Concours Physique ENS Lyon, Cachan (PC*) 1998 (Corrigé)

E.N.S. LYON - CACHAN PC* 1998 Composition de Physique
1. Déformations et contraintes dans un solide élastique
1.1.1 Par définition, $x'\,\, = \,\,x\,\, + \,\,{u_x}(x,t)\;\;$ et ${S_1}(x,t)\,\,\, = \,\,\,\frac{{dx'\, - \,dx}}{{dx}}\,\, = \,\,\frac{{\partial {u_x}}}{{\partial x}}$. On en déduit donc $dx'\,\, = \,\,dx\,\, + \,\,\frac{{\partial {u_x}(x,t)}}{{\partial x}}\,dx$
1.1.2 $\vec F(x,t)\, = \,{C_1}\;\frac{{\partial {u_x}}}{{\partial x}}\,A\;{\vec e_x}$ . Pour l'ensemble : en statique , FÍ représente la tension , et est uniforme . Il en est donc de même pour $\frac{{\partial {u_x}}}{{\partial x}}\,\, = \,\,\frac{{\Delta \ell }}{\ell }$ . $\vec F(x,t)\, = \,{C_1}\;\frac{{\partial {u_x}}}{{\partial x}}\,A\;{\vec e_x}$ La raideur du ressort équivalent est donc $K\, = \,\,{C_1}\,\,\frac{A}{\ell }\,\,$ .

1.1.3 La contrainte est alors représentée par -P(x,t) . En éliminant la pression au repos qui correspond à l'absence de contraintes internes , on posera T1 = - p(x,t) , et par définition de la compressibilité , pour le fluide en évolution isentropique , $ - \,\frac{1}{V}\,{\left( {\frac{{\partial V}}{{\partial p}}} \right)_S}\,p\,\,\, = \,\,{\chi _s}\,\,p\,\,\,$ avec $\frac{1}{V}\,{\left( {\frac{{\partial V}}{{\partial p}}} \right)_S}\,p\,\,\, = \,\,\frac{{\partial {u_x}}}{{\partial x}}\,\, = \,{S_1}\,\, = \,\, - \,{\chi _s}\,\,p\,\,$ . D' où ${T_1}\,\, = \,\,\frac{1}{{{\chi _s}}}\,\,{S_1}\,\,$ ..
1.1.4 Pour une aire A , il y a n a A files d'atomes . La tension vaut donc $n\,a\,A\,\,k\,\frac{{\partial {u_x}}}{{\partial x}}\,a\,\, = \,{C_1}\;\frac{{\partial {u_x}}}{{\partial x}}\,A\,$ car l' allongement du ressort est $u(x + \frac{a}{2})\, - \,u(c - \frac{a}{2})\,\, = \,\frac{{\partial u}}{{\partial x}}\,\,a$ et donc la tension $ + \,k\,\frac{{\partial u}}{{\partial x}}\,\,a$. ${C_1} = n{a^2}k$
1.2.1 Pour que $\frac{{\partial {u_y}}}{{\partial x}}$ soit positif , il faut que la partie droite exerce une force dirigée suivant y sur la partie gauche . Donc ${T_2}\,\, = \,\,{C_2}\,\frac{{\partial {u_y}}}{{\partial x}}$ avec C2 > 0 .
1.2.2 La contrainte de cisaillement vaut alors ${\vec e_y}\,{C_2}\,A\left[ {{{\left. {\frac{{\partial {u_y}}}{{\partial x}}} \right|}_{x + dx}}\,\,\, - \,\,{{\left. {\frac{{\partial {u_y}}}{{\partial x}}} \right|}_x}} \right]\,\, = \,\,{C_2}\,A\frac{{{\partial ^2}{u_y}}}{{\partial {x^2}}}\,\,dx\,\,{\vec e_y}$
soit une force volumique équivalente ${C_2}\,\frac{{{\partial ^2}{u_y}}}{{\partial {x^2}}}\,\,\,\,{\vec e_y}$
1.2.3 Pour un fluide de viscosité η , ce qui intervient n'est pas le cisaillement , mais la variation de la vitesse tangentielle .

2. Propagation d'une onde acoustique plane longitudinale
2.1.1 ${\ddot u_q}\,\, = \,\, - \,2\,\omega _o^2\,\,{u_q}\, + \,\omega _o^2\,\left( {{u_{q - 1}}\, + \,{u_{q + 1}}} \right)$
2.1.2 On en déduit $({\omega ^2}\, - \,\,2\,\omega _o^2)\,\underline {{u_q}} \, + \,\omega _o^2\,\underline {{u_{q - 1}}} \,\, + \;\,\omega _o^2\,\underline {{u_{q + 1}}} = \,0$
ou bien $\,\underline {{u_{q + 1}}} \,\, + \,\,\frac{{{\omega ^2}\, - \,\,2\,\omega _o^2}}{{\omega _o^2}}\,\,\underline {{u_q}} \, + \,\,\underline {{u_{q - 1}}} \,\, = \,\,0$ , ce qui se met sous la forme canonique , en posant
$S\,\, = \,\,\frac{{\,\,2\,\omega _o^2 - {\omega ^2}\,}}{{\omega _o^2}}\,\,\,{\rm{et}}\,\,P\,\, = \,\,1$ . Si les racines sont imaginaires , elles sont imaginaires conjuguées , de module égal à 1 : ${r_1}\, = \,{e^{i\phi }}\,\,{r_2}\, = \,{e^{ - i\phi }}\,\,{\rm{,avec}}\,\,\,2\cos \phi \, = \,2\, - \,\frac{{{\omega ^2}\,}}{{\omega _o^2}}$ On calcule alors : S2 - 4 < 0 si
:$\frac{{\,{{(\,2\,\omega _o^2 - {\omega ^2})}^2} - \,4\,\omega _o^4\,}}{{\omega _o^4}}\,\,\, < \,\,0\,$ $\omega \, < \,2\,{\omega _o} = \,{\omega _c}$ ${\omega ^2}\,\, = \,\,4\,\omega _o^2\,\,{\sin ^2}\frac{\phi }{2}$
$\underline {{u_q}} \,\, = \,\,A\,\,{e^{i(\omega t - q\phi )}}\,\,{\rm{ou}}\,\,\underline {u{'_q}} \,\, = \,\,A\,\,{e^{i(\omega t + q\phi )}}$ q ϕ peut encore s'écrire : $q\,a\,\frac{\phi }{a}\,\, = \,\,\frac{\phi }{a}\,x$ . On sera donc amené à poser : $k\,\, = \,\,\,\frac{\phi }{a}\,$ et les expressions précédentes représenteront deux ondes progressives se propageant dans le sens des x croissants pour la première , dans le sens des x décroissants pour la seconde , avec un vecteur d'onde k tel que : ${\omega ^2}\,\, = \,\,4\,\omega _o^2\,\,{\sin ^2}\frac{{k\,a}}{2}$ ou encore $\omega \,\, = \,\,2\,\omega _o^{}\,\,\left| {\sin \frac{{k\,a}}{2}} \right|$ .
Si ω > ωc = 2 ωo , les deux racines sont réelles négatives . Il n'y a pas de propagation , et la vibration "s'éteint" d'elle-même sur quelques atomes . ${u_q}(t)\,\, = \,\,{u_{qo}}\cos (\omega t + \psi )\left[ {a\,{e^{ - x/{\delta _1}}}\, + \,b{e^{ - x/{\delta _2}}}\,} \right]$
2.1.3 . vϕ et vg seront approximativement égaux dans la limite k « π/a ,et vaudront alors c = a ωo .
2.2.1 $\rho \,A\,dx\,{\ddot u_x}(x,t)\,\, = \,\,{C_1}\,\,A\,\left[ {{S_1}(x + dx)\, - \,{S_1}(x)} \right]\,\, = \,\,\,{C_1}\,\,A \,\frac{{{\partial ^2}{u_x}}}{{\partial {x^2}}}$ . On obtient ainsi l'équation de propagation : $\,\frac{{{\partial ^2}{u_x}}}{{\partial {x^2}}}\, = \,\,\frac{\rho }{{{C_1}}}\,\,\frac{{{\partial ^2}{u_x}}}{{\partial {t^2}}}$ avec la célérité c1 telle que : $c_1^2\,\, = \,\,\frac{{{C_1}}}{\rho }$
2.2.2 Le passage à la limite se fait pour λ » a . On obtient $c\,\, = \,\,{\omega _o}\,a\,\, = \,\,\sqrt {\frac{k}{m}} \,a$
${c^2}\,\, = \,\,\frac{{k\,{a^2}}}{m}\,\,\,\,{\rm{avec}}\,\,\,\,\,n\,k\,{a^2}\, = \,\,{C_1}\,\,\,\,et\,\,\,\,n\,\,m\,\,\, = \,\,\rho $ . C'est bien le même résultat .
2.2.3 $a\,\,\,\ll \lambda \,\, = \,\,\frac{c}{\nu }$ . la masse volumique ρ est de l'ordre de 5.103 kg.m-3 . Cela donne une valeur de c2 de l'ordre de 2.106 , et donc une célérité de 1,4.103 m.s-1 . $\frac{c}{\nu }$ est de l' ordre de
1,4.10-3 m : ce sont des ondes de longueur d'onde millimétrique , qui est bien supérieure à la distance inter atomique , laquelle est de l'ordre de 10-10 m . Le modèle continu est donc bien acceptable pour ces fréquences [ nettement ultrasonores] .

3. Onde acoustique plane transversale dans un solide
3.1.1 $\rho \,A\,dx\,{\ddot u_y}(x,t)\,\, = \,\,\,\,A\,\left[ {{T_2}(x + dx)\, - \,{T_2}(x)} \right]\,\, = \,\,\,{C_2}\,\,A \,\frac{{{\partial ^2}{u_y}}}{{\partial {x^2}}}$ , ce qui donne l'équation de propagation : $\,\frac{{{\partial ^2}{u_y}}}{{\partial {x^2}}}\, = \,\,\frac{\rho }{{{C_2}}}\,\,\frac{{{\partial ^2}{u_y}}}{{\partial {t^2}}}$
3.1.2 La célérité de ces ondes est donnée par : $c_2^2\,\, = \,\,\frac{{{C_2}}}{\rho }$ . On obtient numériquement
c2 = 3,92 . 103 m.s-1 .
3.1.3 Pour une onde progressive se propageant dans le sens positif : ${u_y}(x,t)\,\, = \,\,{u_y}(x - {c_2}t)\,\,\,$ . Si on pose : $\alpha = \,\,x - {c_2}t\,\,\,,\,\,u{'_y}\,\, = \,\,\frac{{d{u_y}}}{{d\alpha }}\,\,$ ${T_2}\,\, = \,\,{C_2}\frac{{\partial {u_y}}}{{\partial x}}\,\, = \,\,{C_2}\,u{'_y}\,\,\,\,,\,\,{v_y}\,\, = \,\,\,\frac{{\partial {u_y}}}{{\partial t}}\,\, = \,\, - {c_2}\,u{'_y}$ On peut ainsi obtenir l' impédance élastique : ${Z_ + }\,\, = \,\, - \,\frac{{{C_2}}}{{{c_2}}}\,\, = \,\, - \,\sqrt {\frac{\rho }{{{C_2}}}} \,\,$ . De même , pour l'onde se propageant dans l'autre sens , ${T_2}\,\, = \,\,{C_2}\frac{{\partial {u_y}}}{{\partial x}}\,\, = \,\,{C_2}\,u{'_y}\,\,\,\,,\,\,{v_y}\,\, = \,\,\,\frac{{\partial {u_y}}}{{\partial t}}\,\, = \,\, + {c_2}\,u{'_y}$ et ${Z_ - }\,\, = \,\,\,\frac{{{C_2}}}{{{c_2}}}\,\, = \,\,\sqrt {\frac{\rho }{{{C_2}}}} \,\,$ .
3.1.4 Les forces de viscosité entraînent une déperdition d'énergie , donc une absorption .
Il y aura l'équivalent d'un "effet de peau" pour les ondes transversales ; elles ne se propageront donc en fait que sur une petite distance .
3.2.1 Il n' y a pas de contrainte de cisaillement pour x = -h et pour x = +h . Les solutions stationnaires de l'équation de d'Alembert seront donc de la forme :
$\frac{{\partial {u_y}}}{{\partial x}}\,\, = \,\,{A_\omega }\,\sin (\omega t + \phi )\,\cos (kx + \psi )\,\,\,\,{\rm{avec}}\,\,\,\,k\,\, = \,\,\frac{\omega }{{{c_2}}}$
Les conditions aux limites imposent $\cos (kx + \psi )$ de la forme : $\sin \,\frac{{p\,\,\pi \,(x + h)}}{{2\;\;h}}$ , donc $\,\,\,\frac{{\,{\omega _p}}}{{{c_2}}}\, = \,p\,\frac{\pi }{{2h}}\,\,$ et $\,{\nu _{p\,\,}} = \,\,p\,\frac{{{c_2}}}{{4h}}$ .
$\frac{{\partial {u_y}}}{{\partial x}}\,\, = \,\,\sum\limits_p {{a_p}} \,\sin (p\,\frac{{\pi {c_2}}}{{2h}}t + \phi )\,\sin \,\frac{{p\,\,\pi \,(x + h)}}{{2\;\;h}}$ , d'où: ${u_y}\,\, = \,\,\sum\limits_p {{a_p}\frac{{2h}}{{p\pi }}} \,\sin (p\,\frac{{\pi {c_2}}}{{2h}}t + \phi )\,\cos \,\frac{{p\,\,\pi \,(x + h)}}{{2\;\;h}}$
Pour p = 1 : ${u_y}\, = \,{u_1}\,\sin (2\pi {\nu _1}t + {\phi _1})\,\sin \frac{{\pi x}}{{2h}}\,\,\,\,{\rm{avec}}\,\,\,\,{\nu _{\rm{1}}}\, = \,\frac{{{c_2}}}{{4h}}$
Pour p =2: ${u_y}\, = \,{u_2}\,\sin (2\pi {\nu _2}t + {\phi _2})\,\cos \frac{{\pi x}}{h}\,\,\,\,{\rm{avec}}\,\,\,\,{\nu _{\rm{2}}}\, = \,\frac{{{c_2}}}{{2h}}$
Application numérique : c2 = 3,92.103 m.s-1 ; ν1 = 1,96 MHz ; ν2 = 3,92 MHz .

