Concours Physique ENS Ulm, Lyon, Cachan (BCPST) 1999 (Énoncé)

SESSION DE 1999
Groupe BCPST
COMPOSITION DE PHYSIQUE
(Épreuve commune aux ENS : Ulm, Lyon et Cachan)
DURÉE: 4 heures L'usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n'est autorisé entre les candidats.
Tournez la page S.V.P.
Ce problème propose, dans ses deux premières parties, l'étude des propriétés mécanique et thermodynamique d'une molécule polymère en solution, à partir d'un modèle statistique de "marche aléatoire" qui s'applique raisonnablement à la molécule d'ADN. La dernière partie, largement indépendante du reste du problème, étudie le principe des "pinces optiques", dispositif utilisé avec succès ces dix dernières années en biophysique pour la manipulation et la caractérisation mécanique de molécules uniques.
Formulaire
Constante de Planck: h = 6,63 10^‑34 J s.
Constante de Boltzmann: k_B = 1,38 10^‑23 J K^{‑ 1}.
Constante des gaz parfaits: R = 8,31 J K^‑1.
Vitesse de la lumière dans le vide: c = 3,00 10⁸ m s^‑1.
${I_n} = \int_0^\infty {{u^{2n}}\;\exp \,\left( { - {u^2}} \right)} \;du\;;\;{I_0} = \frac{{\sqrt \pi }}{2}\;,\;{I_1} = \frac{{\sqrt \pi }}{4}\;,\;{I_2} = \frac{{3\,\sqrt \pi }}{8}\;.$

Marche aléatoire d'une particule libre
On observe une particule libre de même masse volumique que l'eau dans laquelle elle est en suspension : la résultante des forces macroscopiques auxquelles elle peut être soumise est nulle mais sous l'action des chocs moléculaires, elle est animée d'un mouvement erratique, dit mouvement brownien, dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen. On décrit la trajectoire ‑ ou marche aléatoire ‑ de la particule par une succession de pas de longueur constante a, chaque pas s'effectuant indépendamment des précédents et de façon isotrope. On note ${\vec a_i}$ le vecteur de norme a correspondant au i-ème pas, i ∈ [1, N]. On introduit ${\vec r_N}$ le vecteur reliant les deux extrémités d'une trajectoire de N pas. Compte tenu du caractère aléatoire de chaque pas, la mesure d'une grandeur physique quelconque associée à la marche donnerait des résultats différents pour différentes trajectoires de N pas. On ne s'intéressera donc qu'aux moyennes de cette grandeur pour un grand nombre de mesures. On note entre crochets cette moyenne, par exemple $\left\langle {{{\vec r}_N}} \right\rangle $.

A1) On se place d'abord dans le cas unidimensionnel où la particule est assujettie à se déplacer selon l'axe Ox en effectuant des pas de longueur a_i valant -a ou +a avec une égale probabilité 1/2.
Calculer < a_i > et < a_i. a_j > pour (i, j) ∈ [1, N]² et en déduire < r_N > et < r²_N > en fonction de N et a.
A2) Généraliser au cas tridimensionnel et exprimer $\left\langle {{{\vec r}_N}} \right\rangle $ et $\left\langle {{{\left\| {{{\vec r}_N}} \right\|}^2}} \right\rangle $ en fonction de N et a. On vérifiera que le résultat ne dépend pas de la dimension de l'espace et qu'on retrouve donc en particulier pour $\left\langle {{{\left\| {{{\vec r}_N}} \right\|}^2}} \right\rangle $ l'expression de la question A1).
Dans toute la suite du problème on considérera un espace à trois dimensions.
A3) La probabilité que ${\vec r_N}$ se trouve dans le volume dV autour de $\vec r$ sera notée p_N ($\vec r$) dV. On rappelle que par exemple:
$\left\langle {{\left\| {{{\vec{r}}}_{N}} \right\|}^{2}} \right\rangle =\iiint{\ {{\left\| {{{\vec{r}}}_{N}} \right\|}^{2}}\ {{p}_{N}}(\vec{r})\ dV,}$
où l'intégrale s'étend sur tout l'espace. On admettra que compte tenu des hypothèses faites sur la marche aléatoire, la loi de probabilité p_N tend asymptotiquement pour N >> 1 vers une loi gaussienne de la forme:
${p_N}(\vec r) = {A_N}\;\exp \,\left( { - {B_N}\,{{\left\| {\vec r} \right\|}^2}} \right).$
Préciser les dimensions physiques de A_N et B_N. Pourquoi la loi de probabilité ne dépend elle que de la norme de $\vec r$?
A4) Traduire le fait que la particule est nécessairement en un point de l'espace de façon à obtenir une relation entre A_N et B_N.
A5) À partir des résultats de la question A2), trouver une seconde relation entre A_N et B_N , N et a. En déduire l'expression de p_N ($\vec r$) Pour une valeur de N finie, justifier que la distribution gaussienne ne peut être valable au delà d'une valeur de $\left\| {\vec r} \right\|$ que l'on précisera. Cette limitation est-elle numériquement importante compte-tenu des hypothèses?
B1) On considère maintenant n particules identiques en suspension dans l'eau effectuant indépendamment les unes des autres des marches aléatoires régies par les propriétés statistiques établies en A). On suppose que ces n particules (n >> 1) sont concentrées à t = 0 en une tache ponctuelle située en O. Au bout d'un temps t > 0, on mesure dans un petit volume δV situé au voisinage de $\vec r$ un nombre δn de particules.
Exprimer la concentration c ($\vec r$, t) = δn / δV en fonction de la vitesse u d'une particule lors d'un pas de longueur a. On supposera que u et a sont des constantes identiques pour toutes les particules. On ne considérera que des temps t >> a/u pour lesquels les particules ont déjà effectué un grand nombre de pas.

B2) On note r*(t) la distance à l'origine pour laquelle la concentration est diminuée d'un facteur 100 par rapport à la concentration maximale à l'instant t. Donner l'expression de r*(t). À quel phénomène physique cette dépendance fonctionnelle vous fait‑elle penser?
B3) Afin de préciser la question B2) on cherche une équation différentielle (E) dont c ($\vec r$, t) est solution. Calculer $\frac{{\partial \,c}}{{\partial \,t}},\;\frac{{\partial \,c}}{{\partial \,x}},\;\frac{{{\partial ^2}\,c}}{{\partial \,{x^2}}},\;$et $\Delta \,c = \;\frac{{{\partial ^2}\,c}}{{\partial \,{x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}\,c}}{{\partial \,{y^2}}} + \frac{{{\partial ^2}\,c}}{{\partial \,{z^2}}}$ où (x,y,z) sont les coordonnées cartésiennes de $\vec r$. Identifier (E) et commenter. On mettra en évidence un paramètre physique D, ayant la dimension d'une longueur multipliée par une vitesse, caractéristique du phénomène décrit par (E), et que l'on exprimera en fonction de a et u.
B4) Une expression théorique de D est fournie par la relation d'Einstein:
$D = \frac{{{k_b}\,T}}{{3\,\pi \,\eta \,d}}$
où k_B est la constante de Boltzmann, T la température absolue, η la viscosité dynamique du liquide et d le diamètre des particules supposées sphériques. Dans une expérience célèbre (1913), Jean Perrin a utilisé des particules de gomme‑gutte de diamètre calibré d = 0,73 µm, en suspension dans l'eau à 20°C, de viscosité η = 10^-3 kg m^-1 s^-1. En observant directement le phénomène décrit en B1), il a mesuré D = 5,3 10^‑13 m² s^‑1. Quelle estimation de la constante de Boltzmann et surtout du nombre d'Avogadro N_A en a-t-il déduit? Commenter.
Cl) Une molécule de polymère linéaire est constituée de M monomères. Placée dans un solvant ad hoc la molécule adopte une conformation qui rappelle la trajectoire d'une particule effectuant une marche aléatoire. Le pas a est ici constitué d'un ensemble de monomères formant un chaînon suffisamment souple pour pouvoir adopter toutes les orientations possibles, indépendamment de ses voisins. On décrit donc la molécule comme une marche aléatoire de N pas de longueur a, avec N >> 1.
La molécule d'ADN du bactériophage A (un virus) possède exactement M = 48 502 paires de bases prises comme unité monomère. Sa longueur lorsqu'elle est totalement étirée est L = 16,4 µm. Les propriétés de la molécule sont compatibles avec a = 106 nm. Combien de paires de bases un chaînon de pas a contient-il? Quel est le nombre N de chaînons? Calculer ${r_0} = \sqrt {\left\langle {{{\left\| {{{\vec r}_N}} \right\|}^2}} \right\rangle } $.
C2) Les différentes réalisations de la marche aléatoire permettant de définir ses propriétés statistiques sont ici observées successivement au cours du temps et correspondent aux différentes conformations adoptées par la chaîne polymère. En attachant des molécules fluorescentes le long de la chaîne, on peut visualiser celle-ci en microscopie optique. Si on superpose un grand nombre d'images vidéo d'une chaîne prises à différents instants échelonnés dans le temps, on obtient ce qu'on appelle une pelote statistique.
Représenter qualitativement une telle pelote pour deux molécules d'ADN ayant leurs nombres M de paires de bases dans un rapport 4.

Thermodynamique et élasticité d'une chaîne polymère
On modélise comme dans la partie C) une molécule polymère linéaire isolée. Le nombre N de chaînons étant grand devant 1, il s'agit d'un système macromoléculaire susceptible d'être décrit dans le cadre de la thermodynamique. On note $\vec r = \left\langle {{{\vec r}_N}} \right\rangle $ qui peut varier sous l'action d'un couple de forces extérieures de résultante nulle -$\vec f$ et $\vec f$ appliquées aux deux extrémités de la molécule. Le moment résultant en 0, origine de la chaîne, devant être nul, $\vec f$ et $\vec r$sont parallèles. Pour simplifier, on ne mentionnera plus que la valeur algébrique f appliquée à l'extrémité du N-ème chaînon; à l'équilibre, f est une mesure de l'état de tension de la chaîne.

La température absolue de la chaîne est T, son entropie S et son énergie interne U. On supposera que le volume de la molécule reste constant quoi qu'il arrive. On décrit l'équilibre thermodynamique de la chaîne par deux variables d'état, chacune étant choisie dans un couple différent de variables conjuguées (r, f) ou (T, S).
L'indépendance relative des chaînons se traduit par une énergie interne ne dépendant que de la température: U(T).
D1) On admettra que l'entropie S(r) de la chaîne est donnée par:
$S(r) - {S_0} = {k_B}\;\ln \,\left( {\frac{{{p_N}(r)}}{{{p_N}(0)}}} \right)$.
où p_N est la loi de probabilité relative à la particule libre étudiée au A). S₀ = S(0) apparaît ici comme une constante que l'on ne cherchera pas à déterminer. Exprimer S(r) pour la distribution gaussienne de A3).
D2) Lors d'une transformation isotherme et quasistatique, un opérateur extérieur allonge la chaîne de 0 à r_F. Dans l'état final, la tension de la chaîne est f_F. La relation fonctionnelle (équation d'état) entre les variables d'équilibre f, r et T est a priori inconnue.
Quelle quantité de chaleur Q la chaîne reçoit-elle du solvant qui joue le rôle de thermostat? Préciser le signe de Q. À l'aide des deux principes de la thermodynamique, déterminer l'équation d'état sous la forme f = f (r, T). Où intervient l'hypothèse quasistatique?
D3) Montrer que la chaîne se comporte comme un ressort élastique linéaire dont on exprimera la raideur isotherme κ(T) et la longueur à vide r₀ en fonction des données du problème.
D4) Calculer le coefficient de dilatation à tension constante:
$\alpha = \frac{1}{r}{\left( {\frac{{\partial \,r}}{{\partial \,T}}} \right)_f}$
En quoi diffère-t-il du coefficient de dilatation isobare d'un solide commun? Quels matériaux courants partagent cette propriété, établie ici pour une chaîne unique?
D5) Calculer la raideur κ à T = 300 K pour une chaîne isolée d'ADN du bactériophage λ (cf. C1). Quelle est la force nécessaire pour étirer la molécule d'ADN de ε fois sa longueur totale (0 < ε < 1), calculée comme si tous ses maillons étaient alignés? Montrer que cette force ne dépend pas de N et estimer à partir de cette formule l'échelle des forces pertinentes pour la déformation physique de l'ADN. Calculer f pour ε = 0,1.

