Concours Physique ENS de Lyon et Cachan M' 1996 (Corrigé)

ENS LYON et CACHAN M’ 1996
Partie A : Ondes longitudinales
A.1 Chaque point n'interagissant qu'avec ses plus proches voisins, la loi de Newton s'écrit :
$m{\ddot x_p} = - k\left( {{x_p} - {x_{p + 1}}} \right) - k\left( {{x_p} - {x_{p - 1}}} \right)$
A.2 Utilisons des notations complexes : ${\bar x_p} = {X_0}\exp \left( {i\left( {Kpa - \omega t} \right)} \right)$. En reportant dans l'équation précédente, on obtient :
$- m{\omega ^2} = - k + k\exp \left( {iKa} \right) - k + k\exp \left( { - iKa} \right) = - 2k\left( {1 - \cos Ka} \right) = - 4k{\sin ^2}\frac{{Ka}}{2}$
Une pulsation étant toujours un réel positif, l'équation de dispersion s'écrit :
$\omega = 2\sqrt {\frac{k}{m}} \left| {\sin \frac{{Ka}}{2}} \right|$

A.3 Le changement $K \leftarrow K + \frac{{2\pi }}{a}$ne modifie pas x_P, ni par conséquent la "situation physique". Nous supposerons donc $K \in \left] { - \frac{\pi }{a},\frac{\pi }{a}} \right]$, ce qui correspond en physique du solide à la première zone de Brillouin (voir question A.7).
D'autre part le changement $K \leftarrow - K$correspond simplement à inverser le sens de propagation. On peut donc finalement supposer : $K \in \left[ {0,\frac{\pi }{a}} \right]$
La vitesse de phase est ${v_\varphi } = \frac{\omega }{K} = a\sqrt {\frac{k}{m}} \sin c\frac{{Ka}}{2}$. La vitesse de groupe est ${v_g}\frac{{d\omega }}{{dK}} = a\sqrt {\frac{k}{m}} \cos \frac{{Ka}}{2}$
Ces vitesses sont différentes et dépendent de K : le milieu est dispersif.
A.4 Il est clair, sur le graphique du A.2, que les ondes sinusoïdales se propageant dans ce milieu ont des pulsations inférieures à ${\omega _c} = 2\sqrt {\frac{k}{m}}$. Le système est donc un filtre passe-bas de pulsation de coupure ω_c .
A.5 Pour$\omega > {\omega _c}$, l'équation de dispersion donne$\sin \left( {\frac{{Ka}}{2}} \right) > 1$, ce que l'on peut interpréter avec un vecteur d'onde complexe$K = K' + iK''$, en supposant toujours$K' \in \left[ {0,\frac{\pi }{a}} \right]$. On peut tout d'abord penser obtenir une onde progressive atténuée, mais ceci est impossible car le modèle ne contient aucun élément pouvant dissiper de l'énergie. Logiquement, on doit donc trouver une onde évanescente, dans laquelle le phénomène de propagation a disparu : le vecteur d'onde étant imaginaire pur, tous les points vibrent en phase, avec une atténuation exponentielle en fonction de la profondeur.
Le calcul qui suit va montrer que c'est en partie inexact.
Reprenons les calculs du A.2 :
$- m{\omega ^2} = - k + k\exp \left( {iK'a} \right)\exp \left( { - K''a} \right) - k + k\exp \left( { - iK'a} \right)\exp \left( {K''a} \right)$
La partie imaginaire du membre de droite doit être nulle : $\sin \left( {K'a} \right)\left( {\exp \left( { - K''a} \right) - \exp \left( {K''a} \right)} \right) = 0$.
K" ne peut être nul, compte tenu de l’hypothèse$\omega > {\omega _c}$. Il ne reste que 2 possibilités :
a) K'=0 qui correspond à l'onde évanescente. Mais en poursuivant le calcul :
$- m{\omega ^2} = - k + k\exp \left( { - K''a} \right)\exp \left( {K''a} \right) = - 2k\left( {1 - ch\left( {Ka} \right)} \right) = 4ks{h^2}\left( {\frac{{Ka}}{2}} \right)$ ce qui est impossible !
b) La seule possibilité est finalement$K' = \frac{\pi }{a}$, donc$\exp \left( {iK'a} \right) = - 1$, ce qui donne :
$- m{\omega ^2} = - k + k\exp \left( {K''a} \right) - k - k\exp \left( { - K''a} \right) = - 2k\left( {1 + ch\left( {K''a} \right)} \right) = - 4kc{h^2}\left( {\frac{{K''a}}{2}} \right)$
$K'' = \frac{2}{a}Argch\frac{\omega }{{{\omega _c}}} = \frac{1}{\delta }$ , où δ est une "profondeur de pénétration".
L'expression de x_P est en définitive : ${x_p} = {\left( { - 1} \right)^p}{X_0}\exp \left( { - \frac{{pa}}{\delta }} \right)\cos \omega t$
Ceci ressemble à une onde évanescente, mais les points de rang impair vibrent en opposition de phase avec les points de rang pair.

