Concours ENS de Cachan et École Polytechnique (PSI) 1999 (Énoncé)

Dans ce problème nous allons étudier différents dispositifs entrant dans la réalisation d’un bus électrique à conduite partiellement automatisée.
Les quatre parties du problème sont indépendantes, elles s’intéressent respectivement :

• au système de propulsion et de direction du bus
• aux transferts énergétiques
• à la conduite automatisée
• au dispositif radar de surveillance de la chaussée

La réalisation d’un tel système est en bonne voie, même si, les solutions retenues ne sont pas entièrement celles proposées dans la suite de ce problème.
Les candidats sont vivement encouragés à définir et à utiliser des paramètres non donnés explicitement dans l’énoncé mais qui permettent d’alléger et de simplifier les calculs.

I) Groupe moteur
Dans cette partie, Les moteurs à courant continu sont supposés identiques avec un même courant circulant dans chaque inducteur, il en résulte que le paramètre de proportionnalité entre, par exemple, le couple et le courant dans l’induit I est le même pour tous les moteurs. On notera Φ ce paramètre.

Machine à courant continu

Il convient d’étudier et de modéliser les machines à courant continu qui serviront à faire avancer le véhicule. Le modèle retenu est celui d’une force contre électromotrice e, sans pertes, en série avec une résistance R et une inductance L, et, pour la partie mécanique, un moment d’inertie global J (voir la figure 1). On négligera les frottements.
Les variables décrivant le système sont Ω et I
A
A l’instant initial, le système étant au repos et le circuit électrique ouvert, on ferme en branchant une source de tension constante U₀.

Ecrire les équations électriques et mécaniques décrivant le comportement du système.
Montrer que ces équations admettent une solution indépendante du temps :
(Ω₀ ,I₀).
On donne :

\[\frac{{\sqrt {L\,J} }}{\Phi } = 3\,\,S.I.\,\,\,et\,\,\,\,\frac{R}{{2\,\Phi }}\sqrt {\frac{J}{L}} = 5\,\,S.I.\] Préciser les unités de ces constantes

Résoudre ces équations afin d’obtenir la vitesse de rotation Ω(t) de la machine.
On observe expérimentalement qu’un régime permanent est effectivement atteint avec un courant dans la machine I_P .Est-ce compatible avec le modèle précédent ? Proposer une correction si nécessaire. On négligera ce courant dans les calculs ultérieurs.
Déterminer le nouveau régime permanent.
Déterminer la vitesse de rotation Ω(t) et l’intensité du courant I(t) après l’application de C₀. On choisira une nouvelle origine pour le temps.

B

Une fois le régime permanent atteint on impose un couple constant C₀ sur l’arbre du moteur.

Hacheur

Figure 2
On considère une source de tension continue idéale U₀>0 reliée par un dispositif de conversion de puissance composée de deux interrupteurs K et K’ à une source de courant continu I₀>0 (voir la figure 2).
A
L’interrupteur K est fermé pendant la durée αT, puis ouvert pendant (1-α)T.

Déterminer le cycle de fonctionnement de l’interrupteur K’
Calculer la valeur moyenne de la tension U(t) délivré par le dispositif
Calculer la puissance moyenne transmise à la source de courant.
Quelle est la nature des interrupteurs K et K’, les plus simples, convenant pour réaliser ce dispositif ?

B

La source de courant est maintenant remplacée par une inductance L en série avec une résistance R et une source de tension continue E<U₀.

Calculer en fonction du temps, en régime périodique permanent, le courant dans l’inductance pour E=0V. On utilisera, après les avoir déterminées, les valeurs maximum et minimum de l’intensité de ce courant
Quel type de comportement peut-on observer si α devient trop petit ?
Comment doit-on modifier les interrupteurs K et K’ par rapport au 2.4 pour Que la puissance puisse être reçue par la source U₀ ?

Association machine-hacheur

Sur la source de tension et les deux interrupteurs précédents est maintenant branché une machine à courant continue comme celle étudier au 1.1.
On supposera ici l’inductance L nulle et on assimilera la tension délivrée par le dispositif U(t) à sa valeur moyenne sur une période de fonctionnement T : <U(t)>.
A

Ce moteur servant à mettre en mouvement un véhicule, l’inertie globale J est en grande partie due à la masse de ce véhicule. Justifier cette affirmation.
Si au démarrage du moteur on laisse l’interrupteur K continuellement fermé, donner la valeur maximum du courant circulant dans le moteur I_M en fonction de R et de U₀.

B

On souhaite limiter le courant à I_M/2 tout en gardant α le plus grand possible

Déterminer <U(t)> et l’évolution de α(t)
Déterminer Ω(t) si la vitesse finale est la plus élevée possible.
Donner l’allure sommaire des courbes Ω(t), I(t) et <U(t)> en précisant le type d’alimentation.
Expliquer ce qui aurait été changé si on avait pris en compte
- l’inductance
- U(t).

Pont différentiel électrique

Nous allons d’abord étudier un mode de traction électrique utilisé dans certains chariots de manutention dont la roue arrière est directrice et les deux roues avant motrices. On associe, en série, dans le même circuit électrique, deux moteurs à courant continu entraînant les deux roues avant. Les moteurs sont supposés identiques et les roues directrice et motrices ont même diamètre D. Le chariot se déplace sur un plan horizontal.

Déterminer en fonction de Φ, D et la tension d’alimentation de l’ensemble U₀ la vitesse v₀ du chariot en ligne droite en régime permanent.
Le chariot a maintenant une trajectoire circulaire décrite à vitesse constante (voir la figure 3), calculer les vitesses de rotation Ω_d (droit) et Ω_g (gauche) des moteurs et les comparer à celle calculée précédemment.

Pont différentiel électronique

Le bus est réalisé à l’aide de plusieurs remorques articulées et les impératifs de la circulation urbaine exigent que ces remorques suivent une trajectoire inscrite sur une chaussée réservée assez étroite. Plutôt que de réaliser un véhicule classique avec un essieu moteur, chaque roue est entraînée par un moteur électrique, disposant de sa propre alimentation et de sa propre commande, de manière à forcer une trajectoire bien précise pour les remorques, celle-ci ressemblant plus à celle empruntée par un train sur ses rails. On donne des courbes représentant la vitesse de rotation des machines et leur courant d’induit en fonction du temps.

Comment peut-on mesurer la vitesse de rotation des moteurs ?
On veut mesurer un courant continu. Peut-on utiliser un transformateur ? Justifier votre réponse.
A partir de la mesure du courant, de la donnée du paramètre α et de la vitesse de rotation, comment déterminer la puissance mécanique fournie par le moteur et la puissance électrique consommée ?
– Quels paramètres faut-il connaître ?
– Comparer ces puissances
Quelles modifications doit-on apporter au système étudié dans la partie 3 pour permettre au moteur de fournir de l’énergie à la source pendant les phases de freinages
Pour le démarrage, on alimente les moteurs un petit peu avant de relâcher les freins, ce qui se fait quand les portes sont complètement fermées, pourquoi ?
Commenter les vitesses de rotation et intensité des courants en fonction du temps, obtenus à partir de simulations, pour les courbes N° 1 à 4 donnée en annexe.
On s’attachera à décrire le comportement du bus, le fonctionnement des systèmes moteurs-hacheurs en faisant des bilans de puissance, sommaires et qualitatifs, pour chaque étape et en précisant les modes d’alimentation ou de régulation.
Note : les tracés sont effectués en coordonnées réduites (les grandeurs sont divisées par une de leurs valeurs caractéristiques pour obtenir un résultat sans dimension).
On utilisera, pour répondre à la question, les courbes en annexe sur lesquelles on reportera lisiblement des légendes . Les courbe N°1, courbe N°2, courbe N°3, courbe N°4 sont à rendre avec la copie

II) Alimentation en énergie

Moteur thermique

Pour de raison de coût et de mobilité, le bus doit être autonome. L’alimentation générale du bus ne peut être exclusivement d’origine électrique, l’autonomie des batteries est insuffisante, et le temps de recharge prohibitif. On adopte un système hybride, un moteur thermique produira l’énergie électrique nécessaire à un fonctionnement normal du bus et des batteries pourront compléter les besoins en fournissant un complément lors des accélérations et en absorbant l’énergie restituée lors des freinages.
Le moteur thermique fonctionnant en continu son rendement est optimal et la pollution engendrée est inférieur à un fonctionnement irrégulier, on peut même imaginer de couper le moteur thermique dans les zones sensibles. De manière à ne pas sur dimensionner les batteries, on peut aussi, pour les montées à forte pente, prévoir une alimentation extérieur par caténaires.

Faire un schéma de tous les systèmes de transfert et de conversion de puissance nécessaires au bon fonctionnement du bus, on précisera le sens et le type de puissance transférée : puissance thermique P_th , puissance mécanique P_m , puissance électrique P_e ,( =continue ou ~ alternative).
Pour le moteur thermique fonctionnant entre deux sources de chaleur, peut-on raisonnablement envisager un rendement de 95% ?

Dégagement de chaleur des moteurs électriques

De manière à déterminer si les moteurs électriques doivent disposer d’un système de refroidissement, il faut calculer la température de fonctionnement en fonction des pertes dans le moteur. On désigne par Ψ les pertes moyenne par unité de temps.
Chaque moteur est entouré d’une enveloppe. Dans cette première modélisation, assez grossière, on considère cette enveloppe comme sphérique de rayon intérieur R₁ et de rayon extérieur R₂ .

Exprimer la température en régime permanent sur la face intérieure en fonction des paramètres géométriques, de la conductivité Κ du matériau de l’enveloppe et de la température extérieur T₀.

III) Asservissement de direction du bus
Pour assurer le positionnement du bus le long des quais de débarquement ainsi qu’à l’intérieur des voies étroites pour la circulation urbaine, il est nécessaire de confier la conduite à un dispositif automatique. La contrainte la plus sévère à réaliser étant l’approche des stations où la position du bus doit être contrôlée à mieux que 3 centimètres.
On se placera dans le cas où la voie est presque rectiligne et horizontale. On notera v₀=50km/h la vitesse du bus qui sera prise constante.

Capteur CCD ou DTC (dispositifs à transfert de charge)

La solution adoptée pour repérer l’emplacement du bus sur la chaussée, est la visualisation par une caméra à capteur CCD d’une bande blanche située au milieu de la voie réservée.
Cette caméra est composée de barrettes CCD. Ce sont des capteurs optoélectroniques dans lesquels va se créer une quantité de charge q dépendant de l’éclairement, cette charge pourra être ensuite transférée vers la sortie de la barrette.
Les interrupteurs de la figure 4 fonctionnent de la manière suivante :
K₁ est fermé et K₂ ouvert puis, on ouvre K₁ et la barrette transmet la quantité de charges accumulées, ensuite K₂ est fermé, et on retourne au point de départ en ouvrant K₂ puis en fermant K₁.

Expliquer le fonctionnement du dispositif.
Comment s’appelle l’élément final de la chaîne, dont la caractéristique est donnée à la figure 5 ? Quel est son rôle ?

Construction du signal de position

Dans la caméra, les barrettes sont placées dans le sens de la marche, et on désire obtenir une tension E(t) quasiment proportionnelle à l’écart y(t) entre la position centrale sur la caméra Y(t) et la bande blanche Y₀(t). Le système est composé de 2N+1 barrettes et la bande blanche à une largeur de 2P+1 barrettes (N>P). On utilise pour ce faire le montage de la figure 6

Exprimer la tension E(t) en fonction des tensions U₁(t)…U_2N+1(t) ,obtenues en sortie de l’étage étudié au 8.1 et reproduit pour chacune des barrettes CCD, et des conductances G, G₁…G_NDéterminer les relations à imposer entre les conductances G, G₁…G_N représentées sur la figure 6. On supposera dans la suite le rapport entre E(t) et y(t) constant et égal à A

Fonction de transfert de la direction électrique

La tension obtenue précédemment va servir à commander la direction prise par le bus b(t)=sin(α(t)) (voir la figure 7). Pour obtenir une commande parfaitement adaptée, on réalise une série d’expériences permettant de tracer le diagramme de Bode de la fonction de transfert H(p), reliant la grandeur d’entrée E(p) et la grandeur de sortie B(p) (voir la courbe N°5)

Donner un exemple de fonction de transfert pouvant convenir en justifiant votre choix.
Le module réduit représente le module de H(p) divisé par une constante H₀ et la fréquence réduite représente la fréquence multipliée par 2π et divisée par une constante ω₀ .

Asservissement de la direction

On relie désormais le système caméra à la commande de direction.

Montrer que l’on peut relier Y(t), la position du centre de la caméra, à b(t) et v par une équation différentielle.
Faire le schéma de l’asservissement de position du bus.
Expliquer l’utilité de cet asservissement
Calculer la fonction de transfert G(p) reliant Y(p) à Y₀(p) et la mettre sous la forme : (1+2λp/ω₁+(p/ω₁)²)^-1 .

Réglage de l’asservissement

La fonction de transfert H(p) est déjà le résultat d’un asservissement et on peut faire varier la valeur de H₀.

A, H₀ et ω₀ sont reliés par la relation suivante A H₀ ω₀ =6.3 (ms)^-1 ; commenter cette relation.
Déterminer ω₀ pour que λ=0.7 et justifier le réglage.

Vérification du réglage

On relève lors d’un essai les courbes Y(t) et Y₀(t) (courbe N°6, le temps réduit vaut ω₁t).

La différence vient de la position observée par la caméra qui n’est pas tout à fait au niveau des roues avant, calculer le décalage du capteur aux roues.
Quel effet cela a-t-il sur la fonction de transfert G(p) ?
Quel effet cela a-t-il sur Y(t) pour les courbes données ?

