ne considère que l'onde associée au signe "+", écrire l'équation liant $\frac{{\partial \,p}}{{\partial \,x}}$,
$\frac{{\partial \,p}}{{\partial \,t}}$, v et c.
D.1.4. A quelle vitesse se propagent les surfaces isobares ? Par un raisonnement qualitatif qui peut être étayé par quelques schémas, montrer qu’il apparaît des surfaces de discontinuité pour la pression et la masse volumique (ondes de choc).
D.2. Propagation d'une onde de choc.
On considère un tube, cylindrique de section droite Σ0, à parois adiabatiques, dans lequel peut se déplacer un piston de même section. Le fluide remplissant le tuyau est de l'air assimilé à un gaz parfait. Le piston se déplace à vitesse constante V.
On modélise l'onde de choc par un front d'onde (Σ) (surface de discontinuité) perpendiculaire à l'axe se propageant à la vitesse c' et séparant le gaz en deux régions où la pression, la masse volumique et la vitesse sont uniformes. Leurs valeurs respectives sont:
D.2.1. A l'aide d'un bilan sur un système fermé entre deux instants t et t + dt, établir la relation entre µ0 , µ‘, V et c' traduisant la conservation de la matière.
D.2.2. En appliquant le principe de la dynamique au même système fermé, établir une relation entre p', µ0 , µ‘, V
et c'.
D 2.3. Rappeler l'expression de u, énergie interne massique d'un gaz parfait de facteur γ constant en fonction de p, γ et µ. En déduire la relation entre p0 , p', V, c', µ0 et γ traduisant le bilan d'énergie sur le système fermé précité.
D.2.4. On introduit la quantité $c_0^2 = \gamma \,\frac{{{p_0}}}{{\mu {\,_0}}}$.
a) Exprimer $\frac{{p'}}{{{p_0}}}$ en fonction des seules quantités γ et $\frac{V}{{{c_0}}}$.
b) Exprimer $\frac{{c'}}{{{c_0}}}$ en fonction des mêmes grandeurs.
D.2.5.
a) Rappeler l'expression de l'entropie massique s d'un gaz parfait en fonction de R, M, γ, p et µ.
b) En déduire l'entropie créée dans le système fermé précèdent entre t et t + dt en fonction de Σ0 , R , γ, M, c', p , p0 ,
µ , µ0 .
c) on choisit $V = \frac{{{c_0}}}{2}$ . Calculer c'. En déduire $\frac{{dS}}{{dt}}$ par unité de section du tube pour les valeurs numériques données pour l'air. D'où vient cette création d'entropie ?
durée 4 heures
Ce problème étudie différents aspects de la propagation d'ondes longitudinales dans les fluides (ondes acoustiques). L'état mécanique et thermodynamique d'un fluide est entièrement caractérisé par la valeur en tout point de la masse volumique µ, de la vitesse $\vec{v}$et de la température T. La pression p est alors fixée par une équation d'état f(p,µ,T)=0. Dans tout le problème, on néglige l'effet des forces de pesanteur ainsi que les effets liés à la viscosité. La conduction thermique ne sera prise en compte que dans la partie C.
- La notation $\frac{D}{{Dt}}$ sera réservée à la dérivée particulaire et on rappelle que:
$\frac{D}{Dt}=\frac{\partial }{\partial \,t}+\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{v}}\,.\,\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{grad}}\,$
- on rappelle l'identité: $div{\rm{ }}f\vec A = f{\rm{ }}div\vec A + \vec A.\overrightarrow {grad} f$
- Dans tout le problème $\gamma = \frac{{{c_P}}}{{{c_V}}}$ désigne le rapport des capacités thermiques massiques cp et cV respectivement à
pression constante et à volume constant.
Le problème comporte quatre parties qui peuvent être abordées indépendamment à condition d'admettre certains résultats fournis dans l'énoncé.
Partie A: ondes acoustiques de faible amplitude.
A.1 Equations générales.
A.1.1. Ecrire la relation traduisant localement la conservation de la matière.
A.1.2. Ecrire la relation d’Euler liant la vitesse à la pression p.
A.2. On suppose à partir de maintenant que l'amplitude des ondes acoustiques est très faible par rapport à la longueur d'onde pour pouvoir développer les grandeurs µ, p, et $\vec v$ autour de leurs valeurs en l'absence d'onde soit, respectivement µ0 , p0 et${\vec v_0}$ . On pose:
µ’=µ-µ0 et p' =p-p0 avec |µ’| <<µ0 et |p'| <<p0
La grandeur p' est appelée surpression acoustique.
