SESSION DE 1999
Groupe BCPST
COMPOSITION DE PHYSIQUE
(Épreuve commune aux ENS : Ulm, Lyon et Cachan)
DURÉE: 4 heures
L'usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n'est autorisé entre les candidats.
Tournez la page S.V.P.
Ce problème propose, dans ses deux premières parties, l'étude des propriétés mécanique et thermodynamique d'une molécule polymère en solution, à partir d'un modèle statistique de "marche aléatoire" qui s'applique raisonnablement à la molécule d'ADN. La dernière partie, largement indépendante du reste du problème, étudie le principe des "pinces optiques", dispositif utilisé avec succès ces dix dernières années en biophysique pour la manipulation et la caractérisation mécanique de molécules uniques.
Formulaire
Constante de Planck:
h = 6,63 10
‑34 J s.
Constante de Boltzmann:
kB = 1,38 10
‑23 J K
‑ 1.
Constante des gaz parfaits: R = 8,31 J K
‑1.
Vitesse de la lumière dans le vide: c = 3,00 10
8 m s
‑1.
${I_n} = \int_0^\infty {{u^{2n}}\;\exp \,\left( { - {u^2}} \right)} \;du\;;\;{I_0} = \frac{{\sqrt \pi }}{2}\;,\;{I_1} = \frac{{\sqrt \pi }}{4}\;,\;{I_2} = \frac{{3\,\sqrt \pi }}{8}\;.$
Marche aléatoire d'une particule libre
On observe une particule
libre de même masse volumique que l'eau dans laquelle elle est en suspension : la résultante des forces
macroscopiques auxquelles elle peut être soumise est nulle mais sous l'action des
chocs moléculaires, elle est animée d'un mouvement erratique, dit mouvement brownien, dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen. On décrit la trajectoire ‑ ou marche aléatoire ‑ de la particule par une succession de pas de longueur constante
a, chaque pas s'effectuant
indépendamment des précédents et de façon
isotrope. On note ${\vec a_i}$ le vecteur de norme
a correspondant au i-ème pas, i ∈ [1,
N]. On introduit ${\vec r_N}$ le vecteur reliant les deux extrémités d'une trajectoire de
N pas. Compte tenu du caractère
aléatoire de chaque pas, la mesure d'une grandeur physique quelconque associée à la marche donnerait des résultats différents pour différentes trajectoires de
N pas. On ne s'intéressera donc qu'aux
moyennes de cette grandeur pour un grand nombre de mesures. On note entre crochets cette moyenne, par exemple $\left\langle {{{\vec r}_N}} \right\rangle $.
A1) On se place d'abord dans le cas unidimensionnel où la particule est assujettie à se déplacer selon l'axe
Ox en effectuant des pas de longueur
ai valant -
a ou +
a avec une égale probabilité 1/2.
Calculer <
ai > et <
ai.
aj > pour (
i, j) ∈ [1, N]
2 et en déduire <
rN > et < r
2N > en fonction de
N et
a.
A2) Généraliser au cas tridimensionnel et exprimer $\left\langle {{{\vec r}_N}} \right\rangle $ et $\left\langle {{{\left\| {{{\vec r}_N}} \right\|}^2}} \right\rangle $ en fonction de
N et
a. On vérifiera que le résultat ne dépend pas de la dimension de l'espace et qu'on retrouve donc en particulier pour $\left\langle {{{\left\| {{{\vec r}_N}} \right\|}^2}} \right\rangle $ l'expression de la question A1).
Dans toute la suite du problème on considérera un espace à trois dimensions.
A3) La probabilité que ${\vec r_N}$ se trouve dans le volume d
V autour de $\vec r$ sera notée
pN ($\vec r$) d
V. On rappelle que par exemple:
$\left\langle {{\left\| {{{\vec{r}}}_{N}} \right\|}^{2}} \right\rangle =\iiint{\ {{\left\| {{{\vec{r}}}_{N}} \right\|}^{2}}\ {{p}_{N}}(\vec{r})\ dV,}$
où l'intégrale s'étend sur tout l'espace. On admettra que compte tenu des hypothèses faites sur la marche aléatoire, la loi de probabilité
pN tend asymptotiquement pour
N >> 1 vers une loi gaussienne de la forme:
${p_N}(\vec r) = {A_N}\;\exp \,\left( { - {B_N}\,{{\left\| {\vec r} \right\|}^2}} \right).$
Préciser les dimensions physiques de
AN et
BN. Pourquoi la loi de probabilité ne dépend elle que de la norme de $\vec r$?