4. Onde dans un cristal piézo-électrique
4.1.1 La charge +q est soumise à la force $q\,E\, + \,{k_2}\,{\alpha _2}\, - {k_1}\,{\alpha _1}\,\, = \,\,0\,\,{\rm{ \`a l'\'e quilibre }}{\rm{.}}$
La charge -q à la force $ - q\,E\, - \,{k_2}\,{\alpha _2}\, + {k_1}\,{\alpha _1}\,\, = \,\,0\,\,$ . Donc : $E\,{\rm{ = }}\,\frac{{{k_1}\,{\alpha _1}\, - \,{k_2}\,{\alpha _2}}}{q}$
À l'une des extrémités , $q\,E\, + {f_1}\, - {k_1}\,{\alpha _1}\,\, = \,\,0$ et à l'autre : $ - \,q\,E\, - {f_1}\, + {k_1}\,{\alpha _1}\,\, = \,\,0$ . D'où :
${f_1} = \,\, - q\,E\,\, + {k_1}\,{\alpha _1}\,\,$ et pour les autres chaînes : $ - \,q\,E\, + {f_2}\, - {k_2}\,{\alpha _2}\,\, = \,\,0$ et comme $F\, = \,\frac{N}{2}\,{f_1}\, + \,\frac{N}{2}\,{f_2}$
on obtient le résultat : $F\, = \,\frac{N}{2}\,({k_1}\,{\alpha _1}\, + \,{k_2}\,{\alpha _2})\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,E\,{\rm{ = }}\,\frac{{{k_1}\,{\alpha _1}\, - \,{k_2}\,{\alpha _2}}}{q}$
4.1.2 $\frac{F}{A}\, = \,\frac{N}{2}\,\,\frac{{2\;a\,n}}{N}\,({k_1}\,{\alpha _1}\, + \,{k_2}\,{\alpha _2})\,\, = \,n\,a\,({k_1}\,{\alpha _1}\, + \,{k_2}\,{\alpha _2})\,\,\, = \,T$ et
On en déduit α1 et α2 : ${\alpha _1}\,\, = \,\,\frac{{T\, + \,n\,qE\,a}}{{2\,n\,a\,{k_1}}}\,\,\,\,\,\,{\alpha _2}\,\, = \,\,\frac{{T\, - \,n\,qE\,a}}{{2\,n\,a\,{k_2}}}\,\,\,\,\,\,$
4.1.3 En l'absence de champ électrique et mécanique , tous les dipôles ont même module et la polarisation est nulle .
4.1.4
$\vec p\,\, = \,\, - \,q\left[ {(a\, + \,{\alpha _2})\, \times \,2\,\, - \,\,(a\, + \,{\alpha _1})\, \times \,2\,} \right]\,\,{\vec e_x}\,\, = \,\,2\,q\,\,({\alpha _1} - {\alpha _2})\,\,{\vec e_x}$ : et comme chaque atome appartient à 8 cubes :
$\vec P\,\, = \,\,4\,n\,q\,\,({\alpha _1} - {\alpha _2})\,\,{\vec e_x}\, \times \frac{1}{8}$ 4.1.5 $\vec P\,\, = \,\,\frac{{2q}}{{8a}}\,\left[ {\frac{{T\, + \,n\,qE\,a}}{{\,{k_1}}}\,\,\, - \,\,\frac{{T\, - \,n\,qE\,a}}{{\,{k_2}}}} \right]\,\,{\vec e_x}\,\,\,\, = \,\,\left( {\frac{{2q}}{{8a}}\left[ {\frac{1}{{{k_1}}}\, - \,\frac{1}{{{k_2}}}} \right]\,T\, + \,\frac{{2n{q^2}}}{8}\,\left[ {\frac{E}{{{k_1}}}\, + \,\frac{E}{{{k_2}}}} \right]} \right)\,{\vec e_x}$
4.1.6 $\ell \, = \,\frac{{{N_o}}}{2}\,{a_1}\, + \,\frac{{{N_o}}}{2}\,{a_2}$ avec a1 longueur des ressorts de raideur k1 et a2 longueur des ressorts de raideur k2 .
$\ell '\, = \,\frac{{{N_o}}}{2}\,(a\, + \,{\alpha _1})\, + \,\frac{{{N_o}}}{2}\,(a\, + \,{\alpha _2})$ soit : $\ell '\, = \,\ell \, + \,\frac{\ell }{{2a}}\,\,({\alpha _1} + {\alpha _2})$ et $\frac{{\ell '\, - \,\ell }}{{\,\ell }}\, = \,\frac{{{\alpha _1} + {\alpha _2}}}{{2a}}\,\,$
4.1.7 $S\, = \,\frac{{{\alpha _1} + {\alpha _2}}}{{2a}}\,\,\,\,,\,\,E\, = \,\frac{1}{q}\,\,\left[ {\frac{{{\alpha _1}}}{{1/{k_1}}}\, - \,\frac{{{\alpha _2}}}{{1/{k_2}}}} \right]\,\,,\,\,\vec P\,\, = \,\frac{{nq}}{2}\,\,({\alpha _1} - {\alpha _2})\,\,{\vec e_x}\,$
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{q}{{{k_2}}}\,E\, + \,2\,a\,S\,\,\, = \,\,{\alpha _1}\,\left( {\frac{{{k_1}}}{{{k_2}}}\, + \,1} \right)}\\{\, - \frac{q}{{{k_1}}}\,E\, + \,2\,a\,S\,\,\, = \,\,{\alpha _2}\,\left( {\frac{{{k_2}}}{{{k_1}}}\, + \,1} \right)}\end{array}} \right.\,$ soit $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\alpha _1}\, = \,\frac{{q\,E\, + \,2\,a\,{k_2}\,S}}{{{k_1}\, + \,{k_2}}}}\\{{\alpha _2}\, = \,\frac{{ - q\,E\, + \,2\,a\,{k_1}\,S}}{{{k_1}\, + \,{k_2}}}}\end{array}} \right.$ ou
${\alpha _1}\, - \,{\alpha _2}\, = \,\frac{{2\,q\,E\,}}{{{k_1}\, + \,{k_2}}}\, + \,\frac{{2\,a\,({k_2}\, - \,{k_1})\,}}{{{k_1}\, + \,{k_2}}}\,\,S$ . Donc $\vec P\,\, = \,\frac{{n{q^2}\vec E}}{{{k_1}\, + \,{k_2}}}\,\,\, + \,\frac{{nq\,a\,({k_2}\, - \,{k_1})\,}}{{{k_1}\, + \,{k_2}}}\,\vec S$ ,et , en identifiant :
${\chi _{ion}}\,\, = \,\,\frac{{n{q^2}}}{{{\varepsilon _o}({k_1}\, + \,{k_2})}}\,\,\,\,$ $e\,\, = \,\,\frac{{nq\,a\,({k_2}\, - \,{k_1})\,}}{{{k_1}\, + \,{k_2}}}$
4.1.8 En identifiant les deux expressions de PÍ :
$\,\frac{{n{q^2}E}}{{{k_1}\, + \,{k_2}}}\,\,\, + \,\frac{{nq\,a\,({k_2}\, - \,{k_1})\,}}{{{k_1}\, + \,{k_2}}}\,S\,\,\, = \,\,\,\left( {\frac{q}{{4a}}\left[ {\frac{1}{{{k_1}}}\, - \,\frac{1}{{{k_2}}}} \right]\,T\, + \,\frac{{n{q^2}}}{4}\,\left[ {\frac{E}{{{k_1}}}\, + \,\frac{E}{{{k_2}}}} \right]} \right)\,$ soit , en ordonnant :
$T\,\,\, = \,\,\frac{{4\,a\,{k_1}\,{k_2}}}{{{k_2}\, - \,{k_1}}}\,\,\left[ {\frac{{n\,a\,({k_2}\, - \,{k_1})\,}}{{{k_1}\, + \,{k_2}}}\,S\,\, + \left( {\frac{{nq}}{{{k_1}\, + \,{k_2}}}\, - \,\frac{{nq}}{4}\,\left[ {\frac{1}{{{k_1}}}\, + \,\frac{1}{{{k_2}}}} \right]} \right)\,\,E\,} \right]$ ou encore :
$T\,\, = \,\,\frac{{4\,n\,{a^2}\,{k_1}\,{k_2}}}{{{k_1}\, + \,{k_2}}}\,\,S\,\, + \,\,\frac{{n\,q}}{{4{k_1}\,{k_2}({k_1}\, + \,{k_2})\,}}\,\left( {4{k_1}\,{k_2}\, - \,{{({k_1}\, + \,{k_2})}^2}} \right)\,E\, \times \,\frac{{4\,a{k_1}\,{k_2}\,}}{{{k_2}\, - \,{k_1}}}$ $T\,\, = \,\,\frac{{4\,n\,{a^2}\,{k_1}\,{k_2}}}{{{k_1}\, + \,{k_2}}}\,\,S\,\, - \,\,\frac{{n\,q\,a({k_2}\, - \,{k_1})}}{{({k_1}\, + \,{k_2})\,}}\,\,E\,$ . On trouve donc bien $C\,\, = \,\,\frac{{4\,n\,{a^2}\,{k_1}\,{k_2}}}{{{k_1}\, + \,{k_2}}}\,\,\,$ et $e{\rm{'}}\,\,{\rm{ = }}\,\,e$
== Il y a effet piézo-électrique si k1 et k2 sont différents . Il faut donc que les interactions entre ions voisins ne soient pas les mêmes en ce qui concerne la constante de rappel entre l'ion positif et l'ion négatif : il ne faut pas que le cristal possède de plan de symétrie .
NaCl est trop symétrique pour pouvoir être piézo-électrique .
4.2.1 $\begin{array}{l}D\,\, = \,\,{\varepsilon _o}\,\left( {1 + {\chi _1}\, + \,\frac{{{e^2}}}{{2\,{\varepsilon _o}\,{C_2}}}} \right)E\, + \,\frac{{e\,{T_2}}}{{{C_2}}}\,\, = \,\,\left( {{\varepsilon _1}\, + \,\frac{{{e^2}}}{{2\,{C_2}}}} \right)\,\,E\, + \,\frac{{e\,{T_2}}}{{{C_2}}}\,\\{T_2}\, = \,{C_2}\frac{{\partial {u_y}}}{{\partial x}}\, - \,e\,E(x,t)\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,{S_2}\, = \,\frac{{{T_2}}}{{{C_2}}}\, + \,\frac{{e\,E}}{{{C_2}}}\,\,\,\\E\,\, = \,\,\frac{{ - \frac{{e\,{T_2}}}{{{C_2}}}}}{{{\varepsilon _1}\, + \,\frac{{{e^2}}}{{2\,{C_2}}}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\end{array}$$\vec D\,\, = \,\,{\varepsilon _o}\,\vec E\, + \,\vec P\,\,$ et ${S_2}\, = \,\frac{{\partial {u_y}}}{{\partial x}}$ . $\vec D\,\, = \,\,{\varepsilon _o}\,E(x,t)\,{\vec e_X}\, + \,{\varepsilon _o}\chi E(x,t)\,{\vec e_X}\,\, + e\,\frac{{\partial {u_y}}}{{\partial x}}\,{\vec e_X}$
${T_2}\, = \,{C_2}\frac{{\partial {u_y}}}{{\partial x}}\, - \,e\,E(x,t)\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,{S_2}\, = \,\frac{{{T_2}}}{{{C_2}}}\, + \,\frac{{e\,E}}{{{C_2}}}\,\,\,$ . $D\,\, = \,\,{\varepsilon _o}\,E\, + \,{\varepsilon _o}\chi \,E\, + \,\frac{{e\,{T_2}}}{{{C_2}}}\, + \,\frac{{{e^2}\,E}}{{{C_2}}}$
$D\,\, = \,\,{\varepsilon _o}\,\left( {1 + {\chi _1}\, + \,\frac{{{e^2}}}{{2\,{\varepsilon _o}\,{C_2}}}} \right)E\, + \,\frac{{e\,{T_2}}}{{{C_2}}}\,\, = \,\,\left( {{\varepsilon _1}\, + \,\frac{{{e^2}}}{{2\,{C_2}}}} \right)\,\,E\, + \,\frac{{e\,{T_2}}}{{{C_2}}}\,$
Les équipotentielles sont parallèles aux plaques . EÎ est uniforme dans le quartz .
La charge libre étant nulle , DN est nul dans tout le quartz par continuité . Donc
:$E\,\, = \,\,\frac{{ - \frac{{e\,{T_2}}}{{{C_2}}}}}{{{\varepsilon _1}\, + \,\frac{{{e^2}}}{{2\,{C_2}}}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,U = \,\,\frac{{2he\frac{{\,{T_2}}}{{{C_2}}}}}{{{\varepsilon _1}\, + \,\frac{{{e^2}}}{{2\,{C_2}}}}}\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{et}}\,\,\,\,\,\,\,{T_2}\, = \,\,\frac{{2\,{F_o}}}{A}$ , soit donc :$U = \,\,\frac{{4h\,e\frac{{\,{F_o}}}{A}}}{{{\varepsilon _1}\,\,{C_2} + \,\frac{{{e^2}}}{{2\,}}}}$
Numériquement , ${\varepsilon _1}\,\,{C_2}\gg \,\frac{{{e^2}}}{{2\,}}$ et ε1 = 16 ; U = 106 V
4.3.1 La vitesse de propagation des ondes électromagnétiques est de l' ordre de 108 m.s-1 . Pour parcourir 1mm , il faut donc environ 10-11 s .
Le temps caractéristique des variations de l'onde sonore est la microseconde . On peut donc supposer l'équilibre électrostatique établi immédiatement dans le diélectrique .
4.3.2 Si le cristal ne contient pas de charge libre , div DÍ est nul partout .
$\frac{{\partial D}}{{\partial x}}\,\, = \,\,0\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,{\varepsilon _1}\,\frac{{\partial E}}{{\partial x}}\,\, + \,\,e\,\frac{{\partial {S_2}}}{{\partial x}} = \,\,0\,\,\,\,\,\,\,\,\vec D\,\, = \,{\varepsilon _o}(1 + {\chi _1})\,\vec E\,\, + \,\,e\,{\vec S_2}$
4.3.3 $\rho \frac{{{\partial ^2}{u_y}}}{{\partial {t^2}}}\,A\,dx = \,\,A\,\,\frac{{\partial {T_2}}}{{\partial x}}\,\,dx\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{\partial {T_2}}}{{\partial x}}\,\, = \,\,{C_2}\,\frac{{\partial {S_2}}}{{\partial x}}\, - e\,\frac{{\partial E}}{{\partial x}}$
$\frac{{\partial E}}{{\partial x}}\,\, = \, - \,\,\frac{e}{{{\varepsilon _1}}}\,\,\,\frac{{\partial {S_2}}}{{\partial x}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{\partial {T_2}}}{{\partial x}}\,\, = \,\,({C_2} + \frac{{{e^2}}}{{{\varepsilon _1}}}\,)\,\,\frac{{\partial {S_2}}}{{\partial x}}$ $C{'_2}\, = \,{C_2} + \frac{{{e^2}}}{{{\varepsilon _1}}}\,$
4.3.4 $c_2^2\,\, = \,\,\frac{{C{{'}_2}}}{\rho }\,\, = \,\,\frac{{{C_2} + \frac{{{e^2}}}{{{\varepsilon _1}}}}}{\rho }\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2\,\frac{{d{c_2}}}{{{c_2}}}\,\, = \,\,\frac{{C{{'}_2}\, - \,{C_2}}}{{{C_2}}}\,\, = \,\,\frac{{{e^2}}}{{{\varepsilon _1}{C_2}}}\,$ $\,\frac{{d{c_2}}}{{{c_2}}}\,\, = \,\,\frac{{C{{'}_2}\, - \,{C_2}}}{{2\,{C_2}}}\,\, = \,\,\frac{{{e^2}}}{{2\,{\varepsilon _1}{C_2}}}\,$ ,
soit : 0,9.10-3 . On peut donc négliger la variation de célérité due à la piézo-électricité .