Par ailleurs, on suppose qu'il n'y a pas d'écoulement stationnaire dans le fluide, c'est-à-dire, $\left\langle {\vec v} \right\rangle = \vec 0$ (en notant $\left\langle {} \right\rangle $ la valeur moyenne par rapport au temps).
A.2.1. Linéariser l'équation de conservation de la matière ainsi que l'équation d'Euler en supposant que la vitesse est un infiniment petit.
A.2.3. Montrer que de façon générale, pour un fluide compressible obéissant à une équation d'état du type f(p,µ,T)=0, la résolution du problème nécessite une hypothèse supplémentaire dont on précisera la nature.
A.2.4. On suppose que la compression associée à l'onde acoustique est isentropique. Montrer que la conservation de l'entropie de chaque particule de fluide peut se traduire, par une équation locale:
$div\,\,\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{j}_{s}}}}\,+\frac{\partial \,(\mu \,s)}{\partial \,t}=0$
où s représente l'entropie massique et $\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{j}_{s}}}}\,$est un vecteur densité de flux d'entropie, que l'on précisera.
A.2.5. On pose ${c^2} = {\left( {\frac{{\partial \,p}}{{\partial \,\mu }}} \right)_S}$
a. Donner la dimension de c.
b. Ecrire la relation liant p', µ' et c.
c. Montrer que p', Φ et µ' obéissent à la même équation différentielle:
$\Delta \Phi - \frac{1}{{{c^2}}}\frac{{\partial {\,^2}\,\Phi }}{{\partial \,t{\,^2}}} = 0$ où Δ représente l'opérateur laplacien.
A.2.6. On se limite au cas d'une onde plane dans la direction x'Ox.
a. Rappeler la définition d'une onde plane. On se limitera à ce cas particulier.
b.Vérifier que Φ(x,t) = f(x - ct) + g(x + ct) est solution. On admettra que cette expression est la forme générale de la solution. Décrire succinctement les ondes associées aux fonctions f et g.
c. On se limite à une onde plane progressive se déplaçant dans le sens des x croissants et on note v(x,t) la composante de la vitesse du fluide sur cet axe. Ecrire les relations existant entre p' et v puis entre µ' et v.
d. On note T la température du fluide et on pose T = T0 + T’ où T0 est la température du fluide en l'absence d'onde. Etablir la relation entre T’ et v à l'aide des grandeurs c, T0, cp, chaleur massique à pression constante et de β avec:
$\beta = - \frac{1}{\mu }{\left( {\frac{{\partial \,\mu }}{{\partial \,T}}} \right)_P}$
e. Le fluide considéré est de l'air, assimilé ici à un gaz parfait diatomique, de masse molaire M, de γ constant et égal à 1,4. Calculer c sachant que: M = 29 g.mol-1; T0 = 300 K; R = 8,31 J.mol-1.K-1.
A.3. On s'intéresse à l'énergie massique associée à l'onde sonore.
A.3.1. Que vaut l'énergie cinétique massique ec ?
A.3 2. Le travail des forces de surpression entre l'état de repos et l'état de surpression p' permet de définir une énergie potentielle massique epot ; montrer que l'expression de celle-ci est:
${e_{pot}} = \frac{{{c^2}}}{2}{\left( {\frac{{\mu '}}{{{\mu _0}}}} \right)^2}$
A.3.3. En déduire la densité massique d'énergie totale e associée à l'onde sonore en fonction de v dans le cas d'une
onde progressive.
A.3.4. En prenant v sous la forme f(x-ct), montrer que:
$div({p}'\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{v}}\,)+\frac{\partial \,({{\mu }_{0}}e)}{\partial \,t}=0$
Que traduit œtte équation ? A quelle vitesse se propage l'énergie de l'onde sonore ?
On s'intéresse aux phénomènes de réflexion et de transmission des ondes sonores à la surface séparant deux milieux et l'on reste dans le cadre de l'approximation linéaire de la partie A. On utilisera le vecteur densité de flux d'énergie acoustique introduit dans la question A.3.4 que l'on notera $\vec \Pi = p'\vec v$. Les milieux fluides (i) sont caractérisés par la même pression p0, une masse volumique µi et la relation:
$c_i^2 = {\left( {\frac{{\partial \,{p_i}}}{{\partial \,{\mu _i}}}} \right)_S}$
B.1. Réflexion et réfraction d'une onde acoustique.