E1) Comme on l'a remarqué à la question A5), la distribution gaussienne n'est plus correcte aux grands allongements et on cherche à étendre la validité de l'équation d'état établie en D2). Un raisonnement de physique statistique qu'on ne cherchera pas à reproduire donne le résultat suivant:
$r = N\,\alpha \,L\,\left( {\frac{{f\alpha }}{{{k_B}\,T}}} \right)$
avec
$L\left( u \right) = \frac{1}{{th\,(u)}} - \frac{1}{u}$
où th désigne la fonction tangente hyperbolique.
Représenter graphiquement la caractéristique f (r). On s'attachera plus particulièrement à décrire les limites asymptotiques f → 0 et f → +∞ et à en préciser la signification physique. Cette équation d'état est elle compatible avec celle trouvée en D2) ? Quel est l'allongement relatif ε correspondant à une tension dix fois supérieure à celle calculée en D5) ?
Manipulation d'une molécule unique à l'aide de "pinces optiques"
Depuis une dizaine d'années, de nombreuses techniques ont été développées afin de manipuler physiquement des objets biologiques ‑ cellules, organelles et macromolécules comme l'ADN. On se propose d'étudier le principe des "pinces optiques", dispositif permettant de piéger une petite bille dans un faisceau laser de faible puissance.
Dans la suite, on associera à un photon de fréquence ν une énergie hν et une quantité de mouvement hν /c₀ où c₀ est la vitesse de la lumière dans le milieu considéré, d'indice n₀. On traitera le problème dans le cadre de l'optique géométrique.
F1) Un faisceau de lumière monochromatique, parallèle et homogène, se propage dans un milieu d'indice n₀. Il a une section droite d'aire σ et transporte une puissance lumineuse P₀ (exprimée en watts). Il frappe sous une incidence θ un miroir plan métallique parfaitement réfléchissant.

Calculer le nombre de photons dN venant frapper la surface pendant dt, en fonction des données du problème. Quelle est la variation de quantité de mouvement $d\vec p$ de l'ensemble de ces photons lors de la reflexion? On en precisera la direction, le sens et l'intensité. On notera $\vec n$ la normale extérieure au miroir.
F2) Montrer que le miroir subit de la part du faisceau une force normale à sa surface. On pourra effectuer un bilan de quantité de mouvement pour le système { miroir + photons } entre t et t + dt dans le référentiel R₀ du laboratoire supposé galiléen. Préciser le sens d'application de cette force et exprimer son module F₀ en fonction de n₀, c, P₀, et θ.

F3) Calculer numériquement F₀ pour θ = 0, P₀ = 20 mW et n₀ = 1,33.
G1) On considère maintenant une sphère métallique de rayon b parfaitement réfléchissante en suspension dans de l'eau d'indice n₀ et éclairée par le faisceau laser. On supposera que la sphère reste entièrement plongée dans le faisceau. On munit l'espace d'un repère orthonormé direct (0, x, y, z), Oz étant pris parallèle à l'axe du faisceau.

Démontrer que la force totale $\vec F$ exercée par le faisceau sur la sphère se réduit à sa composante F_z suivant Oz:
${F_z} = \pi \,{b^2}\,\frac{{{n_0}\,{I_0}}}{c}\,,$
avec I₀ = P₀ /σ. Justifier le nom de pression de radiation attribué au phénomène décrit dans cette partie.
G2) Calculer F_z pour P₀ = 20 mW, σ = 3 10^‑10 m² , b = 2 µm et n₀ = 1,33.
G3) De masse volumique égale à celle de l'eau, la bille est au repos dans R₀ en l'absence de faisceau. À t = 0 on illumine la sphère qui se trouve en 0 avec une vitesse nulle.
Quel est le mouvement de la bille pour t ≥ 0? Quelle vitesse limite V_∞ atteint‑elle? Quelle est la loi d'évolution temporelle de la vitesse? À quel instant Δ t vaut elle 0,9 V_∞? On fera l'hypothèse que le nombre de Reynolds Re associé à l'écoulement de l'eau (viscosité dynamique η) autour de la bille est très petit devant 1 ("écoulement rampant"), hypothèse que l'on vérifiera a posteriori. On négligera l'effet des parois de la cellule.
Calculer numériquement V_∞ et Δ t pour les données numériques de G2), en supposant la bille homogène de masse volumique ρ = 10³ kg m^-3, et avec η = 10^-3 kg m^-1 s^-1.
G4) On complète le dispositif "pince optique" par un deuxième faisceau, identique au premier, mais se propageant en sens opposé le long du même axe optique Oz. Les deux faisceaux sont légèrement divergents. L'ensemble est symétrique par rapport au plan passant par 0 et perpendiculaire à Oz.

On supposera que l'expression de la force trouvée en G1) reste valable pour chacun des faisceaux et que l'effet dominant de la divergence est la variation de la section σ le long de l'axe. On ne considère dans cette question que les mouvements de la sphère le long de l'axe Oz. Pour les lasers considérés, les faisceaux sont limités par un cône de révolution autour de l'axe Oz. On notera α << 1 leur divergence, c'est à dire l'angle que fait une génératrice du cône avec Oz, et σ₀ = πω₀² leur section commune au niveau du point O. On garde toujours ω₀ > b.
Montrer qualitativement qu'en l'absence d'autre force extérieure, le point O est position d'équilibre pour la bille et que cette position est stable vis à vis de petits déplacements le long de l'axe Oz. Exprimer la force de rappel F_z(z) exercée par les faisceaux sur la bille lorsque celle-ci se trouve à l'abscisse z et montrer qu'au premier ordre en α z /ω₀ on peut définir, par analogie avec la force de rappel exercée par un ressort linéaire, la raideur longitudinale κ_z de la pince optique pour des déplacements le long de Oz. Exprimer κ_z en fonction des données du problème.
G5) Calculer κ_z pour P₀ = 20 mW, σ = 3 10^‑10 m² , α = 2.5 10^-2 rad et n₀ = 1,33. Comparer cette valeur à la raideur κ(300 K) de la chaîne idéale d'ADN à trouvée au D5).
H1) Les faisceaux laser utilisés ont en fait une intensité I(r) qui décroît avec la distance r à l'axe Oz. On définit l'intensité comme la puissance lumineuse par unité de surface transportée par un rayon de section infinitésimale appartenant au faisceau. On prendra comme distribution radiale d'intensité pour chacun des faisceaux dans une section droite contenant O:
$I\left( r \right) = {I_0}\;\exp \;\left( { - \,\frac{{{r^2}}}{{{\omega _0}^2}}} \right)$
où ω₀ est une dimension caractéristique du faisceau (gaussien). On supposera que ω₀ > b si bien que le faisceau est presque homogène sur l'étendue de la sphère. Quelle relation existe-t-il entre P₀, I₀ et ω₀? Montrer qu'il est alors cohérent avec les notations précédentes de poser comme en G4): σ₀ = πω₀² .

H2) La divergence α du faisceau et son rayon caractéristique ω₀ ne sont pas indépendants; on a en effet:
α ≈$0,5\,\frac{\lambda }{{{\omega _0}}}$
où λ est la longueur d'onde dans le vide du laser.
En vous appuyant sur vos connaissances d'optique, envisagez quel pourraît être le mécanisme physique sous-jacent à cette relation. Calculer numériquement λ et commenter l'utilisation des lois de l'optique géométrique dans ce problème.
H3) On s'intéresse maintenant à la stabilité de l'équilibre de la bille dans la pince pour des déplacements perpendiculaires à l'axe Oz. À partir de la position d'équilibre O dans la pince à deux faisceaux gaussiens, on écarte légèrement la bille suivant Ox.
En tenant compte du gradient d'intensité justifier qualitativement l'existence d'une composante F_x ≠ 0 dont l'effet est déstabilisant.
H4) En pratique, la bille n'est pas réfléchissante mais transparente, d'indice de réfraction n. On s'intéresse à un rayon du faisceau, parallèle à Oz, arrivant sur le dioptre sphérique sous incidence θ_ι. Le plan d'incidence est Oxz. On ne considérera que les rayons réfractés suivant les lois de Snell-Descartes par les dioptres eau/bille et bille/eau, en négligeant la perte d'énergie lumineuse par réflexion. On note θ_r l'angle que fait le premier rayon réfracté avec la normale au dioptre au point d'impact.
Représenter ces rayons et montrer qu'il faut envisager deux cas selon les valeurs respectives de n₀ et n. En reprenant la démarche des questions précédentes, montrer qualitativement que dans un de ces deux cas l'équilibre de la bille est stable vis-à-vis de petits déplacements suivant Ox. On se placera dans ce cas pour la suite.
H5) La puissance lumineuse transportée par le rayon incident est δP. Calculer en fonction de θ_ι et θ_r l'angle β entre le rayon deux fois réfracté et le rayon incident. Exprimer les composantes δF_x et δF_z de la force exercée sur la bille et comparer ces valeurs à celles obtenues pour une bille réfléchissante.

Comparer numériquement les deux cas pour une bille en latex (n = 1,58) et une incidence θ_i = 45°.
H6) Un calcul complet que l'on ne cherchera pas à reproduire ici montre que la composante F_x subie par la bille s'écrit, au premier ordre en b / ω₀ :
${F_x}\left( x \right) = - {\kappa _x}\;x\;\exp \;\left( { - \,\frac{{{x^2}}}{{{\omega _0}^2}}} \right)$
où κ_x ne dépend pas de x.
Quelle est la signification physique de κ_x? Justifier brièvement la dépendence F_x(x).
I1) On sait attacher, à l'aide de groupements fonctionnels spécifiques, l'extrémité d'une molécule d'ADN à une bille de latex. L'autre extrémité est maintenue à l'abscisse X, mesurée par rapport au centre de la pince optique (cf. schéma). On peut modifier X sans bouger les faisceaux. On se place dans l'approximation d'une chaîne polymère idéale de raideur κ constante (cf. D3).

Représenter $\left| {F\left( x \right)\,} \right|$(x) et proposer une méthode de détermination graphique de la position d'équilibre x_eq (X) .