A4) Traduire le fait que la particule est nécessairement en un point de l'espace de façon à obtenir une relation entre
AN et
BN.
A5) À partir des résultats de la question A2), trouver une seconde relation entre
AN et
BN ,
N et
a. En déduire l'expression de
pN ($\vec r$) Pour une valeur de
N finie, justifier que la distribution gaussienne ne peut être valable au delà d'une valeur de $\left\| {\vec r} \right\|$ que l'on précisera. Cette limitation est-elle numériquement importante compte-tenu des hypothèses?
B1) On considère maintenant
n particules identiques en suspension dans l'eau effectuant
indépendamment les unes des autres des marches aléatoires régies par les propriétés statistiques établies en A). On suppose que ces
n particules (
n >> 1) sont concentrées à
t =
0 en une tache ponctuelle située en
O. Au bout d'un temps
t >
0, on mesure dans un petit volume
δV situé au voisinage de $\vec r$ un nombre
δn de particules.
Exprimer la concentration
c ($\vec r$,
t) =
δn /
δV en fonction de la vitesse
u d'une particule lors d'un pas de longueur
a. On supposera que
u et
a sont des constantes identiques pour toutes les particules. On ne considérera que des temps
t >>
a/
u pour lesquels les particules ont déjà effectué un grand nombre de pas.
B2) On note
r*(t) la distance à l'origine pour laquelle la concentration est diminuée d'un facteur 100 par rapport à la concentration maximale à l'instant t. Donner l'expression de
r*(t). À quel phénomène physique cette dépendance fonctionnelle vous fait‑elle penser?
B3) Afin de préciser la question B2) on cherche une équation différentielle (E) dont
c ($\vec r$,
t) est solution. Calculer $\frac{{\partial \,c}}{{\partial \,t}},\;\frac{{\partial \,c}}{{\partial \,x}},\;\frac{{{\partial ^2}\,c}}{{\partial \,{x^2}}},\;$et $\Delta \,c = \;\frac{{{\partial ^2}\,c}}{{\partial \,{x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}\,c}}{{\partial \,{y^2}}} + \frac{{{\partial ^2}\,c}}{{\partial \,{z^2}}}$ où (
x,
y,
z) sont les coordonnées cartésiennes de $\vec r$. Identifier (E) et commenter. On mettra en évidence un paramètre physique
D, ayant la dimension d'une longueur multipliée par une vitesse, caractéristique du phénomène décrit par (E), et que l'on exprimera en fonction de
a et
u.
B4) Une expression théorique de D est fournie par la relation d'Einstein:
$D = \frac{{{k_b}\,T}}{{3\,\pi \,\eta \,d}}$
où
kB est la constante de Boltzmann,
T la température absolue,
η la viscosité dynamique du liquide et
d le diamètre des particules supposées sphériques. Dans une expérience célèbre (1913), Jean Perrin a utilisé des particules de gomme‑gutte de diamètre calibré
d = 0,73 µm, en suspension dans l'eau à 20°C, de viscosité
η = 10
-3 kg m
-1 s
-1. En observant directement le phénomène décrit en B1), il a mesuré
D = 5,3 10
‑13 m
2 s
‑1. Quelle estimation de la constante de Boltzmann et surtout du nombre d'Avogadro
NA en a-t-il déduit? Commenter.
Cl) Une molécule de polymère linéaire est constituée de
M monomères. Placée dans un solvant
ad hoc la molécule adopte une conformation qui rappelle la trajectoire d'une particule effectuant une marche aléatoire. Le pas
a est ici constitué d'un ensemble de monomères formant un chaînon suffisamment souple pour pouvoir adopter toutes les orientations possibles, indépendamment de ses voisins. On décrit donc la molécule comme une marche aléatoire de
N pas de longueur
a, avec
N >> 1.