IV) Radar à balayage électronique

Pour plus de sécurité, on place à l’avant du bus un radar, afin de surveiller la route. En circulation urbaine, il est inévitable que d’autres véhicules traverse la trajectoire, le radar devra donc détecter les obstacles, puis analyser leurs futures trajectoires avant de déclencher un signal au chauffeur ou un freinage d’urgence.
Le radar va émettre un rayonnement électromagnétique dans une direction, puis attendre un éventuel retour qui sera interprété.

Dipôle oscillant

Pour étudier le rayonnement électromagnétique émis par une antenne, on utilise le modèle du dipôle oscillant.
On cherche le champ électromagnétique créé par un moment dipolaire colinéaire à l’axe Oz et placé en O. La représentation complexe de sa projection sur cet axe est P=P₀ e ^iωt
A
Les solutions trouvées sont en coordonnées sphériques, en projection sur la base sphérique :
\[{\bf{\vec E}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{(ikr + 1)\frac{1}{{4\pi {\varepsilon _0}}}2{P_0}\frac{{\cos (\theta )}}{{{r^3}}}\,{e^{i(\omega t - kr)}}}\\{(1 + ikr - {{(kr)}^2})\frac{1}{{4\pi {\varepsilon _0}}}{P_0}\frac{{\sin (\theta )}}{{{r^3}}}\,{e^{i(\omega t - kr)}}}\\0\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,et\,\,\,\,\,{\bf{\vec B}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0\\0\\{i{\mu _0}\frac{\omega }{{4\pi }}(1 + ikr){P_0}\frac{{\sin (\theta )}}{{{r^2}}}\,{e^{i(\omega t - kr)}}}\end{array}} \right.\]

Donner les équations de maxwell dans le vide.
Préciser l’expression de la constante k
Commenter les solutions trouvées

B

On se place dans la zone de rayonnement r>>λ (longueur d’onde)

Définir λ

Déterminer les expressions du champ dans la zone de rayonnement
Justifier l’affirmation suivante : le champ électromagnétique a localement la structure d’une onde plane

Association de deux antennes

On considère maintenant de petites antennes émettant un rayonnement électromagnétique que l’on admettra sinusoïdal de fréquence f=6GHz, et dont les caractéristiques seront assimilées à celui d’un dipôle rayonnant d’axe vertical.
L’étude du champ électromagnétique se fera dans le plan horizontal contenant les antennes.
A

On dispose côte à côte deux antennes identiques (A₁ et A₂), distantes de a, et définies par deux moments dipolaires P₁ et P₂ identiques.
Etudier le champ électrique dans le plan horizontal contenant les antennes sur la médiatrice de A₁A₂.
Quel phénomène cela évoque-t-il pour vous ?
Préciser, qualitativement, l’évolution des caractéristiques de ce phénomène quand on s’éloigne de cet axe.
Peut-on envisager de reproduire ce résultat avec des fréquences de 10¹⁴ à 10¹⁵ Hz ?mise dans une direction particulière, situé vers l’avant du bus, que l’on nommera direction d’observation. La réflexion du rayonnement se produira suffisamment loin des antennes pour que l’on puisse considérer, par la suite, que les rayons issus des antennes sont parallèles. Déterminer la valeur moyenne du vecteur de Poynting en fonction de la direction d’observation et de la distance

B

L’antenne A₂ est maintenant alimentée à travers une ligne à retard de façon à ce que P₂ subisse un déphasage de φ par rapport à P₁ .

On désire pouvoir observer de chaque coté de la direction du bus avec un écart angulaire maximum de 60°, déterminer les valeurs de a convenables. On choisit a=2cm pour la suite.
La fréquence du rayonnement des deux antennes diffère de 1MHz, qu’obtient-on ?

Association d’un ensemble d’antennes

On dispose maintenant de 20 petites antennes identiques aux antennes précédentes.

Quand le déphasage φ entre les antennes est nul, déterminer la puissance rayonnée dans une direction par l’ensemble des antennes.
Comment régler les déphasages pour concentrer le rayonnement en direction d’un objet situé 60 mètre devant le bus, 5 mètre sur la gauche de sa direction ?.
Peut-on espérer distinguer un autre objet situé à 3 mètre de celui-ci ?

Effet Doppler

Le radar précédent permet de déterminer la direction d’un objet, mais aussi sa distance. La fréquence de l’onde réfléchie subie aussi une modification proportionnelle à la projection de la vitesse relative de l’objet par rapport au bus sur la direction reliant l’objet au bus.

Proposer une méthode permettant de mesurer cette vitesse à partir de tensions images des ondes émises et réfléchies.

Concours Physique ENS Ulm (C/S) 1998 (Corrigé)

ENS ULM groupe C/S - Physique - Session de 1998

I) Caractéristique d’une diode à vide
1.1) Charge d’espace
1) Si l’anode est à un potentiel positif, elle attire les électrons : le circuit est fermé et il circule un courant conventionnel en sens contraire du sens de déplacement des électrons, la diode est passante sinon l’anode repousse les électrons et si son potentiel devient négatif et assez grand en valeur absolue, ceux ci ne l’atteignent pas : le courant est nul et la diode est bloquée.
2) Le théorème de l’énergie cinétique, entre départ de la cathode et arrivée sur l’anode, s’écrit
${E_c} - e{V_0} = - e(0 - U) \Rightarrow {E_c} = e({V_0} + U) \ge 0$ et donc $U \ge - {V_0}$ quand l’intensité est non nulle ; alors elle vaut j₀ S ; la courbe caractéristique représentative de I en fonction de U est donnée ci-dessous.

3) Équation de Poisson :
$\Delta V + \frac{\rho }{{{\varepsilon _0}}} = 0$ et $V = V(x)$ $ \Rightarrow $$\,\frac{{{d^2}V}}{{d{x^2}}} + \frac{\rho }{{{\varepsilon _0}}} = 0$
et théorème de l’énergie cinétique entre départ et abscisse x :
$\frac{1}{2}m{v^2} = e[{V_0} + V(x)]$ $ \Rightarrow $$v = \sqrt {\frac{{2e}}{m}[{V_0} + V(x)]} $
4) On appelle j la valeur du produit − ρ v d’où ρ = − j / v ; on remplace v par son expression dans l’expression de ρ qu’on reporte dans l’équation de Poisson ; on multiplie les deux membres de l’équation obtenue par dV / dx et on intègre sans oublier la constante d’intégration déterminée par la valeur du potentiel V_e à l’abscisse x_e où le champ électrique, c’est-à-dire − dV / dx, s’annule ; à cette abscisse, le potentiel possède un extremum qui est un minimum car la charge d’espace est négative et la dérivée seconde du potentiel est positive ; le minimum n’est pas forcément compris entre 0 et d ; la relation obtenue s’écrit :
${\left( {\frac{{dV}}{{dx}}} \right)^2} = \frac{{4j}}{{{\varepsilon _0}}}\sqrt {\frac{m}{{2e}}} (\sqrt {{V_0} + V(x)} - \sqrt {{V_0} + {V_e}} )$
En prenant la racine, selon que la fonction V(x) est croissante ou décroissante, il faut introduire un signe + ou − :
$\frac{{dV}}{{dx}} = \pm \sqrt {\frac{{4j}}{{\varepsilon _0}}\sqrt {\frac{m}{{2e}}} } {\left(\sqrt {{V_0} + V(x)} - \sqrt {{V_0} + {V_e}} \right) ^{1/2}}{\text{ avec }}\, + \,\,{\text{si }}\frac{{dV}}{{dx}} > 0{\text{ et }}\, - {\text{ si }}\frac{{dV}}{{dx}} < 0,V({x_e}) = {V_e},{\left( {\frac{{dV}}{{dx}}} \right) _{{x_e}}} = 0$
Pour que la racine soit définie, il faut V(x) > V_e dans l’hypothèse j > 0. On sépare les variables et afin d’éliminer la racine, on pose :
${u^2} = \sqrt {{V_0} + V(x)} - \sqrt {{V_0} + {V_e}} {\rm{ avec }}u \ge 0$ d’où $2udu = \frac{{dV}}{{2\sqrt {{V_0} + V(x)} }}$
et après remplacement de du et u dans l’équation donnant dV / dx et simplification par u, on obtient :
$({u^2} + \sqrt {{V_0} + {V_e}} )du = \pm \frac{{dx}}{4}\sqrt {\frac{{4j}}{{{\varepsilon _0}}}\sqrt {\frac{m}{{2e}}} } $
ce qui s’intègre en tenant compte que u = 0 en x = x_e sous forme :
$u(\frac{{{u^2}}}{3} + \sqrt {{V_0} + {V_e}} ) = \pm \frac{1}{2}\sqrt {\frac{j}{{{\varepsilon _0}}}\sqrt {\frac{m}{{2e}}} } (x - {x_e})$
En remplaçant u par sa valeur, il reste :
$\frac{2}{3}\sqrt {\frac{{{\varepsilon _0}}}{j}\sqrt {\frac{{2e}}{m}} } {(\sqrt {V(x) + {V_0}} - \sqrt {{V_e} + {V_0}} )^{1/2}}(\sqrt {V(x) + {V_0}} + 2\sqrt {{V_e} + {V_0}} ) = \pm \,(x - {x_e})$
5) Quand x varie de 0 à d, le potentiel est continu (par définition d’un potentiel) et en supposant le champ électrique continu dV / dx est continu ; on suppose que la fonction potentiel passe par un minimum pour une abscisse x_e = x_min comprise entre 0 et d (on pourrait aussi avoir le minimum mathématique pour une abscisse négative : alors le potentiel le plus bas serait V = 0 en x = 0 ) ; on pose V_e = V_min. Les points atteint par les électrons vérifient la condition :
$\frac{1}{2}m{v^2} = e[{V_0} + V(x)] \ge 0$ soit $V(x) \ge - {V_0}$
qu’on étudie graphiquement sur le graphe ci-dessous :

$\left\{ \begin{array}{l}{\text{cas 1 }}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\rm{ }} - {V_0} > {V_{min}} \Rightarrow x \le {x_1}\,{\text{et état bloqué }}I = 0\\{\text{cas 3 }} - {V_0} < {V_{min}} \Rightarrow x \in [0,d]{\text{ et état saturé }}I = {j_0}S\\{\text{cas 2 }} - {V_0} = {V_{min}} \Rightarrow \,x \in [0,d]{\rm{ }}{\text{, état intermédiaire 0}} < I < {j_0}S\,\end{array} \right.$
Dans le cas 1, les électrons ne peuvent dépasser l’abscisse x₁ : l’intensité est nulle d’où le terme état bloqué ; dans le cas 2, tous les électrons émis atteignent l’anode : l’intensité est la plus grande possible d’où le terme état saturé, l’intensité vaut j₀S ; dans le cas 3, la vitesse des électrons s’annule dans le plan d’abscisse x_min endroit où le champ électrique est nul : des électrons peuvent repartir en sens positif et d’autres en sens négatif : une partie des électrons peut atteindre l’anode et le reste repart vers la cathode, l’intensité du courant est intermédiaire entre les valeurs extrêmes 0 et j₀S. Se souvenir que dans l’état intermédiaire V_min + V₀ = 0.