I2) Montrer que pour κ > κ_c où κ_c est une raideur à déterminer, il existe une et une seule position d'équilibre pour tout X: la pince est dite monostable. En revanche, pour κ ≤ κ_c il peut exister plusieurs positions d'équilibre (stable ou instable) de la bille dans la pince: la pince est multistable.
I3) Le paramètre κ_x s'exprime en fonction des données du problème:
${\kappa _x} = C\,\frac{{{n_0}\,{P_0}}}{c}\;\frac{{{b^3}}}{{{\omega _0}^4}}$
où C est une constante numérique.
Compte tenu des valeurs numériques du problème, préciser la nature mono- ou multi- stable de la pince pour la molécule d'ADN considérée à 300 K (question D5). On prendra C = 0,5.
I4) Montrer graphiquement que dans le cas d'une pince multistable, lorsqu'on augmente X à partir de 0, la bille saute brusquement hors du piège pour une position x*. Montrer que la force limite F_x* = F_x(x*) est a priori bornée par deux valeurs que l'on exprimera en fonction de κ_x et ω₀.
I5) Encadrer numériquement F_x*: la pince est-elle suffisamment forte pour permette d’étirer la molécule d’ADN hors de son domaine d’élasticité linéaire? Proposer une méthode expérimentale permettant de tester l’équation d’état énoncée en E1).

Concours ENS de Cachan et École Polytechnique (PSI) 1999 (Énoncé)

Dans ce problème nous allons étudier différents dispositifs entrant dans la réalisation d’un bus électrique à conduite partiellement automatisée.
Les quatre parties du problème sont indépendantes, elles s’intéressent respectivement :

• au système de propulsion et de direction du bus
• aux transferts énergétiques
• à la conduite automatisée
• au dispositif radar de surveillance de la chaussée

La réalisation d’un tel système est en bonne voie, même si, les solutions retenues ne sont pas entièrement celles proposées dans la suite de ce problème.
Les candidats sont vivement encouragés à définir et à utiliser des paramètres non donnés explicitement dans l’énoncé mais qui permettent d’alléger et de simplifier les calculs.

I) Groupe moteur
Dans cette partie, Les moteurs à courant continu sont supposés identiques avec un même courant circulant dans chaque inducteur, il en résulte que le paramètre de proportionnalité entre, par exemple, le couple et le courant dans l’induit I est le même pour tous les moteurs. On notera Φ ce paramètre.

Machine à courant continu

Il convient d’étudier et de modéliser les machines à courant continu qui serviront à faire avancer le véhicule. Le modèle retenu est celui d’une force contre électromotrice e, sans pertes, en série avec une résistance R et une inductance L, et, pour la partie mécanique, un moment d’inertie global J (voir la figure 1). On négligera les frottements.
Les variables décrivant le système sont Ω et I
A
A l’instant initial, le système étant au repos et le circuit électrique ouvert, on ferme en branchant une source de tension constante U₀.

Ecrire les équations électriques et mécaniques décrivant le comportement du système.
Montrer que ces équations admettent une solution indépendante du temps :
(Ω₀ ,I₀).
On donne :

\[\frac{{\sqrt {L\,J} }}{\Phi } = 3\,\,S.I.\,\,\,et\,\,\,\,\frac{R}{{2\,\Phi }}\sqrt {\frac{J}{L}} = 5\,\,S.I.\] Préciser les unités de ces constantes

Résoudre ces équations afin d’obtenir la vitesse de rotation Ω(t) de la machine.
On observe expérimentalement qu’un régime permanent est effectivement atteint avec un courant dans la machine I_P .Est-ce compatible avec le modèle précédent ? Proposer une correction si nécessaire. On négligera ce courant dans les calculs ultérieurs.
Déterminer le nouveau régime permanent.
Déterminer la vitesse de rotation Ω(t) et l’intensité du courant I(t) après l’application de C₀. On choisira une nouvelle origine pour le temps.

B

Une fois le régime permanent atteint on impose un couple constant C₀ sur l’arbre du moteur.

Hacheur

Figure 2
On considère une source de tension continue idéale U₀>0 reliée par un dispositif de conversion de puissance composée de deux interrupteurs K et K’ à une source de courant continu I₀>0 (voir la figure 2).
A
L’interrupteur K est fermé pendant la durée αT, puis ouvert pendant (1-α)T.

Déterminer le cycle de fonctionnement de l’interrupteur K’
Calculer la valeur moyenne de la tension U(t) délivré par le dispositif
Calculer la puissance moyenne transmise à la source de courant.
Quelle est la nature des interrupteurs K et K’, les plus simples, convenant pour réaliser ce dispositif ?

B

La source de courant est maintenant remplacée par une inductance L en série avec une résistance R et une source de tension continue E<U₀.

Calculer en fonction du temps, en régime périodique permanent, le courant dans l’inductance pour E=0V. On utilisera, après les avoir déterminées, les valeurs maximum et minimum de l’intensité de ce courant
Quel type de comportement peut-on observer si α devient trop petit ?
Comment doit-on modifier les interrupteurs K et K’ par rapport au 2.4 pour Que la puissance puisse être reçue par la source U₀ ?

Association machine-hacheur

Sur la source de tension et les deux interrupteurs précédents est maintenant branché une machine à courant continue comme celle étudier au 1.1.
On supposera ici l’inductance L nulle et on assimilera la tension délivrée par le dispositif U(t) à sa valeur moyenne sur une période de fonctionnement T : <U(t)>.
A

Ce moteur servant à mettre en mouvement un véhicule, l’inertie globale J est en grande partie due à la masse de ce véhicule. Justifier cette affirmation.
Si au démarrage du moteur on laisse l’interrupteur K continuellement fermé, donner la valeur maximum du courant circulant dans le moteur I_M en fonction de R et de U₀.

B

On souhaite limiter le courant à I_M/2 tout en gardant α le plus grand possible

Déterminer <U(t)> et l’évolution de α(t)
Déterminer Ω(t) si la vitesse finale est la plus élevée possible.
Donner l’allure sommaire des courbes Ω(t), I(t) et <U(t)> en précisant le type d’alimentation.
Expliquer ce qui aurait été changé si on avait pris en compte
- l’inductance
- U(t).

Pont différentiel électrique

Nous allons d’abord étudier un mode de traction électrique utilisé dans certains chariots de manutention dont la roue arrière est directrice et les deux roues avant motrices. On associe, en série, dans le même circuit électrique, deux moteurs à courant continu entraînant les deux roues avant. Les moteurs sont supposés identiques et les roues directrice et motrices ont même diamètre D. Le chariot se déplace sur un plan horizontal.

Déterminer en fonction de Φ, D et la tension d’alimentation de l’ensemble U₀ la vitesse v₀ du chariot en ligne droite en régime permanent.
Le chariot a maintenant une trajectoire circulaire décrite à vitesse constante (voir la figure 3), calculer les vitesses de rotation Ω_d (droit) et Ω_g (gauche) des moteurs et les comparer à celle calculée précédemment.

Pont différentiel électronique

Le bus est réalisé à l’aide de plusieurs remorques articulées et les impératifs de la circulation urbaine exigent que ces remorques suivent une trajectoire inscrite sur une chaussée réservée assez étroite. Plutôt que de réaliser un véhicule classique avec un essieu moteur, chaque roue est entraînée par un moteur électrique, disposant de sa propre alimentation et de sa propre commande, de manière à forcer une trajectoire bien précise pour les remorques, celle-ci ressemblant plus à celle empruntée par un train sur ses rails. On donne des courbes représentant la vitesse de rotation des machines et leur courant d’induit en fonction du temps.

Comment peut-on mesurer la vitesse de rotation des moteurs ?
On veut mesurer un courant continu. Peut-on utiliser un transformateur ? Justifier votre réponse.
A partir de la mesure du courant, de la donnée du paramètre α et de la vitesse de rotation, comment déterminer la puissance mécanique fournie par le moteur et la puissance électrique consommée ?
– Quels paramètres faut-il connaître ?
– Comparer ces puissances
Quelles modifications doit-on apporter au système étudié dans la partie 3 pour permettre au moteur de fournir de l’énergie à la source pendant les phases de freinages
Pour le démarrage, on alimente les moteurs un petit peu avant de relâcher les freins, ce qui se fait quand les portes sont complètement fermées, pourquoi ?
Commenter les vitesses de rotation et intensité des courants en fonction du temps, obtenus à partir de simulations, pour les courbes N° 1 à 4 donnée en annexe.
On s’attachera à décrire le comportement du bus, le fonctionnement des systèmes moteurs-hacheurs en faisant des bilans de puissance, sommaires et qualitatifs, pour chaque étape et en précisant les modes d’alimentation ou de régulation.
Note : les tracés sont effectués en coordonnées réduites (les grandeurs sont divisées par une de leurs valeurs caractéristiques pour obtenir un résultat sans dimension).
On utilisera, pour répondre à la question, les courbes en annexe sur lesquelles on reportera lisiblement des légendes . Les courbe N°1, courbe N°2, courbe N°3, courbe N°4 sont à rendre avec la copie

II) Alimentation en énergie

Moteur thermique

Pour de raison de coût et de mobilité, le bus doit être autonome. L’alimentation générale du bus ne peut être exclusivement d’origine électrique, l’autonomie des batteries est insuffisante, et le temps de recharge prohibitif. On adopte un système hybride, un moteur thermique produira l’énergie électrique nécessaire à un fonctionnement normal du bus et des batteries pourront compléter les besoins en fournissant un complément lors des accélérations et en absorbant l’énergie restituée lors des freinages.
Le moteur thermique fonctionnant en continu son rendement est optimal et la pollution engendrée est inférieur à un fonctionnement irrégulier, on peut même imaginer de couper le moteur thermique dans les zones sensibles. De manière à ne pas sur dimensionner les batteries, on peut aussi, pour les montées à forte pente, prévoir une alimentation extérieur par caténaires.

Faire un schéma de tous les systèmes de transfert et de conversion de puissance nécessaires au bon fonctionnement du bus, on précisera le sens et le type de puissance transférée : puissance thermique P_th , puissance mécanique P_m , puissance électrique P_e ,( =continue ou ~ alternative).
Pour le moteur thermique fonctionnant entre deux sources de chaleur, peut-on raisonnablement envisager un rendement de 95% ?

Dégagement de chaleur des moteurs électriques

De manière à déterminer si les moteurs électriques doivent disposer d’un système de refroidissement, il faut calculer la température de fonctionnement en fonction des pertes dans le moteur. On désigne par Ψ les pertes moyenne par unité de temps.
Chaque moteur est entouré d’une enveloppe. Dans cette première modélisation, assez grossière, on considère cette enveloppe comme sphérique de rayon intérieur R₁ et de rayon extérieur R₂ .

Exprimer la température en régime permanent sur la face intérieure en fonction des paramètres géométriques, de la conductivité Κ du matériau de l’enveloppe et de la température extérieur T₀.

III) Asservissement de direction du bus
Pour assurer le positionnement du bus le long des quais de débarquement ainsi qu’à l’intérieur des voies étroites pour la circulation urbaine, il est nécessaire de confier la conduite à un dispositif automatique. La contrainte la plus sévère à réaliser étant l’approche des stations où la position du bus doit être contrôlée à mieux que 3 centimètres.
On se placera dans le cas où la voie est presque rectiligne et horizontale. On notera v₀=50km/h la vitesse du bus qui sera prise constante.

