Concours Physique ENS (Ulm, Lyon et Cachan) BCPST 2000 (Énoncé)

SESSION 2000
Filière BCPST
PHYSIQUE
(Épreuve commune aux ENS: Ulm, Lyon et Cachan)
DURÉE :4 heures
L’usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d’accompagnement, est autorisé. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n’est autorisé entre les candidats.
Le problème développe une introduction à l’hydrologie physique (sections A, B, C et D). Les sections E et F. étudient des solutions particulières de l’équation de la chaleur. Chaque section peut être résolue indépendamment.

A Écoulement de Poiseuille
On considère un tuyau cylindrique horizontal de rayon a d’axe Ox. Dans ce tuyau circule un fluide newtonien de masse volumique ρ et de viscosité dynamique η. L’écoulement est permanent et laminaire et chaque particule de fluide ne se déplace que selon Ox à la vitesse v_x(r) où r est la distance à l’axe du tuyau. On admet que la pression varie à l’intérieur du tube de façon linéaire avec x, c’est à dire que dP/dx est une constante.
A1) Établir les conditions d’équilibre d’un anneau de fluide situé entre les abscisses x et x + dx, les rayons r et r + dr. On notera τ(r) les contraintes tangentielles visqueuses par unité de surface s’exerçant sur cet anneau. Ces contraintes ont un signe tel qu’elles freinent les filets d’eau les plus rapides et accélèrent les plus lents.
A2) La contrainte τ est proportionnelle au gradient de vitesse, et, en valeur absolue,
$\left| \tau \right| = \eta .\left| {\frac{{{\rm{d}}{v_x}}}{{{\rm{d}}r}}} \right|$
Établir l’équation différentielle qui relie la vitesse v_x(r) au gradient de pression dP/dx dans le tuyau. Calculer et représenter schématiquement le profil de vitesse.
A3) Établir la relation qui relie le débit volumique de fluide dans le tuyau, Q (en m³/s), au gradient de pression. On définit la vitesse moyenne du fluide v_m comme le rapport du débit volumique par la section du tube. En déduire que cette vitesse vérifie : ${v_m} = - \frac{{{a^2}}}{{8\eta }}.\frac{{{\rm{d}}P}}{{{\rm{d}}x}}$

B Loi de Darcy
On considère un milieu poreux constitué d’un empilement régulier de cubes de côtés l, percés à travers chaque face d’un pore cylindrique de rayon a. On supposera que a << l. On appelle porosité et on note φ, le rapport du volume des pores sur le volume total (le volume total est la somme du volume des pores et du volume de la matrice).

Figure 1: Cube élémentaire
B1) Quelle est la porosité du matériau constitué des cubes élémentaires de la Figure 1 ?
B2) On maintient un gradient de pression dP/dx à travers la phase liquide du milieu poreux. On définit la vitesse macroscopique ou vitesse de Darcy V_x du liquide de telle sorte que le débit du fluide à travers une surface du matériau poreux, S, perpendiculaire à Ox, soit égale à V_x.S. On admettra que l’écoulement dans chaque pore est permanent et laminaire. Montrer que :
${V_x} = - \frac{{{\varphi ^2}.{l^2}}}{{72\pi .\eta }}.\frac{{{\rm{d}}P}}{{{\rm{d}}x}}$
B3) On va admettre, dans tout milieu poreux, la loi de Darcy :
$\vec V = - \frac{k}{\eta }.\overrightarrow {{\rm{grad}}} P$
Quelle est l’unité de k ? Exprimer la perméabilité k pour le réseau de la Figure 1.
B4) La matrice et le fluide ont des conductivités électriques respectives, σ_m et σ_f. Calculer la conductivité électrique macroscopique moyenne σ du milieu poreux saturé constitué des cubes de la Figure 1. Le milieu poreux est saturé avec un électrolyte de résistivité bien plus faible que celle de la matrice. Montrer que :
$\varphi \approx 3\frac{\sigma }{{{\sigma _f}}}$

C Perméamètre
On considère le dispositif expérimental de la Figure 2 où une épaisseur L d’un milieu poreux constitué de sable est introduit dans un cylindre de section S d’axe Oz pointant verticalement vers le haut. L’origine des ordonnées sera prise à la surface supérieure du sable. Ce cylindre est fermé dans le bas par une toile métallique recouverte d’une couche de coton. On verse de l’eau au sommet du sable. Lorsqu’une première goutte d’eau a traversé le perméamètre, la hauteur d’eau est h₀. On observe ensuite, au cours du temps t, une diminution de la hauteur d’eau h(t) à la vitesse V_z(t). La masse m(t) d’eau ayant traversée le sable est mesurée. L’écoulement est toujours suffisamment lent pour être quasi permanent, c’est à dire pour que les accélérations soient négligeables.

Figure 2 : Perméamètre
C1) La masse volumique de l’eau est ρ_e,l’attraction de la gravité a pour module g. Expliquer pourquoi, dans cette géométrie, la loi de Darcy s’écrit : INCORPORER Equation.3 C2) Calculer le gradient de pression à travers le milieu poreux. On distinguera les cas où h(t) > 0 et où h(t) < 0 (c’est à dire lorsque la partie supérieure du milieu poreux est déjà drainée). Donner, sans les résoudre, les équations différentielles vérifiées par h(t).C3) On va utiliser l’expression de la perméabilité obtenue à la question (B3) pour modéliser celle du sable. Pensez-vous que ce soit un bon modèle ?C4) Donner l’expression de h(t) en distinguant les cas h(t) > 0 et h(t) < 0. On indiquera à quel temps la surface du sable s’assèche. Donner l’expression de m(t). Étudier et représenter m(t). On utilisera : ( = 0,1 ; g = 9,8 m s2 ; L = 20 cm ; h0 = 1 m ;  = 103 Pa.s ; l = 1 mm ; e = 1000 kg m3 ; S = 3.102 m2.C5) Quelle est la vitesse maximale du fluide dans un pore ? Exprimer la valeur du nombre de Reynolds en fonction des paramètres du problème. L’écoulement est-il bien laminaire ?C6) En fait notre solution n’est pas très bonne lorsque h(t) < 0. Pouvez-vous nommer les forces que nous n’aurions pas du négliger ?C7) On note m la masse volumique de la matrice (m = 2500 kg m3). On modifie le dispositif expérimental (Figure 3) pour injecter le liquide par en dessous à vitesse Vz (positive). La surface du sable est au sommet du cylindre de telle façon que l’eau ayant traversé s’évacue.Figure 3 : Perméamètre avec injection du liquide par en dessous.Montrer qu’il existe une vitesse critique VzC au delà de laquelle le milieux est instable. Ce phénomène est appelé liquéfaction du sable. Exprimer et calculer VzC.D Étude d’un aquifèreOn considère un aquifère (Figure 4), c’est à dire une formation perméable, qui suit les couches semi circulaires d’un synclinal de rayon R. L’aquifère a une section S. L’entrée de l’aquifère (b) est à la profondeur h sous la surface d’un lac (a). La sortie de cet aquifère (c) est à la même altitude que (b). L’eau (de densité e et de viscosité dynamique ) peut éventuellement jaillir pour former une source dite artésienne et atteindre une hauteur e au point (d).La longueur totale de l’aquifère est bien supérieure à h ou e. La pression atmosphérique P0 est la même au voisinage des points (a), (c) ou (d). La pression en (b) sera notée Pb, la pression en (c), dans le panache, sera notée R → 0 et R → +∞.