4.4.1 uy vérifie l'équation de d'Alembert obtenue en remplaçant C2 par C'2 , et c2 par c'2 :
$\frac{{{\partial ^2}{u_y}}}{{\partial {x^2}}}\, = \,\,c{'}_2^2\,\,\frac{{{\partial ^2}{u_y}}}{{\partial {t^2}}}$ . Les ondes stationnaires recherchées ici sont donc telles que : ${\eta ^2}\,\, = \,\,\frac{{{\omega ^2}}}{{c{'}_2^2}}$ avec $c{'}_2^2\,\, = \,\,\frac{{C{{'}_2}}}{\rho }\,\, = \,\,\frac{{{C_2} + \frac{{{e^2}}}{{{\varepsilon _1}}}}}{\rho }$
4.4.2 $\vec D\,\, = \,\,{D_o}\,\,\cos \,\omega t\,{\vec e_x}$ $\,\,\,D\,\, = \,{\varepsilon _o}(1 + {\chi _1})\,E\,\, + \,\,e\,{S_2}\,\, \Rightarrow \,\,\,{\varepsilon _o}(1 + {\chi _1})\,E\,\, = \,D\, - \,\,e\,{S_2}$
$\underline V (t)\,\, = \,\,\int_{ - h}^{ + h} {\frac{{D\, - \,e\,{S_2}}}{{{\varepsilon _o}(1 + {\chi _1})}}} \,dt$ $V(t)\,\, = \,\,{V_o}\,\cos \,\omega t\,\, = \,\,\frac{{2{D_o}h}}{{{\varepsilon _o}(1 + {\chi _1})}}\,\cos \,\omega t\, - \,\frac{e}{{{\varepsilon _o}(1 + {\chi _1})}}\,\cos \,\omega t\,\int_{ - h}^{ + h} {\frac{{\partial {u_y}}}{{\partial x}}} \,dx$
$\, = \,\,\frac{{2{D_o}h}}{{{\varepsilon _o}(1 + {\chi _1})}}\,\cos \,\omega t\, - \,\frac{e}{{{\varepsilon _o}(1 + {\chi _1})}}\,\cos \,\omega t\,\left[ {2\,B\,\sin \,\eta h} \right]$ ${V_o}\, = \,\,\frac{{2{D_o}h\, - \,2\,e\,B\,\sin \,\eta h}}{{{\varepsilon _o}(1 + {\chi _1})}}\,\,\,\,\,\, \Rightarrow $
$B\,\, = \,\,\frac{{2{D_o}h\, - \,{\varepsilon _o}\,{V_o}(1 + {\chi _1})}}{{2\,e\,\,\sin \,\eta h}}$
4.4.3 Les faces externes sont libres de toute contrainte :
$\frac{{\partial {T_2}}}{{\partial x}}\,\, = \,\,({C_2} + \frac{{{e^2}}}{{{\varepsilon _1}}}\,)\,\,\frac{{\partial {S_2}}}{{\partial x}}$ $\,{S_2}\, = \,\frac{{\partial {u_y}}}{{\partial x}}$
${T_2}(h)\,\, - \,\,{T_2}( - h)\,\, = \,\,0\,\, = \,\,\left( {{C_2} + \frac{{{e^2}}}{{{\varepsilon _1}}}} \right)\,\,\left( {{S_2}(h)\,\, - \,\,{S_2}( - h)} \right)\,2\,A\,\sin \,\eta h$ $ \Rightarrow \,\,\,\,\,A = 0\,\,\,{\rm{si}}\,\,\,\eta \,\, = \,\frac{\omega }{{c{'_2}}}\,\,\,{\rm{avec}}\,\,{\rm{ }}\omega {\rm{ quelconque}}$
${T_2}(x)\,\, - \,\,{T_2}( - h)\,\, = \,\,{T_2}(x)\,\, = \,\,\left( {{C_2} + \frac{{{e^2}}}{{{\varepsilon _1}}}} \right)\,\,\left( {{S_2}(x)\,\, - \,\,{S_2}( - h)} \right)\,$
${T_2}(x)\,\,\, = \,\,\left( {{C_2} + \frac{{{e^2}}}{{{\varepsilon _1}}}} \right)\,\,\left[ {\eta \,B\,\cos \,\eta x\,\, - \,\eta \,B\,\cos \,\eta h} \right]\,\cos \,\omega t$ ${D_o}\,\cos \,\omega t\,\, = \,\,\left( {{\varepsilon _1}\, + \,\frac{{{e^2}}}{{2{C_2}}}} \right)$
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{D\,\, = \,{\varepsilon _o}(1 + {\chi _1})\,E\,\, + \,\,e\,{S_2}}\\{E\,\, = \,\,\frac{1}{e}\,\left( {{C_2}{S_2}\, - \,{T_2}} \right)}\end{array}} \right.\,\, \Rightarrow \,\,\,D\, = \,\left[ {\frac{{{\varepsilon _o}(1 + {\chi _1})}}{e}\,{C_2}\, + \,e} \right]\,{S_2}\,\, - \,\frac{{{\varepsilon _o}(1 + {\chi _1})}}{e}{T_2}$
${S_2}\, = \,B\eta \,\cos \,\eta x\,\cos \,\omega t\,\, \Rightarrow \,\,{D_o}\, = \,\left[ {\frac{{{\varepsilon _1}}}{e}\,{C_2}\, + \,e} \right]\,B\eta \,\cos \,\eta x\,\, - \,\frac{{{\varepsilon _1}}}{e}\,\,\left( {{C_2} + \frac{{{e^2}}}{{{\varepsilon _1}}}} \right)\,\,\left[ {\eta \,B\,\cos \,\eta x\,\, - \,\eta \,B\,\cos \,\eta h} \right]\,$
${D_o}\, = \,\,\frac{{{\varepsilon _1}}}{e}\,\,\,\eta \,B\,\cos \,\eta h\,\left( {{C_2} + \frac{{{e^2}}}{{{\varepsilon _1}}}} \right)\,\,\, \Rightarrow $ $\,B\,\, = \,\,\frac{{e\,{D_o}\,\,}}{{{\varepsilon _1}\eta \,\,C{'_2}\,\cos \,\eta h}}$ . On élimine alors B entre les deux équations : $B\,\, = \,\,\frac{{ - {\varepsilon _o}(1 + {\chi _1}){V_o}\,}}{{2\,e\,\sin \,\eta h}}\,\, + \,\,\frac{h}{{e\,\sin \,\eta h}}\,C{'_2}\frac{{{\varepsilon _1}}}{e}\,\,\,\eta \,B\,\cos \,\eta h$ , soit :
$B\,\,\left[ {1 - \,\frac{{C{'_2}\,{\varepsilon _1}\,h\,\eta \,\,c\tan \,\eta h}}{{{e^2}}}\,\,\,} \right] = \,\,\frac{{ - {\varepsilon _1}{V_o}\,}}{{2\,e\,\sin \,\eta h}}\,\,$
4.4.4 ${\rm{u(x}}{\rm{,t)}}\,\,{\rm{ = }}\,\,\frac{{\frac{{ - {\varepsilon _1}{V_o}\,}}{{2\,e\,\sin \,\eta h}}}}{{1 - \,\frac{{C{'_2}\,{\varepsilon _1}\,h\,\eta \,\,c\tan \,\eta h}}{{{e^2}}}}}\,\,\sin \,\eta x\,\cos \,\omega t$
4.4.5 Les fréquences de résonance correspondent à : ${e^2}\,\, = \,\,C{'_2}\,{\varepsilon _1}\,h\,\eta \,\,c\tan \,\eta h\,$, soit :
$\frac{{{e^2}}}{{C{'_2}\,{\varepsilon _1}}}\,\,\,\tan \,\eta h\, = \,\,\,h\,\eta \,\,\,$ = 1,8.10-3 .
4.5.1 Dans le conducteur D est nul . La discontinuité de DN correspond à la densité superficielle de charges libres : $\sigma (t)\,\, = \,\,{D_o}\,\cos \,\omega t$
4.5.2 $V(t)\,\, = \,\,\frac{{2\,{D_o}h\,\, - \,\,2\,B\,e\,\sin \,\eta h}}{{{\varepsilon _1}}}\,\cos \,\omega t$ avec $\,B\,\, = \,\,\frac{{e\,{D_o}\,\,}}{{{\varepsilon _1}\eta \,\,C{'_2}\,\cos \,\eta h}}$ , soit :
$V(t)\,\, = \,\,\frac{{2\,h\,\, - \,\,2\,\frac{{{e^2}\,\tan \,\eta h\,\,\,}}{{{\varepsilon _1}\eta \,\,C{'_2}\,}}\,}}{{{\varepsilon _1}}}\,\,\,\,{D_o}\cos \,\omega t$ . En notation complexe : $\underline V (t)\,\, = \,\,\frac{{2\,h\,\, - \,\,2\,\frac{{{e^2}\,\tan \,\eta h\,\,\,}}{{{\varepsilon _1}\eta \,\,C{'_2}\,}}\,}}{{{\varepsilon _1}}}\,\,\,\,{D_o}\,\,{e^{j\omega t}}$
$\,\underline i (t)\,\, = \,\,j\,\omega \,A\,{D_o}\,{e^{j\omega t}}\,\, = \,\,j\,\omega \,\frac{{{\varepsilon _1}A}}{{2 \,h}}\,\,\frac{1}{{1\, - \,\frac{{{e^2}\,\tan \,\eta h\,\,\,}}{{{\varepsilon _1}\eta \,h\,C{'_2}\,}}}}$ Donc , on peut identifier : ${K^2}\,\, = \,\,\frac{{{e^2}\,\,\,\,}}{{{\varepsilon _1}\,C{'_2}\,}}$ et ${C_o}\, = \,\,\frac{{{\varepsilon _1}A}}{{2 \,h}}$
C'est la capacité d'un condensateur de permittivité ε1 . Donc finalement :
$\underline Y (t)\,\, = \,\,j\,\omega \,\,{C_o}\,\frac{1}{{1\, - \,\frac{{{K^2}\,\tan \,\eta h\,\,\,}}{{\eta \,h\,\,}}}}\,\, = \,\,j\,\omega \,\,{C_o}\, + \,\frac{{j\,\omega \,\,{C_o}}}{{\frac{{\eta \,h}}{{{K^2}\,\tan \,\eta h}}\, - \,1}}$
4.5.3 $\frac{{\eta \,h}}{{{K^2}\,\tan \,\eta h}}\, - \,1\,\, \approx \,\, - \,\frac{{\eta _r^2\,{h^2}}}{{{K^2}}}\,\delta \,\,\,\,\,{\rm{et}}\,\,\,\delta \,\, = \,\,\frac{{\omega \, - \,{\omega _r}}}{{{\omega _r}}}\, \approx \, - \,\frac{1}{2}\,\left( {1\, - \,\frac{{{\omega ^2}}}{{\omega _r^2}}} \right)$
$\underline {Y(t)} \,\,\, = \,\,j\,\omega \,\,{C_o}\, + \,\frac{{j\,\omega \,\,{C_o}}}{{\frac{{\eta _r^2\,{h^2}}}{{2{K^2}\,}}\,(1\, - \,\frac{{{\omega ^2}}}{{\omega _r^2}})}}\,\, = \,\,j\,\omega \,\,{C_o}\, + \,\frac{{j\,\omega \,\,{C_1}}}{{1\, - \,{L_1}{C_1}{\omega ^2}}}$ en posant : $\,\,{C_1} = \,\,\frac{{2{K^2}\,{C_o}}}{{\eta _r^2\,{h^2}}}\,\,\,\,{\rm{et}}\,\,\,{L_1}{C_1}\omega _r^2\,\, = \,\,1$,
$\eta _r^2\, = \,\frac{{\omega _r^2}}{{c{'}_2^2}}\,\,\, = \,\,\frac{{\omega _r^2\,\rho }}{{C{'}_2^2}}$ et ${C_o}\, = \,\,\frac{{{\varepsilon _1}A}}{{2 \,h}}$ ${K^2}\,\, = \,\,\frac{{{e^2}\,\,\,\,}}{{{\varepsilon _1}\,C{'_2}\,}}$ . D' où les résultats :
${C_1} = \,\,\frac{{2\,C{'_2}}}{{\omega _r^2\,\rho }}\,\, \times \,\,\,\frac{{{e^2}\,\,\,\,}}{{{\varepsilon _1}\,C{'_2}\,}}\,\, \times \,\frac{1}{{\,{h^2}}}\,\, \times \,\,\frac{{{\varepsilon _1}A}}{{2 \,h}}\,\, = \,\,\frac{{A\,{e^2}}}{{\omega _r^2\,\rho \,{h^3}}}\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,{L_1}\,\, = \,\,\frac{{\rho \,{h^3}}}{{A\,{e^2}}}$

4.5.4 $\underline Y \,\, = \,\,\underline {{Y_o}} \, + \,\,\underline {Y{'_o}} \,\,\,\,{\rm{avec}}\,\,\frac{1}{{\underline {Y{'_o}} }}\,\, = \,\,j\,{L_1}\omega \, + \,\frac{1}{{j\,{C_1}\omega }}$ Il s'agit donc de l'équivalence avec un ensemble d'un condensateur de capacité Co en parallèle sur l'ensemble L1 C1 mis en série .
$Q\, = \,\,\frac{{{L_1}{\omega _r}}}{{{R_1}}}\,\, = \,\,\frac{1}{{{R_1}{C_1}{\omega _r}}}\,\, = \,\,{10^6}\,\,.$ L1 = O,112 H C1 = 6,26.10-14 F R1 = 1,34 Ω .
Avec des condensateurs , on ne peut obtenir facilement des capacités aussi faibles sans tenir compte des capacités parasites . Les bobines de résistance faible et de forte inductance pourraient être obtenues avec des noyaux de fer (mais elles ne sont pas linéaires, et posent des problèmes de résistance à haute fréquence)
Les pertes d'énergie sont dues aux amortissements des vibrations dans le cristal , toujours importants près des fréquences de résonance , et à l'effet Joule dans les parties métalliques .
=======================================================================
.

Concours Physique ENS de Cachan et École Polytechnique (PSI) 1998 (Énoncé)

SCIENCES PHYSIQUES
L'usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé pour toutes les épreuves d'admissibilité, sauf pour les épreuves de français et de langues. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n'est autorisé entre les candidats.
Le problème s'intéresse dans une première partie à un modèle théorique de rayonnement atomique, à sa polarisation, à son interaction avec un champ magnétique. Dans la deuxième partie on s'intéresse à la validation du modèle grâce à un protocole expérimental optique classique, faisant référence aux séances de TP‑Cours prévues par le programme officiel PCSI, PSI, PSI*.
Certaines questions exigent, hors calcul, la compréhension de certains aspects d'un modèle, un commentaire physique, un ordre de grandeur littéral ou numérique, une analyse de pertinence, un protocole expérimental. Elles seront évidemment cotées à l'égal des autres questions.
Les applications numériques concernent des ordres de grandeur : elles peuvent être faites sans calculette.
On utilisera les données numériques approchées ci‑dessous :
‑ masse de l'électron : m = 9,1 10^‑31 kg ;
‑ charge élémentaire : e = 1,6 10^-19 C ;
‑ vitesse de la lumière dans le vide : c = 3 10⁸ m . s^‑1;
‑ perméabilité du vide : ${\varepsilon _0} = \frac{1}{{36\pi {{10}^9}}}F.{m^{ - 1}}$.

PARTIE 1
De la théorie...
Mécanique : autour du modèle de Thomson de l'atome d'hydrogène
On considère le modèle de Thomson de l'atome d'hydrogène isolé. Le proton, de masse M, de charge e, est modélisé par une boule à répartition de masse et de charge homogènes, de centre 0 fixe dans le référentiel galiléen Oxyz, de rayon R. Tous les mouvements étudiés dans ce problème se référeront au galiléen Oxyz. Au sein de ce nuage protonique peut se mouvoir un électron quasiponctuel, de masse m, de charge ‑ e.
On note P(t) la position à la date t de l'électron dans Oxyz et $\overrightarrow {OP} = \vec r\left( t \right)$.
On suppose le mouvement de l'électron, classique, non relativiste et les conditions initiales telles que $\left\| {\vec r} \right\| \le R{\rm{ }}\forall t$

1. On suppose dans un premier temps que l'électron est soumis à la seule action électrostatique du proton. Le mouvement électronique démarre à la date t = t₀₁ avec les conditions initiales $\vec r\left( {t = {t_{01}}} \right) = {\vec r_{01}}$ et $\frac{{d\vec r}}{{dt}}\left( {t = {t_{01}}} \right) = {\vec v_{01}}$.
1. Pourquoi dit‑on que l'électron est élastiquement lié au proton ?
   
2. Démontrer que la trajectoire électronique est plane.
   
3. Déterminer son allure générale.
   
4. Déterminer littéralement la période T₀ du mouvement. On posera ensuite ω₀ = 2π/T₀ .
   
5. Déterminer numériquement, via une estimation de R, le domaine de longueur d'onde λ₀ = c T₀ auquel correspond T₀.
   
6. Commenter physiquement la valeur de la moyenne temporelle à l'échelle de T₀ du moment dipolaire électrique $\vec p\left( t \right)$de l'atome d'hydrogène.
   
7. Démontrer que le mouvement électronique peut être décomposé en une vibration rectiligne le long de Oz et en deux mouvements circulaires dans le plan Oxy, dits transverses (par rapport à Oz), l'un gauche autour de Oz, l'autre droit.
   