Capteur CCD ou DTC (dispositifs à transfert de charge)

La solution adoptée pour repérer l’emplacement du bus sur la chaussée, est la visualisation par une caméra à capteur CCD d’une bande blanche située au milieu de la voie réservée.
Cette caméra est composée de barrettes CCD. Ce sont des capteurs optoélectroniques dans lesquels va se créer une quantité de charge q dépendant de l’éclairement, cette charge pourra être ensuite transférée vers la sortie de la barrette.
Les interrupteurs de la figure 4 fonctionnent de la manière suivante :
K₁ est fermé et K₂ ouvert puis, on ouvre K₁ et la barrette transmet la quantité de charges accumulées, ensuite K₂ est fermé, et on retourne au point de départ en ouvrant K₂ puis en fermant K₁.

Expliquer le fonctionnement du dispositif.
Comment s’appelle l’élément final de la chaîne, dont la caractéristique est donnée à la figure 5 ? Quel est son rôle ?

Construction du signal de position

Dans la caméra, les barrettes sont placées dans le sens de la marche, et on désire obtenir une tension E(t) quasiment proportionnelle à l’écart y(t) entre la position centrale sur la caméra Y(t) et la bande blanche Y₀(t). Le système est composé de 2N+1 barrettes et la bande blanche à une largeur de 2P+1 barrettes (N>P). On utilise pour ce faire le montage de la figure 6

Exprimer la tension E(t) en fonction des tensions U₁(t)…U_2N+1(t) ,obtenues en sortie de l’étage étudié au 8.1 et reproduit pour chacune des barrettes CCD, et des conductances G, G₁…G_NDéterminer les relations à imposer entre les conductances G, G₁…G_N représentées sur la figure 6. On supposera dans la suite le rapport entre E(t) et y(t) constant et égal à A

Fonction de transfert de la direction électrique

La tension obtenue précédemment va servir à commander la direction prise par le bus b(t)=sin(α(t)) (voir la figure 7). Pour obtenir une commande parfaitement adaptée, on réalise une série d’expériences permettant de tracer le diagramme de Bode de la fonction de transfert H(p), reliant la grandeur d’entrée E(p) et la grandeur de sortie B(p) (voir la courbe N°5)

Donner un exemple de fonction de transfert pouvant convenir en justifiant votre choix.
Le module réduit représente le module de H(p) divisé par une constante H₀ et la fréquence réduite représente la fréquence multipliée par 2π et divisée par une constante ω₀ .

Asservissement de la direction

On relie désormais le système caméra à la commande de direction.

Montrer que l’on peut relier Y(t), la position du centre de la caméra, à b(t) et v par une équation différentielle.
Faire le schéma de l’asservissement de position du bus.
Expliquer l’utilité de cet asservissement
Calculer la fonction de transfert G(p) reliant Y(p) à Y₀(p) et la mettre sous la forme : (1+2λp/ω₁+(p/ω₁)²)^-1 .

Réglage de l’asservissement

La fonction de transfert H(p) est déjà le résultat d’un asservissement et on peut faire varier la valeur de H₀.

A, H₀ et ω₀ sont reliés par la relation suivante A H₀ ω₀ =6.3 (ms)^-1 ; commenter cette relation.
Déterminer ω₀ pour que λ=0.7 et justifier le réglage.

Vérification du réglage

On relève lors d’un essai les courbes Y(t) et Y₀(t) (courbe N°6, le temps réduit vaut ω₁t).

La différence vient de la position observée par la caméra qui n’est pas tout à fait au niveau des roues avant, calculer le décalage du capteur aux roues.
Quel effet cela a-t-il sur la fonction de transfert G(p) ?
Quel effet cela a-t-il sur Y(t) pour les courbes données ?

IV) Radar à balayage électronique

Pour plus de sécurité, on place à l’avant du bus un radar, afin de surveiller la route. En circulation urbaine, il est inévitable que d’autres véhicules traverse la trajectoire, le radar devra donc détecter les obstacles, puis analyser leurs futures trajectoires avant de déclencher un signal au chauffeur ou un freinage d’urgence.
Le radar va émettre un rayonnement électromagnétique dans une direction, puis attendre un éventuel retour qui sera interprété.

Dipôle oscillant

Pour étudier le rayonnement électromagnétique émis par une antenne, on utilise le modèle du dipôle oscillant.
On cherche le champ électromagnétique créé par un moment dipolaire colinéaire à l’axe Oz et placé en O. La représentation complexe de sa projection sur cet axe est P=P₀ e ^iωt
A
Les solutions trouvées sont en coordonnées sphériques, en projection sur la base sphérique :
\[{\bf{\vec E}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{(ikr + 1)\frac{1}{{4\pi {\varepsilon _0}}}2{P_0}\frac{{\cos (\theta )}}{{{r^3}}}\,{e^{i(\omega t - kr)}}}\\{(1 + ikr - {{(kr)}^2})\frac{1}{{4\pi {\varepsilon _0}}}{P_0}\frac{{\sin (\theta )}}{{{r^3}}}\,{e^{i(\omega t - kr)}}}\\0\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,et\,\,\,\,\,{\bf{\vec B}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0\\0\\{i{\mu _0}\frac{\omega }{{4\pi }}(1 + ikr){P_0}\frac{{\sin (\theta )}}{{{r^2}}}\,{e^{i(\omega t - kr)}}}\end{array}} \right.\]

Donner les équations de maxwell dans le vide.
Préciser l’expression de la constante k
Commenter les solutions trouvées

B

On se place dans la zone de rayonnement r>>λ (longueur d’onde)

Définir λ

Déterminer les expressions du champ dans la zone de rayonnement
Justifier l’affirmation suivante : le champ électromagnétique a localement la structure d’une onde plane

Association de deux antennes

On considère maintenant de petites antennes émettant un rayonnement électromagnétique que l’on admettra sinusoïdal de fréquence f=6GHz, et dont les caractéristiques seront assimilées à celui d’un dipôle rayonnant d’axe vertical.
L’étude du champ électromagnétique se fera dans le plan horizontal contenant les antennes.
A

On dispose côte à côte deux antennes identiques (A₁ et A₂), distantes de a, et définies par deux moments dipolaires P₁ et P₂ identiques.
Etudier le champ électrique dans le plan horizontal contenant les antennes sur la médiatrice de A₁A₂.
Quel phénomène cela évoque-t-il pour vous ?
Préciser, qualitativement, l’évolution des caractéristiques de ce phénomène quand on s’éloigne de cet axe.
Peut-on envisager de reproduire ce résultat avec des fréquences de 10¹⁴ à 10¹⁵ Hz ?mise dans une direction particulière, situé vers l’avant du bus, que l’on nommera direction d’observation. La réflexion du rayonnement se produira suffisamment loin des antennes pour que l’on puisse considérer, par la suite, que les rayons issus des antennes sont parallèles. Déterminer la valeur moyenne du vecteur de Poynting en fonction de la direction d’observation et de la distance

B

L’antenne A₂ est maintenant alimentée à travers une ligne à retard de façon à ce que P₂ subisse un déphasage de φ par rapport à P₁ .

On désire pouvoir observer de chaque coté de la direction du bus avec un écart angulaire maximum de 60°, déterminer les valeurs de a convenables. On choisit a=2cm pour la suite.
La fréquence du rayonnement des deux antennes diffère de 1MHz, qu’obtient-on ?

Association d’un ensemble d’antennes

On dispose maintenant de 20 petites antennes identiques aux antennes précédentes.

Quand le déphasage φ entre les antennes est nul, déterminer la puissance rayonnée dans une direction par l’ensemble des antennes.
Comment régler les déphasages pour concentrer le rayonnement en direction d’un objet situé 60 mètre devant le bus, 5 mètre sur la gauche de sa direction ?.
Peut-on espérer distinguer un autre objet situé à 3 mètre de celui-ci ?

Effet Doppler

Le radar précédent permet de déterminer la direction d’un objet, mais aussi sa distance. La fréquence de l’onde réfléchie subie aussi une modification proportionnelle à la projection de la vitesse relative de l’objet par rapport au bus sur la direction reliant l’objet au bus.

Proposer une méthode permettant de mesurer cette vitesse à partir de tensions images des ondes émises et réfléchies.

Concours Physique ENS Ulm (C/S) 1998 (Corrigé)

ENS ULM groupe C/S - Physique - Session de 1998

I) Caractéristique d’une diode à vide
1.1) Charge d’espace
1) Si l’anode est à un potentiel positif, elle attire les électrons : le circuit est fermé et il circule un courant conventionnel en sens contraire du sens de déplacement des électrons, la diode est passante sinon l’anode repousse les électrons et si son potentiel devient négatif et assez grand en valeur absolue, ceux ci ne l’atteignent pas : le courant est nul et la diode est bloquée.
2) Le théorème de l’énergie cinétique, entre départ de la cathode et arrivée sur l’anode, s’écrit
${E_c} - e{V_0} = - e(0 - U) \Rightarrow {E_c} = e({V_0} + U) \ge 0$ et donc $U \ge - {V_0}$ quand l’intensité est non nulle ; alors elle vaut j₀ S ; la courbe caractéristique représentative de I en fonction de U est donnée ci-dessous.