Pc.Figure 4 : Aquifère (la figure n’est pas à l’échelle)D1) Exprimer le théorème de Bernoulli entre les points (a) et (b) puis entre les points (c) et (d).D2) Peut-on utiliser le théorème de Bernoulli entre (b) et (c) ? Exprimer le gradient de pression moyen le long de l’aquifère en fonction de h, e et R.D3) On admet qu’au voisinage de la sortie (c), les lignes de courant sont parallèles entre elles et verticales ; montrer que la pression est uniforme dans toute section transverse à l’axe du panache et est donc égale à P0.D4) Si l’aquifère était une galerie vide de section circulaire, parcourue par un écoulement laminaire, montrer que la vitesse moyenne du fluide serait : INCORPORER Equation.3 Indiquer l’allure de la fonction implicite qui relie la vitesse v à R. On étudiera en particulier les régimes asymptotiques
D5) On admet que S = 1 m², h = 50 m et R = 2 km. Quelle est la vitesse moyenne du fluide ? Jusqu’à quelle hauteur l’eau jaillit-elle ? La perte en charge dans la galerie est-elle importante ? L’hypothèse de laminarité est-elle raisonnable ?
D6) En fait, l’aquifère est une formation poreuse de perméabilité k et l’eau ressort sans panache artésien. Exprimer la vitesse moyenne du fluide. Le débit de la source est de 10 litres par minute. Quelle est la perméabilité de l’aquifère ?
D7) La porosité de la formation de l’aquifère est estimée à 0,1. Quelles sont les tailles caractéristiques des grains de matrice et des pores de cette formation ?
E Équation de la chaleur en coordonnées sphériques
On considère une planète sphérique, conductrice de la chaleur en l’absence de tout transfert d’énergie autre que par conduction, où la température T(r) décroît avec le rayon r. La surface de la planète se situe au rayon r = R. La planète a une conductivité λ, une masse volumique ρ et une chaleur massique c_p, toutes trois uniformes. Elle contient des sources radioactives qui dégagent une puissance thermique par unité de masse, H(r) (en W.kg⁻¹) qui peut varier avec le rayon.
E1) On note q la densité de flux thermique radial (en W.m⁻²) à la profondeur r et l’instant t. Écrire le bilan de la variation de puissance thermique dans le volume situé entre les rayons r et r + dr en fonction de la densité de flux.
E2) Par conservation de l’énergie, cette variation de puissance thermique est due à une production d’énergie et à une variation temporelle de la température. En déduire une équation différentielle reliant q, T et H.
E3) La loi de Fourier en coordonnées sphériques indique que la densité de flux thermique radial vérifie :
$q = - \lambda .\left( {\frac{{\partial T}}{{\partial r}}} \right)$
En déduire l'expression de l’équation de la chaleur :
$\rho .{c_p}.\left( {\frac{{\partial T}}{{\partial t}}} \right)= \lambda .\frac{1}{{{r^2}}}.\frac{{\partial \left( {{r^2}.\frac{{\partial T}}{{\partial r}}} \right)}}{{\partial r}} + \rho .H$
Donner les dimensions de toutes les quantités apparaissant dans cette équation en unités de base c’est à dire en kg, K, s et m.

E4) On se place en régime permanent et on suppose qu’il n’y a pas de sources radioactives de r = 0 à r = r_m et que H est uniforme entre les rayons r_m et R. La température en surface est T = T₀. Quelle condition doit-on appliquer en r = r_m ? Donner l’expression de la température T(r) et indiquer l’allure de cette fonction. Quelle est la température maximale ? Si la Terre était en régime conductif, permanent, avec tous ses éléments radioactifs contenus dans la croûte (R = 6370 km ; r_m = 6340 km ; ρ = 2800 kg m⁻³ ; H = = 5.10⁻¹⁰° W kg⁻¹ ; λ = 4 W.m⁻¹.K⁻¹, T₀ = 290 K), quelle serait la valeur du gradient de température dT/dr en K.km⁻¹ près de la surface de la Terre ? Quelle serait la température au centre de la Terre ?
E5) Exprimer le flux thermique total en surface de la planète en fonction de la quantité totale de puissance radioactive dissipée. Généraliser ce résultat à partir du résultat de la question E2 pour une puissance radioactive constante dans le temps mais qui varierait en fonction de la profondeur.
F Estimation de l’âge de la Terre par Lord Kelvin
On néglige maintenant la sphéricité et les sources radioactives de la planète de la partie E. mais on ne se place pas en régime permanent. On admet que la température ne dépend que de la profondeur z comptée positivement. La température vérifie donc l’équation de la chaleur :
$\rho .{c_p}.\left( {\frac{{\partial T}}{{\partial t}}} \right) = \lambda .\frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {z^2}}}$
et la loi de Fourier :
$q = - \lambda .\left( {\frac{{\partial T}}{{\partial z}}} \right)$
F1) Écrire l’équation différentielle vérifiée par la densité de flux thermique. On notera la diffusivité thermique D, D = λ/ρ.c_p .
Au milieu du XIX^ième siècle, Lord Kelvin a imaginé que la Terre a été formée à une température élevée uniforme T₀ au moment t = 0. Instantanément, sa surface a été soumise à une température T_S. Depuis ce temps là, la planète se refroidirait. Lord Kelvin a modélisé ce refroidissement pour en déduire l’âge de formation de la Terre.

F2) La densité de flux thermique est donc une fonction de la profondeur et du temps, q(z, t). Dans l’hypo-thèse de Lord Kelvin, quelle doit être la valeur de la densité de flux thermique en z = 0 lorsque t tend vers zéro, et lorsqu’il tend vers +∞ ? Quelle doit être la valeur de la densité de flux thermique à une profondeur z non nulle lorsque t tend vers zéro, et lorsqu’il tend vers +∞ ?
F3) Vérifier que la solution proposée par Lord Kelvin :
$q\left( {z,t} \right) = \frac{A}{{\sqrt {D.t} }}.\exp \left( { - \frac{{{z^2}}}{{4D.t}}} \right)$
où t est le temps écoulé depuis la formation de la Terre est bien la bonne. Dessiner schématiquement la valeur absolue de la densité de flux thermique, en fonction de la profondeur pour deux époques différentes.
F4) Les paramètres du problème sont (T₀ − T_S), λ, ρ et c_p.
On suppose que A = a.(T₀ − T_S)^α.λ^β.ρ^γ.c_p^δ où a, α, β, γ et δ sont des constantes sans dimensions. Calculer α, β, γ et δ par analyse de l’homogénéité de la formule de Lord Kelvin.
F5) Par un raisonnement que l’on ne cherchera pas à reproduire, on peut montrer que a = $\frac{1}{{\sqrt \pi }}$. Exprimer la valeur du gradient thermique en surface de la Terre $\left( {\frac{{\partial T}}{{\partial z}}} \right)$. Lord Kelvin a admis que (T₀ − T_S) était de l’ordre de 1000 à 2000 K et que D est proche de 10⁻⁶ m².s⁻¹, l’augmentation de température avec la profondeur mesurée dans les mines indiquait un gradient thermique proche de 30 K.km⁻¹. Quel âge de la Terre Lord Kelvin a-t-il déduit de son modèle ?

F6) Que pensez vous de l’estimation précédente de l’âge de la Terre ? Quel est le ou les ingrédients physiques que Lord Kelvin n’aurait pas du négliger ? Pourquoi l’a-t-il ou les a-t-il négligé ? Commenter les résultats des questions E4 et F5.