La molécule d'ADN du bactériophage A (un virus) possède exactement M = 48 502 paires de bases prises comme unité monomère. Sa longueur lorsqu'elle est totalement étirée est L = 16,4 µm. Les propriétés de la molécule sont compatibles avec
a = 106 nm. Combien de paires de bases un chaînon de pas a contient-il? Quel est le nombre
N de chaînons? Calculer ${r_0} = \sqrt {\left\langle {{{\left\| {{{\vec r}_N}} \right\|}^2}} \right\rangle } $.
C2) Les différentes réalisations de la marche aléatoire permettant de définir ses propriétés statistiques sont ici observées successivement au cours du temps et correspondent aux différentes conformations adoptées par la chaîne polymère. En attachant des molécules fluorescentes le long de la chaîne, on peut visualiser celle-ci en microscopie optique. Si on superpose un grand nombre d'images vidéo d'une chaîne prises à différents instants échelonnés dans le temps, on obtient ce qu'on appelle une
pelote statistique.
Représenter qualitativement une telle pelote pour deux molécules d'ADN ayant leurs nombres
M de paires de bases dans un rapport 4.
Thermodynamique et élasticité d'une chaîne polymère
On modélise comme dans la partie C) une molécule polymère linéaire isolée. Le nombre N de chaînons étant grand devant 1, il s'agit d'un système macromoléculaire susceptible d'être décrit dans le cadre de la thermodynamique. On note $\vec r = \left\langle {{{\vec r}_N}} \right\rangle $ qui peut varier sous l'action d'un couple de forces extérieures de résultante nulle -$\vec f$ et $\vec f$ appliquées aux deux extrémités de la molécule. Le moment résultant en
0, origine de la chaîne, devant être nul, $\vec f$ et $\vec r$sont parallèles. Pour simplifier, on ne mentionnera plus que la valeur algébrique
f appliquée à l'extrémité du
N-ème chaînon; à
l'équilibre,
f est une mesure de l'état de tension de la chaîne.
La température absolue de la chaîne est
T, son entropie
S et son énergie interne
U. On supposera que le volume de la molécule reste constant quoi qu'il arrive. On décrit l'équilibre thermodynamique de la chaîne par deux variables d'état, chacune étant choisie dans un couple différent de variables conjuguées (
r,
f) ou (
T, S).
L'indépendance relative des chaînons se traduit par une
énergie interne ne dépendant que de la température: U(T).
D1) On admettra que l'entropie
S(r) de la chaîne est donnée par:
$S(r) - {S_0} = {k_B}\;\ln \,\left( {\frac{{{p_N}(r)}}{{{p_N}(0)}}} \right)$.
où
pN est la loi de probabilité relative à la particule libre étudiée au A).
S0 =
S(
0) apparaît ici comme une constante que l'on ne cherchera pas à déterminer. Exprimer
S(
r) pour la distribution gaussienne de A3).
D2) Lors d'une transformation
isotherme et
quasistatique, un opérateur extérieur allonge la chaîne de 0 à
rF. Dans l'état final, la tension de la chaîne est
fF. La relation fonctionnelle (
équation d'état) entre les variables d'équilibre
f,
r et
T est a priori inconnue.
Quelle quantité de chaleur
Q la chaîne reçoit-elle du solvant qui joue le rôle de thermostat? Préciser le signe de
Q. À l'aide des deux principes de la thermodynamique, déterminer l'équation d'état sous la forme
f =
f (r, T). Où intervient l'hypothèse quasistatique?
D3) Montrer que la chaîne se comporte comme un
ressort élastique linéaire dont on exprimera la raideur isotherme
κ(T) et la longueur à vide
r0 en fonction des données du problème.
D4) Calculer le coefficient de dilatation à tension constante:
$\alpha = \frac{1}{r}{\left( {\frac{{\partial \,r}}{{\partial \,T}}} \right)_f}$
En quoi diffère-t-il du coefficient de dilatation isobare d'un solide commun? Quels matériaux courants partagent cette propriété, établie ici pour une chaîne unique?