3) Équation de Poisson :
$\Delta V + \frac{\rho }{{{\varepsilon _0}}} = 0$ et $V = V(x)$ $ \Rightarrow $$\,\frac{{{d^2}V}}{{d{x^2}}} + \frac{\rho }{{{\varepsilon _0}}} = 0$
et théorème de l’énergie cinétique entre départ et abscisse x :
$\frac{1}{2}m{v^2} = e[{V_0} + V(x)]$ $ \Rightarrow $$v = \sqrt {\frac{{2e}}{m}[{V_0} + V(x)]} $
4) On appelle j la valeur du produit − ρ v d’où ρ = − j / v ; on remplace v par son expression dans l’expression de ρ qu’on reporte dans l’équation de Poisson ; on multiplie les deux membres de l’équation obtenue par dV / dx et on intègre sans oublier la constante d’intégration déterminée par la valeur du potentiel V_e à l’abscisse x_e où le champ électrique, c’est-à-dire − dV / dx, s’annule ; à cette abscisse, le potentiel possède un extremum qui est un minimum car la charge d’espace est négative et la dérivée seconde du potentiel est positive ; le minimum n’est pas forcément compris entre 0 et d ; la relation obtenue s’écrit :
${\left( {\frac{{dV}}{{dx}}} \right)^2} = \frac{{4j}}{{{\varepsilon _0}}}\sqrt {\frac{m}{{2e}}} (\sqrt {{V_0} + V(x)} - \sqrt {{V_0} + {V_e}} )$
En prenant la racine, selon que la fonction V(x) est croissante ou décroissante, il faut introduire un signe + ou − :
$\frac{{dV}}{{dx}} = \pm \sqrt {\frac{{4j}}{{\varepsilon _0}}\sqrt {\frac{m}{{2e}}} } {\left(\sqrt {{V_0} + V(x)} - \sqrt {{V_0} + {V_e}} \right) ^{1/2}}{\text{ avec }}\, + \,\,{\text{si }}\frac{{dV}}{{dx}} > 0{\text{ et }}\, - {\text{ si }}\frac{{dV}}{{dx}} < 0,V({x_e}) = {V_e},{\left( {\frac{{dV}}{{dx}}} \right) _{{x_e}}} = 0$
Pour que la racine soit définie, il faut V(x) > V_e dans l’hypothèse j > 0. On sépare les variables et afin d’éliminer la racine, on pose :
${u^2} = \sqrt {{V_0} + V(x)} - \sqrt {{V_0} + {V_e}} {\rm{ avec }}u \ge 0$ d’où $2udu = \frac{{dV}}{{2\sqrt {{V_0} + V(x)} }}$
et après remplacement de du et u dans l’équation donnant dV / dx et simplification par u, on obtient :
$({u^2} + \sqrt {{V_0} + {V_e}} )du = \pm \frac{{dx}}{4}\sqrt {\frac{{4j}}{{{\varepsilon _0}}}\sqrt {\frac{m}{{2e}}} } $
ce qui s’intègre en tenant compte que u = 0 en x = x_e sous forme :
$u(\frac{{{u^2}}}{3} + \sqrt {{V_0} + {V_e}} ) = \pm \frac{1}{2}\sqrt {\frac{j}{{{\varepsilon _0}}}\sqrt {\frac{m}{{2e}}} } (x - {x_e})$
En remplaçant u par sa valeur, il reste :
$\frac{2}{3}\sqrt {\frac{{{\varepsilon _0}}}{j}\sqrt {\frac{{2e}}{m}} } {(\sqrt {V(x) + {V_0}} - \sqrt {{V_e} + {V_0}} )^{1/2}}(\sqrt {V(x) + {V_0}} + 2\sqrt {{V_e} + {V_0}} ) = \pm \,(x - {x_e})$
5) Quand x varie de 0 à d, le potentiel est continu (par définition d’un potentiel) et en supposant le champ électrique continu dV / dx est continu ; on suppose que la fonction potentiel passe par un minimum pour une abscisse x_e = x_min comprise entre 0 et d (on pourrait aussi avoir le minimum mathématique pour une abscisse négative : alors le potentiel le plus bas serait V = 0 en x = 0 ) ; on pose V_e = V_min. Les points atteint par les électrons vérifient la condition :
$\frac{1}{2}m{v^2} = e[{V_0} + V(x)] \ge 0$ soit $V(x) \ge - {V_0}$
qu’on étudie graphiquement sur le graphe ci-dessous :

$\left\{ \begin{array}{l}{\text{cas 1 }}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\rm{ }} - {V_0} > {V_{min}} \Rightarrow x \le {x_1}\,{\text{et état bloqué }}I = 0\\{\text{cas 3 }} - {V_0} < {V_{min}} \Rightarrow x \in [0,d]{\text{ et état saturé }}I = {j_0}S\\{\text{cas 2 }} - {V_0} = {V_{min}} \Rightarrow \,x \in [0,d]{\rm{ }}{\text{, état intermédiaire 0}} < I < {j_0}S\,\end{array} \right.$
Dans le cas 1, les électrons ne peuvent dépasser l’abscisse x₁ : l’intensité est nulle d’où le terme état bloqué ; dans le cas 2, tous les électrons émis atteignent l’anode : l’intensité est la plus grande possible d’où le terme état saturé, l’intensité vaut j₀S ; dans le cas 3, la vitesse des électrons s’annule dans le plan d’abscisse x_min endroit où le champ électrique est nul : des électrons peuvent repartir en sens positif et d’autres en sens négatif : une partie des électrons peut atteindre l’anode et le reste repart vers la cathode, l’intensité du courant est intermédiaire entre les valeurs extrêmes 0 et j₀S. Se souvenir que dans l’état intermédiaire V_min + V₀ = 0.

6) Dans le cas intermédiaire, le théorème de l’énergie cinétique entre x_min et x < x_min s’écrit :
$\frac{1}{2}mv{(x)^2} = e[V(x) - {V_{min}}]$
aussi bien pour un électron qui se déplace en sens positif que pour un électron qui se déplace en sens négatif. Ceci prouve que la vitesse a même valeur absolue pour les deux électrons mais elle diffère par le signe.
Pour x > x_min, on a la densité de courant algébrique :
$ - {j_c} = \rho v < 0$ avec ${j_c} = \frac{I}{S} > 0$ ⇒ $j = {j_c} = \frac{I}{S}$
Pour x < x_min, on a superposition de deux densités de courant algébriques. Pour la première :
${j_1} = - {j_0} = {\rho _1}v < 0$
et en vertu de la loi des nœuds, pour la seconde :
${j_2} = {j_0} - {j_c} = - {\rho _2}v > 0$
avec une densité totale de charges :
$\rho = {\rho _1} + {\rho _2} = - \frac{{{j_0}}}{v} - \frac{{{j_0} - {j_c}}}{v} = - \frac{{2{j_0} - {j_c}}}{v}$ ⇒ $j = 2{j_0} - {j_c}$
On vérifie ainsi l’hypothèse j constante par morceaux.
7) En tenant compte des expressions de j et des relations ${V_e} = {V_{min}}$et V_min + V₀ = 0, la dernière relation obtenue dans la question n° 4 s’écrit :
$\begin{array}{l}{\text{Si }}x < {x_{min}}\text{:  }\frac{2}{3}\sqrt{\frac{{{\varepsilon _{0}}}}{{2{j_0} - {j_c}}}\sqrt{\frac{{2e}}{m}} } {(V(x) + {V_0})^{3/4}} = - (x - {x_{min}}) \\{\text{  Si }}x > {x_{min}}\text{:  }\frac{2}{3}\sqrt{\frac{{{\varepsilon _{0}}}}{{{j_c}}}\sqrt{\frac{{2e}}{m}} } {(V(x) + {V_0})^{3/4}} = + (x - {x_{min}})\end{array}$
On impose les conditions aux limites :
$V(0) = 0\,\,{\rm{et}}\,\,V(d) = U{\rm{ }}$
d’où les deux relations :
$\,\,\frac{2}{3}\sqrt {\frac{{{\varepsilon _0}}}{{2{j_0} - {j_c}}}\sqrt {\frac{{2e}}{m}} } \,\,{V_0}^{3/4} = {x_{min}}\,\,{\rm{et }}\,\frac{2}{3}\sqrt {\frac{{{\varepsilon _0}}}{{{j_c}}}\sqrt {\frac{{2e}}{m}} } {(U + {V_0})^{3/4}} = d - {x_{min}}$.
En remplaçant j_c par I / S dans la dernière élevée au carré, on obtient :
$I = p{(U + {V_0})^{3/2}}$ avec $p = \frac{{4{\varepsilon _0}}}{9}\sqrt {\frac{{2e}}{m}} \frac{S}{{{{(d - {x_{\min }})}^2}}}$
alors que la première élevée au carré donne :
$x_{min}^2 = \frac{{{j_0}}}{{2{j_0} - {j_c}}}\left[ {\frac{{4{\varepsilon _0}}}{{9{j_0}}}\sqrt {\frac{{2e}}{m}\,} \,\,V_0^{3/2}} \right]$
8) En x = x_min(+), la densité de courant algébrique vaut −j_c = ρv et a une valeur finie ; or la vitesse v s’annule en ce point : la densité de charges est y donc infinie. En imposant les continuités du potentiel et du champ électrique, on impose un minimum de la fonction potentiel et l’annulation du champ électrique en x = x_min ; pour cette raison l’énergie potentielle d’un électron y est maximale et son énergie cinétique minimale s’annule ainsi que sa vitesse. La densité de charges d’espace s’exprime par la relation :
$\rho (x) = - \,{\varepsilon _0}\frac{{{d^2}V}}{{d{x^2}}}$
et d’après les résultats de la question n°7 :
${[V(x) + {V_0}]^{3/2}}\,\,\alpha \,\,\,{(x - {x_{min}})^2}$ $ \Rightarrow V(x) + {V_0}\,\,\alpha \,\,{(x - {x_{min}})^{4/3}}$
d’où :
$\frac{{{d^2}V}}{{d{x^2}}}\,\,\alpha \,\,{(x - {x_{min}})^{ - 2/3}}$ $ \Rightarrow $ $\rho (x)\,\,\alpha \,\,{(x - {x_{min}})^{ - 2/3}}$
La constante de proportionnalité est différente selon la position de x par rapport à x_min. La fonction potentiel est continue en x = x_min puisque V(x) + V₀ est proportionnel à (x −x_min) ^4/3, ici encore avec une constante de proportionnalité différente selon la position de x par rapport à x_min. On applique le théorème de Gauss à un cylindre délimité par deux sections droites d’abscisses x₁< x_min et x₂ > x_min :
$[E({x_2}) - E({x_1})]S = \frac{S}{{{\varepsilon _0}}}\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\rho (x)dx\,\, = \,\,} \frac{S}{{{\varepsilon _0}}}\left[ {{A_1}\int\limits_{{x_1}}^{{x_{min}}} {\frac{{dx}}{{{{(x - {x_{min}})}^{2/3}}}} + {A_2}\int\limits_{{x_{min}}}^{{x_2}} {\frac{{dx}}{{{{(x - {x_{min}})}^{2/3}}}}} } } \right]$
${\varepsilon _0}[E({x_2}) - E({x_1})] = - 3{A_1}{({x_1} - {x_{min}})^{1/3}} + 3{A_2}{({x_2} - {x_{min}})^{1/3}}$.
Si x₁ et x₂ tendent vers x_min , E(x₁) et E(x₂) tendent vers la même valeur. Le champ électrique et la fonction potentiel sont bien des fonctions continues de x. Le calcul de la question n° 7 est acceptable.