A.6 On dira que K est faible si la longueur d'onde $\frac{{2\pi }}{K}$est grande devant a, de telle sorte que les vitesses de phase et de groupe soient pratiquement égales à$a\sqrt {\frac{k}{m}}$. Le milieu devient non dispersif, on retrouve les ondes acoustiques.

A.7 Ce modèle peut effectivement décrire un réseau cristallin unidimensionnel : les masses sont les ions du réseau, et les ressorts schématisent les forces qui rappellent les ions vers leurs positions d'équilibre.
Les forces mises en jeu à l'échelle microscopique dans un cristal sont :
- Des forces attractives d'origine électrostatique à longue distance (cristal ionique), ou à moyenne distance (liaisons hydrogène par exemple), dérivant d'une énergie potentielle négative.
- Des forces répulsives à courte distance, traduisant la non-interpénétrabilité des nuages électroniques, dérivant d'une énergie potentielle positive et rapidement décroissante. Si r est la distance entre 2 ions ou molécules consécutifs, il existe donc un minimum d'énergie potentielle pour r=a. Si on fait un développement de l'énergie potentielle autour de $r = a$, on trouve un terme du type$\frac{1}{2}k{\left( {r - a} \right)^2}$, ce qui justifie l'existence d'une force de rappel élastique.
A.8 Les discontinuités de vitesse des ondes sismiques correspondent à des discontinuités de masse volumique et/ou de compressibilité des matériaux constituant le globe terrestre. (la compressibilité est proportionnelle à 1/k)
On en déduit que la terre a une structure "en couches". On rencontre successivement, en partant de la surface :
- l'écorce et le manteau supérieur.
- le manteau (jusqu'à 3000 km de profondeur environ)
- le noyau externe (jusqu'à 5000 km)
- le noyau interne.
Partie B : Étude du sismographe
B.1.1 On se place dans le référentiel du sol, en introduisant la force d’inertie d’entraînement :
$- m{\ddot Z_S} = m{\omega ^2}\cos \omega t$
Si $\ell$₀ est la longueur au repos du ressort, la loi de Newton s’écrit :
$m\ddot z = - \lambda \dot z + m{\omega ^2}{Z_0}\cos \omega t + k\left( {{\ell _1} - z - {\ell _0}} \right) - mg$
Lorsque tout est immobile $k\left( {{\ell _1} - {\ell _0}} \right) - mg = 0$, ce qui donne finalement l’équation différentielle :
$m\ddot z + \lambda \dot z + kz = m{\omega ^2}{Z_0}\cos \omega t$

B.1.2 On se place en notations complexes : $z = \bar A\exp \left( {i\omega t} \right)$, et on obtient :
$\bar A = \frac{{m{Z_0}{\omega ^2}}}{{k - m{\omega ^2} + i\lambda \omega }}$d’où l’amplitude des oscillations : $A = \frac{{m{Z_0}{\omega ^2}}}{{\sqrt {{{\left( {k - m{\omega ^2}} \right)}^2} + {{\left( {\lambda \omega } \right)}^2}} }}$
En posant $x = \frac{\omega }{{\sqrt {\frac{k}{m}} }}$ et $\alpha = \frac{{{\lambda ^2}}}{{2km}}$ on obtient l’expression réduite : $\frac{A}{{{Z_0}}} = \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^2} + 2\alpha {x^2}} }}$