Concours Physique Modélisation ENS de Cachan et École Polytechnique (PSI) 1999 (Corrigé)

Epreuve de modélisation en sciences physiques et industrielles. X-Cachan 1999
Corrigé sommaire de la partie physique (questions 22-52)
Etude de la bobine d’attraction
22-Calcul du champ magnétique:
D’après le théorème d’Ampère dans un milieu matériel:
$$\oint \mathrm{B}.\vec{dl}=N.i$$
Comme l’excitation magnétique H est de module uniforme sur une ligne de champ dans le matériau d’une part (d’après l’hypothèse de linéarité et la loi de conservation du flux magnétique) et dans le vide d’autre part:
$$n.i=l.H_{mati\grave{e}re}+x.H_{vide}$$
Il y a conservation de la composante normale du champ magnétique lors de la traversée d’une interface, par conséquent:
$$\mu_{0}\mu_{r}H_{mati\grave{e}re}=\mu_{0}H_{vide}=B$$
d’où par substitution:
$$B=\frac{\mu_{0}N.i}{x+l/\mu_{r}}$$

23-Calcul de l’inductance:
L’inductance est définie par la relation:
$$L=\frac{\phi}{i}=\frac{B.N.S}{i}=\frac{\mu_{0}N^{2}.S}{x+l/\mu_{r}}$$
Nous en déduisons les deux valeurs extrêmes:
$$L_{0}=\frac{\mu_{0}\mu_{r}N^{2}.S}{l}$$
et:
$$L_{e}=\frac{\mu_{0}N^{2}.S}{x0+l/\mu_{r}}$$
24-Force d’attraction:
Il nous suffit de reprendre la formule fournie par $1'\acute{\mathrm{e}}$nonc $\acute{\mathrm{e}}$:
$$F=\frac{SB^{2}}{2\mu_{0}}=\frac{L^{2}i^{2}}{2\mu_{0}N^{2}S}$$
Etude du circuit électrique
25-Equation électrique
Classiquement:
$$L\frac{di}{dt}+Ri=E$$
26-Solution lorsque i(O)=0:
il vient:
$$i=\frac{E}{R}(1-\exp-\frac{R}{L}t)=\frac{E}{R}(1-\exp-\frac{t}{\tau})$$
27-Evolution de l’intensité approchée
Lorsque t ≪ τ, un développement limité au premier ordre de l’expression pré- cédente conduit au résultat:
$$i\approx\frac{E}{L}t$$
Temps de fermeture du circuit magnétique
28-Evolution de la force magnétique
En reportant l’expression de i dans celle de F il vient:
$$F(t)=\frac{L^{2}i^{2}}{2\mu_{0}N^{2}S}=\frac{E^{2}}{2\mu_{0}N^{2}S}t^{2}$$
Numériquement:
a = 1,404.106 N.s⁻²
29-Loi de la résultante dynamique:
Compte tenu des orientation:
$$m\ddot{x}=k(x0-x)-at^{2}$$

30-Force de rappel du ressort négligée:
Alors:
$$m\ddot{x}=-at^{2}$$
de solution, compte tenu des conditions initiales x = x(0) et $\dot{x}(0)=0$:
$$x=-\frac{1}{12}\frac{a}{m}t^{4}+x_{0}$$
Le temps de fermeture est obtenu lorsque x = 0, il vaut donc:
$$t_{f}=(\frac{12mx_{0}}{a})^{\frac{1}{4}}$$
Numériquement:
t_f = 9, 76.10^−3_S
Comparons ce temps à la constante de temps caractéristique du circuit électrique:
$$\tau_{e}=\frac{L_{e}}{R}$$
Numériquement:
L_e = 2, 4.10⁻²H
et La constante de temps d’établissement du courant électrique est donc 2.10⁻²s, l’hypothèse effectuée est donc à peinejustifiée.
31-Prise en compte de la force de rappel du ressort.
L’équation différentielle:
$$m\ddot{x}+k.x=k.x0-at^{2}$$
se résout en sommant la solution générale de l’équation homogène associée et une solution particulière se l’équation complète que nous recherchons sous forme d’un polynôme:
x = α + βt + γt²
En substituant dans l’équation différentielle, il vient:
$$(\frac{k}{m}\alpha+2\gamma)+\frac{k}{m}\beta t+\frac{k}{m}\gamma t^{2}=\frac{k}{m}x_{0}-\frac{a}{m}t^{2}$$
D’où, par identification:
$$\beta=0,\gamma=-\frac{a}{k},\alpha=x_{0}-2\frac{m\gamma}{k}=(x_{0}+2\frac{ma}{k^{2}})$$
En rajoutant la solution générale de l’équation homogène, nous obtenons:
$$x=(x0+2\frac{ma}{k^{2}})-\frac{a}{k}t^{2}+\lambda\cos\sqrt{\frac{k}{m}}t+\mu\sin\sqrt{\frac{k}{m}}t$$
La condition initiale x(O)=x0 entraîne:
$$x_{0}=(x_{0}+2\frac{ma}{k^{2}})+\lambda$$
et la condition initiale $\dot{x}(0)=0$ implique μ = 0. D’où le résultat recherché:
$$x=x0+2\frac{ma}{k^{2}}(1-\cos\sqrt{\frac{k}{m}}t)-\frac{a}{k}t^{2}$$
Dont on vérifie aisément l’homogénéité.
32-Tracé sommaire du graphe:
Il vient numériquement:
x(mm)=2 + 0, 149(1 − cos(434, 4t)) − 1, 404.10⁴t²
La courbe tracée une allure parabolique, sauf tout au début où elle varie comme λ − μt⁴. En remarquant que:
$$2\frac{ma}{k^{2}}(1-\cos\sqrt{\frac{k}{m}}t)>0$$
il vient:
$$x<x_0 <\frac{a}{k}t^{2}$$

33-Equation approchée
Le terme non pris en compte est de plus petit devantx₀: En résolvant l’équation approchée:

$$x<x_0 <\frac{a}{k}t^{2}$$
pour x = 0, on trouve la minoration du temps de fermeture:
$$t_{f}>\sqrt{\frac{k.x_0}{a}}$$
Numériquement:
t_f > 11, 9ms
34-
En pratique, le courant croît moins vite que nous 1’avons considéré car 1’induc- tance de la bobine augmente rapidement à mesure que les deux parties métalliques se rapprochent 1′une de 1’autre, ce qui augmente encore, à priori, le temps de fer- meture.
Temps de mise en vitesse du compresseur
35-Moment d’inertie équivalent aux pistons.
Les ensembles (piston+biellette) sont animés de mouvement de translation, leur énergie cinétique est donc:
$$E_{piston+biellette}=\frac{1}{2}m_{pb}v_{piston/bâti}^{2}$$
Soit en reportant l’expression fournie:
$$E_{piston+biellette}=\frac{1}{2}m_{pb}R^{2}\sin^{2}\beta\sin^{2}\alpha\dot{\alpha}^{2}$$
Il y a cinq ensembles de pistons identiques, correspondants à des angles:
$$\alpha_{i}=\alpha+i\frac{2\pi}{5}$$
où α désigne la position du premier ensemble, il est clair que:
$$\dot{\alpha}_{i}=\dot{\alpha}$$
Donc pour 1′ensemble:
$$E_{pistons+biellettes}=\frac{1}{2}m_{pb}R^{2}\sin^{2}\beta\sum_{0}^{4}\sin^{2}(\alpha+i\frac{2\pi}{5})\dot{\alpha}^{2}$$
Il nous faut calculer cette somme, il vient:
$$\sum_{0}^{4}\sin^{2}(\alpha+i\frac{2\pi}{5})=\frac{5}{2}-\frac{1}{2}\sum_{0}^{4}\cos(\alpha+i\frac{4\pi}{5})$$
et il est facile de montrer que cette dernière somme est nulle (on passe en com- plexe et ont reconnaît la somme des premiers termes d’une suite géométrique). Par conséquent:
$$E_{pistons+biellettes}=\frac{5}{4}m_{pb}R^{2}\sin^{2}\beta\dot{\alpha}^{2}$$
Le moment d’inertie équivalent est donné par:
$$I_{pistons+biellettes}=\frac{2E_{pistons+biellettes}}{\dot{\alpha}^{2}}=\frac{5}{2}m_{pb}R^{2}\sin^{2}\beta$$
Numériquement:
I_{pistons + biellettes} = 19, 2kg.mm²
Cette contribution est faible devant celle du plateau-came est de son axe.
36-Moment d’inertie équivalent au plateau oscillant.
La vitesse de rotation du plateau oscillant est en module 0) $ 3/1=\dot{\alpha}\sin\beta$. Cette rotation se fait autour d’un axe instantané de rotation placé sur la face du plateau en contact avec l’engrenage (dans la mesure où nous assimilons le plateau oscil- lant à ce disque). L’axe de rotation passe par le centre de la face de contact. A partir des théorèmes classiques sur les moments d’inertie (calcul au centre d’iner- tie, utilisation des moments d’inertie par rapport à des plans et symétries), puis application du théorème d’Huyghens, il vient, pour le moment d’inertie utile:
$$I_{\Delta}=m_{po}\{\frac{R_{po}^{4}}{2}+\frac{1}{3}H_{po}^{2}\}$$
d’où l’énergie cinétique:
$$E_{po}=\frac{1}{2}m_{po}\{\frac{R_{po}^{4}}{2}+\frac{1}{3}H_{po}^{2}\}\sin^{2}\beta\dot{\alpha}^{2}$$
Le moment d’inertie équivalent est défini par:
$$I_{po}=\frac{2.E_{po}}{\dot{\alpha}^{2}}=m_{po}\{\frac{R_{po}^{4}}{2}+\frac{1}{3}H_{po}^{2}\}\sin^{2}\beta$$
Numériquement
I_po = 24, 4kg.mm²
Cette deuxième contribution équivalente est également faible 1.