9) $0 < {j_c} < {j_0}$ $ \Rightarrow $${x_0}/\sqrt 2 \,\, < \,\,{x_{min}}\,\, < \,\,{x_0}$ avec ${x_0} = \frac{2}{3}\sqrt {\frac{{{\varepsilon _0}}}{{{j_0}}}\sqrt {\frac{{2e}}{m}} } \,\,V_0^{3/4} = {4,3.10^{ - 6}}\,{\rm{m}}$.
${3,0.10^{ - 6}}\,{\rm{m}} < \,\,{x_{min}}\,\, < \,\,{4,3.10^{ - 6}}\,{\rm{m de l'ordre de }}d\,{\rm{/}}\,{\rm{50}}$
On peut donc négliger x_min devant d à environ 2 % près. Tout se passe comme si la cathode était en réalité en x = x_min à un potentiel −V₀ où le champ électrique serait nul et d’où les électrons partiraient vers l’anode avec une vitesse nulle ; on parle de cathode virtuelle ; dans notre cas, elle est quasiment confondue avec la cathode réelle ; ci-dessous, l’allure de la courbe ( abscisses non proportionnées) :

L’intensité I = p (U + V₀)^3/2 s’annule si U = − V₀ = − 0,1 V et est maximale si U ≥ U_max = (j₀S / p)^2/3 −V₀ or p ≈ 1,75.10⁻⁴ unités S.I. d’où U_max ≈ 16,6 V. La résistance dynamique de la diode est :
$R = \frac{{dU}}{{dI}} = \frac{2}{{3p{{({V_0} + U)}^{1/2}}}}$ ; U = 1 V ⇒ $R = {3,6.10^3}\,\,\Omega $
et la résistance statique :
$R' = \frac{U}{I} = {4,9.10^3}\,\Omega $
10) $\frac{{dx}}{{dt}} = v = \sqrt {\frac{{2e}}{m}[{V_0} + V(x)]} $ ;
si $x > {x_{min}} \approx 0$ , ${\left( {\frac{2}{3}\sqrt {\frac{{{\varepsilon _0}}}{{{j_c}}}\sqrt {\frac{{2e}}{m}} } } \right)^{2/3}}{[V(x) + {V_0}]^{1/2}} = {x^{2/3}}$
$dt = {\left( {\frac{2}{3}\sqrt {\frac{{{\varepsilon _0}}}{{{j_c}}}\sqrt {\frac{{2e}}{m}} } } \right)^{2/3}}\sqrt {\frac{m}{{2e}}} \frac{{dx}}{{{x^{2/3}}}}$
et par intégration :
$t = 3\,{\left( {\frac{4}{9}\frac{{{\varepsilon _0}}}{{{j_c}}}\frac{m}{{2e}}d} \right)^{1/3}}$
Or si U = 1 V
${j_c} = \frac{p}{S}{(U + {V_0})^{3/2}} = 67,3\,{\rm{A}}{\rm{.}}{{\rm{m}}^{ - {\rm{2}}}}$ et $t = {9,6.10^{ - 10}}\,{\rm{s}}$
Si on ne tient pas compte de l’effet des autres électrons, en prenant la cathode à un potentiel nul avec des électrons d’énergie eV₀, on a :
$m\frac{{dv}}{{dt}} = - eE = e\frac{U}{d}$
$v = \frac{{eU}}{{md}}t + \sqrt {\frac{{2e{V_0}}}{m}} $ et $d = \frac{{eU}}{{2md}}{t^2} + \sqrt {\frac{{2e{V_0}}}{m}} \,t$ ⇒ $t = \frac{d}{U}\sqrt {\frac{{2e}}{m}} (\sqrt {U + {V_0}} - \sqrt {{V_0}} ) = \,\,{4,9.10^{ - 10}}\,s$
11) Si r > r_min , l’équation de conservation de la charge, avec j_c module de la densité de courant en r = r_a , implique :
$ - \rho v = \frac{I}{{2\pi rL}} = {j_c}\frac{{{r_a}}}{r}$.
Si r < r_min , en appelant j₂₀ le module de la densité de courant des électrons qui reviennent sur la cathode en r = r_c , les deux densités de courant algébriques sont :
${\rho _1}v = - {j_0}\frac{{{r_c}}}{r}$ et $ - {\rho _2}v = {j_{20}}\frac{{{r_c}}}{r}$ avec $I = 2\pi {r_c}L({j_0} - {j_{20}}) = 2\pi {r_a}L\,{j_c}$ d’où ${j_{20}} = {j_0} - {j_c}\frac{{{r_a}}}{{{r_c}}}$
La densité totale de charges est :
$\rho = {\rho _1} + {\rho _2} = - {j_0}\frac{{{r_c}}}{{rv(r)}} - {j_{20}}\frac{{{r_c}}}{{rv(r)}} \Rightarrow \, - \rho v(r) = ({j_0} + {j_{20}})\frac{{{r_c}}}{r}$
$ - \rho v(r) = (2{j_0} - {j_c}\frac{{{r_a}}}{{{r_c}}})\frac{{{r_c}}}{r}$
L’équation de Poisson s’écrit :
$\frac{1}{r}\frac{d}{{dr}}\left( {r\frac{{dV}}{{dr}}} \right) + \frac{{\rho (r)}}{{{\varepsilon _0}}} = 0$
et le théorème de l’énergie cinétique :
$v(r) = \sqrt {\frac{{2e}}{m}[{V_0} + V(r)]} $.
Si r < r_min, $\rho (r) = - \frac{1}{r}\sqrt {\frac{m}{{2e}}} \frac{{2{j_0}{r_c} - {j_c}{r_a}}}{{\sqrt {V(r) + {V_0}} }}$ et si r > r_min, $\rho (r) = - \frac{1}{r}\sqrt {\frac{m}{{2e}}} \frac{{{j_c}{r_a}}}{{\sqrt {V(r) + {V_0}} }}$ d’où :
$r < {r_{min}}\,:\,\,\,\frac{d}{{dr}}(r\frac{{dV}}{{dr}}) = \frac{1}{{{\varepsilon _0}}}\sqrt {\frac{m}{{2e}}} \frac{{2{j_0}{r_c} - {j_c}{r_a}}}{{\sqrt {V(r) + {V_0}} }}$ et $r > {r_{min}}\,:\,\,\,\frac{d}{{dr}}(r\frac{{dV}}{{dr}}) = \frac{1}{{{\varepsilon _0}}}\sqrt {\frac{m}{{2e}}} \frac{{{j_c}{r_a}}}{{\sqrt {V(r) + {V_0}} }}$
En plus, il faut imposer V(r) et dV / dr fonctions continues de r en r_min et V(r_c) = 0, V(r_a) = U.
Remarque : on peut également supposer d’emblée, par analogie avec le cas plan, que r_c et r_min << r_a ; il ne reste à étudier que le cas r > r_min ≈ 0 ; il reste la seconde des deux équations avec les conditions :
$V(0) + {V_0} = 0,\,{\left( {\frac{{dV}}{{dr}}} \right)_{r = 0}} = 0\,$, V(r_a) = U.
Analyse dimensionnelle : une quelconque des deux équations précédentes montre que :
$\frac{{{r_a}}}{{{\varepsilon _0}L}}\sqrt {\frac{m}{{2e}}} \frac{I}{{{{[V(r) + {V_0}]}^{3/2}}}}$
est une grandeur de dimension nulle ; c’est la seule grandeur physique qui intervient dans le phénomène ; d’après le théorème Π , elle est constante d’où :
$I = p{[V(r) + {V_0}]^{3/2}}$
avec p constante définie par les caractéristiques géométriques de la diode cylindrique.

1.2) Effet Schottky
12) Pour x > 0, pour la charge − e en x = + a et le plan au potentiel nul d’abscisse x = 0 ou pour la charge − e en x = + a et la charge + e en x = − a, on a ΔV = 0 (sauf à l’endroit de la charge +q) et V = 0 sur le plan x = 0 ainsi que sur une demi sphère centrée en x = 0 de rayon tendant vers l’infini ; il s’agit d’un problème de Dirichlet : en vertu du théorème d’unicité, la fonction potentiel pour x > 0 est la même ; le champ électrique est donc le même. Le champ électrique total est le champ $\vec E$ existant avant sortie de l’électron augmenté du champ de l’électron et de son image par rapport à la cathode.
13) La force exercée par l’image sur l’électron et l’énergie potentielle dont elle dérive sont :
$\vec f = - \frac{{{e^2}}}{{4\pi {\varepsilon _0}{{(2x)}^2}}}{\vec e_x}$ et ${E_p} = - \frac{{{e^2}}}{{4\pi {\varepsilon _0}(4x)}}$
L’énergie de l’électron est :
$W = - eEx - \frac{{{e^2}}}{{16\pi {\varepsilon _0}x}}$$ \Rightarrow $ $W = - eEx - \frac{{{e^2}}}{{16\pi {\varepsilon _0}x}}$
La valeur maximale de W est obtenue si :
$eEx = \frac{{{e^2}}}{{16\pi {\varepsilon _0}x}}$ $ \Rightarrow $ $x = {x_m} = \sqrt {\frac{e}{{16\pi {\varepsilon _0}E}}} $ et ${W_{max}} = - e\sqrt {\frac{{eE}}{{4\pi {\varepsilon _0}}}} $ avec $E = \frac{U}{d}$.
La valeur maximale de W sans tenir compte de l’image est nulle ; son abaissement s’écrit :
$\Delta W = \frac{{{e^2}}}{{16\pi {\varepsilon _0}{x_{min}}}} + eE{x_{min}}$$ \Rightarrow $$\Delta W = 2eE{x_{min}} = {\left( {\frac{{{e^3}E}}{{4\pi {\varepsilon _0}}}} \right)^{1/2}}$
14) Les électrons obéissent, dans le métal, à une loi statistique de type Fermi-Dirac, avec une dépendance en température prédominante dans un facteur exponentiel exp[− (E-E₀)/ kT ] où E est l’énergie de l’électron dans le métal et E₀ l’énergie maximale possible de l’électron lié au métal ; seuls les électrons ayant une énergie suffisante pourront vaincre la barrière de potentiel W_max − E₀ s’opposant à leur sortie et se retrouver à l’état libre. La densité de courant est :
$j_0^{'} = {j_0}\exp (\frac{e}{{kT}}\sqrt {\frac{{eU}}{{4\pi {\varepsilon _0}d}}} )$.
L’intensité du courant de saturation est :
$I_{sat}^{'} = j_0^{'}S = {j_0}S\exp (\frac{e}{{kT}}\sqrt {\frac{{eU}}{{4\pi {\varepsilon _0}d}}} ) = {1,2.10^{ - 2}}\exp (0,031\,\sqrt U )$
alors que l’équation de la caractéristique hors saturation est $I = {1,75.10^{ - 4}}{(U + 0,1)^{3/2}}$.
Pratiquement les deux courbes se coupent pour $U \approx 18\,{\rm{V}}$ et $I = I_{sat}^{'} \approx {1,35.10^{ - 2}}\,{\rm{A}}$
Alors que pour U = 200 V, $I = {1,9.10^{ - 2}}\,{\rm{A}}$ ; d’où l’allure de la caractéristique :

Le plateau de saturation monte lentement. En réalité le point anguleux n’existe pas.
Pour U = 20 V : ${x_m} = {6,0.10^{ - 8}}\,{\rm{m}}$ et pour U = 200 V : ${x_m} = {1,9.10^{ - 8}}\,{\rm{m}}$
La vitesse de départ des électrons vaut :
${v_0} = \sqrt {\frac{{2e{V_0}}}{m}} = {1,87.10^5}\,{\rm{m}}{\rm{.}}{{\rm{s}}^{ - 1}}$.
et la densité en électrons :
${n_0} = \frac{{{j_0}}}{{e{v_0}}} = {1,34.10^{17}}\,{\text{électrons par }}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}.$
La distance entre électrons est de l’ordre de $l = \frac{1}{{n_0^{1/3}}}$$ \Rightarrow $$l \approx {2.10^{ - 6}}\,{\rm{m}}$
Il fallait en effet considérer l’électron isolé.