En calculant la dérivée, on montre facilement que cette expression passe par un maximum (résonance) pour $x = \frac{1}{{\sqrt {1 - \alpha } }}$. La résonance n’existe donc que pour α<1, ce que l’on suppose d’ailleurs dans l’énoncé.
B.1.3 Pour avoir A ≅ Z₀ , il suffit que la fréquence de résonance soit très petite devant la fréquence des oscillations, c’est-à-dire: $\sqrt {\frac{k}{m}} < < \omega$. Dans ces conditions, la suspension est si souple que la masse ignore les mouvements du sol et reste pratiquement immobile dans le référentiel galiléen : z ≅ -Z .
L’allongement Δ$\ell$ du ressort soumis au poids de la masse m doit donc vérifier : $\Delta \ell = \frac{{mg}}{k} > > \frac{g}{{4{\pi ^2}{v^2}}}$, ce qui, pour ν = 1 Hz, donne Δ$\ell$ >> 25 cm (par exemple Δ$\ell$ = 2,5 m). Un sismographe bien encombrant !
B.2 Suspension de La Coste.
B.2.1 Ecrivons qu’à l’équilibre le moment en O des forces appliquées au système (tige)∪(disque) est nul :
$\mathop 0\limits^ \to = \mathop {OA}\limits^ \to \wedge (m\mathop g\limits^ \to + k\mathop {AP}\limits^ \to ) = \mathop {OA}\limits^ \to \wedge (m\mathop g\limits^ \to + k\mathop {OP}\limits^ \to ) {\rm{avec}} \mathop {OA}\limits^ \to = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}0\\{\ell \cos \theta }\\{\ell \sin \theta }\end{array}} \right) {\rm{et}} \mathop {OP}\limits^ \to = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}0\\{d \sin \alpha }\\{d \cos \alpha }\end{array}} \right)$
Soit en projection sur Ox : $\ell \cos \theta \left( {kd\cos \alpha - mg} \right) - k\ell d\sin \alpha \sin \theta = 0$
a) Si α = 0 ou bien θ = ± π/2
ou bien kd = mg , auquel cas θ est quelconque : l’équilibre est indifférent.
b) Si α ≠ 0 alors $\theta = Arc\tan \left( {\frac{{\cos \alpha - \frac{{mg}}{{kd}}}}{{\sin \alpha }}} \right)$
B.2.2 θ = 0 est une position d’équilibre si $\alpha = Arc\cos \left( {\frac{{mg}}{{kd}}} \right)$. Dans ces conditions, le théorème du moment cinétique en O donne : $m\left( {{\ell ^2} + \frac{{{R^2}}}{2}} \right)\ddot \theta = - k\ell \sin \alpha \sin \theta = - mg\ell \tan \alpha \sin \theta$.
En linéarisant en θ, on obtient une équation d’oscillateur harmonique de période :
$T = 2\pi \sqrt {\frac{{{\ell ^2} + \frac{{{R^2}}}{2}}}{{\ell g\tan \alpha }}}$
Numériquement, on obtient pour T = 10 s un angle α = 0,47° .
B.2.3 Si maintenant le disque tourne librement en A, il se comporte exactement comme un point matériel, car les forces qu’il exerce sur la tige ont un moment nul en A. On obtient donc la nouvelle période T’ en faisant R=0 dans l’expression de T :
$T' = 2\pi \sqrt {\frac{\ell }{{g\tan \alpha }}} = \frac{T}{{\sqrt {1 + \frac{{{R^2}}}{{2{\ell ^2}}}} }}9,85s$