37-Théorème du moment dynamique
1. Comme souvent en pratique, nous venons de faire des calcules difficiles pour prouver que des termes en fin de compte négligeables le sont effectivement!
Il vient, autour de 1′axe fixe?:
$$I_{eq^{(\dot{\omega})}}=C_{m}-C_{r}$$
38-Condition de fonctionnement
Le couple moteur est supérieur au couple résistant pour:
$$C_{m}=f.\frac{L_{0}^{2}i^{2}}{2\mu_{0}N^{2}S}>C_{r}$$
Soit:
$$i>\frac{N}{L_{0}}\sqrt{\frac{2\mu_{0}SC_{r}}{f}}$$
Numériquement:
i_min = 0, 55A
Evolution de ω_2/1 dans un cas simple
39-Cas l_p ≪ τ₀
Alors:
$$i=i_{0}+\frac{E}{L_{0}}t$$
et:
$$C_{m}=f\frac{L_{0}^{2}}{2N^{2}\mu_{0}S}i^{2}=f\frac{L_{0}^{2}}{2N^{2}\mu_{0}S}(j_{0}+\frac{E}{L_{0}}t)^{2}=f.a.\ (t+i_{0}\frac{L_{0}}{E})^{2}$$
40-Couple résistant négligé:
Nous arrondissons, avec $1'\acute{\mathrm{e}}$nonc $\acute{\mathrm{e}}:I_{e'q}$ à 2400 kg.mm², valeur qu’il est légitime de garder en faitjusqu’au bout du problème.
L’équation différentielle se réduit à:
$$I_{eq}\dot{\omega}=C_{m}=f.a.\ (t+i_{0}\frac{L_{0}}{E})^{2}$$
L’intégration est immédiate, compte tenu des conditions initiales (ω_1/2 = 0 pour t = 0:
$$I_{eq}\omega_{1/2}=\frac{1}{3}f.a[(t+i_{0}\frac{L_{0}}{E})^{3}-(j_{0}\frac{L_{0}}{E})^{3}]$$
correction.tex -page 7
Application numérique L’équation précédente se résout simplement. Ici, je choisit de l’effectuer numériquement.Nous devons trouver la racine de:
1, 0053 = 6084(t + 0, 0210)³ − 6084.(0, 0210)³
A partir d’un tracé numérique, Nous obtenons: t_p = 32.10⁻³s, ce qui est court. La constante de temps τ₀ ayant maintenant pour valeur:
$$\tau_{0}=\frac{L_{0}}{R}=0,24s$$
l’hypothèse t_p ≪ τ0 est bien vérifiée.
41-Prise en compte du couple résistant:
L’équation différentielle devient:
$$I_{eq}\dot{\omega}=f.a.\ (t+i_{0}\frac{L}{E})^{2}-C_{r}$$
Par intégration entre $1'\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}$ initial et $1'\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}$ final, il vient immédiatement:
$$I_{eq}\omega_{1/2}=\frac{1}{3}fa[(t+i_{0}\frac{L_{0}}{E})^{3}-(i_{0}\frac{L}{E})^{3}]-C_{r^{f}}$$
C’est une équation du troisième degré générale, on peut rechercher la solution numérique en résolvant:
1, 005 = 6084(t + O, 0210))³ − 6084. (0, 0210)³ − 5.t
Nous obtenons la solution qui vaut toujours sensiblement:
t = 38ms
La présence d’un couple résistant augmente la durée t_p de patinage de l’em- brayage. Cependant, l’hypothèse t_p ≪ τ₀ reste bien vérifiée.
42-Valeurs du courant et de l’induction:
A t = t_p, il vient $i_{p}=i_{0}+\displaystyle \frac{E}{L_{0}}t_{p}=1,97A\approx 2 A$ et $B=\displaystyle \frac{L_{0}i_{p}}{NS}=3,47T$
Evolution de ω_2/1 dans un cas plus réaliste

43-Méthode des moindres carrés:
La quantité à minimiser est:
$$J(b_{1},b_{2})=\sum_{k=1}^5[L_{k}-L(i_{k})]^{2}$$
Remplaaons L(i) par son expression:
L(i_k)=b₁ + b₂i_k
Il vient:
$$J(b_{1},b_{2})=\sum_{k=1}^5[L_{k}-b_{1}-b_{2}i_{k}]^{2}$$
D’où les deux dérivées partielles recherchées:
$$\frac{\partial J}{\partial b_{1}}=2\sum_{k=1}^{n=5}\sum[L_{k}-b_{1}-b_{2}i_{k}]=0$$
D’où nous tirons après simplification:
$$(\sum_{k=1}^n L_{k})=n.b_{1}+b_{2}\sum_{k=1}^n i_{k}$$
De même:
$$\frac{\partial J}{\partial b_{2}}=-2\sum i_{k}k=1n[L_{k}-b_{1}-b_{2}i_{k}]$$
d’où la seconde équation:
$$(\sum_{k=1}^n L_{k}i_{k})=n.b_{1}.(\sum_{k=1}^n i_{k})+b_{2}\sum_{k=1}^{n=5}i_{k}^{2}$$
La résolution du système d’équations linéaires est élémentaire et il vient:

$$b_{2}=\displaystyle \frac{(\sum_{k=1}^n L_{k})(\sum_{k=1}^n i_{k})-(\sum_{k-1}^n L_{k}i_{k})}{(\sum_{k=1}^n i_{k})^{2}-(\sum_{k=1} i_{k}^{2})}$$
(3)
ainsi que:
$b_{1}=\displaystyle \frac{1}{n}\frac{(\sum_{k=1}^ni_{k})(\sum_{k=1}^n L_{k}i_{k})-(\sum_{k=1}^n L_{k})(\sum_{k=1}^n i_{k})^{2}}{(\sum_{k=1}^n i_{k})^{2}-(\sum_{k=1}^n i_{k}^{2})}$ (4)
44-Application numérique