8. On note A_//1, Α_⊥g1, Α_⊥d1 les amplitudes respectives de ces vibrations et ϕ_//1 , ϕ_⊥g1, ϕ_⊥d1 les phases à l'origine des temps correspondantes.
   On convient alors de noter le mouvement électronique à partir de t = t₀₁ sous la forme :
   $\vec r\left( t \right) = VR\left( {{{\vec e}_z},{\omega _{//}},{A_{//1}},{\varphi _{//1}}} \right) + VCG\left( {{{\vec e}_z},{\omega _{ \bot g}},{A_{ \bot g1}},{\varphi _{ \bot g1}}} \right) + VCD\left( {{{\vec e}_z},{\omega _{ \bot d}},{A_{ \bot d1}},{\varphi _{ \bot d1}}} \right)$.
9. Déterminer les pulsations caractéristiques ω_//, ω_⊥g et ω_⊥d en fonction de ω₀.
   
10. Sans chercher à les calculer effectivement (ce qui serait long et ici inutile !), dire de quoi dépendent les six constantes précitées (trois amplitudes et trois phases).
    

2. On améliore le modèle précédent en imposant à l'électron une force supplémentaire, de frottement de type fluide visqueux, notée $ - m\frac{{\vec v}}{\tau }$, correspondant à un amortissement « faible ».
1. Quelle est la dimension de τ ?
2. Préciser par une inégalité forte impliquant τ le caractère « faible » de l'amortissement.
3. On lance l'électron avec les conditions initiales générales décrites dans la question 1. Démontrer que la trajectoire reste plane.
4. Déterminer l'allure de la trajectoire électronique à l'échelle de T₀ puis à celle de τ.
5. Commenter physiquement les valeurs moyennes temporelles, à l'échelle de T₀ et à celle de τ, du moment dipolaire électrique de l 'atome d'hydrogène.
6. Déterminer en fonction de ω₀ les valeurs des pulsations caractéristiques ω_//, ω_⊥g et ω_⊥d telles que l'on puisse mettre le mouvement électronique sous la forme :
   $\vec r\left( t \right) = \left[ {VR\left( {{{\vec e}_z},{\omega _{//}},{A_{//1}},{\varphi _{//1}}} \right) + VCG\left( {{{\vec e}_z},{\omega _{ \bot g}},{A_{ \bot g1}},{\varphi _{ \bot g1}}} \right) + VCD\left( {{{\vec e}_z},{\omega _{ \bot d}},{A_{ \bot d1}},{\varphi _{ \bot d1}}} \right)} \right]{e^{ - \frac{t}{{2\tau }}}}$.
   On affirmera donc que le mouvement électronique cesse au bout d'une durée de l'ordre de grandeur de τ. Ce mouvement commençant à la date t = t₀ et finissant en ordre de grandeur à t₀ + τ est appelé train de vibration électronique de durée τ environ.
3. On affine encore le modèle précédent de la manière ci‑dessous.
   L’atome « fournit » à la date t₀₁ des conditions initiales ${\vec r_{01}}$et ${\vec v_{01}}$et « émet » (engendre) un premier train (le n° 1 ) de durée de l'ordre de τ. L'émission s'arrête pendant une durée de l'ordre de τ.
   L’ atome « fournit » de nouveau à la date t₀₂ des conditions initiales ${\vec r_{02}}$ et ${\vec v_{02}}$et émet un autre train de vibration (le n° 2) pendant une durée de l'ordre de τ.
   Il y a de nouveau arrêt de l'émission pendant une durée τ environ, puis réémission et ainsi de suite.
   C'est le mécanisme d'émission par trains successifs.
   On supposera que les conditions initiales de démarrage des trains successifs sont décorrélées en temps (t_0i), en position $\left( {{{\vec r}_{0i}}} \right)$ et vitesses initiales $\left( {{{\vec v}_{0i}}} \right)$.
1. Quels sont en pratique les phénomènes physiques qui peuvent intervenir dans la « fourniture » des conditions initiales du mouvement électronique ?
2. Décrire l'allure de la trajectoire électronique à l'échelle de temps correspondant à l'émission de quelques trains de vibration (4 par exemple).
3. Comment interpréter maintenant la décomposition du mouvement (à l'échelle de temps d'émission de quelques trains) en mouvements longitudinal et transverse.
4. Dans un train donné, à l'échelle de τ, les mouvements longitudinaux et transversaux sont‑ils en relation de phase ?
5. Les trains d'onde successifs sont‑ils en relation de phase (à grande échelle devant τ) ?
4. On se place dans les conditions initiales particulières $\vec r\left( {t = {t_{01}}} \right) = a{\rm{, }}{\vec e_z}\left( {0 < a < R} \right){\rm{ et }}\vec v\left( {t = {t_{01}}} \right) = \vec 0$. On raisonne à l'échelle de τ, sur ce train de vibration rectiligne.
1. Tracer les allures de z(t ), à l'échelle de T₀ puis à celle de τ.
2. Déterminer la variation temporelle à l'échelle de τ de E_m (t ), énergie mécanique de l'électron en faisant intervenir le paramètre Q = ω₀τ facteur de qualité de l'oscillateur.
3. Expliquer quelle est la “ qualité ” de l'oscillateur signalée par Q.
4. Y a‑t‑il dissipation à l'échelle de T₀ ? de τ ?
5. On note a(t ) l'amplitude de l'oscillation, considérée comme constante à l'échelle de Δt_i avec T₀ << Δt_i << τ, donc de t à t + Δt_i. Déterminer l'énergie mécanique E_m (t ) de l'oscillateur en fonction de a(t ).
6. Définir la puissance mécanique dissipée P(t ) à l'échelle de τ en fonction de ω₀, de Q et E_m (t ).
7. Découvrir le facteur littéral sans dimension qui permet de tester la validité de l'hypothèse classique non relativiste du mouvement électronique.
8. Conclure en ordre de grandeur numérique sur ce dernier point.

5. On suppose que l'atome d'hydrogène est maintenant soumis à un champ extérieur supplémentaire, magnétostatique, uniforme et constant $\vec B = B{\vec e_z}$
On raisonne d'abord à l'échelle de temps T₀, ce qui revient à travailler sur le modèle primitif de Thomson non amorti (Q → + ∞)

1. Écrire l'équation différentielle réglant à cette échelle le mouvement de l'électron.
2. On extrait du problème un nouvel étalon local de temps T_c = 2πm /eB₀ = 2π/ω_c. Donner une interprétation physique simple de ce temps caractéristique.
3. On suppose 0 < ω_c << ω₀. Déterminer les mouvements projetés sur les axes Ox, Oy et Oz.
4. Montrer que le mouvement galiléen de l'électron peut être décomposé en un mouvement oscillatoire longitudinal z(t ) (le long de la direction de $\vec B$) de pulsation ω_//, d'amplitude A_//l, de phase à l'origine des temps ϕ_//1 et en deux mouvements transverses (perpendiculaires à $\vec B$), l'un circulaire gauche, autour de $\vec B$, de pulsation ω_⊥g, d'amplitude A_⊥g1, de phase à l'origine ϕ_⊥g1, l'autre circulaire droit (ω_⊥d, A_⊥d1, ϕ_⊥d1) ce qu'on écrira conventionnellement :
   $\vec r\left( t \right) = \left[ {VR\left( {{{\vec e}_z},{\omega _{//}},{A_{//1}},{\varphi _{//1}}} \right) + VCG\left( {{{\vec e}_z},{\omega _{ \bot g}},{A_{ \bot g1}},{\varphi _{ \bot g1}}} \right) + VCD\left( {{{\vec e}_z},{\omega _{ \bot d}},{A_{ \bot d1}},{\varphi _{ \bot d1}}} \right)} \right]$
5. Déterminer les pulsations caractéristiques ω_//, ω_⊥g, et ω_⊥d en fonction de ω₀ et ω_L = ω_c /2.
6. De quoi dépendent les six inconnues A_//, A_⊥g, A_⊥d, ϕ_//, ϕ_⊥g, ϕ_⊥d ?
   On raisonne maintenant à l'échelle de τ. On doit pour cela tenir compte de l' amortissement faible de type fluide visqueux. On suppose en outre que 0 < 1/τ << ω_c << ω₀.
7. Écrire le nouveau système différentiel réglant à cette échelle le mouvement électronique.
8. Sans résoudre intégralement ce dernier système, déterminer les valeurs des pulsations caractéristiques ω_//, ω_⊥g, et ω_⊥d telles que l' on puisse décomposer le mouvement électronique à cette échelle en :
   $\vec r\left( t \right) = \left[ {VR\left( {{{\vec e}_z},{\omega _{//}},{A_{//1}},{\varphi _{//1}}} \right) + VCG\left( {{{\vec e}_z},{\omega _{ \bot g}},{A_{ \bot g1}},{\varphi _{ \bot g1}}} \right) + VCD\left( {{{\vec e}_z},{\omega _{ \bot d}},{A_{ \bot d1}},{\varphi _{ \bot d1}}} \right)} \right]$
9. Comment, à votre avis, le modèle d'émission par trains de vibration successifs décorrélés se traduit‑il au niveau de la décomposition transverse‑longitudinale $\left( {{{\vec e}_z} = \frac{{\vec B}}{{{B_0}}}} \right)$ du mouvement électronique ?
De la théorie ...
électromagnétique : autour du rayonnement dipolaire électrique
On considère un dipôle oscillant dans le vide, formé d'une charge élémentaire + e, immobilisée en un point 0 fixe galiléen et d'un électron, masse quasi ponctuelle de charge ‑ e, de position P(0, 0, z(t )) dans le référentiel galiléen Oxyz, oscillant sans amortissement le long de l'axe des z selon la loi horaire :
$\vec r\left( t \right) = z\left( t \right){\vec e_z} = {a_0}\cos {\omega _0}t{\rm{ }}{\vec e_z}{\rm{ avec }}{a_0} > 0{\rm{ et }}{\omega _0} > 0$.

6. On suppose le mouvement électronique classique, non relativiste.
1. Quel est le moment dipolaire $\vec p\left( t \right)$du dipôle oscillant ?
2. On raisonne dans la zone de rayonnement du dipôle oscillant, c'est‑à‑dire dans le cadre de l'approximation 0 < a₀ << λ << r avec λ = 2πc/ω₀ et r = OM distance à l ' origine du point M où l'on mesure les effets du dipôle oscillant. On note p₀ = e a₀. et k₀ = ω₀ / c avec c vitesse de la lumière dans le vide.
   Dans ces conditions, en coordonnées sphériques de centre 0 et d' axe des pôles Oz, on détermine le champ électrique lointain en M sous la forme :
   $\vec E\left( {M,t} \right) = - \frac{1}{{4\pi {e_0}}}\frac{{\omega _0^2{p_0}}}{{r{c^2}}}\sin \theta {\rm{ }}\cos \left( {{\omega _0}t - {k_0}r} \right){\vec u_\theta }$
   
   
   Figure 1
   Sachant que l'onde rayonnée par le dipôle dans le vide est sphérique quasiplane, en déduire l'expression du champ magnétique $\vec B\left( {M,t} \right)$.
3. En déduire l'expression du vecteur de Poynting de l'onde émise $\vec P\left( {M,t} \right)$
4. Démontrer que Pem(r, t), la puissance électromagnétique instantanée traversant à grande distance une sphère de centre 0 et de rayon r se propage à la vitesse c.
5. Le rayonnement énergétique est‑il isotrope ?
6. Déterminer la direction d'émission énergétique minimale par de pures considérations de symétrie.
7. On raisonne au voisinage d'un point M. Précisez soigneusement ce qu' on entend par caractère quasi plan de l'onde.
8. On appelle direction d'observation Δ, la direction ${\vec u_r}\left( M \right)$et plan d'observation le plan passant par M perpendiculaire à Δ.
   Énoncer alors un théorème qualifiant la polarisation du champ électrique de l'onde rayonnée, au regard de la direction de $\vec p\left( t \right)$ et de celle du plan d'observation.
9. Démontrer que plus généralement la polarisation du champ électrique rayonné à grande distancé par un dipôle oscillant quelconque (pas nécessairement rectiligne le long de Oz) est celle du vecteur projection de $\vec p\left( t \right)$ sur le plan d' observation Δ.

7. On veut estimer la durée τ d'un train de vibration électronique définie dans la question 2. Pour cela on travaille dans le modèle simplificateur de la question 4.
   Le mouvement électronique est la source d'un dipôle oscillant et donc d' une onde rayonnée à grande distance. Le train de vibration électronique est source d'un train d'onde électromagnétique de durée τ également. À la date t, le moment dipolaire est donc $\vec p\left( t \right) = - ea\left( t \right)\cos {\rm{ }}{\omega _0}t{\rm{ }}{\vec e_z}$, a(t ) étant lentement variable comme on l' a vu à la question 4.


1. Déterminer la valeur littérale de τ en fonction de ω₀, e, m, c et ε₀ via l' identification de P (t ) (question 4. f.) et de la valeur moyenne sur une période T₀ de la puissance P_em(r, t).
2. Commenter physiquement l' ordre de grandeur calculé de τ dans le cadre de ce modèle appliqué à l' atome d'hydrogène de Thomson.
3. Donner des éléments de justification physique de l' identification proposée dans la question 7. a.
4. Justifier rapidement, « à la main », que le choix d'un moment dipolaire particulier, oscillant le long de Oz, ne change pas l'ordre de grandeur de τ.

PARTIE 2
à la pratique expérimentale
optique : interférence et polarisation

8. On décide de confronter à l'expérience les résultats conjecturés à l'aide de la théorie précédente. On va donc effectuer une expérience d'optique : la source de lumière utilisée est une lampe à vapeur de cadmium dotée d'un filtre pour isoler au mieux la raie la plus intense dans le visible du cadmium I.
   On relève dans un handbook, le tableau ci‑dessous des longueurs d' onde dans le vide des raies d'émission du cadmium I. Le tableau fournit l' intensité relative des raies et leur longueur d'onde exprimées en nm.

Intensité	λ (nm)	Intensité	λ (nm)	Intensité	λ (nm)
8	430,7	1000	508,6	30	633,0
3	441,3	6	515,5	2000	643,8
8	466,2	300	609,9	30	677,8
200	467,8	100	611,1	1000	734,5
300	480,0	100	632,5

On admet que la détection ne peut se faire que pour des intensités (au sens du tableau ci‑dessus) supérieures ou égales à 150 et que les longueurs d'onde dans l'air peuvent être assimilées à celles dans le vide, dans le cadre de notre expérience.

1. Quelle est la couleur de la raie la plus intense du cadmium I et doit‑on utiliser un filtre interférentiel ou peut‑on employer un simple verre coloré pour la filtrer ? Justifier votre réponse. On notera désormais λ₀ la longueur d'onde correspondante.
2. On suppose que le mécanisme d' émission de la raie λ₀ du cadmium est celui décrit plus haut à la question 3. (électron élastiquement lié et mécanisme d' émission de trains successifs décorrélés). La différence réside dans le passage de l' hydrogène atomique au cadmium atomique, ce qui change les valeurs numériques des paramètres significatifs du modèle et permet l' émission d'ondes électromagnétiques dans le visible au lieu de l' UV.
   Quelle est la valeur numérique de la pulsation caractéristique ω₀ de la raie λ₀ du cadmium ?
3. En déduire la durée τ du train d' onde correspondant (ce que d'aucuns appellent aussi le temps de cohérence de la raie spectrale).
4. On utilise tout d'abord un interféromètre de Michelson, monté en lame d'air à faces parallèles, éclairé par la lampe à vapeur de cadmium, filtrée.
   On veut visualiser les franges d'interférence localisées à l' infini, d'égale inclinaison. Préciser sans ambiguïté les conditions d' éclairage et de projection.
5. La lame d'air du Michelson a une épaisseur e = 1 mm.
   Déterminer littéralement l' intensité lumineuse I(M_∞) dans le champ d'interférence en fonction de l' inclinaison angulaire i du point M_∞ sur la direction normale à la lame d'air à faces parallèles.
6. Que vaut numériquement l' ordre d'interférence p_c au centre du champ d'interférence ?
7. Dessiner l' allure de la figure d'interférence dans le plan de l'infini.
8. On retouche e en chariotant légèrement pour que l' ordre au centre soit p₀ = PartieEntière(p_c). Quelle est la nouvelle valeur e₀ de l'épaisseur e de la lame d'air ?
9. Écrire l' équation aux rayons angulaires i_k des anneaux brillants pour la longueur d'onde λ₀. k numérote les anneaux brillants en croissant à partir de 0 au centre.
10. Montrer sans calculs superflus que l'ordre de grandeur de Δi_1/2 la largeur à mi‑hauteur en i, soit Δi₀ de l'anneau de n° 0 pour la longueur d'onde λ₀ est 10^-2 radians.
11. En pratique expérimentale, les anneaux se resserrent‑ils ou se desserrent‑ils à partir du centre ?