B.3 Enregistrement des mouvements sismiques.
B.3.1 Le flux coupé par le circuit dans un déplacement dz vaut : δφ_c = N 2πa B dz (pour une orientation vers le bas de la normale au circuit). Le travail de la force de Laplace est F_L dz = I δφ_c d’où F_L = 2πNaIB. On en déduit l’équation mécanique :
$m\ddot z + kz = m{\omega ^2}{Z_0}\cos \omega t + 2\pi NaIB$
D’autre part la force électromotrice induite vaut : $e = - \frac{{\delta {\phi _c}}}{{dt}} = - 2\pi NaB\dot z$, d’où l’équation électrique:
$\left( {R + {\mathop{\rm Re}\nolimits} } \right)I + L\frac{{dI}}{{dt}} = - 2\pi NaB\dot z$
B.3.2 En régime sinusoïdal, écrivons ces équations en notations complexes :
$\left( {k - m{\omega ^2}} \right)\bar z = m{\omega ^2}{Z_0}\exp \left( {i\omega t} \right) + 2\pi NaB\bar I$
$\left( {R + {R_e} + iL\omega } \right)\bar I = - 2\pi NaBi\omega \bar z$
En éliminant la grandeur électrique I, il vient : $\bar z = \frac{{m{\omega ^2}{Z_0}\exp \left( {i\omega t} \right)}}{{k - m{\omega ^2} + \frac{{{{\left( {2\pi NaB} \right)}^2}i\omega }}{{R + {R_e} + iL\omega }}}}$. Si Lω<<R alors :
$\bar z = \frac{{m{\omega ^2}{Z_0}\exp \left( {i\omega t} \right)}}{{k - m{\omega ^2} + \frac{{{{\left( {2\pi NaB} \right)}^2}i\omega }}{{R + {R_e}}}}}{\rm{ et }}\bar I = - \frac{{2\pi NaBi\omega \bar z}}{{R + {R_e}}}$
On voit qu’au niveau mécanique, on a un phénomène de type frottement fluide avec un coefficient :
$\frac{{{{\left( {2\pi NaB} \right)}^2}}}{{R + {R_e}}}$
Si ce frottement est assez petit (il suffit que la résistance de charge R_e soit assez grande), et si la condition $\sqrt {\frac{k}{m}} < < \omega$ est respectée, alors z ≅ -Z et $\bar I \cong \frac{{2\pi NaBi\omega \bar Z}}{{R + {R_e}}}$. La différence de potentiel aux bornes de Re est alors proportionnelle à la dérivée de Z : on va utiliser un montage intégrateur pour détecter l’amplitude des mouvements du sol.

B.3.3 Le montage proposé est un "ampli. inverseur" auquel on a ajouté un condensateur en dérivation sur R₂. La fonction de transfert est donc :
$\bar H = - \frac{{{R_2}//\frac{1}{{iC\omega }}}}{{{R_1}}} = - \frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}\left( {\frac{1}{{1 + i{R_2}C\omega }}} \right)$
Il s'agit d'un filtre passe-bas du 1^er ordre, dont la pulsation de coupure à -3dB est $\omega _c^{'} = \frac{1}{{{R_2}C}}$.
Si ω<<ω’_c on a un fonctionnement en ampli. inverseur de gain -R₂/R₁.
Si ω>>ω’_c on a un fonctionnement en intégrateur (pente -20dB/décade).
B.3.4 On a vu précédemment que c'est justement ce que l'on souhaite : on choisit donc ${R_2}C > > \frac{1}{\omega }$. D'autre part, R₁ est la résistance d'entrée de l'intégrateur, et joue le rôle de la résistance de charge R_e. Elle doit être assez grande pour que l'amortissement mécanique ne perturbe pas le fonctionnement : en fait, il faut imposer${R_1} > > \frac{{{{\left( {2\pi NaB} \right)}^2}}}{{m\omega }}$.