On considère une onde plane progressive monochromatique se propageant dans le milieu (1). Elle est représentée par son potentiel des vitesses complexe ${{\Phi }_{i}}={{A}_{i}}{{e}^{i\,(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{k}_{i}}}}\,.\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{r}}\,-{{\omega }_{i}}t)}}$. La surface de séparation entre les milieux (1) et (2) est assimilée à un plan infini. On cherche alors les potentiels respectivement associés aux ondes réfléchies et transmises sous la forme:
${{\Phi }_{r}}={{A}_{r}}{{e}^{i\,(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{k}_{r}}}}\,.\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{r}}\,-{{\omega }_{r}}t)}}$ ${{\Phi }_{t}}={{A}_{t}}{{e}^{i\,(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{k}_{t}}}}\,.\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{r}}\,-{{\omega }_{t}}t)}}$
B.1.1. On note pi’, pr’,. pt’ les surpressions acoustiques et $\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{v}_{i}}}}\,$,$\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{v}_{r}}}}\,$,$\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{v}_{t}}}}\,$ les vitesses associées aux ondes respectivement incidente, réfléchie et transmise. Donner deux conditions au niveau de la limite séparant les deux fluides 1 et 2. Quelles formes prennent-elles si celle-ci est le plan d'équation x = 0 ?
B.1.2. En déduire que les ondes incidente, réfléchie et transmise ont même pulsation.
B.1.4. Dans le cas de l'incidence normale, calculer les coefficients de réflexion et de transmission en énergie:
$R=\left| \frac{<\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{\Pi }_{r}}}}\,.\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{n}_{12}}}}\,>}{<\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{\Pi }_{i}}}}\,.\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{n}_{12}}}}\,>} \right|$ $T=\left| \frac{<\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{\Pi }_{t}}}}\,.\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{n}_{12}}}}\,>}{<\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{\Pi }_{i}}}}\,.\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{n}_{12}}}}\,>} \right|$
où < > représente la valeur moyenne temporelle, en fonction de µ1 , µ2 , c1 , c2.
B.l.5. Calculer R et T dans le cas d'une surface séparant l'air de l'eau. On donne:
µ1 = 1,30 kg.m-3 ; µ2 = 1,00 103 kg.m-3 ; c1 = 340 m.s-1 ; c2 = 1,40 103 m.s-1 .
B.2. On se place dans le cas où cl < c2. Une source sonore S ponctuelle se trouve dans le milieu (1) à une hauteur h au-dessus du plan de séparation avec le milieu (2) (cf.figure-2).
Soit M un point du milieu (1). La source S émet de brèves impulsions sonores.
B.2.1.
a) Enoncer le principe de Fermat dans le cadre de l'optique géométrique.
b) Peut-on le traduire par une propriété portant sur le temps mis par la lumière pour aller d'un point A à un point B ? Nous admettons que cette forme du principe de Fermat est généralisable à l'acoustique.
c) Justifier que l'on percevra l'impulsion sonore en M seulement si la durée mise par l'onde sonore pour aller de S à M est stationnaire relativement aux durées mises sur des chemins infiniment voisins.
B.2.2. On considère deux fluides (situation B1) tels que cl < c2. Une source ponctuelle S située dans le milieu (1) à une hauteur h au-dessus du plan du dioptre émet une onde sphérique. On recherche les ondes issues de S reçues en M (M appartenant au milieu (1) ).
a) Montrer qu'il existe trois types de rayons acoustiques:
* le chemin direct,
* un chemin correspondant à une réflexion sur le dioptre,
* un chemin SIJM où la portion IJ est effectuée dans le milieu (2).
Dans ce dernier cas, on précisera la position des points I et J.
b) Déterminer le temps mis par une onde acoustique pour aller de S à M.
* Δt pour le chemin direct SM
* Δt’ pour celui mettant en jeu une réflexion
* Δt’’ pour le chemin du type SIJM. On exprimera les résultats en fonction de L, h, h', θ0 , c1 , c2.
B.2.3. Comparez Δt’ et Δt’’ (on pourra calculer (Δt’)2-(Δt ’’)2).
B.2.4. Application numérique: L = 100 m, h = h' = 2 m.
Calculer Δt, Δt’, Δt’’. Conclure.