6) Dans le cas intermédiaire, le théorème de l’énergie cinétique entre x_min et x < x_min s’écrit :
$\frac{1}{2}mv{(x)^2} = e[V(x) - {V_{min}}]$
aussi bien pour un électron qui se déplace en sens positif que pour un électron qui se déplace en sens négatif. Ceci prouve que la vitesse a même valeur absolue pour les deux électrons mais elle diffère par le signe.
Pour x > x_min, on a la densité de courant algébrique :
$ - {j_c} = \rho v < 0$ avec ${j_c} = \frac{I}{S} > 0$ ⇒ $j = {j_c} = \frac{I}{S}$
Pour x < x_min, on a superposition de deux densités de courant algébriques. Pour la première :
${j_1} = - {j_0} = {\rho _1}v < 0$
et en vertu de la loi des nœuds, pour la seconde :
${j_2} = {j_0} - {j_c} = - {\rho _2}v > 0$
avec une densité totale de charges :
$\rho = {\rho _1} + {\rho _2} = - \frac{{{j_0}}}{v} - \frac{{{j_0} - {j_c}}}{v} = - \frac{{2{j_0} - {j_c}}}{v}$ ⇒ $j = 2{j_0} - {j_c}$
On vérifie ainsi l’hypothèse j constante par morceaux.
7) En tenant compte des expressions de j et des relations ${V_e} = {V_{min}}$et V_min + V₀ = 0, la dernière relation obtenue dans la question n° 4 s’écrit :
$\begin{array}{l}{\text{Si }}x < {x_{min}}\text{:  }\frac{2}{3}\sqrt{\frac{{{\varepsilon _{0}}}}{{2{j_0} - {j_c}}}\sqrt{\frac{{2e}}{m}} } {(V(x) + {V_0})^{3/4}} = - (x - {x_{min}}) \\{\text{  Si }}x > {x_{min}}\text{:  }\frac{2}{3}\sqrt{\frac{{{\varepsilon _{0}}}}{{{j_c}}}\sqrt{\frac{{2e}}{m}} } {(V(x) + {V_0})^{3/4}} = + (x - {x_{min}})\end{array}$
On impose les conditions aux limites :
$V(0) = 0\,\,{\rm{et}}\,\,V(d) = U{\rm{ }}$
d’où les deux relations :
$\,\,\frac{2}{3}\sqrt {\frac{{{\varepsilon _0}}}{{2{j_0} - {j_c}}}\sqrt {\frac{{2e}}{m}} } \,\,{V_0}^{3/4} = {x_{min}}\,\,{\rm{et }}\,\frac{2}{3}\sqrt {\frac{{{\varepsilon _0}}}{{{j_c}}}\sqrt {\frac{{2e}}{m}} } {(U + {V_0})^{3/4}} = d - {x_{min}}$.
En remplaçant j_c par I / S dans la dernière élevée au carré, on obtient :
$I = p{(U + {V_0})^{3/2}}$ avec $p = \frac{{4{\varepsilon _0}}}{9}\sqrt {\frac{{2e}}{m}} \frac{S}{{{{(d - {x_{\min }})}^2}}}$
alors que la première élevée au carré donne :
$x_{min}^2 = \frac{{{j_0}}}{{2{j_0} - {j_c}}}\left[ {\frac{{4{\varepsilon _0}}}{{9{j_0}}}\sqrt {\frac{{2e}}{m}\,} \,\,V_0^{3/2}} \right]$
8) En x = x_min(+), la densité de courant algébrique vaut −j_c = ρv et a une valeur finie ; or la vitesse v s’annule en ce point : la densité de charges est y donc infinie. En imposant les continuités du potentiel et du champ électrique, on impose un minimum de la fonction potentiel et l’annulation du champ électrique en x = x_min ; pour cette raison l’énergie potentielle d’un électron y est maximale et son énergie cinétique minimale s’annule ainsi que sa vitesse. La densité de charges d’espace s’exprime par la relation :
$\rho (x) = - \,{\varepsilon _0}\frac{{{d^2}V}}{{d{x^2}}}$
et d’après les résultats de la question n°7 :
${[V(x) + {V_0}]^{3/2}}\,\,\alpha \,\,\,{(x - {x_{min}})^2}$ $ \Rightarrow V(x) + {V_0}\,\,\alpha \,\,{(x - {x_{min}})^{4/3}}$
d’où :
$\frac{{{d^2}V}}{{d{x^2}}}\,\,\alpha \,\,{(x - {x_{min}})^{ - 2/3}}$ $ \Rightarrow $ $\rho (x)\,\,\alpha \,\,{(x - {x_{min}})^{ - 2/3}}$
La constante de proportionnalité est différente selon la position de x par rapport à x_min. La fonction potentiel est continue en x = x_min puisque V(x) + V₀ est proportionnel à (x −x_min) ^4/3, ici encore avec une constante de proportionnalité différente selon la position de x par rapport à x_min. On applique le théorème de Gauss à un cylindre délimité par deux sections droites d’abscisses x₁< x_min et x₂ > x_min :
$[E({x_2}) - E({x_1})]S = \frac{S}{{{\varepsilon _0}}}\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\rho (x)dx\,\, = \,\,} \frac{S}{{{\varepsilon _0}}}\left[ {{A_1}\int\limits_{{x_1}}^{{x_{min}}} {\frac{{dx}}{{{{(x - {x_{min}})}^{2/3}}}} + {A_2}\int\limits_{{x_{min}}}^{{x_2}} {\frac{{dx}}{{{{(x - {x_{min}})}^{2/3}}}}} } } \right]$
${\varepsilon _0}[E({x_2}) - E({x_1})] = - 3{A_1}{({x_1} - {x_{min}})^{1/3}} + 3{A_2}{({x_2} - {x_{min}})^{1/3}}$.
Si x₁ et x₂ tendent vers x_min , E(x₁) et E(x₂) tendent vers la même valeur. Le champ électrique et la fonction potentiel sont bien des fonctions continues de x. Le calcul de la question n° 7 est acceptable.

9) $0 < {j_c} < {j_0}$ $ \Rightarrow $${x_0}/\sqrt 2 \,\, < \,\,{x_{min}}\,\, < \,\,{x_0}$ avec ${x_0} = \frac{2}{3}\sqrt {\frac{{{\varepsilon _0}}}{{{j_0}}}\sqrt {\frac{{2e}}{m}} } \,\,V_0^{3/4} = {4,3.10^{ - 6}}\,{\rm{m}}$.
${3,0.10^{ - 6}}\,{\rm{m}} < \,\,{x_{min}}\,\, < \,\,{4,3.10^{ - 6}}\,{\rm{m de l'ordre de }}d\,{\rm{/}}\,{\rm{50}}$
On peut donc négliger x_min devant d à environ 2 % près. Tout se passe comme si la cathode était en réalité en x = x_min à un potentiel −V₀ où le champ électrique serait nul et d’où les électrons partiraient vers l’anode avec une vitesse nulle ; on parle de cathode virtuelle ; dans notre cas, elle est quasiment confondue avec la cathode réelle ; ci-dessous, l’allure de la courbe ( abscisses non proportionnées) :

L’intensité I = p (U + V₀)^3/2 s’annule si U = − V₀ = − 0,1 V et est maximale si U ≥ U_max = (j₀S / p)^2/3 −V₀ or p ≈ 1,75.10⁻⁴ unités S.I. d’où U_max ≈ 16,6 V. La résistance dynamique de la diode est :
$R = \frac{{dU}}{{dI}} = \frac{2}{{3p{{({V_0} + U)}^{1/2}}}}$ ; U = 1 V ⇒ $R = {3,6.10^3}\,\,\Omega $
et la résistance statique :
$R' = \frac{U}{I} = {4,9.10^3}\,\Omega $
10) $\frac{{dx}}{{dt}} = v = \sqrt {\frac{{2e}}{m}[{V_0} + V(x)]} $ ;
si $x > {x_{min}} \approx 0$ , ${\left( {\frac{2}{3}\sqrt {\frac{{{\varepsilon _0}}}{{{j_c}}}\sqrt {\frac{{2e}}{m}} } } \right)^{2/3}}{[V(x) + {V_0}]^{1/2}} = {x^{2/3}}$
$dt = {\left( {\frac{2}{3}\sqrt {\frac{{{\varepsilon _0}}}{{{j_c}}}\sqrt {\frac{{2e}}{m}} } } \right)^{2/3}}\sqrt {\frac{m}{{2e}}} \frac{{dx}}{{{x^{2/3}}}}$
et par intégration :
$t = 3\,{\left( {\frac{4}{9}\frac{{{\varepsilon _0}}}{{{j_c}}}\frac{m}{{2e}}d} \right)^{1/3}}$
Or si U = 1 V
${j_c} = \frac{p}{S}{(U + {V_0})^{3/2}} = 67,3\,{\rm{A}}{\rm{.}}{{\rm{m}}^{ - {\rm{2}}}}$ et $t = {9,6.10^{ - 10}}\,{\rm{s}}$
Si on ne tient pas compte de l’effet des autres électrons, en prenant la cathode à un potentiel nul avec des électrons d’énergie eV₀, on a :
$m\frac{{dv}}{{dt}} = - eE = e\frac{U}{d}$
$v = \frac{{eU}}{{md}}t + \sqrt {\frac{{2e{V_0}}}{m}} $ et $d = \frac{{eU}}{{2md}}{t^2} + \sqrt {\frac{{2e{V_0}}}{m}} \,t$ ⇒ $t = \frac{d}{U}\sqrt {\frac{{2e}}{m}} (\sqrt {U + {V_0}} - \sqrt {{V_0}} ) = \,\,{4,9.10^{ - 10}}\,s$
11) Si r > r_min , l’équation de conservation de la charge, avec j_c module de la densité de courant en r = r_a , implique :
$ - \rho v = \frac{I}{{2\pi rL}} = {j_c}\frac{{{r_a}}}{r}$.
Si r < r_min , en appelant j₂₀ le module de la densité de courant des électrons qui reviennent sur la cathode en r = r_c , les deux densités de courant algébriques sont :
${\rho _1}v = - {j_0}\frac{{{r_c}}}{r}$ et $ - {\rho _2}v = {j_{20}}\frac{{{r_c}}}{r}$ avec $I = 2\pi {r_c}L({j_0} - {j_{20}}) = 2\pi {r_a}L\,{j_c}$ d’où ${j_{20}} = {j_0} - {j_c}\frac{{{r_a}}}{{{r_c}}}$
La densité totale de charges est :
$\rho = {\rho _1} + {\rho _2} = - {j_0}\frac{{{r_c}}}{{rv(r)}} - {j_{20}}\frac{{{r_c}}}{{rv(r)}} \Rightarrow \, - \rho v(r) = ({j_0} + {j_{20}})\frac{{{r_c}}}{r}$
$ - \rho v(r) = (2{j_0} - {j_c}\frac{{{r_a}}}{{{r_c}}})\frac{{{r_c}}}{r}$
L’équation de Poisson s’écrit :
$\frac{1}{r}\frac{d}{{dr}}\left( {r\frac{{dV}}{{dr}}} \right) + \frac{{\rho (r)}}{{{\varepsilon _0}}} = 0$
et le théorème de l’énergie cinétique :
$v(r) = \sqrt {\frac{{2e}}{m}[{V_0} + V(r)]} $.
Si r < r_min, $\rho (r) = - \frac{1}{r}\sqrt {\frac{m}{{2e}}} \frac{{2{j_0}{r_c} - {j_c}{r_a}}}{{\sqrt {V(r) + {V_0}} }}$ et si r > r_min, $\rho (r) = - \frac{1}{r}\sqrt {\frac{m}{{2e}}} \frac{{{j_c}{r_a}}}{{\sqrt {V(r) + {V_0}} }}$ d’où :
$r < {r_{min}}\,:\,\,\,\frac{d}{{dr}}(r\frac{{dV}}{{dr}}) = \frac{1}{{{\varepsilon _0}}}\sqrt {\frac{m}{{2e}}} \frac{{2{j_0}{r_c} - {j_c}{r_a}}}{{\sqrt {V(r) + {V_0}} }}$ et $r > {r_{min}}\,:\,\,\,\frac{d}{{dr}}(r\frac{{dV}}{{dr}}) = \frac{1}{{{\varepsilon _0}}}\sqrt {\frac{m}{{2e}}} \frac{{{j_c}{r_a}}}{{\sqrt {V(r) + {V_0}} }}$
En plus, il faut imposer V(r) et dV / dr fonctions continues de r en r_min et V(r_c) = 0, V(r_a) = U.
Remarque : on peut également supposer d’emblée, par analogie avec le cas plan, que r_c et r_min << r_a ; il ne reste à étudier que le cas r > r_min ≈ 0 ; il reste la seconde des deux équations avec les conditions :
$V(0) + {V_0} = 0,\,{\left( {\frac{{dV}}{{dr}}} \right)_{r = 0}} = 0\,$, V(r_a) = U.
Analyse dimensionnelle : une quelconque des deux équations précédentes montre que :
$\frac{{{r_a}}}{{{\varepsilon _0}L}}\sqrt {\frac{m}{{2e}}} \frac{I}{{{{[V(r) + {V_0}]}^{3/2}}}}$
est une grandeur de dimension nulle ; c’est la seule grandeur physique qui intervient dans le phénomène ; d’après le théorème Π , elle est constante d’où :
$I = p{[V(r) + {V_0}]^{3/2}}$
avec p constante définie par les caractéristiques géométriques de la diode cylindrique.

1.2) Effet Schottky
12) Pour x > 0, pour la charge − e en x = + a et le plan au potentiel nul d’abscisse x = 0 ou pour la charge − e en x = + a et la charge + e en x = − a, on a ΔV = 0 (sauf à l’endroit de la charge +q) et V = 0 sur le plan x = 0 ainsi que sur une demi sphère centrée en x = 0 de rayon tendant vers l’infini ; il s’agit d’un problème de Dirichlet : en vertu du théorème d’unicité, la fonction potentiel pour x > 0 est la même ; le champ électrique est donc le même. Le champ électrique total est le champ $\vec E$ existant avant sortie de l’électron augmenté du champ de l’électron et de son image par rapport à la cathode.
13) La force exercée par l’image sur l’électron et l’énergie potentielle dont elle dérive sont :
$\vec f = - \frac{{{e^2}}}{{4\pi {\varepsilon _0}{{(2x)}^2}}}{\vec e_x}$ et ${E_p} = - \frac{{{e^2}}}{{4\pi {\varepsilon _0}(4x)}}$
L’énergie de l’électron est :
$W = - eEx - \frac{{{e^2}}}{{16\pi {\varepsilon _0}x}}$$ \Rightarrow $ $W = - eEx - \frac{{{e^2}}}{{16\pi {\varepsilon _0}x}}$
La valeur maximale de W est obtenue si :
$eEx = \frac{{{e^2}}}{{16\pi {\varepsilon _0}x}}$ $ \Rightarrow $ $x = {x_m} = \sqrt {\frac{e}{{16\pi {\varepsilon _0}E}}} $ et ${W_{max}} = - e\sqrt {\frac{{eE}}{{4\pi {\varepsilon _0}}}} $ avec $E = \frac{U}{d}$.
La valeur maximale de W sans tenir compte de l’image est nulle ; son abaissement s’écrit :
$\Delta W = \frac{{{e^2}}}{{16\pi {\varepsilon _0}{x_{min}}}} + eE{x_{min}}$$ \Rightarrow $$\Delta W = 2eE{x_{min}} = {\left( {\frac{{{e^3}E}}{{4\pi {\varepsilon _0}}}} \right)^{1/2}}$
14) Les électrons obéissent, dans le métal, à une loi statistique de type Fermi-Dirac, avec une dépendance en température prédominante dans un facteur exponentiel exp[− (E-E₀)/ kT ] où E est l’énergie de l’électron dans le métal et E₀ l’énergie maximale possible de l’électron lié au métal ; seuls les électrons ayant une énergie suffisante pourront vaincre la barrière de potentiel W_max − E₀ s’opposant à leur sortie et se retrouver à l’état libre. La densité de courant est :
$j_0^{'} = {j_0}\exp (\frac{e}{{kT}}\sqrt {\frac{{eU}}{{4\pi {\varepsilon _0}d}}} )$.
L’intensité du courant de saturation est :
$I_{sat}^{'} = j_0^{'}S = {j_0}S\exp (\frac{e}{{kT}}\sqrt {\frac{{eU}}{{4\pi {\varepsilon _0}d}}} ) = {1,2.10^{ - 2}}\exp (0,031\,\sqrt U )$
alors que l’équation de la caractéristique hors saturation est $I = {1,75.10^{ - 4}}{(U + 0,1)^{3/2}}$.
Pratiquement les deux courbes se coupent pour $U \approx 18\,{\rm{V}}$ et $I = I_{sat}^{'} \approx {1,35.10^{ - 2}}\,{\rm{A}}$
Alors que pour U = 200 V, $I = {1,9.10^{ - 2}}\,{\rm{A}}$ ; d’où l’allure de la caractéristique :

Le plateau de saturation monte lentement. En réalité le point anguleux n’existe pas.
Pour U = 20 V : ${x_m} = {6,0.10^{ - 8}}\,{\rm{m}}$ et pour U = 200 V : ${x_m} = {1,9.10^{ - 8}}\,{\rm{m}}$
La vitesse de départ des électrons vaut :
${v_0} = \sqrt {\frac{{2e{V_0}}}{m}} = {1,87.10^5}\,{\rm{m}}{\rm{.}}{{\rm{s}}^{ - 1}}$.
et la densité en électrons :
${n_0} = \frac{{{j_0}}}{{e{v_0}}} = {1,34.10^{17}}\,{\text{électrons par }}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}.$
La distance entre électrons est de l’ordre de $l = \frac{1}{{n_0^{1/3}}}$$ \Rightarrow $$l \approx {2.10^{ - 6}}\,{\rm{m}}$
Il fallait en effet considérer l’électron isolé.