Partie C : Frottement solide
C.1 Question de cours.
C.2.1 Le ressort modélise l’élasticité de la plaque mobile.
C.2.2 La force exercée par le ressort sur M est (en projection sur x) F = - k(x-$\ell$₀-ut) . Au départ x=$\ell$₀ , la force est nulle et M ne commence à bouger que lorsque cette force atteint f₀Mg c’est à dire à la date t₀ = f₀Mg/ku. (On suppose bien entendu que le support n’est pas auparavant venu en contact avec M ce qui se traduit par ut₀<$\ell$₀ c’est à dire f₀Mg<k$\ell$₀ ). On est alors au point A (Figures C1 et C1 bis). Ensuite, M glisse et l’équation de son mouvement est $M\frac{{{d^2}x}}{{d{t^2}}} = - fMg - k(x - {\ell _0} - ut)$ tant qu’il y a glissement vers la droite. On peut introduire la variable X = x-$\ell$₀-ut qui représente l’allongement du ressort et qui vérifie l’équation $M\frac{{{d^2}X}}{{d{t^2}}} = - fMg - kX$ dont la solution est de la forme $X = - \frac{{fMg}}{k} + A\cos \left( {\omega t + \varphi } \right)$ (avec $\omega = \sqrt{k}{M}$ et les conditions initiales ( à t=t₀ ) $X = - \frac{{{f_0}Mg}}{k}\;\;{\rm{et}}\;\;\frac{{dX}}{{dt}} = - u$). X oscille donc autour d’une valeur moyenne -fMg/k (voir la figure C1). Le glissement cesse éventuellement la première fois où dX/dt reprend la valeur -u c’est à dire au point C symétrique de A par rapport à B. Alors (puisque 0<f<f₀) la figure permet de montrer que X est compris entre $- \frac{{{f_0}Mg}}{k}\;\;{\rm{et}}\;\; + \frac{{{f_0}Mg}}{k}$ et donc la force du ressort est insuffisante pour faire reprendre le glissement. M reste donc immobile jusqu’à ce que l’allongement revienne à $- \frac{{{f_0}Mg}}{k}\;$c’est à dire pendant une durée $2\frac{{\left( {{f_0} - f} \right)Mg}}{{ku}}$ (partie des figures entre les points C et A’). On est alors (en A’) dans le même état qu’à l’instant t₀ (en A) et le glissement reprend ainsi périodiquement.
C.2.3 Si k est infini, le ressort se comporte comme une barre rigide qui pousse M. x = $\ell$₀ + ut.
Si f=f₀ , les points C et A’ sont confondus et le glissement se réamorce dès que la vitesse de glissement devient nulle. Le glissement est donc permanent pour t>t₀ et on trouve :
$x = {\ell _0} + \frac{u}{\omega }\left[ {\omega (t - {t_0}) - \sin (\omega (t - {t_0}))} \right]$
C’était la différence entre f et f₀ qui était responsable des périodes d’immobilité au C.2.2.

C.3.1 Lorsque les systèmes sont rigides, le soulèvement du système 2 doit se traduire par une barrière (ce qui élimine le cas A) de potentiel dont le sommet est situé en x = 0 (ce qui élimine les cas C et D) . La forme B convient alors.
Le mouvement du système 2 selon x sera alors analogue à celui d’un point se déplaçant sur l’axe x sous l’action d’une force ${F_{pi}} = - \frac{{d{E_{pi}}}}{{dx}}$.
Remarque (utile pour la question C.3.3) : cette force a donc la forme D.
C.3.2 E_pt(x,X) = E_pi(x+X) + E_pe(X) = E_pi(x+X) + 1/2 kX²
C.3.3 La valeur d’équilibre X_e correspond à un extremum (à x fixé) de E_pt(x,X) et correspond donc à une racine de l’équation $\frac{{d{E_{pi}}}}{{dx}}(x + {X_e}) + \frac{{d{E_{pe}}}}{{dX}}({X_e}) = 0$ d’où $- \frac{{d{E_{pi}}}}{{dx}}({X_e} - ( - x)) = k{X_e}$. Il suffit donc graphiquement (en portant X_e en abscisse) de trouver l’intersection d’une courbe de la forme D décalée de -x avec la droite de pente k passant par l’origine (voir par exemple la figure C3). On voit donc que si k est grand (figure C2) il n’y a qu’une seule solution quel que soit x alors que si k est petit, il peut y avoir 3 solutions si |x| n’est pas trop grand (figure C3) et une si |x| est assez grand (figure C4). La valeur critique de k est la pente à l’origine de la courbe F_pi(x) .
L’énergie potentielle totale présente une branche parabolique pour X grand. Donc lorsqu’il y a trois solutions, la position d’équilibre moyenne correspond à un maximum (instable donc) encadré par deux minima (stables donc) (Figure C3 bis). Lorsqu’il n’y a qu’un extremum, c’est un minimum (stable). (Figures C2 bis et C4 bis)
La résolution graphique permet de tracer point par point la courbe X_e(x) (Figures C2 ter et C5) et u(x)=x+X_e(x) (Figures C2 quater et C5 bis).
La figure C5 met en évidence un phénomène d’hystérésis : Si on fait varier x entre des valeurs assez grandes en valeur absolue, X_e(x) dépend du sens de déplacement quand x passe au voisinage de 0.
C.3.4 L’énergie potentielle effective décrivant en fonction de x l’interaction entre les deux systèmes est alors ${E_{p\;eff}}(x) = {E_{pi}}(x + {X_e}(x)) + \frac{1}{2}k{\left( {{X_e}(x)} \right)^2}$ . La force qu’un opérateur doit exercer pour maintenir le système 2 immobile est donc $\frac{d}{{dx}}\left( {{E_{p\;eff}}(x)} \right) = \left( {1 + \frac{{d{X_e}}}{{dx}}} \right)\;\left( {\frac{{d{E_{pi}}}}{{dx}}} \right)(x + {X_e}(x)) + k{X_e}\frac{{d{X_e}}}{{dx}}$ . Mais, l’équation du C.3.3 permet de remplacer dE_pi/dx par -kX_e . On trouve alors que la force de l’opérateur vaut ${F_{op}} = - k{X_e}$ . Ce résultat très simple peut d’ailleurs se démontrer directement en utilisant les forces et en regardant les conditions d’équilibre de chacune des sous parties du système 2 (en particulier de sa pointe). Les figures C2 ter et C5 représentent donc (à un facteur -k près) cette force et montrent le phénomène d’hystérésis déjà mentionné au C.3.3.
La force est représentée avec le bon signe sur la figure C5 ter.