Dans cette partie, on étudie l'influence de la conduction thermique sur le phénomène de propagation de l'onde sonore. On rappelle que le vecteur densité de flux de chaleur $\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{j}_{Q}}}}\,$ résultant d'une inhomogénéité de température dans un milieu est donné par: $\overrightarrow {{j_Q}} - K\overrightarrow {grad} T$, où K est la conductivité thermique du milieu.
C.1. Préliminaire
Soient 2 corps de même capacité calorifique C et de températures initiales respectives T1 et T2. L'ensemble étant isolé, on met les 2 corps en contact thermique.
a) Calculer la température finale Tf .
b) Calculer la variation d'entropie de l'Univers en fonction de C, T1 et T2 (C est considéré comme constante).
C.2. Dans les conditions normales de température et de pression pour les gaz, la conduction thermique est suffisamment faible pour pouvoir conserver une vitesse de propagation de l'onde sonore égale à ${\left[ {{{\left( {\frac{{\partial \,p}}{{\partial \,\mu }}} \right)}_S}} \right]^{1/2}}$
On pourra utiliser la formulation du second principe de la thermodynamique écrivant la variation d'entropie d'un système fermé comme la somme d'un terme d'échange avec l'extérieur et d'un terme de création:
dS = δSéch + δScréation
C.2.1. En écrivant que la chaleur recue par une particule de fluide infinitésimale de masse δm n'est due qu'au
phénomène de conduction thermique, montrer que l'on a:
$\frac{\delta \,{{s}_{\acute{e}ch}}}{d\,t}=\frac{1}{\mu \,T}div(K\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{grad}}\,\,T)$
et justifier, à l'aide des résultats du C- 1 que l'on peut identifier $\frac{{\delta \,{s_{\'e ch}}}}{{d\,t}}$ à $\frac{{Ds}}{{Dt}}$ lorsqu'on se limite au terme d'ordre le plus bas non nul en (s est l'entropie massique et $\frac{{Ds}}{{Dt}}$ la dérivée particulaire).
C.2.2. La conduction thermique étant considérée comme une perturbation au phénomène de propagation isentropique, le vecteur densité de flux d’entropie s'écrit alors:
$\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{J}_{s}}^{\prime }}}\,=\mu .s.\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{v}}\,-\frac{K\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{grad}}\,\,T}{T}$
a) Calculer $div\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{J}_{s}}^{\prime }}}\,+\frac{\partial \,(\mu \,s)}{\partial \,t}$
b) En déduire, sous forme d'intégrale, l'entropie créée par unité de temps dans un volume V0 du fluide (le fluide est toujours au repos en l'absence d'onde sonore). Son signe était-il prévisible ?
C.3. L'énergie E associée à l'onde sonore est une énergie libre au sens de la thermodynamique; à énergie totale constante, on admettra que l'on peut relier la variation d'énergie de l'onde acoustique à l'entropie créée au sein du fluide par la relation:
dE = - T0.dS
où T0 est la température d'équilibre du fluide en l'absence d'onde.
On considère une onde plane progressive de la forme vx(x,t) = v0(x) cos(kx - ωt) où la distance caractéristique de la variation de v0(x) est très supérieure à la longueur d'onde $\lambda = \frac{{2\pi }}{k}$ où $k = \frac{\omega }{c}$. Le milieu est assimilé à un gaz
parfait.
On considère alors un cylindre de génératrices parallèles à x'Ox, de section droite Σ, compris entre les plans d'abscisses respectives x1 et x2 (x2>x1). On suppose que la longueur de ce cylindre est petite devant la longueur caractéristique des variations de v0 (x). On désigne par E l'énergie acoustique du système fermé qui coïncide avec ce cylindre à un instant donné.
a) En admettant que la relation donnant T' en fonction de vx reste:
$T' = \frac{{{T_0}\beta \,c}}{{{c_P}}}{v_x}$ ,(les notations sont celles de A-2-6-c)
exprimer l'augmentation d'entropie par unité de temps sur ce volume. En déduire une expression de $\left\langle {\frac{{dE}}{{dt}}} \right\rangle $.
b) Par un bilan énergétique, établir une autre expression de $\left\langle {\frac{{dE}}{{dt}}} \right\rangle $ en fonction de $\mu {\,_0}$, c, Σ, x2-x1 et $\frac{{d\left\langle e \right\rangle }}{{dx}}$où <e> désigne toujours la valeur moyenne temporelle de l'énergie acoustique massique.
c) En déduire l'équation différentielle qui régit v0(x) et montrer que la distance caractéristique d'amortissement de
l'onde acoustique s'écrit:
$\delta = \frac{{2{\mu _0}\,{c^5}}}{{K\,{T_0}{{(\gamma - 1)}^2}\omega {\,^2}}}$
d) Application numérique: To = 300 K; µ0 = 1,30 kg.m-3; K = 3,00xl0-2 W.m-1.K-1; γ= 1,4
Calculer δ pour la fréquence 2000 Hz. Le résultat vous paraît-il réaliste ?