1.3) Détection d’amplitude
15) ${U_A} = a(1 + \varepsilon \cos \omega t)\cos \Omega t = a[\cos \Omega t + \frac{\varepsilon }{2}\cos (\Omega - \omega )t + \frac{\varepsilon }{2}\cos (\Omega + \omega )t]$.
Si on utilise seulement des résistances, capacités et inductances, on construit un filtre linéaire qui ne peut que provoquer un appauvrissement du spectre en supprimant ou affaiblissant certaines des composantes sinusoïdales du signal ; en aucun cas, à partir du signal donné, on ne peut obtenir un signal constant et un signal sinusoïdal de pulsation ω. On ne peut obtenir que des sommes pondérées de signaux sinusoïdaux de pulsation Ω , Ω −ω , Ω +ω.
16) La diode réalise un redressement simple alternance du signal ; à partir de l’état de tension V_A maximale, le condensateur C étant chargé, V_A va diminuer mais alors le condensateur se décharge exponentiellement et lentement dans la résistance R ce qui s’oppose à la diminution rapide de V_B d’autant mieux que la constante de temps RC est élevée devant la période T = 2π / Ω du signal modulé :
$RC > > \frac{{2\pi }}{\Omega }$
La tension V_B aux bornes du condensateur diminue un peu mais se maintient pratiquement à une valeur voisine de V_{B max}. Alors, à des variations de haute pulsation Ω près et de très faible amplitude, il ne subsiste que le signal de fréquence ω.
Sur les courbes ci-après, on a représenté le signal après redressement simple alternance et filtrage des hautes fréquences par le circuit R , C de constante de temps élevée. La courbe résultante est en pointillé sur la seconde figure et s’approche précisément de $a(1 + \varepsilon \cos \omega t)$ si la décharge exponentielle est très lente.

17) Pour ne pas perdre l’information contenue dans la fonction modulatrice de basse fréquence, il faut :
$RC < < \frac{{2\pi }}{\omega }$
18) Remarquons que R << 1/Cω . Pour déterminer la tension basse fréquence aux bornes de R, la capacité n’intervient pratiquement pas. La diode présente une résistance r en sens conducteur ; il se produit une chute de tension dans cette résistance : la tension redressée est réduite dans le diviseur de tension r, R dans le rapport R / (R + r). Il faut donc pour éliminer cet effet que $r < < R$. En fin de compte, il faut ${10^{ - 8}}\,{\rm{s}} < RC < {10^{ - 4}}\,{\rm{s}}$ soit $RC \approx {10^{ - 6}}$s et en prenant comme résistance de la diode la valeur trouvée dans la question n° 9 :
$R > > {3,6.10^3}\,\Omega $ par exemple $R = 50000\,\Omega $ et donc $C = 20\,{\rm{pF}}$
19) Le condensateur est plan de capacité :
$\Gamma = \frac{{{\varepsilon _0}S}}{d} = 0,13\,{\rm{pF}}$
Si la diode est passante, plus la fréquence est élevée, plus l’impédance de la capacité Γ est faible et mieux c’est ; si la diode est bloquante, elle est remplacée par Γ ; la tension HF ne doit pas être transmise ; or en HF, la capacité C a une impédance nettement inférieure à R ; il reste donc un pont capacitif diviseur de tension fait de C en série avec Γ ; il faut :
$\frac{\Gamma }{{C + \Gamma }} < < 1$ soit $\Gamma < < C$
ce qui est réalisé ; il n’y a aucune condition sur la fréquence HF.
20) Le temps de transfert des électrons est environ 10⁻⁹ s, dix fois plus petit que la période T = 10⁻⁸ s. Il ne faut pas dépasser la centaine de mégahertz pour la fréquence de la porteuse.

II) Le klystron reflex
1) Les équations de Maxwell dans le vide, en présence d’un courant, s’écrivent
${\rm{div}}\,{\rm{\vec E}} = \frac{\rho }{{{\varepsilon _0}}}$, ${\rm{div}}\,{\rm{\vec B}} = 0$, $\overrightarrow {{\rm{rot}}} \,{\rm{\vec E}} = - \frac{{\partial {\rm{\vec B}}}}{{\partial t}}$,$\overrightarrow {{\rm{rot}}} \,{\rm{\vec B}}\, = {\mu _0}({\rm{\vec j}} + {\varepsilon _{\rm{0}}}\frac{{\partial {\rm{\vec E}}}}{{\partial t}})$.
2) Si le métal est parfait, ce qu’on suppose, le champ électrique dans le vide, au voisinage de la paroi, est normal à la paroi alors que le champ magnétique lui est tangentiel.
3) $\overrightarrow {{\rm{rot}}} \,\overrightarrow {{\rm{rot}}} \,{\rm{\vec E}} = \overrightarrow {{\rm{grad}}} \,{\rm{div}}\,{\rm{\vec E}} - \Delta {\rm{\vec E}} = - \Delta {\rm{\vec E}}$ et $\overrightarrow {{\rm{rot}}} \,\overrightarrow {{\rm{rot}}} \,{\rm{\vec E}} = - \frac{{\partial \overrightarrow {{\rm{rot}}} \,{\rm{\vec B}}}}{{\partial t}} = - \overrightarrow {{\rm{rot}}} \frac{{\partial \,{\rm{\vec B}}}}{{\partial t}} = - {\mu _0}(\frac{{\partial {\rm{\vec j}}}}{{\partial t}} + {\varepsilon _0}\frac{{{\partial ^{\rm{2}}}{\rm{\vec E}}}}{{\partial \,{t^2}}})$ d’où en supposant $\overrightarrow {grad} \,\rho = \vec 0$ :
$\Delta {\rm{\vec E}} - \frac{1}{{{c^2}}}\frac{{{\partial ^{\rm{2}}}{\rm{\vec E}}}}{{\partial \,{t^2}}} = {\mu _0}\frac{{\partial {\rm{\vec j}}}}{{\partial t}}$
et en projection sur l’axe des z :
$\Delta {E_z} - \frac{1}{{{c^2}}}\frac{{{\partial ^{\rm{2}}}{E_z}}}{{\partial \,{t^2}}} = {\mu _0}\frac{{\partial j}}{{\partial t}}$
4) Le champ électrique est supposé selon l’axe des z et indépendant de z, ce qui implique :
${\rm{div}}\,{\rm{\vec E}} = 0$ $ \Rightarrow $ $\rho = 0$ et forcément $\overrightarrow {grad} \,\rho = \vec 0$.
Le champ électrique obéit à l’équation :
$\frac{{{\partial ^{\rm{2}}}E}}{{\partial \,{x^2}}} + \frac{{{\partial ^{\rm{2}}}E}}{{\partial \,{y^2}}} - \frac{1}{{{c^2}}}\frac{{{\partial ^{\rm{2}}}E}}{{\partial \,{t^2}}} = {\mu _0}\frac{{\partial j}}{{\partial t}}$ $ \Rightarrow $$j = j(x,y,t)$
et aux conditions aux limites :
$E(0,y,t) = E(a,y,t) = 0$ et $E(x,0,t) = E(x,b,t) = 0$.
On prolonge la fonction E définie sur l’intervalle [0, a]×[0, b] par une fonction périodique impaire en x et y : la période en x doit être prise égale à 2a et de même la période en y doit être prise égale à 2b. On peut alors développer E en série de Fourier de x (à y et t donnés) : le développement ne comporte que des termes impairs en x et s’écrit :
$E = \sum\limits_{p = 1}^\infty {{E_p}(y,t)\sin (2\pi \,p{\rm{ }}\frac{x}{{2a}})} $.
Alors, il suffit de développer les E_p(y,t) , fonctions impaires de y, de période 2b, en série de Fourier, à t donné :
${E_p}(y,t) = \sum\limits_{q = 1}^\infty {{E_{pq}}(t)\sin (2\pi \,q{\rm{ }}\frac{y}{{2b}})} $
et en remplaçant dans l’expression précédente, on obtient une série double de Fourier :
$E = \sum\limits_{p = 1}^\infty {\sum\limits_{q = 1}^\infty {{E_{pq}}(t)\sin (2\pi \,p{\rm{ }}\frac{x}{{2a}})} } \sin (2\pi \,q{\rm{ }}\frac{y}{{2b}})$.
Il faut que j ait un développement en série double de Fourier du même type que celui de E car dans l’équation différentielle il n’existe pas de dérivées premières de E par rapport à x et y :
$j = \sum\limits_{p = 1}^\infty {\sum\limits_{q = 1}^\infty {{j_{pq}}(t)\sin (2\pi \,p{\rm{ }}\frac{x}{{2a}})} } \sin (2\pi \,q{\rm{ }}\frac{y}{{2b}})$.
On reporte les développements dans l’équation différentielle en E et on identifie terme à terme, d’où :
$ - \left[ {\frac{1}{{{c^2}}}\frac{{{d^{\rm{2}}}{E_{pq}}(t)}}{{d\,{t^2}}} + {\pi ^2}\left( {\frac{{{p^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{q^2}}}{{{b^2}}}} \right){E_{pq}}(t)} \right] = {\mu _0}\frac{{d{j_{pq}}(t)}}{{dt}}$

5) Si la cavité est totalement vide j_pq(t) = 0 d’où :
$\frac{{{d^{\rm{2}}}{E_{pq}}(t)}}{{d\,{t^2}}} + {\pi ^2}{c^2}\left( {\frac{{{p^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{q^2}}}{{{b^2}}}} \right){E_{pq}}(t) = 0$.
La solution est sinusoïdale de pulsation et fréquence :
${\omega _{pq}} = \pi c\sqrt {\frac{{{p^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{q^2}}}{{{b^2}}}} $ et ${\nu _{pq}} = \frac{c}{2}\sqrt {\frac{{{p^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{q^2}}}{{{b^2}}}} $
Puisque a = b, la plus petite des fréquences propres est
${\nu _{11}} = \frac{c}{{a\sqrt 2 }}$
et la fréquence immédiatement supérieure, avec p et q strictement positifs, s’écrit :
${\nu _{12}} = {\nu _{21}} = \frac{{c\sqrt 5 }}{{2a}}$.
En application numérique :
${\nu _{11}} = {3,03.10^9}\,{\rm{Hz}}$
6) Sur l’intervalle [0, a]×[0, b], j(x, y, t) = 0 sauf sur la surface s = δxδy centrée sur le point (a/2, b/2) où elle vaut −I(t) / s (en supposant que I(t) et j(x,y,t) sont de signes contraires afin de retrouver le signe de la formule à démontrer, mais ce n’est pas logique). On intègre la fonction ainsi définie sur le domaine [0, a]×[0, b] après multiplication par sin(mπ x / a) sin(nπ y / b) ce qui donne comme résultat −I(t) sin(mπ / 2) sin(nπ / 2) ; de même, on multiplie le développement en série de Fourier par le même facteur et on intègre sur le même domaine : en identifiant les deux résultats, on obtient :
$ - I(t)\sin \frac{{m\pi }}{2}\sin \frac{{n\pi }}{2} = \sum\limits_{p = 1}^\infty {\sum\limits_{q = 1}^\infty {{j_{pq}}(t)\int\limits_{x = 0}^a {\sin (m\pi \frac{x}{a})} } } \sin (p\pi \frac{x}{a})dx\int\limits_{y = 0}^b {\sin (m\pi \frac{y}{b})} \sin (m\pi \frac{y}{b})dy$.
Chacune des deux intégrales est nulle sauf si m = p et n = q et alors elles valent a/2 et b/2. D’où :
$I(t)\sin \frac{{p\pi }}{2}\sin \frac{{q\pi }}{2} = - \frac{{ab}}{4}{j_{pq}}(t)$
et donc j_pq(t) est nul si p ou q sont impairs et non nul si p et q sont pairs :
${\text{Seuls les modes caractérisés par }}p\,{\rm{et }}q\,{\text{pairs sont couplés au courant}}{\rm{.}}$
On aurait pu utiliser directement la formule :
${j_{pq}} = \frac{2}{{2a}}\frac{2}{{2b}}\int\limits_{x = 0}^{2a} {\int\limits_{y = 0}^{2b} {j(x,y,t)dxdy = } } \frac{2}{a}\frac{2}{b}\int\limits_{x = 0}^a {\int\limits_{y = 0}^b {j(x,y,t)dxdy} } $.
On pose $p = 2k + 1$ , $q = 2l + 1$ :$\varepsilon = + 1$ si k et l sont de même parité et −1 sinon, on obtient :
$\left[ {\frac{1}{{{c^2}}}\frac{{{d^{\rm{2}}}}}{{d\,{t^2}}} + {\pi ^2}\left( {\frac{{{p^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{q^2}}}{{{b^2}}}} \right)} \right]{E_{pq}}(t) = \frac{{4\varepsilon {\mu _0}}}{{ab}}\frac{{dI}}{{dt}}$
L’énonce comporte une erreur car ε est omis mais pour le mode (1,1) : ε = 1 ; elle n’est pas gênante.
7) Par application du théorème de l’énergie cinétique à un électron
$\frac{1}{2}mv_0^2 = eU$ $ \Rightarrow $ ${v_0} = \sqrt {\frac{{2eU}}{m}} = {5,3.10^7}\,{\rm{m}}{\rm{.}}{{\rm{s}}^{ - 1}}$
Le temps de traversée de la cavité est de l’ordre de :
$\Delta t = \frac{\delta }{{{v_0}}} = {5,7.10^{ - 11}}\,{\rm{s}}$
La période du mode (1,1) est T = 3,3.10⁻¹⁰ s : le temps de passage d’un électron est de l’ordre du sixième de la période du mode : l’approximation consistant à négliger le temps de passage devant la période est valable à 17 % près.