C.3.5 L’opérateur doit alors fournir un travail ${W_{op}} = \int { - k{X_e}(x)dx}$ qui correspond à l’aire sous la courbe de la figure C5 ter Ce travail est positif quel que soit le sens de variation de x. En effet quand x croit de - ∞ à + ∞ on emprunte le trajet ABCEF et le travail est représenté par l’aire hachurée (les parties AB et EF se compensant). De même, si x décroît, on décrit le trajet FEDBA et le travail (aire entre DE et l’axe Ox) est identique au précédent. De plus ce travail est indépendant de la vitesse de déplacement. On peut alors comprendre qu’en modélisant les surfaces de contact par une multitude de pointes analogues à celle qui vient d’être étudiée, on puisse décrire la dissipation irréversible associée au frottement de glissement entre des solides.
Annexe : Copie d’une feuille de calcul Maple permettant d’engendrer les figures C2 à C5.
Il est possible de transférer en bloc les lignes suivantes dans une feuille de calcule Maple par un simple copier-coller entre ce fichier Word et Maple. Elles sont alors directement exécutables.
with(plots): opt := xtickmarks=0,ytickmarks=0; opt2 := opt,grid=[75,75]:
Epi := x->1/2/(1+x^2);dEpi:= D(Epi);
Epe := X->k*X^2/2;dEpe := D(Epe);
Ept := X->Epi(x+X)+Epe(X);
# Figures C2
k:=1.2: x:=0.5: plot({-dEpi(x+X),dEpe(X)},X=-3..3,-0.5..0.5,opt); plot(Ept,-3..3,opt,title=`Ept(X) à x fixé`);
implicitplot(dEpi(x1+Xe)+dEpe(Xe),x1=-3..3,Xe=-3..3,opt2,title=`Xe(x)`);
implicitplot(dEpi(u)+dEpe(u-x1),x1=-3..3,u=-3..3,opt2,title=`u(x)`);
# Figures C3 et C5
k:=0.2: x:=0.5: plot({-dEpi(x+X),dEpe(X)},X=-3..3,-0.5..0.5,opt); plot(Ept,-3..3,opt,title=`Ept(X) à x fixé`);
implicitplot(dEpi(x1+Xe)+dEpe(Xe),x1=-3..3,Xe=-3..3,opt2,title=`Xe(x)`);
implicitplot(dEpi(u)+dEpe(u-x1),x1=-3..3,u=-3..3,opt2,title=`u(x)`);
implicitplot(dEpi(x1-Xe)+dEpe(-Xe),x1=-3..3,Xe=-3..3,opt2,title=`Fop(x)`);
# Figures C4
k:=0.2: x:=1.5: plot({-dEpi(x+X),dEpe(X)},X=-3..3,-0.5..0.5,opt); plot(Ept,-3..3,opt,title=`Ept(X) à x fixé`);