1.3) Détection d’amplitude
15) ${U_A} = a(1 + \varepsilon \cos \omega t)\cos \Omega t = a[\cos \Omega t + \frac{\varepsilon }{2}\cos (\Omega - \omega )t + \frac{\varepsilon }{2}\cos (\Omega + \omega )t]$.
Si on utilise seulement des résistances, capacités et inductances, on construit un filtre linéaire qui ne peut que provoquer un appauvrissement du spectre en supprimant ou affaiblissant certaines des composantes sinusoïdales du signal ; en aucun cas, à partir du signal donné, on ne peut obtenir un signal constant et un signal sinusoïdal de pulsation ω. On ne peut obtenir que des sommes pondérées de signaux sinusoïdaux de pulsation Ω , Ω −ω , Ω +ω.
16) La diode réalise un redressement simple alternance du signal ; à partir de l’état de tension V_A maximale, le condensateur C étant chargé, V_A va diminuer mais alors le condensateur se décharge exponentiellement et lentement dans la résistance R ce qui s’oppose à la diminution rapide de V_B d’autant mieux que la constante de temps RC est élevée devant la période T = 2π / Ω du signal modulé :
$RC > > \frac{{2\pi }}{\Omega }$
La tension V_B aux bornes du condensateur diminue un peu mais se maintient pratiquement à une valeur voisine de V_{B max}. Alors, à des variations de haute pulsation Ω près et de très faible amplitude, il ne subsiste que le signal de fréquence ω.
Sur les courbes ci-après, on a représenté le signal après redressement simple alternance et filtrage des hautes fréquences par le circuit R , C de constante de temps élevée. La courbe résultante est en pointillé sur la seconde figure et s’approche précisément de $a(1 + \varepsilon \cos \omega t)$ si la décharge exponentielle est très lente.

17) Pour ne pas perdre l’information contenue dans la fonction modulatrice de basse fréquence, il faut :
$RC < < \frac{{2\pi }}{\omega }$
18) Remarquons que R << 1/Cω . Pour déterminer la tension basse fréquence aux bornes de R, la capacité n’intervient pratiquement pas. La diode présente une résistance r en sens conducteur ; il se produit une chute de tension dans cette résistance : la tension redressée est réduite dans le diviseur de tension r, R dans le rapport R / (R + r). Il faut donc pour éliminer cet effet que $r < < R$. En fin de compte, il faut ${10^{ - 8}}\,{\rm{s}} < RC < {10^{ - 4}}\,{\rm{s}}$ soit $RC \approx {10^{ - 6}}$s et en prenant comme résistance de la diode la valeur trouvée dans la question n° 9 :
$R > > {3,6.10^3}\,\Omega $ par exemple $R = 50000\,\Omega $ et donc $C = 20\,{\rm{pF}}$
19) Le condensateur est plan de capacité :
$\Gamma = \frac{{{\varepsilon _0}S}}{d} = 0,13\,{\rm{pF}}$
Si la diode est passante, plus la fréquence est élevée, plus l’impédance de la capacité Γ est faible et mieux c’est ; si la diode est bloquante, elle est remplacée par Γ ; la tension HF ne doit pas être transmise ; or en HF, la capacité C a une impédance nettement inférieure à R ; il reste donc un pont capacitif diviseur de tension fait de C en série avec Γ ; il faut :
$\frac{\Gamma }{{C + \Gamma }} < < 1$ soit $\Gamma < < C$
ce qui est réalisé ; il n’y a aucune condition sur la fréquence HF.
20) Le temps de transfert des électrons est environ 10⁻⁹ s, dix fois plus petit que la période T = 10⁻⁸ s. Il ne faut pas dépasser la centaine de mégahertz pour la fréquence de la porteuse.

II) Le klystron reflex
1) Les équations de Maxwell dans le vide, en présence d’un courant, s’écrivent
${\rm{div}}\,{\rm{\vec E}} = \frac{\rho }{{{\varepsilon _0}}}$, ${\rm{div}}\,{\rm{\vec B}} = 0$, $\overrightarrow {{\rm{rot}}} \,{\rm{\vec E}} = - \frac{{\partial {\rm{\vec B}}}}{{\partial t}}$,$\overrightarrow {{\rm{rot}}} \,{\rm{\vec B}}\, = {\mu _0}({\rm{\vec j}} + {\varepsilon _{\rm{0}}}\frac{{\partial {\rm{\vec E}}}}{{\partial t}})$.
2) Si le métal est parfait, ce qu’on suppose, le champ électrique dans le vide, au voisinage de la paroi, est normal à la paroi alors que le champ magnétique lui est tangentiel.
3) $\overrightarrow {{\rm{rot}}} \,\overrightarrow {{\rm{rot}}} \,{\rm{\vec E}} = \overrightarrow {{\rm{grad}}} \,{\rm{div}}\,{\rm{\vec E}} - \Delta {\rm{\vec E}} = - \Delta {\rm{\vec E}}$ et $\overrightarrow {{\rm{rot}}} \,\overrightarrow {{\rm{rot}}} \,{\rm{\vec E}} = - \frac{{\partial \overrightarrow {{\rm{rot}}} \,{\rm{\vec B}}}}{{\partial t}} = - \overrightarrow {{\rm{rot}}} \frac{{\partial \,{\rm{\vec B}}}}{{\partial t}} = - {\mu _0}(\frac{{\partial {\rm{\vec j}}}}{{\partial t}} + {\varepsilon _0}\frac{{{\partial ^{\rm{2}}}{\rm{\vec E}}}}{{\partial \,{t^2}}})$ d’où en supposant $\overrightarrow {grad} \,\rho = \vec 0$ :
$\Delta {\rm{\vec E}} - \frac{1}{{{c^2}}}\frac{{{\partial ^{\rm{2}}}{\rm{\vec E}}}}{{\partial \,{t^2}}} = {\mu _0}\frac{{\partial {\rm{\vec j}}}}{{\partial t}}$
et en projection sur l’axe des z :
$\Delta {E_z} - \frac{1}{{{c^2}}}\frac{{{\partial ^{\rm{2}}}{E_z}}}{{\partial \,{t^2}}} = {\mu _0}\frac{{\partial j}}{{\partial t}}$
4) Le champ électrique est supposé selon l’axe des z et indépendant de z, ce qui implique :
${\rm{div}}\,{\rm{\vec E}} = 0$ $ \Rightarrow $ $\rho = 0$ et forcément $\overrightarrow {grad} \,\rho = \vec 0$.
Le champ électrique obéit à l’équation :
$\frac{{{\partial ^{\rm{2}}}E}}{{\partial \,{x^2}}} + \frac{{{\partial ^{\rm{2}}}E}}{{\partial \,{y^2}}} - \frac{1}{{{c^2}}}\frac{{{\partial ^{\rm{2}}}E}}{{\partial \,{t^2}}} = {\mu _0}\frac{{\partial j}}{{\partial t}}$ $ \Rightarrow $$j = j(x,y,t)$
et aux conditions aux limites :
$E(0,y,t) = E(a,y,t) = 0$ et $E(x,0,t) = E(x,b,t) = 0$.
On prolonge la fonction E définie sur l’intervalle [0, a]×[0, b] par une fonction périodique impaire en x et y : la période en x doit être prise égale à 2a et de même la période en y doit être prise égale à 2b. On peut alors développer E en série de Fourier de x (à y et t donnés) : le développement ne comporte que des termes impairs en x et s’écrit :
$E = \sum\limits_{p = 1}^\infty {{E_p}(y,t)\sin (2\pi \,p{\rm{ }}\frac{x}{{2a}})} $.
Alors, il suffit de développer les E_p(y,t) , fonctions impaires de y, de période 2b, en série de Fourier, à t donné :
${E_p}(y,t) = \sum\limits_{q = 1}^\infty {{E_{pq}}(t)\sin (2\pi \,q{\rm{ }}\frac{y}{{2b}})} $
et en remplaçant dans l’expression précédente, on obtient une série double de Fourier :
$E = \sum\limits_{p = 1}^\infty {\sum\limits_{q = 1}^\infty {{E_{pq}}(t)\sin (2\pi \,p{\rm{ }}\frac{x}{{2a}})} } \sin (2\pi \,q{\rm{ }}\frac{y}{{2b}})$.
Il faut que j ait un développement en série double de Fourier du même type que celui de E car dans l’équation différentielle il n’existe pas de dérivées premières de E par rapport à x et y :
$j = \sum\limits_{p = 1}^\infty {\sum\limits_{q = 1}^\infty {{j_{pq}}(t)\sin (2\pi \,p{\rm{ }}\frac{x}{{2a}})} } \sin (2\pi \,q{\rm{ }}\frac{y}{{2b}})$.
On reporte les développements dans l’équation différentielle en E et on identifie terme à terme, d’où :
$ - \left[ {\frac{1}{{{c^2}}}\frac{{{d^{\rm{2}}}{E_{pq}}(t)}}{{d\,{t^2}}} + {\pi ^2}\left( {\frac{{{p^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{q^2}}}{{{b^2}}}} \right){E_{pq}}(t)} \right] = {\mu _0}\frac{{d{j_{pq}}(t)}}{{dt}}$

5) Si la cavité est totalement vide j_pq(t) = 0 d’où :
$\frac{{{d^{\rm{2}}}{E_{pq}}(t)}}{{d\,{t^2}}} + {\pi ^2}{c^2}\left( {\frac{{{p^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{q^2}}}{{{b^2}}}} \right){E_{pq}}(t) = 0$.
La solution est sinusoïdale de pulsation et fréquence :
${\omega _{pq}} = \pi c\sqrt {\frac{{{p^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{q^2}}}{{{b^2}}}} $ et ${\nu _{pq}} = \frac{c}{2}\sqrt {\frac{{{p^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{q^2}}}{{{b^2}}}} $
Puisque a = b, la plus petite des fréquences propres est
${\nu _{11}} = \frac{c}{{a\sqrt 2 }}$
et la fréquence immédiatement supérieure, avec p et q strictement positifs, s’écrit :
${\nu _{12}} = {\nu _{21}} = \frac{{c\sqrt 5 }}{{2a}}$.
En application numérique :
${\nu _{11}} = {3,03.10^9}\,{\rm{Hz}}$
6) Sur l’intervalle [0, a]×[0, b], j(x, y, t) = 0 sauf sur la surface s = δxδy centrée sur le point (a/2, b/2) où elle vaut −I(t) / s (en supposant que I(t) et j(x,y,t) sont de signes contraires afin de retrouver le signe de la formule à démontrer, mais ce n’est pas logique). On intègre la fonction ainsi définie sur le domaine [0, a]×[0, b] après multiplication par sin(mπ x / a) sin(nπ y / b) ce qui donne comme résultat −I(t) sin(mπ / 2) sin(nπ / 2) ; de même, on multiplie le développement en série de Fourier par le même facteur et on intègre sur le même domaine : en identifiant les deux résultats, on obtient :
$ - I(t)\sin \frac{{m\pi }}{2}\sin \frac{{n\pi }}{2} = \sum\limits_{p = 1}^\infty {\sum\limits_{q = 1}^\infty {{j_{pq}}(t)\int\limits_{x = 0}^a {\sin (m\pi \frac{x}{a})} } } \sin (p\pi \frac{x}{a})dx\int\limits_{y = 0}^b {\sin (m\pi \frac{y}{b})} \sin (m\pi \frac{y}{b})dy$.
Chacune des deux intégrales est nulle sauf si m = p et n = q et alors elles valent a/2 et b/2. D’où :
$I(t)\sin \frac{{p\pi }}{2}\sin \frac{{q\pi }}{2} = - \frac{{ab}}{4}{j_{pq}}(t)$
et donc j_pq(t) est nul si p ou q sont impairs et non nul si p et q sont pairs :
${\text{Seuls les modes caractérisés par }}p\,{\rm{et }}q\,{\text{pairs sont couplés au courant}}{\rm{.}}$
On aurait pu utiliser directement la formule :
${j_{pq}} = \frac{2}{{2a}}\frac{2}{{2b}}\int\limits_{x = 0}^{2a} {\int\limits_{y = 0}^{2b} {j(x,y,t)dxdy = } } \frac{2}{a}\frac{2}{b}\int\limits_{x = 0}^a {\int\limits_{y = 0}^b {j(x,y,t)dxdy} } $.
On pose $p = 2k + 1$ , $q = 2l + 1$ :$\varepsilon = + 1$ si k et l sont de même parité et −1 sinon, on obtient :
$\left[ {\frac{1}{{{c^2}}}\frac{{{d^{\rm{2}}}}}{{d\,{t^2}}} + {\pi ^2}\left( {\frac{{{p^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{q^2}}}{{{b^2}}}} \right)} \right]{E_{pq}}(t) = \frac{{4\varepsilon {\mu _0}}}{{ab}}\frac{{dI}}{{dt}}$
L’énonce comporte une erreur car ε est omis mais pour le mode (1,1) : ε = 1 ; elle n’est pas gênante.
7) Par application du théorème de l’énergie cinétique à un électron
$\frac{1}{2}mv_0^2 = eU$ $ \Rightarrow $ ${v_0} = \sqrt {\frac{{2eU}}{m}} = {5,3.10^7}\,{\rm{m}}{\rm{.}}{{\rm{s}}^{ - 1}}$
Le temps de traversée de la cavité est de l’ordre de :
$\Delta t = \frac{\delta }{{{v_0}}} = {5,7.10^{ - 11}}\,{\rm{s}}$
La période du mode (1,1) est T = 3,3.10⁻¹⁰ s : le temps de passage d’un électron est de l’ordre du sixième de la période du mode : l’approximation consistant à négliger le temps de passage devant la période est valable à 17 % près.