8) On suppose le champ constant sur la durée de la traversée ; le théorème de la quantité de mouvement, en supposant que $\left| {\delta v} \right| < < {v_0}$, implique :
$m\frac{{dv}}{{dt}} = - e{E_{11}}(t)$$ \Rightarrow $$\delta v = - \frac{{e{E_{11}}(t)}}{m}\Delta t = - \frac{{e\delta {E_{11}}(t)}}{{m{v_0}}}$ ou $\delta v = - \delta \sqrt {\frac{e}{{2mU}}} \,\,{E_{11}}(t)$
9) Ensuite, chaque électron est freiné dans le champ électrique engendré par la d.d.p. U + U ’, s’arrête puis repart en sens contraire pour revenir dans la cavité avec la vitesse de départ v₀ + δ v(t) ; le temps d’aller-retour s’obtient par application du théorème de la quantité de mouvement :
$m\frac{{dv}}{{dt}} = - \frac{{e(U + U')}}{d}$ $ \Rightarrow $ $v(t) - [{v_0} + \delta v(t)] = - \frac{{e(U + U')\,t}}{{md}}$.
La vitesse s’annule quand il y a rebroussement à t_max :
${t_{max}} = \frac{{md[{v_0} + \delta v(t)]}}{{e(U + U')}}$
et la durée d’aller-retour est le double de t_max :
$t' - t = \frac{{2md[{v_0} + \delta v(t)]}}{{e(U + U')}}$
10) La durée de traversée de la cavité, au deuxième ordre près en δ , ne dépend pas du temps ; une charge δq qui entre en z = 0 en une durée donnée ressort en z = δ en une durée égale : l’intensité du courant du faisceau électronique entrant en z = 0 est I₀, c’est aussi son intensité en z = δ.
Après la cavité, une charge δq part de z = δ à la date t en une durée dt , l’intensité étant I₀, et y revient à la date t’ en une durée dt’, l’intensité étant I’(t’), telles que :
$\delta q = {I_0}dt = I'(t')dt'$.
En termes d’intensités en z = δ :
${I_0} = \frac{{\delta q}}{{dt}}$,$I'(t') = \frac{{\delta q}}{{dt'}}$, $I'(t') = {I_0}\frac{{dt}}{{dt'}}$
A l’aller et au retour, la vitesse a même module v₀ + δ v(t) mais a changé de sens ; en appelant ρ la densité de charge au départ en z = δ et ρ’(t’) la densité de charge au retour, on a :
$\delta q = \rho \,s[{v_0} + \delta v(t)]dt = \rho '(t')\,s[{v_0} + \delta v(t)]dt'$ et donc $\rho '(t') = \rho \frac{{dt}}{{dt'}}$
L’intensité totale à la date t’ en z = δ et donc l’intensité à la même date en z = 0, puisque la densité de courant totale ne dépend pas de z par hypothèse, s’écrivent :
$I(t') = {I_0} - I'(t') = {I_0}(1 - \frac{{dt}}{{dt'}}) = {I_0}[1 - \frac{{\rho '(t')}}{\rho }]$
Au premier ordre en δ , la modulation de l’intensité se fait uniquement en densité : les électrons se regroupent par paquets et chaque paquet en repassant dans la cavité excite les oscillations de la cavité. Il existe également une modulation en vitesse mais qui intervient au second ordre en δ et dont on ne tient pas compte. Il faut différentier la relation entre t et t’ obtenue dans la question n° 9 pour obtenir le rapport dt / dt’ :
$\frac{{dt'}}{{dt}} = 1 + \frac{{2md}}{{e(U + U')}}\frac{{d(\delta v(t))}}{{dt}} = 1 - \frac{{2d\delta }}{{U + U'}}\sqrt {\frac{m}{{2eU}}} \frac{{d{E_{11}}(t)}}{{dt}}$
et en supposant que dt’/ dt ne diffère que peu de l’unité, au second ordre près en δ :
$\frac{{dt}}{{dt'}} \approx 1 + \frac{{2d\delta }}{{U + U'}}\sqrt {\frac{m}{{2eU}}} \frac{{d{E_{11}}(t)}}{{dt}}$ et $I(t') = - \frac{{2d\delta {I_0}}}{{U + U'}}\sqrt {\frac{m}{{2eU}}} \frac{{d{E_{11}}(t)}}{{dt}}$
L’équation différentielle faisant figurer t et t’ s’écrit en utilisant l’équation différentielle démontrée dans la question n° 6 avec la substitution t → t’ :
$\frac{{{d^{\rm{2}}}{E_{11}}(t')}}{{d\,t{'^2}}} + \omega _{11}^2{E_{11}}(t') = \frac{{4{\mu _0}{c^2}}}{{ab}}\frac{{dI(t')}}{{dt'}} = - \frac{{8d\delta {I_0}}}{{{\varepsilon _0}ab(U + U')}}\sqrt {\frac{m}{{2eU}}} \frac{d}{{dt'}}\left( {\frac{{d{E_{11}}(t)}}{{dt}}} \right)$
11) Par hypothèse :
${E_{11}}(t) = {E_{11}}(t'){e^{ - i\phi }}$
et dans la dérivation par rapport à t, en confondant dt’ et dt, ce qui est légitime au second ordre près en δ , on obtient l’équation différentielle ordinaire :
$\frac{{{d^{\rm{2}}}{E_{11}}(t')}}{{d\,t{'^2}}} + \omega _{11}^2{E_{11}}(t') = - \frac{{8d\delta {I_0}}}{{{\varepsilon _0}ab(U + U')}}\sqrt {\frac{m}{{2eU}}} \,\,{e^{ - i\phi \,}}\frac{{{d^2}{E_{11}}(t')}}{{dt{'^2}}}$
$\left( {1 + \frac{{8d\delta {I_0}}}{{{\varepsilon _0}ab(U + U')}}\sqrt {\frac{m}{{2eU}}} \,\,{e^{ - i\phi \,}}} \right)\frac{{{d^{\rm{2}}}{E_{11}}(t')}}{{d\,t{'^2}}} + \omega _{11}^2{E_{11}}(t') = 0$
12) On cherche des solutions en e^pt ; l’équation caractéristique s’écrit :
${p^2} = - \frac{{\omega _{11}^2}}{{1 + \frac{{8d\delta {I_0}}}{{{\varepsilon _0}ab(U + U')}}\sqrt {\frac{m}{{2eU}}} \,{e^{ - i\phi }}}}$ $ \Rightarrow $$p \approx \pm \,i\omega _{11}^{}(1 - \frac{{8d\delta {I_0}}}{{{\varepsilon _0}ab(U + U')}}\sqrt {\frac{m}{{2eU}}} \,{e^{ - i\phi }})$
La partie réelle de p représente le coefficient d’amplification η et sa partie imaginaire la pulsation d’oscillation ω_r :
$\eta = \mp \,\,{\omega _{11}}\frac{{8d\delta {I_0}}}{{{\varepsilon _0}ab(U + U')}}\sqrt {\frac{m}{{2eU}}} \,\sin \phi $ et ${\omega _r} = \pm \,{\omega _{11}}(1 - \frac{{8d\delta {I_0}}}{{{\varepsilon _0}ab(U + U')}}\sqrt {\frac{m}{{2eU}}} \,\cos \phi )$.
Application numérique : on doit prendre la valeur de ω_r positive ou sa valeur négative mais pas les deux car on va voir dans la question n° 13 que $\phi = {\omega _r}(t' - t)$ et de ce fait on choisit un des deux signes ; on choisit : $\eta = \, - {9,4.10^8}{I_0}\sin \phi $ et ${\omega _r} = \,{\omega _{11}}(1 - {4,9.10^{ - 2}}{I_0}\cos \phi )$. Pour une intensité de l’ordre du nanoampère, la constante de temps est de l’ordre de la seconde et la pulsation est pratiquement égale à ω_11. La solution est de la forme ${E_{11}}(t') = A{e^{\eta t}}{e^{i{\omega _r}t'}}$. On n’a pas superposition des deux solutions car on a fait le choix a priori d’une des deux valeurs possibles de ϕ . Le champ électrique diverge si η > 0 donc si sinϕ < 0 ; alors l’état de champ électrique infiniment petit est instable : la cavité oscille.

13) $\phi = {\omega _r}(t' - t)$ ; en négligeant δv(t) devant v₀, on obtient $\phi \approx {\omega _{11}}\frac{{2dm{v_0}}}{{e(U + U')}}$ ou $\phi = {\omega _{11}}\frac{{2d}}{{U + U'}}\sqrt {\frac{{2mU}}{e}} $ et numériquement : $\frac{\phi }{{2\pi }} = 8,6$ d’où sinϕ < 0.
14) Dans le plan xOy, la projection de la trajectoire est un cercle de rayon $R = \frac{{m{v_ \bot }}}{{eB}}$mais selon Oz le mouvement est uniformément accéléré : la trajectoire est une hélice circulaire de pas variable. Le mouvement selon Oz n’est pas affecté par ${\vec v_ \bot }$. Le champ magnétique évite de perdre des particules s’il est assez intense et que $R < \sqrt s $ alors tous les électrons arrivent sur la cathode ; par exemple, si ${v_ \bot } \approx \sqrt {\frac{{2e{V_0}}}{m}} $et $R \approx 1\,{\rm{mm}}$alors $B \approx {10^{ - 3}}\,{\rm{T}}$est réalisable ; cependant, la vitesse v_// n’est pas nulle et présente une certaine dispersion.