9. La lampe à vapeur de cadmium est placée dans l' entrefer d'un aimant créant au niveau de la lampe un champ magnétostatique uniforme et constant $\vec B = {B_0}{\vec e_z}$. B₀ = 1 T.
   L'orientation des éléments du montage est telle que la direction de la normale à la lame d'air, à faces parallèles du Michelson coïncide avec ${\vec e_z}$.
   Bien que les rayons lumineux tombent sur la lame d'air sous des incidences i variables (mais faibles), on considérera que la direction d' observation Δ des atomes de cadmium, au sens de la question 6. h. est la normale à la lame, soit ${\vec e_z}$ici.
   On dispose par ailleurs de polariseurs tournants, c'est‑à‑dire de polariseurs rectilignes de type polaroïd, mobiles en rotation autour d'un axe perpendiculaire au polariseur et de lames quart d' onde également tournantes (au sens précédent).
   Le Michelson est réglé comme indiqué au 8. h.
1. Calculer l' écart spectral Δλ_L = λ₊ ‑ λ_‑ avec λ_‑ = λ₀ (1 - ω_L/ω₀) et λ₊ = λ₀ (1 + ω_L/ω₀). On travaille aussi pour le cadmium avec ω_L << ω₀ .
2. Comparer avec le Δλ_Na, du doublet jaune du sodium.
3. Ce dernier doublet est‑il séparé dans les conditions usuelles d' utilisation du Michelson ?
4. Conclure quant à l'utilisation de l' interféromètre de Michelson pour séparer spatialement dans un ordre donné les anneaux λ₀, λ_‑ et λ₊.
5. On utilise très souvent un interféromètre à ondes multiples, le Fabry‑Pérot pour réaliser effectivement cette séparation. La technologie est un peu différente, mais les conditions d'éclairage et de projection n' ont pas besoin d'être changées pour notre expérience.
   
La figure d' interférence est de même type qu' avec le Michelson, à la seule réserve capitale près que la séparation angulaire des anneaux est de beaucoup meilleure.
Le montage en amont et en aval de l'interféromètre est donc le même que le précédent.
Quelle est la finesse λ₀ /(λ₀ ‑ λ_‑) nécessaire pour séparer les anneaux d'interférence à l' infini si on utilise par ailleurs un champ magnétostatique B₀ = 1 T ?
On suppose cette finesse largement atteinte avec un interféromètre de type Fabry‑Pérot.

10. On fait alors une série d'expériences (avec le Fabry‑Pérot) qui sont toutes explicables a posteriori dans le modèle théorique développé plus haut.
Les questions proposées demandent donc de décrire et de justifier les résultats attendus et obtenus dans la réalité !
On peut aisément couper l'alimentation de l' électro‑aimant, source du champ $\vec B$de sorte que B₀ = 1 T ou 0, à volonté. On décrit donc une suite de conditions expérimentales, magnétiques, d'une part, et d' observation du plan de localisation des franges d'interférence, d'autre part.

1. Champ B₀ = 0. Observation : œil nu. Que voit‑on ? Expliquez.
2. Champ B₀ = 0. Observation : œil + polariseur tournant. Que voit‑on lors de la rotation du polaroïd ? Expliquez.
3. Champ B₀ = 1 T. Observation : œil nu. Que voit‑on ?
4. Champ B₀ = 1 T. Observation : œil + polariseur tournant. Que voit‑on lors de la rotation du polaroïd ? Expliquez.
5. Champ B₀ = 0. Observation : œil + polariseur tournant près de l' œil + lame λ/4 fixe. Que voit‑on lors de la rotation du polaroïd ? Expliquez.
6. Champ B₀ = 1 T. Observation : œil + polariseur tournant près de l' œil + lame λ/4 fixe. Que voit‑on lors de la rotation du polaroïd ? Expliquez.

11. On suppose toujours l' atome plongé dans un champ magnétique uniforme et constant $\vec B = {B_0}.{\vec e_z}$avec B₀ = 1 T. L’ orientation des éléments du montage est telle que la direction de la normale à la lame d' air, à faces parallèles du Fabry‑Pérot est maintenant perpendiculaire à ${\vec e_z}$donc à $\vec B$.
    Bien que les rayons lumineux tombent sur la lame d'air sous des incidences i variables (mais faibles), on considérera que la direction d'observation Δ des atomes de cadmium, au sens de la question 6. h. est la normale à la lame.
    On décrit une suite de conditions expérimentales avec cette nouvelle direction d'observation pour détecter l'intensité lumineuse dans le plan de l'infini.
1. Champ B₀ = 0. Observation : œil nu. Que voit‑on ? Expliquez.
   Champ B₀ = 0. Observation : œil + polariseur tournant. Que voit‑on lors de la rotation du polaroïd ? Expliquez.
2. Champ B₀ = 1 T. Observation : œil nu. Que voit‑on ?
3. Champ B₀ = 1 T. Observation : œil + polariseur tournant. Que voit‑on lors de la rotation du polaroïd ? Expliquez.
4. Peut‑on utiliser n'importe quelle lame λ/4 pour effectuer de façon probante les expériences précédentes ?

Concours Physique ENS Lyon, Cachan (MP*) 1997 (Corrigé)

ENS Lyon Cachan 1997 section MP
I Propagation de la lumière dans deux guides d’ondes différents
A - Equations de Maxwell
a) L’équation de Maxwell-Gauss (M.G.) $div\,E = \frac{\rho }{{{\varepsilon _0}}}$ est la version locale du théorème de Gauss.
L’équation $div\,B = 0$ exprime que B est à flux conservatif (absence de “ charges magnétiques ”)
L’équation de Maxwell-Ampère (M.A.) $rot\;B - {\varepsilon _0}{\mu _0}\frac{{\partial E}}{{\partial t}} = {\mu _0}j$ est la version locale du théorème de Maxwell-Ampère qui devient le théorème d’Ampère en régime permanent.
L’équation de Maxwell-Faraday (M.F.) $rot\;E + \frac{{\partial B}}{{\partial t}} = 0$ est équivalente à $\oint {E.dl} = - \frac{{d{\Phi _B}}}{{dt}}$ (contour fixe) qui correspond dans ce cas à la loi de Faraday.

b) En prenant la divergence de (M.A.) et en utilisant (M.G.) on obtient $div\;j + \frac{{\partial \rho }}{{\partial t}} = 0$ qui est l’équation locale de conservation de la charge.
c) En régime variable les champs E et B sont couplés (voir (M.A.) et (M.F.)) ce qui n’est plus le cas en régime permanent : chaque équation fait intervenir alors soit l’un soit l’autre mais pas les deux champs en même temps.
d) En l’absence de charges et de courants ρ=0 et j=0. En prenant le rotationnel de (M.A.) et en utilisant (M.F.) et $div\,B = 0$ on obtient l’équation $\Delta B - {\varepsilon _0}{\mu _0}\frac{{{\partial ^2}B}}{{\partial {t^2}}} = 0$ . De même, le rotationnel de (M.F.) et l’utilisation de (M.A.) et (M.G.) conduisent à $\Delta E - {\varepsilon _0}{\mu _0}\frac{{{\partial ^2}E}}{{\partial {t^2}}} = 0$. Ce sont des équations de propagation de célérité $c = \frac{1}{{\sqrt {{\varepsilon _0}{\mu _0}} }}$.

B - Guide d’onde
a) Dériver par rapport à z revient à multiplier par ik. Dériver par rapport à t revient à multiplier par -iω. On en déduit alors (après simplification par le facteur exponentiel) :
(M.A.) projetée sur ${\vec e_\theta }$ devient $ik{{\rm{B}}_r} - \frac{{d{{\rm{B}}_z}}}{{dr}} + {\varepsilon _0}{\mu _0}i\omega {{\rm{E}}_\theta } = 0$ . (M.F.) projetée sur ${\vec e_r}$ devient $ - ik{{\rm{E}}_\theta } - i\omega {{\rm{B}}_r} = 0$. Ces deux équations conduisent (en posant ${K^2} = \frac{{{\omega ^2}}}{{{c^2}}} - {k^2}$) à ${{\rm{B}}_r} = \frac{{ik}}{{{K^2}}}\frac{{d{{\rm{B}}_z}}}{{dr}}$ et à ${{\rm{E}}_\theta } = - \frac{{i\omega }}{{{K^2}}}\frac{{d{{\rm{B}}_z}}}{{dr}}$. De la même façon, en utilisant (M.A.) projetée sur ${\vec e_r}$ et (M.F.) projetée sur ${\vec e_\theta }$ on obtient ${{\rm{B}}_\theta } = \frac{{i\omega }}{{{K^2}{c^2}}}\frac{{d{{\rm{E}}_z}}}{{dr}}$ et ${{\rm{E}}_r} = \frac{{ik}}{{{K^2}}}\frac{{d{{\rm{E}}_z}}}{{dr}}$. Les vérifications d’homogénéité se font aisément en utilisant le fait que [E]=[B][c] [k]=[K] [k][c]=[ω] et [k][r]=1.
b) Pour une onde TEM, E_z et B_z devraient être nuls. Mais alors, d’après les équations du a), toutes les composantes sont nulles. L’onde nulle n’a que peu d’intérêt physique !
c) L’équation (M.A.) projetée sur ${\vec e_z}$ conduit (si ω est non nul) en utilisant les expressions obtenues au a) à l’équation $\frac{1}{{{K^2}}}\frac{1}{r}\frac{d}{{dr}}\left( {r\frac{{d{{\rm{E}}_z}}}{{dr}}} \right) + {{\rm{E}}_z} = 0$ tandis que (M.F.) projetée également sur ${\vec e_z}$ conduit à $\frac{1}{{{K^2}}}\frac{1}{r}\frac{d}{{dr}}\left( {r\frac{{d{{\rm{B}}_z}}}{{dr}}} \right) + {{\rm{B}}_z} = 0$ c’est à dire que E_z et B_z vérifient exactement la même équation du second ordre.
Remarque : les équations (M.G.) et $div\,B = 0$ qui sont les seules non encore utilisées sont alors vérifiées.
d) Les conditions de passage entre le conducteur parfait (où E et B sont nuls) et le vide indiquent qu’au voisinage de la paroi les composantes tangentielles de E (E_z et E_θ) et normale de B (B_r) sont nulles. Cela impose donc (d’après le a) ) que, en r=R, E_z et $\frac{{d{{\rm{B}}_z}}}{{dr}}$ sont nuls (puisque ω est non nul). Par contre, contrairement à ce que suggère l’énoncé, il n’y a pas de contrainte sur B_z.
e) Le changement de variable proposé par l’énoncé mène à $\frac{1}{x}\frac{d}{{dx}}\left( {x\frac{{d{{\rm{E}}_z}}}{{dx}}} \right) + {{\rm{E}}_z} = 0$ qui peut s’écrire aussi $\frac{{{d^2}{E_z}}}{{d{x^2}}} + \frac{1}{x}\frac{{d{{\rm{E}}_z}}}{{dx}} + {{\rm{E}}_z} = 0$ (équation de Bessel). La solution bornée en x=0 en est ${{\rm{E}}_z} = {a_0}{J_0}(Kr)$. D’après les relations du a) ${{\rm{E}}_r} = \frac{{ik}}{{{K^2}}}\frac{{d{{\rm{E}}_z}}}{{dr}} = {a_0}\frac{{ik}}{K}\frac{{d{J_0}}}{{dx}}(Kr)$ et ${{\rm{B}}_\theta } = {a_0}\frac{{i\omega }}{{K{c^2}}}\frac{{d{J_0}}}{{dx}}(Kr)$. Les autres composantes des champs sont nulles.

f) Les conditions mises en évidence au d) imposent alors seulement que E_z soit nul en r=R donc que ${J_0}(KR) = 0$. L’étude de la fonction de Bessel J₀ montre que cela correspond à des valeurs discrètes de K : K₁, K₂, K₃ etc. telles que K₁R ≈ 2,4 K₂R ≈ 5,5 K₃R ≈ 8,7 (et plus généralement K_jR ≈ jπ-π/4 pour j entier assez grand) qui sont donc fixées uniquement par la géométrie du guide. À ω et R fixé ces valeurs sont en nombre fini car il faut de plus que K soit inférieur à ω/c pour que k soit réel. Il y a donc un nombre fini (éventuellement nul si K₁>ω/c) de modes de propagation pour chaque fréquence. À chacun de ces modes (indice j) correspond une valeur k_j de k telle que $k_j^2 = \frac{{{\omega ^2}}}{{{c^2}}} - K_j^2$ . La plus grande valeur de k correspond à la plus petite de K donc à l’indice 1 : ${k_1} = \sqrt {\frac{{{\omega ^2}}}{{{c^2}}} - {{\left( {\frac{{2,4}}{R}} \right)}^2}} = 160\;{{\rm{m}}^{ - 1}}$. La longueur d’onde correspondante est $\lambda {}_1 = \frac{{2\pi }}{{{k_1}}} = 3,9\;{\rm{cm}}$. La vitesse de phase est ${v_{\varphi 1}} = \frac{\omega }{{{k_1}}} = c\frac{\omega }{{\sqrt {{\omega ^2} - {{\left( {\frac{{2,4c}}{R}} \right)}^2}} }} = 3,75\;{10^8}\,{\rm{m}}{\rm{.}}{{\rm{s}}^{ - 1}}$. La vitesse de groupe qui représente la vitesse d’ensemble (de l’enveloppe) d’un paquet d’onde est ${v_{g1}} = \frac{{d\omega }}{{d{k_1}}} = \frac{{{c^2}}}{{{v_{\varphi 1}}}} = c\frac{{\sqrt {{\omega ^2} - {{\left( {\frac{{2,4c}}{R}} \right)}^2}} }}{\omega } = 2,4\;{10^8}\,{\rm{m}}{\rm{.}}{{\rm{s}}^{ - 1}}$ et est inférieure à c ce qui est satisfaisant sur le plan de la transmission de l’information.
II Propagation d'une onde lumineuse dans un milieu d’indice variable
a) Lois de Descartes : un rayon lumineux incident sur un dioptre donne naissance (en général) à un rayon réfléchi et à un rayon réfracté.
- Le rayon réfléchi et le rayon réfracté appartiennent au plan d’incidence.
- Le rayon réfléchi est le symétrique du rayon incident par rapport à la normale.
- Les angles d’incidence et de réfraction vérifient : n₁ sin i₁ = n₂ sin i₂.
Si $\left| {\sin {\rm{ }}{i_1}} \right| > \frac{{{n_2}}}{{{n_1}}}$, le rayon réfracté n’existe pas : on a réflexion totale.

b) La continuité de l’indice en r = R impose : n₁ = n₀(1 + AR²) d’où $A = \frac{{\frac{{{n_1}}}{{{n_0}}} - 1}}{{{R^2}}}$. A est donc positif.