Concours Physique ENS de Lyon et Cachan M' 1996 (Énoncé)

COMPOSITION DE PHYSIQUE
(Epreuve commune aux ENS de Lyon et Cachan)
Durée : 4 heures
_______
Ce problème vous propose d'étudier quelques aspects d'une technique utilisée en géophysique : la sismologie. Dans trois parties largement indépendantes, vous étudierez les ondes longitudinales dans le sol, les détecteurs sismiques et enfin une modélisation simple de la source de ces ondes.
Les questions qualitatives ne demandent pas de longs développements mais la présentation de quelques idées physiques essentielles.

Partie A : Ondes longitudinales
On choisit une modélisation unidimensionnelle du milieu élastique que constitue le sol. Il est décrit par une chaîne infinie de points matériels tous identiques de masse m, repérés par un indice p et reliés par des ressorts de même raideur k (Figure 1).

figure 1
On considère que seules les forces élastiques interviennent et que les mouvements se font uniquement suivant l'axe x. Au repos toutes les masses sont distantes de a ; on note x_p le déplacement de la masse d'indice p par rapport à sa position d'équilibre.
A.1 Déterminer l'équation différentielle donnant accès au mouvement de la masse d'indice p .
A.2 On recherche les solutions sous la forme d'ondes: x_p = X_ocos (Kpa- ωt) avec ω réel.
Etablir une relation entre ω et K ; tracer la courbe donnant ω en fonction de K.
A.3 Comment peut-on interpréter les différentes valeurs de K associées à une valeur donnée de ω, on s'intéressera à la parité et à la périodicité des valeurs de K ?
Dans ces conditions peut-on restreindre le domaine de définition de K ?
Déterminer les vitesses de phase et de groupe des ondes longitudinales ; le milieu est-il dispersif ?
A.4 Montrer que la chaîne peut être considérée comme un filtre dont on donnera la nature et la pulsation de coupure ω_c .
A.5 Dans le cas ω > ω_c , sous quelle nouvelle forme peut-on chercher x_p ?
A.5.1 Expliquer qualitativement et sans calculs ce qui se passe.
A.5.2 Déterminer explicitement la forme de x_p.
A.6 On s'intéresse maintenant au domaine K faible .
A.6.1 Par quelle inégalité entre grandeurs physiques peut-on définir K faible?
A.6.2 Que devient la relation liant K à ω ?
A.6.3 Que deviennent les vitesses de phase et de groupe, le milieu est-il dispersif ?
Quel type d'ondes, plus connu, a-t-on trouvé ici ?
A.7 Le modèle précédent peut-il être utilisé pour décrire les vibrations longitudinales d'un réseau cristallin unidimensionnel ? Que modélisent alors les masses et les ressorts ? Dans un cristal quelles sont les forces en jeu à l'échelle microscopique ? Les forces élastiques en constituent-elles une modélisation acceptable ?
A.8 Des études de géophysique sur la propagation des ondes sismiques longitudinales dans le sol terrestre donnent les résultats suivants (Figure 2) pour la vitesse de propagation en fonction de la profondeur. Les fréquences observées étant de l'ordre de 1 à 10 Hz.

figure 2
Que représentent les discontinuités de vitesse, que peut-on en déduire quant à la structure du globe terrestre ?

Partie B : Etude du sismographe
Dans toute cette partie, la surface du sol sera considérée comme plane.
Le sismographe est un appareil destiné à enregistrer les vibra­tions du sol sous l'action d'un séisme . Nous envisageons un mouvement du sol décrit par une vibration verticale :
Z_s = Z_ocosωt ,
par rap­port à un niveau de référence Z = 0 dans un référentiel galiléen.