D5) Calculer la raideur
κ à T = 300 K pour une chaîne isolée d'ADN du bactériophage λ (cf. C1). Quelle est la force nécessaire pour étirer la molécule d'ADN de ε fois sa longueur totale (0 < ε < 1), calculée comme si tous ses maillons étaient alignés? Montrer que cette force ne dépend pas de
N et estimer à partir de cette formule l'échelle des forces pertinentes pour la déformation physique de l'ADN. Calculer
f pour ε = 0,1.
E1) Comme on l'a remarqué à la question A5), la distribution gaussienne n'est plus correcte aux grands allongements et on cherche à étendre la validité de l'équation d'état établie en D2). Un raisonnement de physique statistique qu'on ne cherchera pas à reproduire donne le résultat suivant:
$r = N\,\alpha \,L\,\left( {\frac{{f\alpha }}{{{k_B}\,T}}} \right)$
avec
$L\left( u \right) = \frac{1}{{th\,(u)}} - \frac{1}{u}$
où th désigne la fonction tangente hyperbolique.
Représenter graphiquement la caractéristique
f (
r). On s'attachera plus particulièrement à décrire les limites asymptotiques
f → 0 et
f → +∞ et à en préciser la signification physique. Cette équation d'état est elle compatible avec celle trouvée en D2) ? Quel est l'allongement relatif ε correspondant à une tension dix fois supérieure à celle calculée en D5) ?
Manipulation d'une molécule unique à l'aide de "pinces optiques"
Depuis une dizaine d'années, de nombreuses techniques ont été développées afin de manipuler physiquement des objets biologiques ‑ cellules, organelles et macromolécules comme l'ADN. On se propose d'étudier le principe des "pinces optiques", dispositif permettant de piéger une petite bille dans un faisceau laser de faible puissance.
Dans la suite, on associera à un photon de fréquence
ν une énergie
hν et une quantité de mouvement
hν /
c0 où
c0 est la vitesse de la lumière
dans le milieu considéré, d'indice
n0. On traitera le problème dans le cadre de l'optique géométrique.
F1) Un faisceau de lumière monochromatique, parallèle et homogène, se propage dans un milieu d'indice
n0. Il a une section droite d'aire
σ et transporte une puissance lumineuse
P0 (exprimée en watts). Il frappe sous une incidence
θ un miroir plan métallique parfaitement réfléchissant.
Calculer le nombre de photons d
N venant frapper la surface pendant d
t, en fonction des données du problème. Quelle est la variation de quantité de mouvement $d\vec p$ de l'ensemble de ces photons lors de la reflexion? On en precisera la direction, le sens et l'intensité. On notera $\vec n$ la normale extérieure au miroir.
F2) Montrer que le miroir subit de la part du faisceau une force normale à sa surface. On pourra effectuer un bilan de quantité de mouvement pour le système { miroir + photons } entre
t et
t + d
t dans le référentiel
R0 du laboratoire supposé galiléen. Préciser le sens d'application de cette force et exprimer son module
F0 en fonction de
n0,
c,
P0, et
θ.
F3) Calculer numériquement
F0 pour
θ = 0,
P0 = 20 mW et
n0 = 1,33.
G1) On considère maintenant une sphère métallique de rayon
b parfaitement réfléchissante en suspension dans de l'eau d'indice
n0 et éclairée par le faisceau laser. On supposera que la sphère reste entièrement plongée dans le faisceau. On munit l'espace d'un repère orthonormé direct (
0, x, y, z),
Oz étant pris parallèle à l'axe du faisceau.
Démontrer que la force totale $\vec F$ exercée par le faisceau sur la sphère se réduit à sa composante
Fz suivant
Oz:
${F_z} = \pi \,{b^2}\,\frac{{{n_0}\,{I_0}}}{c}\,,$
avec
I0 =
P0 /σ. Justifier le nom de
pression de radiation attribué au phénomène décrit dans cette partie.
G2) Calculer
Fz pour
P0 = 20 mW,
σ = 3 10
‑10 m
2 ,
b = 2 µm et
n0 = 1,33.