c) On peut raisonner sur un milieu “ stratifié ” constitué d’un grand nombre de dioptres cylindriques coaxiaux, délimitant des milieux homogènes. Autrement dit, on approxime n(r) par une fonction en escalier, et on admet que tout se passe bien lorsque la hauteur des marches tend vers zéro.
(NDLR : l’énoncé aurait pu guider davantage les candidats vers ce raisonnement, les milieux inhomogènes étant hors programme.)
Dans ces conditions, il est clair que la trajectoire est plane puisqu’à chaque réfraction le rayon reste dans le plan méridien, et que $n\left( r \right)\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \beta } \right) = n\left( r \right)\cos \beta = {\rm{constante}}$le long du rayon lumineux. Lorsqu’on s’éloigne de l’axe, l’indice augmente, et par conséquent β augmente, d’où l’allure de la trajectoire.
d) D’après le résultat précédent, n(r) cos β = n₀ cos β₀ avec ${n_0}\sin {\beta _0} = \sin \frac{\pi }{6} = \frac{1}{2}$.
On peut alors écrire :
${\left( {\frac{{dr}}{{dz}}} \right)^2} = {\tan ^2}\beta = \frac{1}{{{{\cos }^2}\beta }} - 1 = {\left( {\frac{{n\left( r \right)}}{{{n_0}\cos {\beta _0}}}} \right)^2} - 1$
C’est l’équation différentielle demandée, avec K = n₀ cos β₀ .
e) Si n₁/n₀ est très voisin de 1, le résultat du b) indique que AR² sera très petit devant 1. Comme r≤ R , on peut considérer que Ar² est un infiniment petit et négliger les termes du second ordre :
${\left( {\frac{{dr}}{{dz}}} \right)^2} \cong \frac{{1 + 2A{r^2}}}{{{{\cos }^2}{\beta _0}}} - 1 = {\tan ^2}{\beta _0} + \frac{{2A{r^2}}}{{{{\cos }^2}{\beta _0}}}$
f) L’étude qualitative du c) montre que dr/dz va rester positif, et par conséquent :
$dz = \frac{{dr}}{{\sqrt {{{\tan }^2}{\beta _0} + \frac{{2A{r^2}}}{{{{\cos }^2}{\beta _0}}}} }}$
On peut alors utiliser une primitive donnée dans l’annexe b) avec a = tan β₀ et $x = \frac{{r\sqrt {2A} }}{{\cos {\beta _0}}}$, ce qui donne en intégrant de 0 à r :
$z = \frac{{\cos {\beta _0}}}{{\sqrt {2A} }}s{h^{ - 1}}\left( {\frac{{r\sqrt {2A} }}{{\sin {\beta _0}}}} \right)$
D’où finalement, en inversant cette relation :
$r = \frac{{\sin {\beta _0}}}{{\sqrt {2A} }}sh\left( {\frac{{z\sqrt {2A} }}{{\cos {\beta _0}}}} \right)$
Si A tend vers zéro, on peut linéariser le sinus hyperbolique et on obtient r ≅ z tan β₀ , ce qui correspond bien à une trajectoire rectiligne dans un milieu homogène. On obtient la même expression approchée si z tend vers 0 : la tangente à l’origine fait l’angle β₀ avec l’axe Oz.
g) Il faut bien entendu placer le détecteur en r = e tan β₁, avec n₁ sin β₁ = 1/2 , ce qui donne numériquement : r = 41,667 µm.
h) Le rayon lumineux est dévié, théoriquement il n’atteint plus le détecteur. En réalité, la déviation est faible, et il faut tenir compte de la largeur du faisceau laser ainsi que de la largeur du détecteur : on observera simplement une diminution du signal, le détecteur n’étant plus parfaitement centré sur le faisceau laser.
i) Il suffit d’appliquer le résultat du f), avec z = e , et on trouve r = 44,072 µm. Il faut donc éloigner le détecteur de l’axe de 2,405 µm.
(En prenant simplement r ≅ e tan β₀ , on obtient r = 44,064 µm, soit une erreur de 8 nm! Finalement, ce n'est pas le gradient d'indice qui est important, mais plutôt la variation d'indice au centre de l'échantillon.)

III Réalisation d'un milieu d'indice variable
a) Le courant thermique j (ou flux thermique surfacique) est donné par la loi de Fourier : $\vec j = - \lambda \overrightarrow {grad} T$. D'autre part, en dehors du fil, le travail échangé (autre qu'un éventuel travail des forces de pression) est nul, par conséquent l'équation exprimant le bilan local d'enthalpie s'écrit : $div\vec j + \rho C\frac{{\partial T}}{{\partial t}} = 0$. (Par analogie avec l'équation de conservation de la charge électrique.) En éliminant j, on en déduit que T satisfait à l'équation de diffusion :
$\frac{{\partial T}}{{\partial t}}D\Delta T{\text{ avec }}D = \frac{\lambda }{{\rho C}}$
b) D’après l’équation de diffusion, D se mesure en m²s^–1. Il est clair que l’argument de l’exponentielle est alors sans dimension, comme il se doit.
À chaque instant, la répartition de températures est une gaussienne centrée sur l’axe. La largeur de la gaussienne est proportionnelle à $\sqrt t $et sa hauteur à t^–1 : l’énergie “ s’étale ”. En calculant $\frac{{\partial T}}{{\partial t}}$, on montre facilement qu’à r fixé T est maximum à l’instant $t = \frac{{{r^2}}}{{4D}}$: un capteur placé en dehors de l’axe verra passer une “ bouffée de chaleur ”.
Si C tend vers 0, ou bien si λ tend vers l’infini, D tend vers l’infini, et le temps caractéristique d’évolution est très faible : en un point donné, T augmente très rapidement, puis revient presque instantanément à la valeur T₀.
Au contraire, si C tend vers l’infini, ou bien si λ tend vers 0, D tend vers 0, et le temps caractéristique d’évolution est infini : le matériau est un isolant thermique, rien ne se passe.
c) On peut déterminer B en effectuant un bilan global d’enthalpie : pour tout t positif, la variation d’enthalpie doit être égale au travail électrique reçu, ce qui s’écrit pour l’unité de longueur :
$\int_0^\infty {\rho C\left( {T - {T_0}} \right)2\pi r{\rm{ }}dr = R{I^2}\delta t} $
L’intégration est immédiate, et on obtient : $B = \frac{{R{I^2}\delta t}}{{4\pi \rho C}}$

d) L’écart de n par rapport à la valeur 1 (correspondant au vide) est proportionnel au nombre d’atomes avec lesquels interagit l’onde électromagnétique dans un volume donné, donc à ρ.
(NDLR : c’est vraiment tout ce qu’on peut exiger d’un élève de MP. D’ailleurs, c’est plutôt n² – 1 qui est proportionnel à ρ.)
e) En notant k le coefficient de dilatation volumique, on peut écrire :
$\rho = \frac{{{\rho _0}}}{{1 + k\left( {T - {T_0}} \right)}} \cong {\rho _0}\left[ {1 - k\left( {T - {T_0}} \right)} \right]$
Si t est supérieur à r²/D, on est dans la partie centrale de la gaussienne, et on peut l’approximer par une parabole :
$T - {T_0} \cong \frac{B}{{Dt}}\left( {1 - \frac{{{r^2}}}{{4Dt}}} \right)$
Utilisant le résultat du d), on obtient :
$n = 1 + \Lambda {\rho _0}\left( {1 - \frac{{kB}}{{Dt}}\left( {1 - \frac{{{r^2}}}{{4Dt}}} \right)} \right)$
qui est bien une fonction affine croissante de r².
f) Dans une première phase (partie A de la courbe) la largeur de la répartition gaussienne de températures, qui augmente en $\sqrt t $, est inférieure à la distance entre l’axe et le détecteur. Les approximations du II ne permettent pas de décrire quantitativement le phénomène, mais on peut penser que la déviation du faisceau de contrôle est d’autant plus importante que la région chaude est plus large, puisque le faisceau la traverse “ en biais ” : le signal diminue.
Le minimum de signal s’observe sans doute lorsque le détecteur voit un maximum de température (question IIIb). À partir de cet instant, on peut appliquer les résultats du II : on a vu que c’est essentiellement la valeur de n₀ qui compte (question IIi), or n₀ est une fonction croissante du temps (question IIIe), par conséquent le signal augmente : c’est bien ce que l’on observe sur la partie B.

Enfin, au bout d’un temps suffisamment long, l’équilibre thermique s’est rétabli, et le signal a retrouvé sa valeur maximale.
(NDLR : ces explications ne sont pas très satisfaisantes, j’en conviens. Je ne m’explique pas, en particulier, le temps de réponse initial (environ 5 µs), ni pourquoi le minimum de signal correspond à un point anguleux.)

Concours Physique ENS Ulm, Lyon, Cachan (option Bio) 1997 (Corrigé)

MECANIQUE des FLUIDES (ENS Bio 1997, durée 4h)
A) Equilibre d’une plaque tectonique
I.1) Considérons la particule de fluide comprise entre les abscisses x et x+dx, les ordonnées y et y+dy, les cotes z et z+dz. Elle est soumise :
* à son poids : $\; - \;\rho \;g\;dx\;dy\;dz\;{\vec u_z}\;$
* aux forces pressantes : $\begin{array}{l}\;\;\;\;P\left( {x,y,z} \right)\;dy\;dz\;{{\vec u}_x}\; - \;P\left( {x + dx,y,z} \right)\;dy\;dz\;{{\vec u}_x}\;\\\; + \;P\left( {x,y,z} \right)\;dx\;dz\;{{\vec u}_y}\; - \;P\left( {x,y + dy,z} \right)\;dx\;dz\;{{\vec u}_y}\;\\\; + \;P\left( {x,y,z} \right)\;dx\;dy\;{{\vec u}_z}\; - \;P\left( {x,y,z + dz} \right)\;dx\;dy\;{{\vec u}_z}\;\end{array}$
$\; = \; - \;\left( {\frac{{\partial P}}{{\partial x}}\;{{\vec u}_x}\; + \;\frac{{\partial P}}{{\partial y}}\;{{\vec u}_y}\; + \;\frac{{\partial P}}{{\partial z}}\;{{\vec u}_z}\;} \right)\;dx\;dy\;dz\; = \; - \;\frac{{\partial P}}{{\partial z}}\;dx\;dy\;dz\;{\vec u_z}\;$ dans le cas présent.
* aux contraintes tangentielles liées aux frottements des couches les unes sur les autres, dans l’hypothèse d’un fluide visqueux newtonien :
$\; = \; - \;\eta \;\frac{{\partial v}}{{\partial z}}\left( {x,y,z} \right)\;dx\;dy\;{\vec u_x}\; + \;\eta \;\frac{{\partial v}}{{\partial z}}\left( {x,y,z + dz} \right)\;dx\;dy\;{\vec u_x}\; = \;\;\eta \;\frac{{{\partial ^2}v}}{{\partial {z^2}}}\left( {x,y,z} \right)\;dx\;dy\;dz\;{\vec u_x}\;$

I.2) En régime permanent, la particule de fluide a une vitesse constante par rapport au temps. Si on lui applique le principe fondamental de la dynamique, on obtient :
$\;0\; = \;\left[ {\eta \;\frac{{{\partial ^2}v}}{{\partial {z^2}}}\;{{\vec u}_x}\; + \;\left( { - \;\rho \;g\; - \;\frac{{\partial P}}{{\partial z}}} \right)\;{{\vec u}_z}} \right]\;dx\;dy\;dz$
Il s’ensuit que :
* $ - \;\rho \;g\; - \;\frac{{\partial P}}{{\partial z}}\; = \;0\; \Rightarrow \;\;P(z)\; = \; - \;\rho \;g\;z\; + \;P(0)\;$
* $\;\frac{{\partial {}^2v}}{{\partial {z^2}}}\; = \;0\; \Rightarrow \;v(z)\; = \;a\;z\; + \;b\;\;avec\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{v_0}\; = \;b}\\{0\; = \; - \;a\;{h_A}\; + \;b\;}\end{array}\; \Rightarrow \;} \right.\;v(z)\; = \;{v_0}\;\left( {\frac{z}{{{h_A}}}\; + \;1} \right)\;$⇒ $\;\vec \tau \; = \; - \;\frac{{{v_0}}}{{{h_A}}}\;{\vec u_x}\;$

I.3) $\ {{D}_{V}}\ =\ \iint_{S}{\vec{v}\ .\ {{\overline{{{d}^{2}}S}}^{>}}\ =\ \int_{-\ {{h}_{A}}}^{+\ {{h}_{L}}}{v(z)\ dz\ .\ \int_{y}^{y+1}{dy\ =\ \int_{-\ {{h}_{A}}}^{0}{{{v}_{0}}\ \left( \frac{z}{{{h}_{A}}}\ +\ 1 \right)}}}}\ dz\ +\ \int_{0}^{+\ {{h}_{L}}}{{{v}_{0}}\ dz\ \Leftrightarrow }$
$\;{D_V}\; = \;{v_0}\;\left( {\frac{{{h_A}}}{2}\; + \;{h_L}} \right)\;$
II.1) Sans gradient de pression horizontal, comme nous venons de le voir à la question précédente, il est impossible d’obtenir un débit volumique nul.
Imaginons par conséquent, qu’il existe un gradient de pression horizontal uniforme : $\;\frac{{\partial P}}{{\partial x}}\; = \;\varpi \;$.
En régime permanent, la particule de fluide a une vitesse constante par rapport au temps. Si on lui applique le principe fondamental de la dynamique, on obtient :
$\;0\; = \;\left[ {\left( { - \;\frac{{\partial P}}{{\partial x}}\; + \eta \;\frac{{{\partial ^2}v}}{{\partial {z^2}}}} \right)\;{{\vec u}_x}\; + \;\left( { - \;\rho \;g\; - \;\frac{{\partial P}}{{\partial z}}} \right)\;{{\vec u}_z}} \right]\;dx\;dy\;dz$
Il s’ensuit que :
* $ - \;\rho \;g\; - \;\frac{{\partial P}}{{\partial z}}\; = \;0\; \Rightarrow \;$$\;P(x,z)\; = \; - \;\rho \;g\;z\; + \;f(x)\;$
* $\;\frac{{\partial {}^2v}}{{\partial {z^2}}}\; = \;\frac{\varpi }{\eta }\; \Rightarrow \;v(z)\; = \;\frac{\varpi }{{2\;\eta }}\;{z^2}\; + \;a\;z\; + \;b\;\;avec\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{v_0}\; = \;b}\\{0\; = \;\frac{\varpi }{{\;2\eta }}\;{h_A}^2\;\; - \;a\;{h_A}\; + \;b\;}\end{array}\; \Rightarrow \;} \right.$
$\;v(z)\; = \;\frac{\varpi }{{2\;\eta }}\;\left( {{z^2}\; + \;{h_A}\;z} \right)\; + \;{v_0}\;\left( {\frac{z}{{{h_A}}}\; + \;1} \right)\;$
* $\ {{D}_{V}}\ =\ \iint_{S}{\vec{v}\ .\ {{\overline{{{d}^{2}}S}}^{>}}\ =\ \int_{-\ {{h}_{A}}}^{+\ {{h}_{L}}}{v(z)\ dz\ .\ \int_{y}^{y+1}{dy\ =\ \int_{-\ {{h}_{A}}}^{0}{\left[ \ \frac{\varpi }{2\ \eta }\ \left( {{z}^{2}}\ +\ {{h}_{A}}\ z \right)\ +\ {{v}_{0}}\ \left( \frac{z}{{{h}_{A}}}\ +\ 1 \right)\ \right]}}}}\ dz\ +\ \int_{0}^{+\ {{h}_{L}}}{{{v}_{0}}\ dz\ \Leftrightarrow }$
$\;{D_V}\; = \; - \;\frac{\varpi }{{12\;\eta }}\;{h_A}^3\; + \;{v_0}\;{h_A}\;\left( {\frac{{{h_L}}}{{{h_A}}}\; + \;\frac{1}{2}} \right)\; = \;0\; \Leftrightarrow \;$$\;\varpi \; = \;\frac{{\partial P}}{{\partial x}}\; = \;\frac{{12\;\eta \;{v_0}}}{{{h_A}^2}}\;\left( {\frac{{{h_L}}}{{{h_A}}}\; + \;\frac{1}{2}} \right)\; = \;\frac{{2A\;\eta \;{v_0}}}{{{h_A}^2}}\;$ ⇒
$\;v(z)\; = \;{v_0}\;\left[ {A\;{{\left( {\frac{z}{{{h_A}}}} \right)}^2}\; + \;\left( {A + 1} \right)\;\frac{z}{{{h_A}}}\; + \;1} \right]\;$