8) On suppose le champ constant sur la durée de la traversée ; le théorème de la quantité de mouvement, en supposant que $\left| {\delta v} \right| < < {v_0}$, implique :
$m\frac{{dv}}{{dt}} = - e{E_{11}}(t)$$ \Rightarrow $$\delta v = - \frac{{e{E_{11}}(t)}}{m}\Delta t = - \frac{{e\delta {E_{11}}(t)}}{{m{v_0}}}$ ou $\delta v = - \delta \sqrt {\frac{e}{{2mU}}} \,\,{E_{11}}(t)$
9) Ensuite, chaque électron est freiné dans le champ électrique engendré par la d.d.p. U + U ’, s’arrête puis repart en sens contraire pour revenir dans la cavité avec la vitesse de départ v₀ + δ v(t) ; le temps d’aller-retour s’obtient par application du théorème de la quantité de mouvement :
$m\frac{{dv}}{{dt}} = - \frac{{e(U + U')}}{d}$ $ \Rightarrow $ $v(t) - [{v_0} + \delta v(t)] = - \frac{{e(U + U')\,t}}{{md}}$.
La vitesse s’annule quand il y a rebroussement à t_max :
${t_{max}} = \frac{{md[{v_0} + \delta v(t)]}}{{e(U + U')}}$
et la durée d’aller-retour est le double de t_max :
$t' - t = \frac{{2md[{v_0} + \delta v(t)]}}{{e(U + U')}}$
10) La durée de traversée de la cavité, au deuxième ordre près en δ , ne dépend pas du temps ; une charge δq qui entre en z = 0 en une durée donnée ressort en z = δ en une durée égale : l’intensité du courant du faisceau électronique entrant en z = 0 est I₀, c’est aussi son intensité en z = δ.
Après la cavité, une charge δq part de z = δ à la date t en une durée dt , l’intensité étant I₀, et y revient à la date t’ en une durée dt’, l’intensité étant I’(t’), telles que :
$\delta q = {I_0}dt = I'(t')dt'$.
En termes d’intensités en z = δ :
${I_0} = \frac{{\delta q}}{{dt}}$,$I'(t') = \frac{{\delta q}}{{dt'}}$, $I'(t') = {I_0}\frac{{dt}}{{dt'}}$
A l’aller et au retour, la vitesse a même module v₀ + δ v(t) mais a changé de sens ; en appelant ρ la densité de charge au départ en z = δ et ρ’(t’) la densité de charge au retour, on a :
$\delta q = \rho \,s[{v_0} + \delta v(t)]dt = \rho '(t')\,s[{v_0} + \delta v(t)]dt'$ et donc $\rho '(t') = \rho \frac{{dt}}{{dt'}}$
L’intensité totale à la date t’ en z = δ et donc l’intensité à la même date en z = 0, puisque la densité de courant totale ne dépend pas de z par hypothèse, s’écrivent :
$I(t') = {I_0} - I'(t') = {I_0}(1 - \frac{{dt}}{{dt'}}) = {I_0}[1 - \frac{{\rho '(t')}}{\rho }]$
Au premier ordre en δ , la modulation de l’intensité se fait uniquement en densité : les électrons se regroupent par paquets et chaque paquet en repassant dans la cavité excite les oscillations de la cavité. Il existe également une modulation en vitesse mais qui intervient au second ordre en δ et dont on ne tient pas compte. Il faut différentier la relation entre t et t’ obtenue dans la question n° 9 pour obtenir le rapport dt / dt’ :
$\frac{{dt'}}{{dt}} = 1 + \frac{{2md}}{{e(U + U')}}\frac{{d(\delta v(t))}}{{dt}} = 1 - \frac{{2d\delta }}{{U + U'}}\sqrt {\frac{m}{{2eU}}} \frac{{d{E_{11}}(t)}}{{dt}}$
et en supposant que dt’/ dt ne diffère que peu de l’unité, au second ordre près en δ :
$\frac{{dt}}{{dt'}} \approx 1 + \frac{{2d\delta }}{{U + U'}}\sqrt {\frac{m}{{2eU}}} \frac{{d{E_{11}}(t)}}{{dt}}$ et $I(t') = - \frac{{2d\delta {I_0}}}{{U + U'}}\sqrt {\frac{m}{{2eU}}} \frac{{d{E_{11}}(t)}}{{dt}}$
L’équation différentielle faisant figurer t et t’ s’écrit en utilisant l’équation différentielle démontrée dans la question n° 6 avec la substitution t → t’ :
$\frac{{{d^{\rm{2}}}{E_{11}}(t')}}{{d\,t{'^2}}} + \omega _{11}^2{E_{11}}(t') = \frac{{4{\mu _0}{c^2}}}{{ab}}\frac{{dI(t')}}{{dt'}} = - \frac{{8d\delta {I_0}}}{{{\varepsilon _0}ab(U + U')}}\sqrt {\frac{m}{{2eU}}} \frac{d}{{dt'}}\left( {\frac{{d{E_{11}}(t)}}{{dt}}} \right)$
11) Par hypothèse :
${E_{11}}(t) = {E_{11}}(t'){e^{ - i\phi }}$
et dans la dérivation par rapport à t, en confondant dt’ et dt, ce qui est légitime au second ordre près en δ , on obtient l’équation différentielle ordinaire :
$\frac{{{d^{\rm{2}}}{E_{11}}(t')}}{{d\,t{'^2}}} + \omega _{11}^2{E_{11}}(t') = - \frac{{8d\delta {I_0}}}{{{\varepsilon _0}ab(U + U')}}\sqrt {\frac{m}{{2eU}}} \,\,{e^{ - i\phi \,}}\frac{{{d^2}{E_{11}}(t')}}{{dt{'^2}}}$
$\left( {1 + \frac{{8d\delta {I_0}}}{{{\varepsilon _0}ab(U + U')}}\sqrt {\frac{m}{{2eU}}} \,\,{e^{ - i\phi \,}}} \right)\frac{{{d^{\rm{2}}}{E_{11}}(t')}}{{d\,t{'^2}}} + \omega _{11}^2{E_{11}}(t') = 0$
12) On cherche des solutions en e^pt ; l’équation caractéristique s’écrit :
${p^2} = - \frac{{\omega _{11}^2}}{{1 + \frac{{8d\delta {I_0}}}{{{\varepsilon _0}ab(U + U')}}\sqrt {\frac{m}{{2eU}}} \,{e^{ - i\phi }}}}$ $ \Rightarrow $$p \approx \pm \,i\omega _{11}^{}(1 - \frac{{8d\delta {I_0}}}{{{\varepsilon _0}ab(U + U')}}\sqrt {\frac{m}{{2eU}}} \,{e^{ - i\phi }})$
La partie réelle de p représente le coefficient d’amplification η et sa partie imaginaire la pulsation d’oscillation ω_r :
$\eta = \mp \,\,{\omega _{11}}\frac{{8d\delta {I_0}}}{{{\varepsilon _0}ab(U + U')}}\sqrt {\frac{m}{{2eU}}} \,\sin \phi $ et ${\omega _r} = \pm \,{\omega _{11}}(1 - \frac{{8d\delta {I_0}}}{{{\varepsilon _0}ab(U + U')}}\sqrt {\frac{m}{{2eU}}} \,\cos \phi )$.
Application numérique : on doit prendre la valeur de ω_r positive ou sa valeur négative mais pas les deux car on va voir dans la question n° 13 que $\phi = {\omega _r}(t' - t)$ et de ce fait on choisit un des deux signes ; on choisit : $\eta = \, - {9,4.10^8}{I_0}\sin \phi $ et ${\omega _r} = \,{\omega _{11}}(1 - {4,9.10^{ - 2}}{I_0}\cos \phi )$. Pour une intensité de l’ordre du nanoampère, la constante de temps est de l’ordre de la seconde et la pulsation est pratiquement égale à ω_11. La solution est de la forme ${E_{11}}(t') = A{e^{\eta t}}{e^{i{\omega _r}t'}}$. On n’a pas superposition des deux solutions car on a fait le choix a priori d’une des deux valeurs possibles de ϕ . Le champ électrique diverge si η > 0 donc si sinϕ < 0 ; alors l’état de champ électrique infiniment petit est instable : la cavité oscille.

13) $\phi = {\omega _r}(t' - t)$ ; en négligeant δv(t) devant v₀, on obtient $\phi \approx {\omega _{11}}\frac{{2dm{v_0}}}{{e(U + U')}}$ ou $\phi = {\omega _{11}}\frac{{2d}}{{U + U'}}\sqrt {\frac{{2mU}}{e}} $ et numériquement : $\frac{\phi }{{2\pi }} = 8,6$ d’où sinϕ < 0.
14) Dans le plan xOy, la projection de la trajectoire est un cercle de rayon $R = \frac{{m{v_ \bot }}}{{eB}}$mais selon Oz le mouvement est uniformément accéléré : la trajectoire est une hélice circulaire de pas variable. Le mouvement selon Oz n’est pas affecté par ${\vec v_ \bot }$. Le champ magnétique évite de perdre des particules s’il est assez intense et que $R < \sqrt s $ alors tous les électrons arrivent sur la cathode ; par exemple, si ${v_ \bot } \approx \sqrt {\frac{{2e{V_0}}}{m}} $et $R \approx 1\,{\rm{mm}}$alors $B \approx {10^{ - 3}}\,{\rm{T}}$est réalisable ; cependant, la vitesse v_// n’est pas nulle et présente une certaine dispersion.

Concours Physique ENS Lyon, Cachan (MP*) 1998 (Corrigé)

Corrigé ENS 1998 - Physique MP
Première partie : Formation des étoiles
1.1 Nuage gravitationnellement lié
1.1.1 Les dimensions des grandeurs G, M, R conduisent à résoudre
${G^\alpha }{M^\beta }{R^\gamma } \equiv {({L^3}{M^{ - 1}}{T^{ - 2}})^\alpha }{(M)^\beta }{(L)^\gamma } \equiv T$$ \Rightarrow \left\{ {\alpha = - 1/2\quad \beta = - 1/2\quad \gamma = 3/2} \right\}$
l'expression cherchée est ${t_0} = \sqrt {\frac{{{R^3}}}{{GM}}} $
1.1.2 Quand on ajoute une masse dm à une sphère de rayon r et de masse m, l'énergie potentielle gravitationnelle augmente de $d{E_P} = - \frac{{Gm}}{r}dm$ soit ${E_P} = - \int_0^M {} \frac{{Gm}}{r}dm$
(ceci en vertu du théorème de Gauss et de la symétrie sphérique la masse totale est localisée au centre)
La masse volumique uniforme permet d'éliminer r au profit de m: $r = R{\left( {\frac{m}{M}} \right)^{1/3}}$
Donc finalement ${E_P} = - \frac{G}{R}{M^{1/3}}\int_0^M {} {m^{2/3}}dm = - \frac{{3G{M^2}}}{{5R}}$