( −45 tracé traitées ici simultanément):
46-Equation discrétisée
L’équation récurrente est obtenue en assimilant la dérivée de la fonction i(t) au rapport des accroissements de i et de t:
$$\frac{di}{dt}\approx\frac{i_{n+1}-i_{n}}{t_{n+1}-t_{n}}$$

47-Résolution numérique
Il vient alors en ce qui concerne les valeurs successives de l’intensité:
$$j_{n+1}=i_{n}+\frac{E-R.i_{n}}{L_{0}(i_{n})}\Delta$$
L’équation numérique est donc:
$$i=i_{n}+\frac{12-1,2.i}{0,456-0,115.i}\Delta t$$
Ici, i₀ = 0, 7A, et Δt = 20ms, d’où la séquence des valeurs obtenues:

Remarquons que le courant augmente plus rapidement que si l’inductance restait constante.
48-Discrétisation de l’équation mécanique.
L’équation mécanique étant écrite sous la forme:
$$I_{eq}{(\dot{\omega}}=C_{m}-C_{r}=f.\frac{L(i_n)^{2}i(n)^{2}}{2\mu_{0}SN^{2}}-C_{r}$$
Elle se discrétise immédiatement en:
$$I_{eq}\frac{C\omega_{n+1}-C\omega_{n}}{\Delta}=f.\frac{L(i_{n})^{2}i(n)^{2}}{2\mu_{0}SN^{2}}-C_{r}$$
49-Intégration numérique:
Nous pouvons donc écrire numériquement, avec un choix de Δt = 20ms et les autres données de $1'\acute{\mathrm{e}}$nonc $\acute{\mathrm{e}}$:
(ω_n + 1 = (ω_n + 1056, 5.i_n²(0, 456 − 0, 115.i_n)² − 0, 1
Ce qui nous permet de remplir le tableau de valeurs successives de (j) , il vient:

50-Temps de patinage; Une fréquence de rotation de 4000 tr/mn correspond à 419 rad. s⁻¹, par in- terpolation linéaire entre les valeurs, n = 2 et n = 3 correspondant au tableau des mesures, il vient numériquement:
$$t_{p}\approx 40+20\frac{420-239}{455-239}=57ms$$
Le temps est nettement supérieur à celui de la question 41, car si le courant augmente plus rapidement, la force de contact magnétique, elle, augmente moins vite puisqu’elle varie comme le carré de l’inductance.
51-Induction en fin de mise en vitesse.
Nous déterminons à partir du tableau numérique et à nouveau par interpolation linéaire, la valeur du courant en fin de mise en vitesse. Il vient:
$$i_{p}=1,975+(2,816-1,975)\frac{17}{20}=2,67A$$
D’où nous tirons successivement:
L(t_p)=149mH
et par conséquent:
$$B=\frac{Li}{NS}=1,95T$$
Nous avions trouvé B = 3, 47T en ne tenant pas compte de la saturation du maté- riau.

52-Redémarrage après un bref arrêt
Après un bref arrêt, l’équilibre des pressions ne s’est pas effectué, certains cylindres contiennent le gaz à basse pression, d’autre le gaz à haute pression. Comme les pressions ne sont pas uniformisées dans le circuit, il faut prendre en compte un couple résistant supplémentaire traduisant le travail de transvasement du fluide.

Concours Physique Modélisation ENS de Cachan et École Polytechnique (PSI) 1999 (Énoncé)

ENS
Ecole POLYTECHNIQUE
DURéE: 5 heures
L’usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d’accompagnement, est autorisé pour toutes les épreuves d’admissibilité, saufpour les épreuves de franσais et de langues. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n’est autorisé entre les candidats.
Le sujet est composé:
-d’un texte de 12 pages définissant le travail demandé.
-d’un document au format A4 appelé document 1.
Recommandations.
Il est conseillé au candidat de lire tout le sujet.
Les questions sont ordonnées, mais beaucoup sont indépendantes. Elles sont nombreuses pour aider le candidat.
Le texte est structuré pour analyser diff érents modèles. Les questions s’inscrivent plus particulièrement dans les champs scientifiques spécifiques aux programmes de sciences physiques et de sciences industrielles.
Une grande attention sera portée à la qualité de la réponse. Le candidat justifiera succinctement toutes les hypothèses qu’il sera amené à formuler.
Il est demandé au candidat de rappeler sur sa copie, le numéro de la question avant de développer sa réponse.
Tournez la page S.VP
Mise en situation
La température de l’air dans l’habitacle d’une automobile est régulée, quelles que soient les conditions climatiques extérieures par la commande d’un dispositif de chauffage et d’un dispositif de réfrigération implantés sur la voiture:

-Le dispositif de chauffage réchauffe l’air pulsé dans l’habitacle au travers d’un radiateur alimenté par l′eau de refroidissement du moteur.
Le dispositif de réfrigération refroidit l’air pulsé dans l’habitacle à travers un radiateur alimenté par un fluide réfrigérant. Il lui retire également une partie de son humidité et de ses poussières.
Le dispositifde réfrigération se compose principalement d’un compresseur 1, de deux échangeurs (un condenseur2 et un évaporateur5), d’un filtre receveur3 et d’une soupape d’expansion 4 qui fait fonction de détendeur.

Figure 0

Entraîné par le moteur thermique au moyen d’une courroie, le compresseur aspire le fluide réfrigérant à basse pression et à $l'\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}$ gazeux et le refoule à haute pression. Le fluide réfrigérant traverse alors le condenseur, d’ou il ressort à $l'\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{l}$iquide avant de passer dans le filtre. Celuici amortit les excès pendant les phases de charges variables et filtre les particules solides. La soupape d’expansion, réglée au montage et pilotée par une sonde, assure le débit et abaisse la pression du fluide à l’entrée de l’évaporateur. Dans l’évaporateur, le fluide réfrigérant absorbe de la chaleur àl’air qui le traverse. L’air qui pénètre dans l’habitacle est donc refroidi. De plus la capacité réfrigérante de l’évaporateur permet la déshumidification de l’air, ce qui accroît notablement le bien être dans l’habitacle. Le réglage de l’installation est tel que le fluide réfrigérant sort de l’évaporateur à l'état gazeux.
L’objet de cette étude est le compresseur 1 de la figure 0, et plus particulièrement l’ analyse des fonctions de service données ci-dessous.

Le compresseur retenu est représenté, sur le document 1, en coupe longitudinale dans le plan $(C,\ \vec{x},\ \vec{y})$ fixe par rapport au corps 1. Il est composé de cinq pistons 13 identiques, de diamètre 35 mm, disposés axialement. Lorsque la bobine 18 de l’embrayage électromagnétique est alimentée, le champ magnétique fait adhérer la rondelle 20 sur la poulie 19 qui est alors en liaison complète avec l’arbre d’entrée 23. Sur le document 1, au niveau de la zone Z2, l’embrayage est représenté dans la position fermée. Le plateau came 2 et le plateau oscillant 3 transforment le mouvement de rotation continue de l’arbre d’entrée 23 en un mouvement de translation alternatif des pistons 13. Pour des raisons de régularité de mouvement des cinq pistons, il est souhaitable que le mouvement alternatif des pistons soit de type sinusoidal.