G3) De masse volumique égale à celle de l'eau, la bille est au repos dans
R0 en l'absence de faisceau. À
t = 0 on illumine la sphère qui se trouve en
0 avec une vitesse nulle.
Quel est le mouvement de la bille pour
t ≥ 0? Quelle vitesse limite
V∞ atteint‑elle? Quelle est la loi d'évolution temporelle de la vitesse? À quel instant
Δ t vaut elle 0,9
V∞? On fera l'hypothèse que le nombre de Reynolds
Re associé à l'écoulement de l'eau (viscosité dynamique
η) autour de la bille est très petit devant 1 ("écoulement rampant"), hypothèse que l'on vérifiera
a posteriori. On négligera l'effet des parois de la cellule.
Calculer numériquement
V∞ et
Δ t pour les données numériques de G2), en supposant la bille homogène de masse volumique
ρ = 10
3 kg m
-3, et avec
η = 10
-3 kg m
-1 s
-1.
G4) On complète le dispositif "pince optique" par un deuxième faisceau, identique au premier, mais se propageant en sens opposé le long du même axe optique
Oz. Les deux faisceaux sont légèrement divergents. L'ensemble est symétrique par rapport au plan passant par
0 et perpendiculaire à
Oz.
On supposera que l'expression de la force trouvée en G1) reste valable pour chacun des faisceaux et que l'effet dominant de la divergence est la variation de la section
σ le long de l'axe. On ne considère dans cette question que les mouvements de la sphère le long de l'axe
Oz. Pour les lasers considérés, les faisceaux sont limités par un cône de révolution autour de l'axe
Oz. On notera
α << 1 leur divergence, c'est à dire l'angle que fait une génératrice du cône avec
Oz, et
σ0 =
πω02 leur section commune au niveau du point
O. On garde toujours
ω0 >
b.
Montrer
qualitativement qu'en l'absence d'autre force extérieure, le point
O est position d'équilibre pour la bille et que cette position est stable vis à vis de petits déplacements le long de l'axe
Oz. Exprimer la force de rappel
Fz(z) exercée par les faisceaux sur la bille lorsque celle-ci se trouve à l'abscisse
z et montrer qu'au premier ordre en
α z /ω0 on peut définir, par analogie avec la force de rappel exercée par un ressort linéaire, la raideur longitudinale
κz de la pince optique pour des déplacements le long de
Oz. Exprimer
κz en fonction des données du problème.
G5) Calculer
κz pour
P0 = 20 mW,
σ = 3 10
‑10 m
2 ,
α = 2.5 10
-2 rad et
n0 = 1,33. Comparer cette valeur à la raideur κ(300 K) de la chaîne idéale d'ADN à trouvée au D5).
H1) Les faisceaux laser utilisés ont en fait une intensité
I(r) qui décroît avec la distance
r à l'axe
Oz. On définit l'intensité comme la puissance lumineuse par unité de surface transportée par un rayon de section infinitésimale appartenant au faisceau. On prendra comme distribution radiale d'intensité pour chacun des faisceaux dans une section droite contenant O:
$I\left( r \right) = {I_0}\;\exp \;\left( { - \,\frac{{{r^2}}}{{{\omega _0}^2}}} \right)$
où
ω0 est une dimension caractéristique du faisceau (
gaussien). On supposera que
ω0 >
b si bien que le faisceau est presque homogène sur l'étendue de la sphère. Quelle relation existe-t-il entre
P0,
I0 et
ω0? Montrer qu'il est alors cohérent avec les notations précédentes de poser comme en G4):
σ0 =
πω02 .
H2) La divergence
α du faisceau et son rayon caractéristique
ω0 ne sont pas indépendants; on a en effet:
α ≈$0,5\,\frac{\lambda }{{{\omega _0}}}$
où λ est la longueur d'onde dans le vide du laser.
En vous appuyant sur vos connaissances d'optique, envisagez quel pourraît être le mécanisme physique sous-jacent à cette relation. Calculer numériquement λ et commenter l'utilisation des lois de l'optique géométrique dans ce problème.