1.1.3 L'énergie interne d'un gaz parfait monoatomique est $U = \frac{{3MkT}}{{2{m_H}}}$; car $\frac{M}{{{m_H}}}$ est le nombre de particules (on a m_H ≈ m_p). Si l'énergie totale E_P + U est négative le nuage est gravitationnellement lié.
1.1.4 On en déduit que les nuages se fragmentent si : $\frac{{3G{M^2}}}{{5R}} > \frac{{3MkT}}{{2{m_H}}}$
soit en fonction de la masse volumique ρ et température T
$\frac{{G4\pi \rho {R^2}}}{{15}} > \frac{{kT}}{{2{m_H}}}\quad \Rightarrow \quad R > {R_J} = \sqrt {\frac{{15kT}}{{8\pi \rho G{m_H}}}} $ ou encore $M > {M_J} = 4/3\pi R_J^3$
Si on se rappelle que kT est une énergie alors : $R_J^2 \equiv \frac{{M{L^2}{T^{ - 2}}}}{{M{L^{ - 3}}({L^3}{M^{ - 1}}{T^{ - 2}})M}} = {L^2}$; dimension correcte.
1.1.5 Pour T = 10 K et avec 1 atome d'hydrogène par cm³ R_J = 6,6.10¹⁷ m soit M_J = 10³ M
Cette valeur fait penser que les étoiles se forment en "grappe" puis se séparent ensuite.
1.1.6 La conservation de l'énergie totale de la couche i s'écrit
$d{E_P} + d{E_c} = - \frac{{Gm}}{{{r_i}}}d{m_i} + 1/2d{m_i}\,\dot r_i^2 = - \frac{{Gm}}{{{r_{i0}}}}d{m_i}$ $ \Rightarrow \quad \dot r_i^2 = 2Gm\left( {\frac{1}{{{r_i}}} - \frac{1}{{{r_{i0}}}}} \right)$
où m est la masse contenue dans la sphère de rayon r_i(t) et qui est constante au cours du temps.
et dm_i est la masse de la couche soit $d{m_i} = 4/3\pi {\rho _i}r_i^3$qui est également constante en fonction de t.
Si on pose r_i(t) = r_i(0) cos²α_i(t) alors en dérivant ${\dot r_{_i}} = - 2{\dot \alpha _i}\,{r_{i0}}\cos {\alpha _i}\,\sin {\alpha _i}$
d'autre part l'équation de conservation donne $\dot r_i^2 = \frac{{2Gm}}{{{r_{i0}}}}\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}{\alpha _i}}} - 1} \right) = \frac{{2Gm}}{{{r_{i0}}}}{\tan ^2}{\alpha _i}$
On trouve ainsi que $\dot \alpha _i^2{\cos ^4}{\alpha _i} = \frac{{2Gm}}{{4r_{i0}^3}}$ soit encore : $d{\alpha _i}{\cos ^2}{\alpha _i} = \pm \frac{{2Gm}}{{4r_{i0}^3}}dt$
On doit garder le signe + pour que r_i diminue avec le temps
L'intégration de la dernière équation est élémentaire : $\left( {\frac{{{\alpha _i}}}{2} - \frac{{\sin {\alpha _i}}}{4}} \right)_0^t = \frac{{2Gm}}{{4r_{i0}^3}}(t - 0)$
ce qui donne pour la durée d'effondrement la valeur ${t_{ff}} = \frac{\pi }{4}\sqrt {\frac{{2r_{i0}^3}}{{Gm}}} $; le modèle conduit bien à un e valeur indépendante de la couche envisagée puisque $m \propto r_{i0}^3$.
Pour un nuage de densité uniforme initialement on a ${t_{ff}} = \frac{\pi }{4}\sqrt {\frac{{2{R^3}}}{{GM}}} $, on constate temps d'effondrement est du même ordre de grandeur que le temps t₀.
1.1.7 Avec un atome d'hydrogène par cm³ l'effondrement dure 1,1.10⁸ ans quel que soit R.

1.2 Stabilité d'un nuage isotherme
1.2.1 L'équation fondamentale de l'hydrostatique et le théorème de Gauss donnent $\frac{{dP}}{{dr}} = - \rho \frac{{Gm}}{{{r^2}}}$
or $dm = 4\pi \rho {r^2}dr$la relation de l'énoncé est donc équivalente à
$\frac{{d(4\pi {r^3}P)}}{{dm}} = \frac{{d(4\pi {r^3}P)}}{{4\pi \rho {r^2}dr}} = \frac{1}{{\rho {r^2}}}\left( {3{r^2}P + {r^3}\frac{{dP}}{{dr}}} \right) = \frac{{3P}}{\rho } + \frac{r}{\rho }\frac{{dP}}{{dr}} = \frac{{3P}}{\rho } - \frac{{Gm}}{r}$ cqfd
1.2.2 Pour un gaz parfait $\frac{{3P}}{\rho } = \frac{{3PV}}{M} = \frac{{3nRT}}{M} = \frac{{2U}}{M}$ c'est le double de l'énergie interne massique.
1.2.3 l'équation (1) revient à écrire $d(4\pi {r^3}P) = 2dU + d{E_p}$
Soit en intégrant sur tout le nuage $4\pi {R^3}P(R) = 2U + {E_p}$

1.2.4 En exprimant l'énergie interne et l'énergie potentielle on obtient pour la pression de surface $4\pi {R^3}P(R) = 2\frac{{3MkT}}{{2{m_H}}} - \frac{{3G{M^2}}}{{5R}}$ soit $P(R) = \frac{{3MkT}}{{4\pi {R^3}{m_H}}} - \frac{{3G{M^2}}}{{20\pi {R^4}}}$ d'où le graphe ci-contre.

1.2.5 $P'(R) = 0 \Rightarrow R = 4\frac{{GM{m_H}}}{{15kT}} = \frac{{2{R_J}}}{3}$ (à M et T fixés ${R_J} = \frac{{2GM{m_H}}}{{5kT}}$)
Puisque R > R_J, le point figuratif est au delà de l'extrémum donc dP/dR < 0 c'est à dire que le nuage se contracte si P(R) augmente. L'amorçage de l'effondrement des nuages sur eux-même est sans doute dû à une explosion "proche" d'une super-novae.

1.3 Effondrement du nuage
1.3.1 La distance minimale est de l'ordre du rayon atomique (soit a ≈ 0,1 nm)., alors les atomes sont en contact. Le nombre de particules est alors le quotient des volumes, soit
$\frac{M}{{{m_H}}} = \frac{{4/3\pi R_f^3}}{{4/3\pi {a^3}}}\quad \Rightarrow \quad {R_f} = a{\left( {\frac{M}{{{m_H}}}} \right)^{1/3}}$
1.3.2 La pression de surface étant nulle on a $P(R) = \frac{{3MkT}}{{4\pi {R^3}{m_H}}} - \frac{{3G{M^2}}}{{20\pi {R^4}}} = 0\quad \Rightarrow \quad \frac{{kT}}{{{m_H}}} = \frac{{GM}}{{5R}}$
Entre les états initial et final on a donc la relation $\quad \frac{k}{{{m_H}}}\left( {{T_f} - {T_i}} \right) = \frac{{GM}}{5}\left( {\frac{1}{{{R_f}}} - \frac{1}{{{R_i}}}} \right)$
Mais R_i >> R_f (1^ere approximation) et T_i << T_f. (2^eme approximation) donc $\frac{{k{T_f}}}{{{m_H}}} = \frac{{GM}}{{5{R_f}}}$
1.3.3 Les deux relations $\frac{{k{T_f}}}{{{m_H}}} = \frac{{GM}}{{5{R_f}}}$ et ${R_f} = a{\left( {\frac{M}{{{m_H}}}} \right)^{1/3}}$impliquent ${T_f} = \frac{{G{M^{2/3}}}}{{5ak}}m_H^{4/3}$
Si on veut T_f. < 10⁵ K il faut M < 6.10^-3 M. Le corps formé est une étoile "ratée" dont un exemple est la planète Jupiter.
1.3.4 Si T_f. >> 10⁵ K il y a pénétration des nuages électroniques et les électrons ne sont plus liés à un noyau particulier. Il y a dégénérescence c'est à dire que l'on a un mélange de deux gaz: le gaz d'électrons et le gaz de noyaux (protons).
1.3.5 Dans l'hypothèse d'un gaz parfait $3/2k{T_e} = 1/2{m_e}v_e^2$ alors ${\lambda _e} = \frac{h}{{{m_e}{v_e}}} = \frac{h}{{\sqrt {3k{m_e}{T_e}} }}$
1.3.6 Les atomes étant ionisés le nombre de particules est doublé; alors certaines relations sont à modifier $U = \frac{{3MkT}}{{{m_H}}}$ et ${R_f} = {\lambda _e}{\left( {\frac{{2M}}{{{m_H}}}} \right)^{1/3}} = \frac{h}{{\sqrt {3k{m_e}{T_e}} }}{\left( {\frac{{2M}}{{{m_H}}}} \right)^{1/3}}$
La relation qui donne la température finale est$\frac{{2k{T_e}}}{{{m_H}}} = \frac{{GM}}{{5{R_f}}}$et conduit à $k{T_e} = \frac{{3{G^2}{M^{4/3}}}}{{100{{\left( 2 \right)}^{2/3}}{h^2}}}{m_e}m_H^{8/3}$
Pour atteindre une température de 10⁷ K il faut M > 0,1 M..Les réactions nucléaires peuvent avoir lieu, le corps ainsi formé est une étoile.

Deuxième partie : Structure des étoiles
2.1 Ordres de grandeur
2.1.1 L'étoile rayonnant de façon isotrope: $E = \frac{L}{{4\pi {D^2}}}$ ce qui donne pour le soleil E ≈ 1,34 kW.m^-2.
2.1.2 Un corps noir sphérique rayonne la puissance $L = (\sigma T_{eff}^4)4\pi {R^2}$soit pour le soleil T_eff = 5740 K
2.1.3 On a simplement ${t_{KH}} = \frac{{3G{M^2}}}{{5R\,L}}$ce qui fait seulement t_KH ≈ 19 millions d'années pour le Soleil
2.1.4 On a cette fois $f\,M{c^2} = L\,{t_n}$soit pour f = 10^-3 t_n ≈ 15 milliards d'années pour le Soleil
Il faut conclure que l'énergie rayonnée par les étoiles a sa source dans les réactions nucléaires.
2.2 Les équations d'équilibre
2.2.1 $dm = 4\pi \rho (r)\,{r^2}dr$ et $\frac{{dP}}{{dr}} = - \rho (r)\frac{{Gm}}{{{r^2}}}$ (cf 1.2.1)
2.2.2 La coquille de rayon r et d'épaisseur dr génère une puissance $[\varepsilon (r)\rho (r)].4\pi \,{r^2}dr$
Elle émet par rayonnement vers la surface, la puissance: $L(r + dr) - L(r) \approx \frac{{dL}}{{dr}}dr$
A l'équilibre thermique on doit vérifier $\frac{{dL}}{{dr}} = 4\pi \,{r^2}\varepsilon (r)\rho (r)$
2.3 Les équations d'état
2.3.1 La masse totale des noyaux de type i est x_iM. Leur nombre est donc x_iM/m_i .
On en déduit que le nombre total de protons (et donc d'électrons) est $\sum\limits_i {{z_i}\frac{{{x_i}M}}{{{m_i}}}} $
Le nombre total de particules (noyaux plus électrons) est alors $N = \sum\limits_i {\frac{{{x_i}M}}{{{m_i}}}} + \sum\limits_i {{z_i}\frac{{{x_i}M}}{{{m_i}}}} $
Soit encore $N = M\sum\limits_i {{x_i}\frac{{(1 + {z_i})}}{{{m_i}}}} \Rightarrow \frac{1}{\mu } = \sum\limits_i {{x_i}\frac{{(1 + {z_i})}}{{{\mu _i}}}} $ cqfd.
2.3.2 Le quotient ${\mu _i} = \frac{{{m_i}}}{{{m_p}}}$représente sensiblement le nombre de nucléons dans les noyaux de type i (car les masses du proton et du neutron dont voisines) Or pour les noyaux lours il y a à peu près autant de protons que de neutrons soit ${\mu _i} \approx 2{z_i}$.
On peut alors écrire $\frac{1}{\mu } \approx \frac{{X(1 + 1)}}{1} + \frac{{Y(1 + 2)}}{2} + \sum\limits_i {{x_i}\frac{{(1 + {z_i})}}{{2{z_i}}}} \approx 2X + 1,5Y$
cr le dernier terme est négligeable car de l'ordre de $\sum\limits_i {{x_i}\frac{1}{2}} < < 2X + 1,5Y$
Pour le soleil le résultat précédent conduit à µ ≈ 0,58