I. Analyse de la transformation de mouvement.

L’objet de cette partie est de valider la réalisation de la foi d’espace sinusoidale imposée au piston.
Le premier modèle retenu pour la chaîne cinématique du compresseur est donné par le schéma de la figure 1. La liaison entre l'ensemble noté 3 (constitué du plateau oscillant 3, du pignon conique 4 et de la pièce intermédiaire 32) avec le pignon conique 6 se fait à la fois par
Figure 1
Tournez la page S.V. P
l’intermédiaire de la bille 5 de centre C et d’un engrenage conique de sommet C.
Le ressort 8 maintient le contact de ces deux liaisons unilatérales. La liaison entre le pignon conique 6 et le bâti 1 est une glissière de direction?.
L’appui plan, réalisé entre le plateau oscillant 3 et le plateau came 2, est aussi unilatéral maintenu par le ressort 8. Il est réalisé par une butée à rouleaux.
La liaison entre le plateau came 2 et le bâti 1 est une liaison pivot d’axe $(C,\vec{x})$ .
On attache au bâti 1 le repère galiléen $R ( C, \vec{x}, \vec{y}, \vec{z} )$
On attache au plateau came 21es repères $R_{12} ( C,\vec{x},\vec{y}_{12}, \vec{z}_{2})$ et $R_{2}(C,\vec{x}_2,\vec{y}_2, \vec{z}_2)$ avec $(\vec{x},\vec{x}_2)= \vec{y}_{1},\vec{y}_{12})=\beta$ angle fixe d’inclinaison du plateau came.
On appelle α l’angle d’entrée $(\vec{y}_{1},\vec{y}_{12}=(\vec{Z}, \vec{z}_2)$ .
On attache au plateau oscillant 3 représente $R_{3}(C,\vec{x}_3 ,\vec{y}_3 , \vec{z}_3 )$
On appelle γ l’angle $(\vec{y}_2,\vec{y}_3)=(\vec{z}_2,\vec{z}_3)$

Notations à respecter:
On appelle $\vec{\Omega}_{i/j}$ le vecteur vitesse de rotation du solide i par rapport au solidej. Si ce vecteur $\vec{\Omega}_{i/j}$ est porté par un vecteur unitaire →k, alors on note $\vec{\Omega}_{i/j}=\omega_{ij}\vec{k}$
Hypothèse: On considère dans un premier temps, questions 1 à 18, qu’il n’y a aucun mouvement entre le pignon conique 6 et le bâti 1 : {𝒱_6/1}={0}.
Mouvement relatif 2/3.

1 -Quel mouvement relatif doivent avoir les pièces 2 et 3 pour que la butée à rouleaux qui les relie, fonctionne dans de bonnes conditions?
2 -Par une fermeture de chaîne cinématique, déterminer la nature du mouvement de 2 par rapport à 3. Vérifier qu’il est bien compatible avec le bon fonctionnement de la butée défini ci-dessus.
Mouvement relatif 4/6.
3-Soit CE la ligne de contact des cônes primitifs des pignons coniques 4 et 6. Si on suppose la largeur de denture suffisamment grande, comment peut-on modéliser le mouvement relatif4/6 autorisé par cette liaison par engrenage?
4 -En réalité, la largeur de denture étant plutôt réduite, des rotations et une translation supplémentaires apparaissent. Quel modèle de liaison peut-on alors proposer pour le contact de ces dentures?
5-La présence de la bille 5 apporte une liaison supplémentaire entre 4 et 6. Quelle est alors la liaison équivalente à ces deux liaisons en parallèle (engrenage conique dans la modélisation de la question 4 et liaison par bille)?

6-Sans calcul, donner le degré d’hyperstatisme de chacun des deux modèles:
“engrenage conique suivant la question 3”+ liaison par bille,
“engrenage conique suivant la question 4”+ liaison par bille.
7-On pose $\vec{x}_{E}=\frac{\vec{CB}}{||\vec{CB}||}$. Montrer que l’axe$(C,\vec{x}_{E})$ est toujours dans le plan $(C,\vec{x},\vec{x}_2)$ en trouvant une relation liant ω_4/6, ω_2/1, ω_2/3,$\vec{x}_E , \vec{x}$, et $\vec{y}_{2}.$
8-L’axe $(C,\vec{x}_{2})$ est un axe matériel de 2, tandis que l’axe $(C,\vec{x}_{E})$ est un axe géométrique. Il faut, pour que les centres B et D des rotules de la biellette 14 se trouvent dans un même plan radial à chaque tour de 2, que cet axe géométrique coincide à chaque tour avec l’axe matériel $(C,\vec{x}_{E})$ de 3. Quelle conséquence cela a-t-il sur la relation entre ω_2/1 et ω_2/3 c’est à dire sur le rapport de réduction de l’engrenage?
9-Quelle est alors l’expression de $\vec{x}_{E}$ en fonction de $\vec{x}$ et $\vec{x}_{2}$ ?
Trajectoire du point D.

Compte tenu des résultats précédents, dans l’étude qui suit, on retient pour le compresseur le modèle donné par le schéma de la figure 2 cicontre.
On a vu à la question 8 que BD devait rester dans le même plan radial à chaque tour. Ceci a imposé une condition sur l’engrenage.
Cependant au cours du mouvement, le point D va quitter le plan radial de B. D’autre part, D va changer d’ordonnée. L’inclinaison de la ligne BD par rapport à l’axe $(B,\vec{x})$ du piston va donc changer.
Figure 2
On se propose dans la suite de ce problème de vérifier si cette inclinaison reste dans des limites acceptables pour assurer une bonne poussée du piston.
On pose $\vec{CD}=R\vec{y}_{3}$
10-Sur quelle surface se trouve la trajectoire du point D?

11 -En considérant qu’à l’instant t = 0, les angles α et γ sont nuls, donner la relation liant α et γ à tout instant.
12-Définir alors le vecteur $\vec{CD}$ sur la base $(\vec{x},\vec{y},\vec{z})$ en fonction de R, α et β.
13 -Donner une première approximation de la vitesse du piston par rapport au bâti.
14-On considère que l’instant t = 0 correspond à la configuration dessinée sur le document 1, et qu’à cet instant D = D₀. Calculer la distance d entre le point D, à chaque instant au cours de son mouvement, et l’axe $(D_{0},\vec{x})$ .
15-Calculer la valeur maximale de d, pour β = 17, 5^o et R = 37.6 mm.
16-Dans la configuration du dessin, D est à une ordonnée supérieure à celle de B. Comment évolue cette différence d’ordonnées au cours du temps? Conclure.
Trajectoire du piston.
Lassé des calculs, on se propose d’utiliser un logiciel d’analyse de mécanisme, DMT CSMT, pour aller plus loin, On saisit donc le schéma de la figure 2, et on constate que DMT CSMT n’accepte que les engrenages coniques à axes perpendiculaires.

17-Pour pouvoir le saisir sous DMT CSMT, quel modèle cinématiquement équivalent peut on proposer sans utiliser d’engrenages?
Remarque:
DMT CSMT n’accepte pas non plus les liaisons de type rotule à doigt.
18 -Une fois résolu le problème de la question 17, on peut obtenir l’évolution réelle de la position du piston. Les valeurs en sont données dans le tableau ci-contre. Comparer ces valeurs à celles du déplacement suivant #du point D dont on a trouvé la valeur littérale dès la question 12.
Commenter.

Utilité de la glissière 6, 1.

On reprend le schéma de la figure 1 et on se propose dejustifier la présence de la liaison glissière 6/1.

19-Pour cela, calculer le rang r_c des équations de fermeture de chaîne cinématique, d’une part lorsque la glissière 6/1 existe, d’autre part lorsqu’elle n’existe pas. (On considère la liaison par engrenage conique associée à celle réalisée par la bille 5 comme une liaison pivot d’axe CE).
20-En déduire, dans chaque cas, le degré d’hyperstatisme du modèle. Conclure.
Il. Analyse de la transmission du mouvement entre la poulie et l’arbre.
Dans cette partie, on se propose d’une part, de valider la disposition constructive permettant de relier le disque mobile 20 de l’embrayage à l’arbre d’entrée 23, d’autre part de vérifier que la mise en vitesse du compresseur se fait dans un temps suffisamment court pour ne pas générer de détérioration, du compresseur en général, de son embrayage en particulier.
Transmission du mouvement entre disque 20 et arbre d’entrée 23.
21-En considérant les trois lames 25 indéformables et en utilisant les notations définies à la page suivante, justifier, par un calcul de mobilité, la liaison entre les pièces 20 et 21 réalisée par les trois lames 25 disposées comme indiqué sur la figure 3a et non pas comme indiqué sur la figure 3b.