H3) On s'intéresse maintenant à la stabilité de l'équilibre de la bille dans la pince pour des déplacements perpendiculaires à l'axe
Oz. À partir de la position d'équilibre
O dans la pince à deux faisceaux gaussiens, on écarte légèrement la bille suivant
Ox.
En tenant compte du gradient d'intensité justifier
qualitativement l'existence d'une composante
Fx ≠ 0 dont l'effet est
déstabilisant.
H4) En pratique, la bille n'est pas réfléchissante mais transparente, d'indice de réfraction
n. On s'intéresse à un rayon du faisceau, parallèle à
Oz, arrivant sur le dioptre sphérique sous incidence
θι. Le plan d'incidence est
Oxz. On ne considérera que les rayons réfractés suivant les lois de Snell-Descartes par les dioptres eau/bille et bille/eau, en négligeant la perte d'énergie lumineuse par réflexion. On note
θr l'angle que fait le premier rayon réfracté avec la normale au dioptre au point d'impact.
Représenter ces rayons et montrer qu'il faut envisager deux cas selon les valeurs respectives de
n0 et
n. En reprenant la démarche des questions précédentes, montrer
qualitativement que dans un de ces deux cas l'équilibre de la bille est
stable vis-à-vis de petits déplacements suivant
Ox. On se placera dans ce cas pour la suite.
H5) La puissance lumineuse transportée par le rayon incident est
δP. Calculer en fonction de
θι et
θr l'angle
β entre le rayon deux fois réfracté et le rayon incident. Exprimer les composantes
δFx et
δFz de la force exercée sur la bille et comparer ces valeurs à celles obtenues pour une bille réfléchissante.
Comparer numériquement les deux cas pour une bille en latex (
n = 1,58) et une incidence
θi = 45°.
H6) Un calcul complet que l'on ne cherchera pas à reproduire ici montre que la composante
Fx subie par la bille s'écrit, au premier ordre en
b / ω0 :
${F_x}\left( x \right) = - {\kappa _x}\;x\;\exp \;\left( { - \,\frac{{{x^2}}}{{{\omega _0}^2}}} \right)$
où
κx ne dépend pas de
x.
Quelle est la signification physique de
κx? Justifier brièvement la dépendence
Fx(x).
I1) On sait attacher, à l'aide de groupements fonctionnels spécifiques, l'extrémité d'une molécule d'ADN à une bille de latex. L'autre extrémité est maintenue à l'abscisse
X, mesurée par rapport au centre de la pince optique (cf. schéma). On peut modifier
X sans bouger les faisceaux. On se place dans l'approximation d'une chaîne polymère idéale de raideur
κ constante (cf. D3).
Représenter $\left| {F\left( x \right)\,} \right|$(x) et proposer une méthode de détermination graphique de la position d'équilibre
xeq (X) .
I2) Montrer que pour
κ >
κc où
κc est une raideur à déterminer, il existe une et une seule position d'équilibre pour tout
X: la pince est dite monostable. En revanche, pour
κ ≤
κc il peut exister plusieurs positions d'équilibre (stable ou instable) de la bille dans la pince: la pince est multistable.
I3) Le paramètre
κx s'exprime en fonction des données du problème:
${\kappa _x} = C\,\frac{{{n_0}\,{P_0}}}{c}\;\frac{{{b^3}}}{{{\omega _0}^4}}$
où
C est une constante numérique.
Compte tenu des valeurs numériques du problème, préciser la nature mono- ou multi- stable de la pince pour la molécule d'ADN considérée à 300 K (question D5). On prendra
C = 0,5.
I4) Montrer graphiquement que dans le cas d'une pince multistable, lorsqu'on augmente
X à partir de 0, la bille saute brusquement hors du piège pour une position
x*. Montrer que la force limite
Fx* =
Fx(x*) est
a priori bornée par deux valeurs que l'on exprimera en fonction de
κx et
ω0.
I5) Encadrer numériquement
Fx*: la pince est-elle suffisamment forte pour permette d’étirer la molécule d’ADN hors de son domaine d’élasticité linéaire? Proposer une méthode expérimentale permettant de tester l’équation d’état énoncée en E1).
A-2-4 : Le temps caractéristique du régime permanent est τ = C/K.