2.3.4 Localement la loi des gaz parfaits s'écrit ${P_g} = \rho rT$, avec$r = \frac{{{\text{constante des Gaz parfaits}}}}{{{\text{masse molaire du mélange}}}}$
soit aussi $r = \frac{{{\text{constante de Boltzman}}}}{{{\text{masse moyenne d'une particule}}}}$ soit ici $r = \frac{{\,k}}{{M/N}} = \frac{k}{{\mu {m_p}}}$, d'où ${P_g} = \rho \frac{{kT}}{{\mu {m_p}}}$
2.3.5 On a pour une mole de gaz parfait ${C_v} = \frac{R}{{\gamma - 1}}\quad {C_p} = \frac{{\gamma R}}{{\gamma - 1}}$ et $dS = {C_p}\frac{{dT}}{T} - V\frac{{d{P_g}}}{T}$
soit pour une transformation isentropique $\frac{{\gamma R}}{{\gamma - 1}}\frac{{dT}}{T} = V\frac{{d{P_g}}}{T} = \frac{{Rd{P_g}}}{{{P_g}}} \Rightarrow {\left( {\frac{{dT}}{{d{P_g}}}} \right)_{ad}} = \frac{{\gamma - 1}}{\gamma }\frac{T}{{{P_g}}}$
L'équation d'état implique ${P_g} = \rho \frac{{kT}}{{\mu {m_p}}} \Rightarrow \frac{{d\rho }}{\rho } = \frac{{d{P_g}}}{{{P_g}}} - \frac{{dT}}{T}$
soit pour une transformation isentropique $\frac{{d\rho }}{\rho } = \frac{{d{P_g}}}{{{P_g}}} - \frac{{dT}}{T} = \frac{{d{P_g}}}{{{P_g}}} - \frac{{\gamma - 1}}{\gamma }\frac{{d{P_g}}}{{{P_g}}} = \frac{{d{P_g}}}{{\gamma \,{P_g}}}$
Ce qui s'intégre en ${P_g}{\rho ^{_\gamma }} = cste$
2.3.6 On intégre sur tout le domaine spectral : ${u_r}(T) = \int_0^\infty {} \frac{{8\pi h{\nu ^3}}}{{{c^3}}}\frac{{d\nu }}{{{e^{h\nu /kT}} - 1}} = \frac{{8\pi {k^4}{T^4}}}{{{h^3}{c^3}}}\int_0^\infty {} \frac{{{x^3}dx}}{{{e^x} - 1}}$
et grâce au résultat fourni on trouve ${u_r}(T) = \frac{{8\pi {k^4}{T^4}}}{{{h^3}{c^3}}}\frac{{{\pi ^4}}}{{15}} = \frac{{4\sigma {T^4}}}{c}$
2.3.7 On admet ${P_r} = \frac{{4\sigma {T^4}}}{{3c}} = \frac{1}{3}{u_r}$; une pression est une force surfacique c'est aussi un travail par unité de volume donc c'est homogène une énergie volumique comme u_r.
Remarque : pour un gaz parfait , la pression cinétique est aussi égale à u/3
2.4 Transport de l'énergie
2.4.1 Si P(x) est la probabilité de non-absorption sur un parcours de longueur x alors la probabilté de non-absorption sur un parcours de longueur x+dx sera le produit de P(x) par [1 - κρdx] (ce qui représente la probabilté de non-absorption sur un parcours dx) .
Alors P(x+dx) = P(x) + (dP /dx)dx = P(x) . [1 - κρdx] donc $\frac{{dP}}{{dx}} = - \kappa \rho P\quad \Rightarrow P = e - \kappa \rho x$
La constante d'intégration devant permettre d'avoir P(0) = 1
2.4.2 Par définition la longueur moyenne parcourue par un photon avant d'être absorbé est :
${\ell _0} = \frac{{\int_0^\infty {\ell \,P(\ell )\,dx} }}{{\int_0^\infty {\,P(\ell )\,d\ell } }} = \frac{{{{\left( {\frac{1}{{\kappa \rho }}} \right)}^2}\int_0^\infty {\,x\,e - x\,dx} }}{{\left( {\frac{1}{{\kappa \rho }}} \right)\;\int_0^\infty {\,\,e - x\,dx} }} = \frac{1}{{\kappa \rho }}$
Pour le soleil on trouve ρ ≈ 1,4.10³ kg.m^-3 et ₀ vaut environ 18 mm. C'est une longueur très petite à l'échelle du soleil, on peut considérer que les photons sont tous absorbés lorsqu'ils atteignent un élément de volume (un cube de coté quelques ₀ ), donc cet élément de volume est un corps noir puisque parfaitement absorbant.

2.4.3

Les photons se déplacent à la vitesse c, donc ceux qui traversent dS pendant une durée Δt dans le sens positif de l'axe sont contenus dans le volume dS.cΔt situé à gauche de dS sur la figure. Compte tenu de l'isotropie de l'espace, il n'y a que 1/6eme des photons qui se dirigent vers indiqué. C'est photons ne correspondent pas tous à la même température, puisque T(r). En moyenne un photon parcourt 0 on peut dire qu'ils viennent d'une zone où la température est T(r - 0) et où la

densité volumique d'énergie a la valeur : $\frac{{4\sigma }}{c}{[T(r - {\ell _0})]^4} \approx \frac{{4\sigma }}{c}[{T^4} - 4{T^3}\frac{{dT}}{{dr}}{\ell _0}]$
Alors l'énergie qui traverse dS dans le sens positif pendant Δt vaut $\frac{{2\sigma }}{{3c}}[{T^4} - 4{T^3}\frac{{dT}}{{dr}}{\ell _0}].c\Delta t.dS$
L'énergie qui traverse dS dans le sens négatif pendant Δt vaut $\frac{{2\sigma }}{{3c}}[{T^4} + 4{T^3}\frac{{dT}}{{dr}}{\ell _0}].c\Delta t.dS$
Le bilan net en puissance sera $FdS = \frac{{2\sigma }}{{3c}}[8{T^3}\frac{{dT}}{{dr}}{\ell _0}].c.dS = - \frac{{16\sigma {T^3}}}{{3\kappa \rho }}\frac{{dT}}{{dr}}dS$
Donc pour une sphère de rayon r $L(r) = \int {FdS} = F.4\pi {r^2} = - \frac{{64\pi \sigma {r^2}{T^3}}}{{3\kappa \rho }}\frac{{dT}}{{dr}}$ cqfd
2.4.4 On obtient pour le Soleil L(R) ≈ 4.10²⁶ W.m^-2. Ce qui est la valeur observée.

2.5 Les modèles homologues
2.5.1 La définition $\frac{{{m_1}(\alpha {R_1})}}{{{m_0}(\alpha {R_0})}} = \frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}$ indique que les longueurs sont homothétiques dans le rapport $\frac{{longueur\;dans\,(1)}}{{longueur\;dans\,(0)}} = \frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}$ et que les masses le sont dans le rapport $\frac{{masse\;dans\,(1)}}{{masse\;dans\,(0)}} = \frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}$
Les dimensions d'une masse volumique permettent de trouver immédiatement
$\frac{{{\rho _1}(\alpha {R_1})}}{{{\rho _0}(\alpha {R_0})}} = \left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right){\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 3}}$
2.5.2 L'échelle de temps caractéristique est ${t_0} = \sqrt {\frac{{{R^3}}}{{GM}}} $on en déduit que les temps sont homothétiques dans le rapport : $\frac{{dur\'e e\;dans\,(1)}}{{dur\'e e\;dans\,(0)}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{ - 1/2}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{3/2}}$
Les dimensions d'une pression (Masse.Longueur^-1Temps^-2) conduisent alors à la relation
$\frac{{{P_1}(\alpha {R_1})}}{{{P_0}(\alpha {R_0})\;}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^2}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 4}}$
Si la pression gazeuse est dominante la température est la température cinétique (e_C = 3/2kT)
On en déduit que $\frac{{{T_1}(\alpha {R_1})}}{{{T_0}(\alpha {R_0})}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^2}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 1}}$
Si la pression de radiation est dominante la température est celle du rayonnement ($du/dV = \frac{{4\sigma {T^4}}}{c}$)
On trouve alors que $\frac{{{T_1}(\alpha {R_1})}}{{{T_0}(\alpha {R_0})}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{1/2}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 1}}$
On exclut les cas intermédiaires où la convection n'est pas négligeable et qui a été écartée.
2.5.3 La première relation est : $\frac{{dL}}{{dr}} = 4\pi \,{r^2}\varepsilon (r)\rho (r)$soit avec $\varepsilon = {\varepsilon _0}\rho {T^n} \Rightarrow \frac{{dL}}{{dr}}\, = 4\pi {r^2}{\varepsilon _0}{T^n}{\rho ^2}$
compte tenu des résultats le facteur d'homothétie est tel que
Si la pression gazeuse est dominante
$\frac{{{L_1}(\alpha {R_1})}}{{{L_0}(\alpha {R_0})}} = \left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right).{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^2}{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^2}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 6}}\,.{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{2n}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - n}} = {\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 3 - n}}{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{2 + 2n}}$
Si la pression radiante est dominante
$\frac{{{L_1}(\alpha {R_1})}}{{{L_0}(\alpha {R_0})}} = \left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right).{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^2}{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^2}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 6}}\,.{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{n/2}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - n}} = {\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 3 - n}}{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{2 + n/2}}$
La 2^eme relation est $L(r) = - \frac{{64\pi \sigma {r^2}{T^3}}}{{3\kappa \rho }}\frac{{dT}}{{dr}}$ soit avec $\kappa = {\kappa _0}\rho {T^{ - 7/2}}$$ \Rightarrow L(r) = - \frac{{64\pi \sigma {r^2}{T^{13/2}}}}{{3{\kappa _0}{\rho ^2}}}\frac{{dT}}{{dr}}$
Donc si la pression gazeuse est dominante
$\frac{{L(\alpha {R_1})}}{{L(\alpha {R_0})}} = {\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^2}.{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{ - 2}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^6}{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{15/2}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 15/2}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 1}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{11/2}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 1/2}}$
Si la pression radiante est dominante
$\frac{{L(\alpha {R_1})}}{{L(\alpha {R_0})}} = {\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^2}.{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{ - 2}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^6}{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{15/4}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 15/2}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 1}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{7/4}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 1/2}}$

2.5.4 La compatibilité entre les résultats impose pour une pression gazeuse dominante
${\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 3 - n}}{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{2 + 2n}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{11/2}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 1/2}}$$ \Rightarrow {\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{5/2 + n}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{ - 7/2 + 2n}}$$ \Rightarrow \left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right) = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{\frac{{4n - 7}}{{2n + 5}}}}$
et pour une pression de radiation dominante
${\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 3 - n}}{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{2 + n/2}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{7/4}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 1/2}}$$ \Rightarrow {\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{5/2 + n}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{ - 3/4 + n/2}}$$ \Rightarrow \left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right) = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{\frac{{2n - 3}}{{4n + 20}}}}$
2.5.5 De même lorsque la pression gazeuse est dominante
on a $\frac{{L(\alpha {R_1})}}{{L(\alpha {R_0})}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{11/2}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 1/2}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{11/2}}{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{ - \frac{{4n - 7}}{{4n + 10}}}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{\frac{{18n + 62}}{{4n + 10}}}}$
et lorsque la pression de radiation est dominante
on a $\frac{{L(\alpha {R_1})}}{{L(\alpha {R_0})}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{7/4}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 1/2}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{7/4}}{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{ - \frac{{2n - 3}}{{8n + 40}}}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{\frac{{12n + 73}}{{8n + 40}}}}$
2.5.6 Les diagrammes expérimentaux conduisent à
masse-rayon.: ${{\log }_{10}}\frac{R\ }{R}\approx 0,9\,\,{{\log }_{10}}\frac{M\ }{\text{M}}$ masse-luminosité: ${{\log }_{10}}\frac{L\ }{L}\approx 3,3\,\,{{\log }_{10}}\frac{M\ }{\text{M}}$
si la pression gazeuse est dominante (étoile froide, n=5) alors $\frac{{L(\alpha {R_1})}}{{L(\alpha {R_0})}} \approx {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^5}$
si la pression de radiation est dominante (étoile chaude n =18) $\frac{{L(\alpha {R_1})}}{{L(\alpha {R_0})}} \approx {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{1,6}}$

Concours Physique ENS Lyon, Cachan (MP*) 1998 (Énoncé)

ENS 1998 - Physique MP
Formation et structure des étoiles
Les galaxies sont essentiellement constituées d'étoiles, corps gazeux très chauds et très denses et de gaz interstellaire, très froid et très peu dense. Le gaz interstellaire n'est pas uniformément réparti dans les galaxies mais constitue des entités distinctes, appelées nuages. Plusieurs arguments théoriques et observationnels indiquent que les étoiles ont une durée de vie limitée et que de nouvelles étoiles se forment en permanence à partir du gaz interstellaire.
Dans une première partie, nous étudierons un scénario simple d'effondrement gravitationnel d'un nuage interstellaire, qui constitue la base de modèles plus sophistiqués de formation d'étoiles.
La deuxième partie du problème sera consacrée à l'étude de la structure d'équilibre des étoiles telle qu'elle s'établit pendant la plus grande partie de leur vie. Les deux parties du problème et leurs différentes sections sont très largement indépendantes les unes des autres mais il est conseillé de les aborder dans l'ordre de leur présentation.
Une grande attention sera portée aux applications numériques et à leur examen critique, en particulier dans la deuxième partie, lors de laquelle le Soleil sera le plus souvent pris comme exemple. Les unités du système international étant mal adaptées à l'expression des grandeurs astronomiques, nous utiliserons des unités spécifiques de masse, de longueur et de puissance, définies ci-dessous. Nous recommandons d'employer ces unités dans les applications numériques.

Nom	Symbole	Valeur à utiliser
Masse solaire	M	2,0 x 1030 kg
Rayon solaire	R	7,0 x l 08 m
Luminosité solaire	L	3,8 x 1026 W

Les constantes et les grandeurs physiques fondamentales nécessaires aux applications numériques sont rappelées ci-dessous.
Constante de gravitation G = 6,7 x 10^-11 m³ kg^-1 s^-2
Constante de Planck h = 6,6 x 10^-34 J s
Constante de Boltzmann k = 1,4 x 10^-23 J K^-1
Constante des gaz parfaits R = 8,3 x 10^-11 J K^-1 mol^-1
Constante de Stefan σ = 5,7 x 10^-8 Wm^-2 K^-4
Vitesse de la lumière dans le vide c = 3,0 x 10⁸ m s^-1
Masse du proton m_p = 1,7 x 10^-27 kg
Masse de l'électron m_e = 9,1 x 10^-31 kg
Première partie : Formation des étoiles
On considère un nuage isolé à symétrie sphérique, de rayon R et de masse M. Il est constitué d'hydrogène atomique gazeux, considéré comme un gaz parfait.
1.1 Nuage gravitationnellement lié
Le nuage n'est soumis qu'à sa propre gravité et on néglige pour l'instant toute force de pression interne ou externe.
1.1.1 En raisonnant uniquement sur les dimensions des grandeurs physiques, construire une grandeur homogène à un temps, notée t₀, en fonction des seules grandeurs G, M, R..
1.1.2 Exprimer l'énergie potentielle gravitationnelle E_P d'un nuage sphérique de rayon R, de masse M et de masse volumique uniforme.
1.1.3 Le nuage, constitué d'atomes d'hydrogène, possède une température cinétique uniforme T. Quelle est son énergie interne U ? A quelle condition sur E_P et U le nuage est-il gravitationnellement lié ?
1.1.4 En déduire qu'à masse volumique ρ et température T données, les nuages de rayon inférieur à une limite, appelée rayon de Jeans et notée R_J, que l'on précisera et dont on vérifiera l'homogénéité, se fragmentent.
1.1.5 Application numérique : Calculer le rayon de Jeans R_J et la masse de Jeans M_J correspondante d'un nuage sphérique de température uniforme T = 10 K, comportant 1 atome d'hydrogène par cm³.
1.1.6 Le nuage est découpé en couches sphériques concentriques, considérée chacune comme un système fermé. On s'intéresse au mouvement d'effondrement d'une couche, numérotée i, limitée à l' instant t par les rayons r_i(t) et r_i(t) + dr et de masse volumique ρ_i(t). Exprimer la conservation de l'énergie totale de la couche i, dont on supposera la vitesse d effondrement v_i(t) nulle à l'instant initial. On pose r_i(t) = r_i(0) cos²α_i(t) et on suppose que l'effondrement se poursuit jusqu'à un rayon nul. En déduire la durée t_ff d'effondrement, que l'on comparera au temps t₀ obtenu en 1.1.1
1.1.7 Application numérique : Quel est le temps d'effondrement t_ff d'un nuage sphérique, de rayon R = 5 x 10⁹ R, comportant un atome d'hydrogène par cm³ ?