Notations à respecter pour la question 21: Pour i ∈ {1, 2, 3}:
-On note A_i l’intersection, avec le plan $(O,\vec{y},\vec{z})$ de la figure 3, de l’axe de la liaison pivot réalisée par le rivet reliant la pièce 21 à la lame 25_i;
-On note B_i l’intersection, avec le plan $(O,\vec{y},\vec{z})$ de la figure 3, de l’axe de la liaison pivot réalisée par le rivet reliant la pièce 20 à la lame 25_i;
-On pose $OA_{i}=a\vec{u}_{i}^{o}$ et $OB_{i}=b\vec{v}^{o}_{i},\vec{u}^{o}_{i}\wedge \vec{x}=\vec{u}_{i}$ et $\vec{v}^{o}_{i}\wedge \vec{x}=\vec{v}_{i}$ (les vecteurs $\vec{u}^{o}_{i},\vec{v}_{i}^{o}, \vec{u}_{i}, \vec{v}_{i}$ sont normés)
On pose $\Omega_{21_{i}/20}=\omega_{i}\vec{x}$ et $\Omega_{21/25_{i}}=\omega^{'}_i\vec{x}$
Etude de la bobine d’attraction.
On se propose d’évaluer dans cette partie le temps d’enclenchement de l’embrayage électromagnétique. Ce temps est constitué d’une part du temps de fermeture (durée nécessaire au disque 20 pour parcourir l’entrefer) et d’autre part du temps de patinage (nécessaire à la poulie 19 pour entraîner à sa vitesse le disque 20).

La bobine d’attraction de l’embrayage électromagnétique est à symétrie de révolution. Afin de réaliser une étude quantitative simplifiée on assimile le fonctionnement électromagnétique du dispositif à celui de $l'\acute{\mathrm{e}}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{o}$-aimant de la figure 4 en géométrie cartésienne (géométrie invariante selon la normale à la figure 4).
Figure 4: Modèle de l’électroaimant
La pièce 1, supposée immobile dans cette étude, représente la partie de la poulie 19 par laquelle circule le flux magnétique. La pièce 2 représente le disque mobile 20. Ces deux parties sont magnétiques. Le ressort de rappel de la pièce 2 représente les lames 25 étudiées à la question 21.
On suppose que le champ magnétique reste concentré dans les pièces 1 et 2 et dans les deux entrefers. La section offerte au passage du champ est constante et vaut S = 10, 2cm². La perméabilité relative du matériau magnétique est constante et vaut μ_r = 1000. La dimension des deux entrefers, notée x, est identique. Elle varie de 0 à 2 mm.
On suppose que dans l’entrefer les lignes de champ sont des droites parallèles. La longueur moyenne du parcours de l’induction magnétique $\vec{B}$ dans le milieu magnétique est l = 0, 14m. La bobine d’excitation est constituée de N = 200 spires. La résistance électrique du bobinage est R = 1, 2Ω. L’alimentation est assurée par une source de tension constante E = 12V.
Sur la modélisation de la figure 4, le ressort de rappel de la pièce 2 a une constante de raideur: k = 100N/mm. La pièce 2 a une masse de m = 530g.
Circuit magnétique.

La bobine est parcourue par un courant i continu.
22 En utilisant le théorème d’Ampère, donner l’expression littérale du module B de l’induction $\vec{B}$ dans l’entrefer en fonction de x.
23-On définit l’inductance de la bobine par:
$$L=\frac{\phi}{i}$$
où ϕ est le flux total embrassé par la bobine. Donner l’expression de L en fonction de x : L(x) . Quelles sont alors les valeurs L_e et L₀ correspondant respectivement à x = x₀ et à x = 0?
24-On admet que la force d’attraction s’exerçant sur la pièce mobile a pour module:
$$F=\frac{SB^{2}}{2\mu_{0}}$$
. Déduire de la question 23 l’expression de F en fonction de L et de i.
Circuit électrique.
Chaque entrefer a une longueur x fixée 0 ≤ x ≤ x₀. La bobine est alimentée: le circuit comporte en série une résistance R et une inductance constante L(x)=L.
25-Rappeler l’équation différentielle régissant l’évolution du courant i(t) dans la bobine. 26-On suppose qu’à l’instant t = 01e courant est nul: i(O)=0. Donner l’expression de i(t) pour t > 0. On pourra poser $\tau=\frac{L}{R}$ 27-Montrer que si t est faible devant $\tau, l'\acute{\mathrm{e}}$volution du courant suit une loi du type: $i(t)=\frac{E}{L}t$ Temps de fermeture du circuit magnétique.
On désire estimer le temps t_f que met la pièce 2 (disque 20) pour passer de la position x = x₀ à x = 0.
Le circuit magnétique est initialement dans la configuration de la figure 4 (x = x₀) . La bobine n’est pas alimentée. A l’instant t = 0, on applique la tension constante E à ses bornes.
Hypothèse:
Pour les questions 28 à 33, le temps de fermeture t_f du circuit magnétique est faible devant
$$\tau_{e}=\frac{L}{R}.$$
28 -Montrer que le module de la force d’attraction F en fonction du temps pendant la fermeture suit une loi du type: F(t)=at² où a est une constante indépendante de la position x.
Tournez la page S.V. P
29-Ecrire le théorème de la résultante dynamique donnant l’équation différentielle régissant évolution de x(t) .

30- On néglige la force de rappel du ressort. Résoudre l’équation différentielle vérifiée par x(t) et donner la valeur du temps de fermeture t_f obtenu dans ces conditions. Commenter l’hypothèse “Le temps de fermeture t_f du circuit magnétique est faible devant $\displaystyle \tau_{e}=\frac{L}{R}$”
31 -On prend en compte la force de rappel du ressort. Résoudre dans le cas général l’équation différentielle vérifiée par x(t) .
32-Tracer alors sommairement le graphe de x(t) et montrer que pendant la fermeture on a une majoration de la courbe x(t) par:
x(t)< − α₁t² + α₂ où α₁ et α₂ sont deux constantes positives.
33-Déduire de la question 32 la valeur de t_f.
34 L’hypothèse “t_f faible devant $\displaystyle \tau_{e}=\frac{L}{R}$” est-elle vérifiée? Compte tenu de évolution réelle du courant, comparer la valeur t_f ainsi calculée à la valeur qui sera obtenue en pratique.
Temps de mise en vitesse du compresseur.
On désire estimer le temps de patinage t_p que met la poulie à entraîner le disque de l’instant de contact jusqu’à une vitesse de 4000 tr/mn.
L’inductance de la bobine au moment du contact est L₀ = 360mH.
On suppose que le module de la force d’attraction appliquée sur le disque est égal à la force électromagnétique F (on néglige la force de rappel du ressort). L’application d’une loi de Coulomb permet alors d’affirmer que le couple d’entraînement de la poulie, C_m (couple moteur) est proportionnel à F suivant la loi: C_m = 13.10⁻³F où C_m est exprimé en N.m et F en Newtons.
Le couple résistant dû aux frottements dans le mécanisme est évalué à:C_r = 5N.m.
Hypothèse: On considère qu’à la mise en route de la climatisation, les efforts de pression appliqués par le fluide sur les pistons n’interviennent pas.
On appelle I_eq le moment d’inertie équivalent par rapport à l’axe$(C,\vec{x})$ , ramené au plateau came 2, de toutes les parties mobiles du compresseur, en aval de l’embrayage.
Pour effectuer le calcul du moment d’inertie équivalent I_eq, on considère que I_eq est donné par:
I_eq = I₂ + I_{(pistons + biellettes)} + I_{plateau oscillant}
I₂ est le moment d’inertie par rapport à l’axe$(C,\vec{x})$ de toutes les pièces tournant à la vitesse même vitesse $\omega_{2/1}=\dot{\alpha}(t)$ que le plateau came 2. Un rapide calcul permet de l’évaluer à I₂ = 2350kg.mm².