II.2) *$\;v(z)\; = \;{v_0}\;\left[ {A\;{{\left( {\frac{z}{{{h_A}}}} \right)}^2}\; + \;\left( {A + 1} \right)\;\frac{z}{{{h_A}}}\; + \;1} \right]\; = \;0\;$pour $\;z\; = \;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \;{h_A}\;}\\{\frac{{ - \;{h_A}}}{A}\;}\end{array}} \right.$
* Pour $\;z\; = \;\frac{{ - \;{h_A}}}{{2\;A}}\;\left( {A + 1} \right)\;$ , la vitesse de retour est de norme maximale donnée par $\;{v_{\max }}\; = \;\frac{{{v_0}}}{{4\;A}}\;\left( {{A^2}\; - \;2\;A\; + \;1} \right)\;$ .
* Pour A = 4, $\;\frac{{v(z)}}{{{v_0}}}\; = \;4\;{\left( {\frac{z}{{{h_A}}}} \right)^2}\; + \;5\;\frac{z}{{{h_A}}}\; + \;1\;$

II.3) $\;\vec \tau \; = \; - \;\eta \;\frac{{\partial v}}{{\partial z}}\;{\vec u_x}\; = \; - \;\eta \;\left( {A + 1} \right)\;\frac{{{v_0}}}{{{h_A}}}\;{\vec u_x}\; \Leftrightarrow \;$$\;\vec \tau \; = \; - \;2\;\eta \;\frac{{{v_0}}}{{{h_A}}}\;\left( {3\;\frac{{{h_L}}}{{{h_A}}}\; + \;2} \right)\;{\vec u_x}\;$
Par rapport au résultat du A.I.2, la contrainte tangentielle dépend de la viscosité du fluide.
II.4) Nous avons déjà trouvé : $ - \;\rho \;g\; - \;\frac{{\partial P}}{{\partial z}}\; = \;0\; \Rightarrow \;$$\;P(x,z)\; = \; - \;\rho \;g\;z\; + \;f(x)\;$ . Si nous traduisons en outre que : $\;\frac{{\partial P}}{{\partial x}}\; = \;\varpi \; = \;\frac{{df}}{{dx}}\; \Rightarrow \;f\; = \;\varpi \;x\; + \;P(0,0)\;$, nous en déduisons :
$\;P(x,z)\; = \; - \;\rho \;g\;z\; + \;\varpi \;x\; + \;P(0,0)\;$
Traduisons que la portion de lithosphère comprise entre x et x+dx, y et y+dy est en équilibre selon $\;{\vec u_x}\;$sous l’action de son poids et de la force pressante exercée par l’asthénosphère, on obtient :
$\; - \;\rho \;{h_L}\;dx\;dy\;g\; + \;\left( {\varpi \;x\; - \;\rho \;g\;z\; + \;{P_0}} \right)\;dx\;dy\; = \;0\; \Rightarrow \;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\;en\;\left( {x\; = \;0\;,\;z} \right)\;,\; - \;\rho \;{h_L}\;g\; - \;\rho \;g\;z\; + \;{P_0}\; = \;0\;}\\{\;en\;\left( {x\; = \;L\;,\;z + \;\Delta h} \right)\;,\; - \;\rho \;{h_L}\;g\; + \;\left( {\varpi \;L\; - \;\rho \;g\;\left[ {z + \;\Delta h} \right] + \;{P_0}} \right)\; = \;0}\end{array}} \right.$
En combinant les deux équations, on obtient : $\;\Delta h\; = \;\frac{{\varpi \;L}}{{\rho \;g}}\;$
II.5) Le poids apparent est le poids diminué de la poussée d’Archimède :
$\;\Delta F\; = \;{\rho _L}\;g\;{h_L}\;\left( {{h_L}\; + \;H} \right)\; - \;\rho \;g\;{h_L}\;H\;\;avec\;\;{\rho _L}\; = \;\rho \;\left( {1\; + \;\alpha \;\Delta T} \right)\;\;soit\;\;\Delta F = \;{3,34.10^{14}}\;N.{m^{ - 1}}\;$
II.6) Le principe fondamental de la dynamique appliqué à la lithosphère implique que :
$\;\vec \tau \;L\; + \;\Delta F\;{\vec u_x}\; = 0\; \Rightarrow \; - \;2\;\eta \;\frac{{{v_0}}}{{{h_A}}}\;\left( {3\;\frac{{{h_L}}}{{{h_A}}}\; + \;2} \right)\;L\; + \;\Delta F\; = \;0\; \Leftrightarrow \;$
$\;\eta \; = \;\frac{{{h_L}\;\Delta F}}{{2\;{v_0}\;L}}\;\frac{{{x^2}}}{{2\;x\; + \;3}}\; = \;{1,75.10^{21}}\;\frac{{{x^2}}}{{2\;x\; + \;3}}\;(en\;Pl)\;$

II.7) En combinant les résultats des questions A.II.1, A.II.4 et A.II.6, on obtient :
$\;\Delta h\; = \;\frac{{\varpi \;L}}{{\rho \;g}}\; = \;\frac{{3\;\Delta F}}{{\rho \;g\;{h_L}}}\;\frac{{x\; + \;2}}{{x\;\left( {2\;x\; + \;3} \right)}}\; = \;{3,192.10^5}\;\frac{{x\; + \;2}}{{x\;\left( {2\;x\; + \;3} \right)}}\;(en\;m)\;$
II.8) Des valeurs acceptables pour h_A sont de l’ordre de 10⁶ m, ce qui correspond à x = 10. Les valeurs de η correspondantes sont de l’ordre de 10²² Pl. Il s’agit de fluides rampants.
II.9) Pour vérifier qu’on a bien un fluide rampant, on peut aussi calculer le nombre de Reynolds correspondant : $\;{\rm{R}}\;{\rm{ = }}\;\frac{{U\;L}}{\nu }\; \approx \;\frac{{{{1,6.10}^{ - 9}}\;.\;{{10}^6}}}{{{{3,1.10}^{19}}}}\; \approx \;{5.10^{ - 23}}\; < < \;1\;$ .
B) Rebond post-glaciaire
I.1) Traduisons que le couple résultant doit être nul :
$\;\left[ {{\tau _{zx}}\left( {x,z + \frac{{dz}}{2}} \right)\; + \;{\tau _{zx}}\left( {x,z - \frac{{dz}}{2}} \right)} \right]\;dx\;dy\;{\vec u_y}\;dz\; - \;\left[ {{\tau _{xz}}\left( {x - \frac{{dx}}{2},z} \right)\; + \;{\tau _{zx}}\left( {x + \frac{{dx}}{2},z} \right)} \right]\;dy\;dz\;{\vec u_y}\;dx\; = \;0\; \Leftrightarrow \;$
$\;\left[ {{\tau _{zx}}\left( {x,z} \right)\; + \;\frac{{\partial {\tau _{zx}}}}{{\partial z}}\;\frac{{dz}}{2} + \;{\tau _{zx}}\left( {x,z} \right)\; - \;\frac{{\partial {\tau _{zx}}}}{{\partial z}}\;\frac{{dz}}{2}} \right]\; - \;\left[ {{\tau _{xz}}\left( {x,z} \right)\; - \;\frac{{\partial {\tau _{xz}}}}{{\partial z}}\;\frac{{dx}}{2}\; + \;{\tau _{xz}}\left( {x,z} \right)\; + \;\frac{{\partial {\tau _{xz}}}}{{\partial z}}\;\frac{{dx}}{2}} \right]\; = \;0\; \Leftrightarrow \;$
$\;{\tau _{xz}}\left( {x,z} \right)\; = \;{\tau _{zx}}\left( {x,z} \right)\;$
I.2)
$\begin{array}{l}\;{f_x}\;dx\;dy\;dz\; = \;\left[ {{\tau _{zx}}\left( {x,z + \frac{{dz}}{2}} \right)\; - \;{\tau _{zx}}\left( {x,z - \frac{{dz}}{2}} \right)} \right]\;dx\;dy\; + \;\left[ {{\tau _{xx}}\left( {x + \frac{{dx}}{2},z} \right)\; - \;{\tau _{xx}}\left( {x - \frac{{dx}}{2},z} \right)} \right]\;dx\;dy\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \;\frac{{\partial {\tau _{zx}}}}{{\partial z}}\;dx\;dy\;dz\; + \;\frac{{\partial {\tau _{xx}}}}{{\partial x}}\;dx\;dy\;dz\; \Leftrightarrow \;\end{array}$
$\;{f_x}\; = \;\frac{{\partial {\tau _{xx}}}}{{\partial x}}\; + \;\frac{{\partial {\tau _{zx}}}}{{\partial z}}\;$ . De même, $\;{f_z}\; = \;\frac{{\partial {\tau _{xz}}}}{{\partial x}}\; + \;\frac{{\partial {\tau _{zz}}}}{{\partial z}}\;$
I.3) Calculons le débit masse sortant de l’élément de volume : Le fluide étant incompressible, ce débit est nul.
$\begin{array}{l}\;{D_m}\;dx\;dy\;dz\; = \;\left[ {\rho \;{v_z}\left( {x,z + \frac{{dz}}{2}} \right)\; - \;\rho \;{v_z}\left( {x,z - \frac{{dz}}{2}} \right)} \right]\;dx\;dy\; + \;\left[ {\rho \;{v_x}\left( {x + \frac{{dx}}{2},z} \right)\; - \;\rho \;{v_x}\left( {x - \frac{{dx}}{2},z} \right)} \right]\;dx\;dy\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \;\rho \;\frac{{\partial {v_z}}}{{\partial z}}\;dx\;dy\;dz\; + \;\rho \;\frac{{\partial {v_x}}}{{\partial x}}\;dx\;dy\;dz\; = 0\; \Leftrightarrow \;\end{array}$
$\;\frac{{\partial {v_x}}}{{\partial x}}\; + \;\frac{{\partial {v_z}}}{{\partial z}}\; = \;0\;$
I.4) $\;{f_x}\; = \;2\;\eta \;\frac{{{\partial ^2}{v_x}}}{{\partial {x^2}}}\; + \;\eta \;\left( {\frac{{{\partial ^2}{v_x}}}{{\partial {z^2}}}\; + \;\frac{{{\partial ^2}{v_z}}}{{\partial z\;\partial x}}} \right)\; = \;\eta \;\left( {\frac{{{\partial ^2}{v_x}}}{{\partial {x^2}}}\; + \;\frac{{{\partial ^2}{v_x}}}{{\partial {z^2}}}} \right)\; + \;\eta \;\frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\frac{{\partial {v_x}}}{{\partial x}}\; + \;\frac{{\partial {v_z}}}{{\partial z}}} \right)\; \Leftrightarrow \;$
$\;{f_x}\; = \;\eta \;\left( {\frac{{{\partial ^2}{v_x}}}{{\partial {x^2}}}\; + \;\frac{{{\partial ^2}{v_x}}}{{\partial {z^2}}}} \right)\;$ . De même, $\;{f_z}\; = \;\eta \;\left( {\frac{{{\partial ^2}{v_z}}}{{\partial {x^2}}}\; + \;\frac{{{\partial ^2}{v_z}}}{{\partial {z^2}}}} \right)\;$
I.5) Calculons l’accélération particulaire :
$\;{\vec v_p}(t)\; = \;{v_x}\;(x,\;z,\;t)\;{\vec u_x}\; + \;{v_z}\;(x,\;z,\;t)\;{\vec u_z}\;$⇒
$\;{\vec a_p}\;(t)\; = \;\left( {\;\frac{{\partial \;{v_x}}}{{\partial \;x}}\;\frac{{d\;x}}{{d\;t}}\; + \;\frac{{\partial \;{v_x}}}{{\partial \;z}}\;\frac{{d\;z}}{{d\;t}}\; + \;\frac{{\partial \;{v_x}}}{{\partial \;t}}\;\frac{{d\;t}}{{d\;t}}\;} \right)\;{\vec u_x}\; + \;\left( {\;\frac{{\partial \;{v_z}}}{{\partial \;x}}\;\frac{{d\;x}}{{d\;t}}\; + \;\frac{{\partial \;{v_z}}}{{\partial \;z}}\;\frac{{d\;z}}{{d\;t}}\; + \;\frac{{\partial \;{v_z}}}{{\partial \;t}}\;\frac{{d\;t}}{{d\;t}}\;} \right)\;{\vec u_z}\; \Leftrightarrow $
$\;{\vec a_p}\;(t)\; = \;\left( {\;\frac{{\partial \;{v_x}}}{{\partial \;x}}\;{v_x}\; + \;\frac{{\partial \;{v_x}}}{{\partial \;z}}\;{v_z}\; + \;\frac{{\partial \;{v_x}}}{{\partial \;t}}\;} \right)\;{\vec u_x}\; + \;\left( {\;\frac{{\partial \;{v_z}}}{{\partial \;x}}\;{v_x}\; + \;\frac{{\partial \;{v_z}}}{{\partial \;z}}\;{v_z}\; + \;\frac{{\partial \;{v_z}}}{{\partial \;t}}\;} \right)\;{\vec u_z}\; \Leftrightarrow $
$\;{\vec a_p}\;(t)\; = \;\frac{{D\;\vec v}}{{D\;t}}\; = \;\frac{{\partial \;\vec v}}{{\partial \;t}}\; + \;\left( {\;\vec v\;.\;{{\overline {grad} }^ > }} \right)\;\vec v\;$ : la dérivée particulaire est la somme de la dérivée locale, qui traduit le caractère non permanent de l’écoulement : $\;\frac{{\partial \;\vec v}}{{\partial \;t}}\;$et de la dérivée convective (ou accélération de transport) : $\;\left( {\;\vec v\;.\;{{\overline {grad} }^ > }} \right)\;\vec v\;$qui traduit le caractère non uniforme (spatialement) du champ de vitesse.
Appliquons le principe fondamental de la dynamique à une particule de volume unité :
* En projection sur Ox : $\;\rho \;\left( {\;\frac{{\partial \;{v_x}}}{{\partial \;x}}\;{v_x}\; + \;\frac{{\partial \;{v_x}}}{{\partial \;z}}\;{v_z}\; + \;\frac{{\partial \;{v_x}}}{{\partial \;t}}\;} \right)\; = \; - \;\frac{{\partial P}}{{\partial x}}\; + \;\eta \;\left( {\frac{{{\partial ^2}{v_x}}}{{\partial {x^2}}}\; + \;\frac{{{\partial ^2}{v_x}}}{{\partial {z^2}}}} \right)\;$
* En projection sur Oz : $\;\rho \;\left( {\;\frac{{\partial \;{v_z}}}{{\partial \;x}}\;{v_x}\; + \;\frac{{\partial \;{v_z}}}{{\partial \;z}}\;{v_z}\; + \;\frac{{\partial \;{v_z}}}{{\partial \;t}}\;} \right)\; = \; - \;\frac{{\partial P}}{{\partial z}}\; + \;\eta \;\left( {\frac{{{\partial ^2}{v_z}}}{{\partial {x^2}}}\; + \;\frac{{{\partial ^2}{v_z}}}{{\partial {z^2}}}} \right)\; - \;\rho \;g\;$