La longueur d'absorption liée aux phénomènes de viscosité varie également comme l'inverse du carré de la fréquence sonore. On sait aujourd'hui que les éléphants communiquent au moyen d'infrasons d'une fréquence inférieure 20 Hz. En admettant une portée de l'ordre du kilomètre pour un signal de fréquence 200 Hz, estimer la distance à laquelle les éléphants peuvent ainsi communiquer.
Dans cette partie, les transformations subies par le fluide parfait sont adiabatiques, mais les amplitudes ne sont plus considérées comme des infiniment petits. On envisagera la propagation d'ondes suivant l'axe x'Ox.
D.1. La propagation de l'onde acoustique étant isentropique, les variables µ et s ne dépendent que de p; de même la quantité
$c = {\sqrt {\;\left( {\frac{{\partial \,p}}{{\partial \,\mu }}} \right)} _S}$
ne dépend que de p (on admettra que cette fonction est croissante). On recherche des solutions des équations de la mécanique des fluides telles que $$, vitesse du fluide en un point, ne dépend que de p.
D.1.1. Ecrire les deux équations différentielles qui régissent µ, p et v.
D.1.2. En déduire un système linéaire pour $\frac{{\partial \,p}}{{\partial \,x}}$ et $\frac{{\partial \,p}}{{\partial \,t}}$ dont les cœfficients sont des fonctions de p uniquement.
D.1.3. En déduire que$\frac{{dv}}{{dp}} = \pm \frac{1}{{\mu \,c}}$. Si on ne considère que l'onde associée au signe "+", écrire l'équation liant $\frac{{\partial \,p}}{{\partial \,x}}$,
$\frac{{\partial \,p}}{{\partial \,t}}$, v et c.
D.1.4. A quelle vitesse se propagent les surfaces isobares ? Par un raisonnement qualitatif qui peut être étayé par quelques schémas, montrer qu’il apparaît des surfaces de discontinuité pour la pression et la masse volumique (ondes de choc).
D.2. Propagation d'une onde de choc.
On modélise l'onde de choc par un front d'onde (Σ) (surface de discontinuité) perpendiculaire à l'axe se propageant à la vitesse c' et séparant le gaz en deux régions où la pression, la masse volumique et la vitesse sont uniformes. Leurs valeurs respectives sont:
| - entre le piston et (Σ): | p1= p0 + p' | µ1 = µ0 + µ‘ | v1 = V |
| - au-delà de (Σ): | p2= p0 | µ2 = µ0 | v2 = 0 |
D.2.2. En appliquant le principe de la dynamique au même système fermé, établir une relation entre p', µ0 , µ‘, V
et c'.
D 2.3. Rappeler l'expression de u, énergie interne massique d'un gaz parfait de facteur γ constant en fonction de p, γ et µ. En déduire la relation entre p0 , p', V, c', µ0 et γ traduisant le bilan d'énergie sur le système fermé précité.
D.2.4. On introduit la quantité $c_0^2 = \gamma \,\frac{{{p_0}}}{{\mu {\,_0}}}$.
a) Exprimer $\frac{{p'}}{{{p_0}}}$ en fonction des seules quantités γ et $\frac{V}{{{c_0}}}$.
b) Exprimer $\frac{{c'}}{{{c_0}}}$ en fonction des mêmes grandeurs.
D.2.5.
a) Rappeler l'expression de l'entropie massique s d'un gaz parfait en fonction de R, M, γ, p et µ.
b) En déduire l'entropie créée dans le système fermé précèdent entre t et t + dt en fonction de Σ0 , R , γ, M, c', p , p0 ,
µ , µ0 .
c) on choisit $V = \frac{{{c_0}}}{2}$ . Calculer c'. En déduire $\frac{{dS}}{{dt}}$ par unité de section du tube pour les valeurs numériques données pour l'air. D'où vient cette création d'entropie ?
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