I_{(pistons + biellettes} est le moment d’inertie équivalent issu du mouvement des pistons 13 et biellettes 14. On considère pour calculer ce moment d’inertie équivalent, compte tenu des résultats de l’étude cinématique, que le mouvement de la biellette est un mouvement de translation de direction? identique à celui du piston. Par ailleurs, ily a 5 ensembles (piston+biellette) équirépartis autour de l’axe $(C,\vec{x})$ dans le type proposé de compresseur. Chaque ensemble a une masse m_pb = 0.12kg.
I_{plateau oscillant} est le moment d’inertie équivalent issu du mouvement oscillant autour du point C du plateau oscillant 3. On considère, pour calculer ce moment d’inertie équivalent, que le plateau oscillant est un cylindre homogène de rayon R_po = 45 mm, de hauteur H_po = 10 mm et de masse m_po = 0, 5kg. Le point C est le centre de l’ une de ses bases.
35-En prenant une loi de vitesse du piston: $ v_{piston/bâti}=\dot{\alpha}R\sin\beta\sin\alpha$, donner l’expression, dans le cadre des hypothèses définies ci-dessus, de l’énergie cinétique de l’ensemble (piston+biellette) correspondant à celui du schéma de la figure 1, en fonction de m_pb, R = ‖CD‖,α(t) et $\dot{\alpha}(t)$ . En déduire en fonction des mêmes variables, l’expression de l’énergie cinétique totale des 5 ensembles (piston+biellette). En déduire l’expression puis la valeur numérique de I_{(pistons + biellettes}) . On rappelle que β = 17, 5^oetR = 37, 6 mm.
36-Donner l’expression de l’énergie cinétique du plateau oscillant 3, en fonction de $R_{po}, H_{po}, m_{po}, \beta=(\vec{x},\vec{x}_2)$ et $\dot{\alpha}(t)$ . En déduire l’expression puis la valeur numérique de I_{plateau oscillant}
37-Ecrire le théorème du moment dynamique régissant la vitesse relative $\omega_{2/1}(t)=\dot{\alpha}(t)$ du disque. On choisit pour la suite de l’étude l’instant de début de rotation du disque comme origine des temps.
38-Déterminer la valeur du courant à partir de laquelle le couple moteur devient supérieur au couple résistant.
évolution de ω_2/1(t) explicite dans un cas simple.
On suppose que le circuit magnétique n’est pas saturé pendant la montée en vitesse, c’est à dire que l’inductance L₀ reste indépendante du courant et égale à 360 mH. La valeur initiale du courant est i₀ = 0, 7A.
39-Donner les expressions littérales du courant i et du couple C_m en fonction du temps en supposant que t_p est faible devant $\displaystyle \tau_0=\frac{L_{0}}{R}.$
40-On néglige le couple résistant. Résoudre l’équation différentielle donnant l’évolution ω_2/1(t) et déterminer le temps t_p nécessaire pour atteindre une vitesse de 4000 tr/mn. On considère pour les questions 40 et 41 que l_eq = 2400kg.mm². L’hypothèse “t_p est faible devant $\displaystyle \tau_{0}=\frac{L_{0}}{R}$” est elle vérifiée?
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41 On prend en compte le couple résistant. Résoudre l’équation différentielle donnant évolution ω_2/1(t) et évaluer de façon approximative le temps t_p nécessaire pour atteindre une vitesse de 4000 tr/mn. Commenter.
42 -Quelles sont les valeurs du courant et de l’induction à t = t_p.
Evolution de ω_2/1(t) numérique dans un cas plus réaliste.
La valeur de l’induction magnétique obtenue à la question 42 montre que l’hypothèse L₀ constante n’est pas réaliste. Il est alors nécessaire de prendre en compte les phénomènes de saturation magnétique du matériau et donc la dépendance de l’inductance L₀ en fonction du courant i. A partir d’un relevé expérimental de la courbe de saturation du matériau magnétique, on a tiré les valeurs d’inductance L_k en fonction des valeurs du courant i_k(k = 1,  …5) présentées dans le tableau ci-dessous.

On désire approcher la loi L₀(i) par une approximation linéaire L(i)du type:
L(i)=b₁ + b₂i où b₁ et b₂ sont à estimer. On réalise une approximation par une droite de moindres carrés (régression linéaire).
Pour ce faire on cherche les paramètres b₁ et b₂ minimisant la quantité J ci dessous:
$$J(b_{1},\ b_{5})=\sum_{k=1}^{5}[L_{k}-L(i_{k})]^{2}k$$
43 En écrivant que $\displaystyle \frac{\partial J}{\partial b_{1}}=0$ et $\displaystyle \frac{\partial J}{\partial b_{2}}=0$ donner le système linéaire dont sont solutions les deux inconnues b₁ et b₂

44-Déduire de la question 43, les valeurs numériques optimales de b₁ et b₂.
45-Vérifier la validité des valeurs obtenues par un tracé.
On suppose maintenant que l’inductance L₀(i) suit une loi linéaire du type: L₀(i)=b₁ + b₂i avec les valeurs de b₁ et b₂ trouvées à la question 44.
Afin de déterminer les valeurs du courant dans le circuit en fonction du temps, on discrétise dans le temps l’équation différentielle vérifiée par i(t) .
On note i_n l’approximation de i(nΔt= où Δt= est le pas de discrétisation. On cherche alors la suite de nombres i_n solution de l’équation récurrente:
$L_{0}(i_{n}) \frac{i_{n+1}-i_{n}}{\Delta t}+Ri_{n}=E$ avec i₀ = 0, 7A.
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46-Justifier l’équation récurrente utilisée, puis exprimer i_n + 1 en fonction de i_n.
47 On choisit Δt = 20ms. Déterminer les 3 premières valeurs numériques du courant obtenues par la suite récurrente.
On désire évaluer numériquement des valeurs approchées de la vitesse ω_2/1(t) .
48-Proposer une discrétisation de l’équation mécanique.
49-On choisit Δt = 20ms. En utilisant les valeurs numériques du courant trouvées à la question 47, déterminer les valeurs prises par la vitesse aux mêmes instants.
50-Au bout de combien de temps la vitesse de 4000 tr/mn est-elle atteinte? Comparer ce temps avec celui obtenu à la question 41.
51 -Quelle est dans ces conditions la valeur de l’induction obtenue à la fin de la mise en vitesse?
Conclusion.
Au démarrage de la climatisation (après un long arrêt ayant permis l’uniformisation de la pression du fluide frigorigène dans tout le circuit), le cycle thermodynamique suivi par le fluide frigorigène est donné sur le diagramme enthalpique de la figure 5a.
Une fois atteint le régime permanent de fonctionnement, le cycle devient celui donné sur le diagramme enthalpique de la figure 5b.
Le temps obtenu à l’issue de l’étude précédente correspond au cas, certes sévère, où on enclenche la climatisation alors que le moteur tourne à 4000 tr/mn, mais il correspond aussi au démarrage de la climatisation après un long arrêt.

52-Quel est l’état du fluide dans chacun des pistons, au moment où on enclenche la climatisation après un bref arrêt? Quelle est alors la validité du temps obtenu à l’étude précédente? Quelle amélioration apporter à la modélisation pour prendre en compte ce cas de figure?