II.1) La viscosité étant très grande, le régime permanent sera très vite atteint.
Dit autrement, le nombre de Reynolds étant très petit, la durée de diffusion sera très petite devant la durée de convection.
II.2)
* Traduisons l’équation : $\;\frac{{\partial {v_x}}}{{\partial x}}\; + \;\frac{{\partial {v_z}}}{{\partial z}}\; = \;0\;$démontrée à la question B.I.3 :
$\;k\;U(z)\;\cos \;kx\; + \;\frac{{dV(z)}}{{dz}}\;\cos \;kx\; = \;0\; \Leftrightarrow \;$$\;\frac{{dV(z)}}{{dz}}\; + \;k\;U(z)\; = \;0\;$ (E1)
* Traduisons l’équation : $\; - \;\frac{{\partial P}}{{\partial x}}\; + \;\eta \;\left( {\frac{{{\partial ^2}{v_x}}}{{\partial {x^2}}}\; + \;\frac{{{\partial ^2}{v_x}}}{{\partial {z^2}}}} \right)\; = 0\;$qui représente l’état de régime permanent
atteint , d’après les questions B.I.5 et B.II.1 :
$\;k\;P(z)\;\sin \;kx\; + \;\eta \;\left( { - \;{k^2}\;U(z)\;\sin \;kx\; + \;\frac{{{d^2}U(z)}}{{d{z^2}}}\;\sin \;kx} \right)\; = \;0\; \Leftrightarrow \;$
$\;\frac{{{d^2}U(z)}}{{d{z^2}}}\; - \;{k^2}\;U(z)\; + \;\frac{k}{\eta }\;P(z)\; = \;0\;$ (E2)
* Traduisons l’équation : $\; - \;\frac{{\partial P}}{{\partial z}}\; + \;\eta \;\left( {\frac{{{\partial ^2}{v_z}}}{{\partial {x^2}}}\; + \;\frac{{{\partial ^2}{v_z}}}{{\partial {z^2}}}} \right)\; - \;\rho \;g\; = 0\;$qui représente l’état de régime
permanent atteint , d’après les questions B.I.5 et B.II.1 :
$\;\rho \;g\; - \;\frac{{dP(z)}}{{dz}}\;\cos \;kx\; + \;\eta \;\left( { - \;{k^2}\;V(z)\;\cos \;kx\; + \;\frac{{{d^2}V(z)}}{{d{z^2}}}\;\cos \;kx} \right)\; - \;\rho \;g\; = \;0\; \Leftrightarrow \;$
$\;\frac{{{d^2}V(z)}}{{d{z^2}}}\; - \;{k^2}\;V(z)\; - \;\frac{1}{\eta }\;\frac{{dP(z)}}{{dz}}\; = \;0\;$ (E3)
II.3) (E1) ⇔ $\;U(z)\; = \; - \;\frac{1}{k}\;\frac{{dV(z)}}{{dz}}\; \Rightarrow \;\frac{{{d^2}U(z)}}{{d{z^2}}}\; - \;{k^2}\;U(z) = \; - \;\frac{1}{k}\;\;\frac{{{d^3}V(z)}}{{d{z^3}}}\; + \;k\;\frac{{dV(z)}}{{dz}}\;$
En reportant le résultat précédent dans (E2) réordonnée, on obtient :
$\;P(z)\; = \; - \;\frac{\eta }{k}\;\left( {\frac{{{d^2}U(z)}}{{d{z^2}}}\; - \;{k^2}\;U(z)} \right)\; = \;\frac{\eta }{{{k^2}}}\;\;\frac{{{d^3}V(z)}}{{d{z^3}}}\; - \;\eta \;\frac{{dV(z)}}{{dz}}\; \Rightarrow \; - \;\frac{1}{\eta }\;\frac{{dP(z)}}{{dz}}\; = \; - \;\frac{1}{{{k^2}}}\;\;\frac{{{d^4}V(z)}}{{d{z^4}}}\; + \;\frac{{{d^2}V(z)}}{{d{z^2}}}\;$
En reportant dans (E3), on obtient :
$\;\frac{{{d^2}V(z)}}{{d{z^2}}}\; - \;{k^2}\;V(z)\; - \;\frac{1}{{{k^2}}}\;\;\frac{{{d^4}V(z)}}{{d{z^4}}}\; + \;\frac{{{d^2}V(z)}}{{d{z^2}}}\; = \;0\; \Leftrightarrow \;$
$\;\frac{{{d^4}V(z)}}{{d{z^4}}}\; - \;2\;{k^2}\;\frac{{{d^2}V(z)}}{{d{z^2}}}\; + \;{k^4}\;V(z)\; = \;0\;$ (E4)
L’équation (E4) admet bien les solutions proposées :
* Solutions e^kz ou e^-kz : $\;{e^{ \pm \;kz}}\;\left( {{k^4}\; - \;2\;{k^2}\;{k^2}\; + \;{k^4}} \right)\; = \;0\;$
* Solution z e^kz : $\;{e^{kz}}\;\left[ {\left( {4\;{k^3}\; + \;{k^4}\;z} \right)\; - \;2\;{k^2}\;\left( {2\;k\; + \;{k^2}\;z} \right)\; + \;{k^4}\;z} \right]\; = \;0\;$
* Solution z e^-kz : $\;{e^{ - kz}}\;\left[ {\left( { - \;4\;{k^3}\; + \;{k^4}\;z} \right)\; - \;2\;{k^2}\;\left( { - \;2\;k\; + \;{k^2}\;z} \right)\; + \;{k^4}\;z} \right]\; = \;0\;$
II.4) La solution générale de l’équation (E4) est donc de la forme :
$\;V(z)\; = \;\left( {A\; + \;B\;k\;z} \right)\;{e^{kz}}\; + \;\left( {C\; + \;D\;k\;z} \right)\;{e^{ - kz}}\; \Rightarrow \;v(x,z)\; = \;\left[ {\left( {A\; + \;B\;k\;z} \right)\;{e^{kz}}\; + \;\left( {C\; + \;D\;k\;z} \right)\;{e^{ - kz}}} \right]\;\cos \;kx\;$
Or, z peut prendre des valeurs négatives de valeur absolue importante, alors que la vitesse doit rester petite. La seule solution ayant un sens physique correspond à C = D = 0.
Les solutions ont donc bien la forme proposée.
* $\;{v_z}(x,z)\; = \;\left( {A\; + \;B\;k\;z} \right)\;{e^{kz}}\;\cos \;kx\; \Leftrightarrow \;V(z)\; = \;\;\left( {A\; + \;B\;k\;z} \right)\;{e^{kz}}\;$ (R1)
* En reportant le (R1) dans (E1), on trouve :
$\;U(z)\; = \; - \;\left[ {\left( {A\; + \;B} \right)\; + \;B\;k\;z} \right]\;{e^{kz}}\; \Rightarrow \;{v_x}(x,z)\; = \; - \;\left[ {\left( {A\; + \;B} \right)\; + \;B\;k\;z} \right]\;{e^{kz}}\;\sin \;kx\;$ (R2)
* En reportant le (R2) dans (E2), on trouve :
$\;P(z)\; = \;2\;k\;\eta \;B\;{e^{kz}}\; \Rightarrow \;{P_x}(x,z)\; = \; - \;\rho \;g\;z\; + \;2\;k\;\eta \;B\;{e^{kz}}\;\cos \;kx\;$ (R3)
* En reportant (R1) dans $\;{\tau _{zz}}\; = \;2\;\eta \;\frac{{\partial {v_z}}}{{\partial z}}\;$, on trouve :
$\;{\tau _{zz}}(x,z)\; = \;2\;k\;\eta \;\left[ {\left( {A\; + \;B} \right)\; + \;B\;k\;z} \right]\;{e^{kz}}\;\cos \;kx\;$ (R4)
II.5) Traduisons les conditions aux limites :
* $\;{v_z}(x,{h_0}\;\cos \;kx)\; = \; - \;\left[ {\left( {A\; + \;B} \right)\; + \;B\;k\;{h_0}\;\cos \;kx} \right]\;{e^{k{h_0}\;\cos \;kx}}\;\sin \;kx\; = \;0\;\;avec\;\;k\;{h_0}\; < < \;1\; \Rightarrow \;A\; + \;B\; = \;0\;$en
négligeant B k h₀ cos kx devant B.
* $\begin{array}{l}\;{P_x}(x,z)\; - \;{\tau _{zz}}(x,z)\; = \; - \;\rho \;g\;z\; + \;2\;k\;\eta \;B\;{e^{kz}}\;\cos \;kx\; - \;2\;k\;\eta \;\left[ {\left( {A\; + \;B} \right)\; + \;B\;k\;z} \right]\;{e^{kz}}\;\cos \;kx\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \; - \;\rho \;g\;z\; - \;2\;k\;\eta \;\left[ {A\; + \;B\;k\;z} \right]\;{e^{kz}}\;\cos \;kx\; \Rightarrow \;\end{array}$ $\begin{array}{l}\;{P_x}(x,{h_0}\;\cos \;kx)\; - \;{\tau _{zz}}(x,{h_0}\;\cos \;kx)\; = \; - \;\rho \;g\;{h_0}\;\cos \;kx\; - \;2\;k\;\eta \;\left[ {A\; + \;B\;k\;{h_0}\;\cos \;kx} \right]\;{e^{k{h_0}\;\cos \;kx}}\;\cos \;kx\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \;{p_0}\;\cos \;kx\;\;avec\;\;k\;{h_0}\; < < \;1\; \Rightarrow \; - \;\rho \;g\;{h_0}\; - \;2\;k\;\eta \;A\; = \;{p_0}\; \Leftrightarrow \;\end{array}$
$\;B\; = \; - \;A\; = \;\frac{{{p_0}\; + \;\rho \;g\;{h_0}}}{{2\;k\;\eta }}\;$

II.6) Du résultat précédent, on déduit :
* $\;{v_x}(x,z)\; = \; - \;B\;k\;z\;{e^{kz}}\;\sin \;kx\;$
* $\;{v_z}(x,z)\; = \; - \;B\;\left( {1\; - \;k\;z} \right)\;{e^{kz}}\;\cos \;kx\;$
Une ligne de courant est une ligne tangente en chacun de ses points au vecteur vitesse. Son équation est donc :
$\;\frac{{dx}}{{ - \;B\;k\;z\;{e^{kz}}\;\sin \;kx\;}}\; = \;\frac{{dz}}{{ - \;B\;\left( {1\; - \;k\;z} \right)\;{e^{kz}}\;\cos \;kx\;}}\; \Leftrightarrow \;dx\;\frac{{\cos \;kx}}{{\sin \;kx}}\; = \;dz\;\frac{{kz}}{{1\; - \;kz}}\; = \;dz\;\left( { - \;1\; + \;\frac{1}{{1\; - \;kz}}} \right)\;$
En intégrant, on obtient :
$\;\frac{1}{k}\;\ln \;\left| {\sin \;kx} \right|\; = \; - \;z\; - \;\frac{1}{k}\;\ln \;\left| {1\; - \;kz} \right|\; + \;\frac{1}{k}\;\ln \;\left| \alpha \right|\;$où α désigne une constante d’intégration.
En réordonnant, on obtient : $\;\left( {1\; - \;kz} \right)\;{e^{kz}}\;\sin \;kx\; = \;\alpha \;$ : équations des lignes de courant
L’allure des lignes de courant jusqu’à la profondeur 1/k est :
II.7) $\;{v_z}(x,z)\; = \; - \;\frac{{{p_0}\; + \;\rho \;g\;{h_0}}}{{2\;k\;\eta }}\;\left( {1\; - \;k\;z} \right)\;{e^{kz}}\;\cos \;kx\; = \;\frac{{dh}}{{dt}}\; \Rightarrow \;$
$\;\frac{{d{h_0}}}{{dt}}\; = \; - \;\frac{{{p_0}\; + \;\rho \;g\;{h_0}}}{{2\;k\;\eta }}\;\left( {1\; - \;k\;{h_0}\;\cos \;kx} \right)\;{e^{k{h_0}\;\cos \;kx}}\; \approx \; - \;\frac{{{p_0}\; + \;\rho \;g\;{h_0}}}{{2\;k\;\eta }}\;\;car\;\;k\;{h_0}\; < < \;1\; \Rightarrow \;$
Il faut trouver α et β tels que : $\; - \;\alpha \;\frac{{{p_0}\; + \;\rho \;g\;{h_0}}}{{2\;k\;\eta }}\; + \;{h_0}\; = \; - \;\beta \;{p_0}\; \Rightarrow \;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\alpha \; = \;\frac{{2\;k\;\eta }}{{\rho \;g}}\;}\\{\beta \; = \;\frac{1}{{\rho \;g}}\;}\end{array}} \right.$
α est homogène à un temps : α reprèsente la constante de temps du système.
En régime permanent, l’amplitude à faible distance est la même qu’en surface.
III.1) L’allure de la calotte glaciaire est la suivante :
III.2) Appliquons l’équation différentielle de la question B.II.7, soit :
$\;\alpha \;\frac{{d{h_0}}}{{dt}}\; + \;{h_0}\; = \; - \;\frac{{{\rho _g}}}{\rho }\;\frac{{{H_M}}}{{{t_M}\; - \;{t_0}}}\;t\; = \; - \;\gamma \;t\; \Rightarrow \;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\;{h_0}\left( t \right)\; = \;A\;{e^{ - t/\alpha }}\; - \;\gamma \;t\;}\\{0\; = \;A\;{e^{ - {t_0}/\alpha }}\; - \;\gamma \;{t_0}\;}\end{array}\;\; \Rightarrow \;{h_0}\left( t \right)\; = \;\frac{{{\rho _g}}}{\rho }\;\frac{{{H_M}}}{{{t_M}\; - \;{t_0}}}\;\left( {{t_0}\;{e^{ - \left( {t - {t_0}} \right)/\alpha }}\; - \;t} \right)\;} \right. \Rightarrow \;$ $\;{h_M}\; = \;\frac{{{\rho _g}}}{\rho }\;\frac{{{H_M}}}{{{t_M}\; - \;{t_0}}}\;\left( {{t_0}\;{e^{ - \left( {{t_M} - {t_0}} \right)/\alpha }}\; - \;{t_M}} \right)\;$
R] On retrouve à travers le second membre de l’équation différentielle que la calotte glaciaire flotte sur l’asthénosphère comme un glaçon sur un verre d’eau, en s’enfonçant de h₀(t) pour une hauteur de « glaçon » H(t).
III.3) Appliquons l’équation différentielle de la question B.II.7, soit :
$\;\alpha \;\frac{{d{h_0}}}{{dt}}\; + \;{h_0}\; = \;0\; \Rightarrow \;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\;{h_0}\left( t \right)\; = \;A\;{e^{ - t/\alpha }}\;}\\{{h_M}\; = \;A\;{e^{ - {t_0}/\alpha }}\;}\end{array}\;\; \Rightarrow \;{h_0}\left( t \right)\; = \;{h_M}\;} \right.{e^{ - \left( {t - {t_M}} \right)/\alpha }} \Rightarrow \;\frac{{d\;{h_0}(t)}}{{dt}}\; = \; - \;\frac{1}{\alpha }\;{h_M}\;{e^{ - \left( {t - {t_M}} \right)/\alpha }}\; \Rightarrow $
$\;{h_0}\;(0)\; = \;{h_M}\;{e^{{t_M}/\alpha }} \Rightarrow \;\frac{{d\;{h_0}}}{{dt}}(0)\; = \; - \;\frac{{{h_M}}}{\alpha }\;{e^{{t_M}/\alpha }}\;$

III.4) $\;\eta \; = \;\frac{{\rho \;g\;\lambda \;\alpha }}{{4\;\pi }}\; = \;{1,06.10^{21}}\;Pl\;$
III.5)
$\;{h_M}\; = \;\frac{{{\rho _g}}}{\rho }\;\frac{{{H_M}}}{{{t_M}\; - \;{t_0}}}\;\left( {{t_0}\;{e^{ - \left( {{t_M} - {t_0}} \right)/\alpha }}\; - \;{t_M}} \right)\; = \;104,2\;m\;$ $\;\frac{{d\;{h_0}}}{{dt}}(0)\; = \; - \;\frac{{{h_M}}}{\alpha }\;{e^{{t_M}/\alpha }}\; = \;2,5\;mm/an\;$
III.6) $\;{h_0}\;(0)\; = \;{h_M}\;{e^{{t_M}/\alpha }}\; = \;11,3\;m\;$ : La mer Baltique ne disparaîtra pas, mais deviendra peut-être une mer intérieure, si la profondeur actuelle au niveau du détroit du Grand Belt est inférieure à 11,3 m.