1.2 Stabilité d'un nuage isotherme
On considère un nuage sphérique dont toutes les propriétés (masse volumique, température, pression, champ de vitesses...) possèdent la symétrie sphérique et on ne néglige plus les forces de pression.
1.2.1 En désignant par m(r) la masse contenue à l'intérieur de la sphère de rayon r et par P(r) la pression à la distance r du centre, montrer que la condition d'équilibre de la couche, de masse dm, limitée par les rayons r et r + dr conduit à la relation :
$d(4\pi {r^3}P) = \left( {\frac{{3P}}{r} - \frac{{Gm}}{r}} \right)dm$ (1)
1.2.2 Etablir que 3P/ρ est le double de l'énergie interne du gaz par unité de masse.
1.2.3 Intégrer l'équation (1) sur tout le nuage. En déduire une relation entre P(R) et les énergies interne, U, et potentielle gravitationnelle, E_P, du nuage.
1.2.4 Exprimer en fonction de M, T et R la pression de surface P(R) qui assure l'équilibre du nuage et donner l'allure de la courbe P(R) à M et T fixées.
1.2.5 Le nuage, de rayon R, est initialement en équilibre. Que se passe-t-il si la pression externe augmente légèrement ?
1.3 Effondrement du nuage
On suppose que l'effondrement du nuage s'effectue dans des conditions telles que la relation entre énergie interne U et énergie potentielle gravitationnelle E_P établie en 1.2.3 reste valable.
De plus, on néglige désormais le terme de pression de surface.
1.3.1 L'effondrement du nuage d'hydrogène atomique s'arrête lorsque la séparation entre les atomes atteint une valeur a, dont on donnera un ordre de grandeur. Quelle relation peut-on écrire entre a, le rayon final R_f du nuage et sa masse M ?
1.3.2 On note R_i le rayon du nuage au début de l'effondrement. On note T_i et T_f les températures initiale et finale du nuage, supposées uniformes. Etablir la relation qui lie R_i, R_f, T_i et T_f. Montrer qu'elle se réduit à une relation entre R_f et T_f, moyennant deux approximations, que l'on précisera.
1.3.3 En déduire l'expression de la température finale du nuage T_f. en fonction de sa masse M et de a. Quelle est la masse maximale que peut avoir un nuage pour que sa température ne dépasse pas 10⁵ K? Quelle est d'après vous la nature du corps ainsi formé ?

1.3.4 Justifier que si T_f. peut atteindre une valeur supérieure à environ 10⁵ K, le gaz constituant le nuage s'ionise.
1.3.5 Le gaz ionisé peut alors subir une nouvelle phase d'effondrement, qui s'achève, au plus tard, lorsque la distance moyenne entre les protons et les électrons est de l'ordre de la longueur d'onde de de Broglie des électrons, λ_e = h /m_ev_e , où v_e est la vitesse moyenne d'agitation thermique des électrons. Exprimer λ_e en fonction de la température T_e atteinte à la fin de la compression.
1.3.6 En déduire l'expression de la température finale du nuage T_e en fonction de sa masse M.
Quelle est la masse minimale de nuage permettant d'atteindre une température de 10⁷ K?
Quelle est d'après vous la nature du corps ainsi formé
Deuxième partie : Structure des étoiles
Lors de la plus grande partie de son existence, une étoile évolue très lentement, si bien que les distributions de masse, température, pression,... qui la caractérisent, peuvent être calculées en supposant qu'il y a constamment équilibre. De plus, toutes ces distributions sont à symétrie sphérique. Les six fonctions radiales représentant les distributions de température T(r), de pression P(r), de masse m(r), de masse volumique ρ(r), de taux de production d'énergie par unité de masse, ε(r), et de luminosité L(r) d'une étoile sont couplées par six équations. Elles sont très générales et applicables à des étoiles de masses variées. Elles nous permettront de vérifier que la masse d'une étoile est le paramètre dominant de sa structure.
2.1 Ordres de grandeur
2.1.1 Comment s'exprime la puissance reçue par unité de surface sur Terre, E, en fonction de la puissance (ou luminosité), L, rayonnée par une étoile située à la distance D de la Terre. Calculer E dans le cas le Soleil. On rappelle que la distance moyenne Terre-Soleil est de 150 millions de kilomètres.
2.1.2 En bonne approximation, une étoile de luminosité L et de rayon R rayonne comme un corps noir de température T_eff, appelée température effective de l'étoile. Rappeler la relation liant ces trois grandeurs sans démonstration. En déduire la température effective du Soleil.
2.1.3 On appelle temps de Kelvin-Helmholtz, noté t_KH, le temps nécessaire pour qu'une étoile rayonne toute son énergie potentielle gravitationnelle, en supposant que sa luminosité reste constante. Calculer t_KH, pour le Soleil (en supposant que sa masse volumique est uniforme).
2.1.4 On appelle temps nucléaire, noté t_n, le temps nécessaire pour qu'une étoile rayonne une fraction donnée f de son énergie de masse, en supposant que sa luminosité reste constante.
Calculer t_n pour le Soleil en prenant f = 10^-3 et le comparer à t_KH, Que peut-on en conclure sur l'origine probable de l'énergie rayonnée par les étoiles ?

2.2 Les équations d'équilibre
2.2.1 Donner les expressions de dm/dr et de dP/dr qui définissent respectivement la distribution de masse et l'équilibre mécanique de l'étoile.
2.2.2 Etablir l'équation d'équilibre énergétique qui lie la puissance produite par unité de volume,
ε(r)ρ(r), à la puissance L(r) qui traverse la sphère de rayon r vers la surface de l'étoile.
2.3 Les équations d'état
On suppose pour simplifier que la matière de l'étoile est totalement ionisée et de composition uniforme. L'étoile est donc constituée d'un mélange de particules massives (noyaux et électrons) et de photons. En outre, la densité est assez faible pour que les électrons, les noyaux et leur mélange se comportent comme des gaz parfaits.
2.3.1 On note x_i la fraction de masse de l'étoile due aux noyaux de type i, de numéro atomique z_i et de masse m_i. On pose µ_i = m_i/ m_p et µ. = M/Nm_p, où M est la masse de l'étoile et N le nombre de nombre de particules massives qu'elle contient. Etablir que
$\mu { ^{ - 1}} = \sum\limits_i {\frac{{{x_i}(1 + {z_i})}}{{{\mu _i}}}} $ (2)
2.3.2 Les noyaux présents sont principalement de l'hydrogène (fraction de masse X ), de l'hélium (fraction de masse Y) et des traces d'éléments plus lourds (fractions de masse Z_i >> X, Y). On supposera que pour tous les éléments lourds le rapport µ_i / z_i est voisin de 2. Justifier cette approximation et exprimer µ en fonction de X et Y. Calculer µ pour le Soleil (on prendra X = 0, 56 et Y = 0, 41).
2.3.4 Etablir que la pression du gaz parfait de particules massives, notée P_g(r), satisfait à l'équation d'état
${P_g}(r) = \frac{{\rho (r)}}{{\mu {m_p}}}kT(r)$ (3)
2.3.5 On note C_v et C_p les capacités thermiques molaires respectivement à volume constant et à pression constante du gaz parfait. On rappelle que C_p - C_v = R et l'on note γ = C_p / C_v.
Etablir que lors d'une transformation adiabatique, un gaz parfait de température T, de pression P_g et de masse volumique ρ satisfait aux relations :
${P_g}{\rho ^{_\gamma }} = cste$ et ${\left( {\frac{{dT}}{{d{P_g}}}} \right)_{ad}} = \left( {\frac{{\gamma - 1}}{\gamma }} \right)\frac{T}{{{P_g}}}$ (4)
2.3.6 Le gaz de photons, en équilibre à la température T, suit la loi de rayonnement du corps noir, c'est-à-dire que sa densité volumique d'énergie dans la bande de fréquences (ν, ν + d ν ),
notée u_ν, obéit à la loi de Planck
${u_\nu } = \frac{{8\pi h{\nu ^3}}}{{{c^3}}}{({e^{h\nu /kT}} - 1)^{ - 1}}$ (5)
Calculer la densité volumique totale d'énergie du gaz de photons, u_r(T).
On posera σ = 2π⁵k⁴/15h³c² (constante de Stefan) et on donne
$\int_0^\infty {\;{x^3}({e^x} - 1)dx = } \frac{{{\pi ^4}}}{{15}}$
2.3.7 On admettra que la pression du gaz de photons P_r. est donnée par
${P_r} = \frac{{4\sigma }}{{3\,c}}{T^4}$ (6)
Vérifier l'homogénéité de cette relation.

2.4 Transport de l'énergie
L'énergie produite par les réactions nucléaires dans es régions internes de l'étoile peut être transportée vers la surface par deux mécanismes : le rayonnement et la convection. Nous considérerons le transport par convection comme négligeable. Cette approximation est bien justifiée pour les étoiles plus massives que le Soleil, mais plus discutable pour les étoiles de faible masse.
2.4.1 On note κ le coefficient d'absorption de la matière stellaire, supposé indépendant de la fréquence : un photon parcourant une longueur dl dans une région de masse volumique ρ a une probabilité proportionnelle à κρdl d'être absorbé. Exprimer la probabilité P(l) qu'a le photon de parcourir une distance l sans être absorbé.
2.4.2 En déduire le libre parcours moyen l₀ d'un photon, c'est-à-dire la distance moyenne parcourue avant absorption. Que vaut-il dans le Soleil (on prendra κ = 0, 04 m² kg^-1 et on supposera une densité uniforme) ? En déduire qu'il est justifié de considérer que chaque élément de volume de l'étoile, situé à la distance r du centre, rayonne comme un corps noir de température T(r).
2.4.3 Soit un élément de surface dS situé à la distance r du centre de l'étoile et perpendiculaire à la direction radiale. Calculer le flux net d'énergie FdS traversant dS vers la surface de l'étoile.En déduire que la puissance transportée par rayonnement vers la surface de l'étoile est
$L(r) = - \frac{{64\sigma \pi }}{{3\,\kappa \rho }}{r^2}\frac{{dT}}{{dr}}{T^3}$ (7)
2.4.4 Au voisinage de la surface du Soleil, ρ ~ 10^-3 kg m^-3, T ~ 6000K et (dT/dr) ~ -4 x 10^-2 K m^-1, quelle y est la puissance transportée par rayonnement ? Conclusion.
2.5 Les modèles homologues
On admet que le coefficient d'absorption peut se mettre sous la forme κ = κ₀ρT ^-7/2 et que le taux de production d'énergie par unité de masse (dû aux réactions nucléaires) s'exprime par ε = ε₀PT ⁿ, où κ₀ et ε₀ sont des constantes, qui ne dépendent que de la composition chimique de l'étoile. On suppose connues les distributions P₀(r), T₀(r), ρ₀(r), m₀(r), L₀(r) d'une étoile de masse M₀ et de rayon R₀. On appelle étoile homologue une étoile de masse M₁, de rayon R₁ et de même composition chimique uniforme telle que
$\forall \alpha \in [0,1]\quad \quad {m_1}(\alpha {R_1})/{M_1} = {m_0}(\alpha {R_0})/{M_0}$
2.5.1 Exprimer ρ₁(αR_l) en fonction de ρ₀(αR₀), M₀, M₁, R₀ et R_1.
2.5.2 Etablir de façon analogue les liens qui existent entre les distributions P₁(r) et P₀(r), T₁(r) et T₀(r). On distinguera le cas des étoiles dominées par la pression gazeuse P_g et celui des étoiles dominées par la pression de radiation P_r. Pourquoi exclut-on les cas intermédiaires ?
2.5.3 En utilisant les deux relations faisant intervenir la luminosité (voir 2.2.2 et 2.4.3), établir les deux expressions liant L₁ et L₀ pour chacun des deux types d'étoiles (pression gazeuse dominante ou pression de radiation dominante).

2.5.4 En déduire que, pour chaque type d'étoiles, le rayon de l'étoile s'exprime comme une loi de puissance de sa masse (relations dites masse-rayon).
2.5.5 Etablir de même les relations dites masse-luminosité qui expriment la luminosité d'une étoile en fonction de sa masse.
2.5.6 Comparer les relations R(M) et L(M) ainsi obtenues aux diagrammes expérimentaux (voir Figure 1) en prenant n = 5 pour les étoiles plus froides que le Soleil et n = 18 pour les étoiles plus chaudes que le Soleil).

Figure 1: Corrélations masse-rayon et masse-luminosité observées.