B.1 Le sismographe est constitué d'un support rigide de hauteur h auquel on suspend une masse m par l'intermédiaire d'un ressort sans masse, de raideur k. Le ressort prend alors une longueur ₁. (Figure 3). La masse a un mouvement vertical amorti par un frottement fluide, le coefficient de frot­tement est noté λ.
B.1.1 Déterminer l'équation différentielle donnant le mouvement de la masse m, repérée par la cote z(t).
B.1.2 Déterminer l'amplitude A du mouvement de la masse m en régime forcé et tracer la courbe donnant A/ Z_o en fonction de ω dans le cas où le coefficient d'amortissement vérifie : λ²< 2km .
B.1.3 L'utilisateur souhaite observer un mouvement dont l'amplitude soit, dans la me­sure du possible, égale à l'amplitude du mouvement du sol. Comment doit-il choisir m et k, la pul­sation ω étant fixée ? Justifier ce résultat physiquement.
Les fréquences de vibrations enregistrées étant dans la gamme de 1 à 10 Hz , quelle relation sur m et k obtient-on ? Que dire, à l'équilibre, de l'allongement du ressort soumis au seul poids de la masse m ?
B.2 Suspension de La Coste .
On définit un trièdre direct Oxyz. Dans le plan Oyz, on définit un axe Oz' tel que l'angle (Oz,Oz') = α soit constant. P est un point fixe de Oz' , on note OP = d. Dans le plan Oyz, une tige OA de longueur l, de masse négligeable peut tourner sans frottement autour de Ox. En A est fixé un disque homogène de masse m et de rayon R.

Un ressort sans masse, de raideur k, de longueur à vide nulle et assujetti à rester rectiligne relie le point P au point A (Figure 4).
B.2.1 Déterminer les valeurs de θ à l'équilibre du système ; on envisagera les deux possibilités:
α = 0 et α ≠ 0.
On se limite au domaine : θ∈ [-π /2 ; π /2- α ]
B.2.2 A quelle condition la position θ = 0 est-elle une position d'équilibre ?
Dans ce cas, quelle est la période des petites oscillations autour de θ = 0 ? Quelle valeur de α doit-on choisir pour avoir une période de 10s en prenant :
l = 20 cm ; R = 5 cm et g = 10m.s^-2 ?
B.2.3 On envisage le cas où le disque est libre de tourner autour de l'axe Ax sans frottement. La période du mouvement est-elle changée, quelle est sa valeur ?

B.3 Enregistrement des mouvements sismiques.
On revient au sismographe décrit au début de cette partie, soumis à la même vibration du sol :
Z_s = Z_ocosω t,
en négligeant le frottement fluide d'origine mécanique de coefficient λ. On suspend à la masse m une bobine de N spires circulaires de rayon a, de masse négligeable, de résistance électrique R et de coefficient d'auto-inductance L. Les extrémités du fil constituant la bobine sont re­liées aux points C et D par des fils infiniment souples et sans influence électrique ou mécanique.

La bobine mobile reste toute entière dans l'entrefer d'un aimant d'axe de symétrie Δ créant au niveau des spires un champ magnétique radial de module B constant (Figure 5).
B.3.1 Les bornes C et D de la bobine étant connectées à une résistance extérieure R_e, quelles sont les équations donnant le mouvement de la masse m et le courant I dans la bobine ?
B.3.2 Rechercher les solutions de ces équations en régime forcé à la pulsation ω. Simplifier le résultat en supposant Lω << R .
Au niveau mécanique a-t-on un phénomène du type frottement fluide ? On précisera le coef­ficient de frottement correspondant .
Peut-on dire que la tension V_s(t) entre les bornes C et D est proportionnelle à la vibration du sol Z_s(t) ? Quelle opération doit-on faire subir au signal électrique pour détecter l'amplitude du mouve­ment du sol ?

B.3.3 On propose une variante du montage électrique ( Figure 6).
Déterminer la fonction de transfert de ce montage ; l'amplificateur opérationnel étant supposé idéal et fonctionnant en régime linéaire .
Quelle est l'allure du diagramme de Bode de ce montage ?
Quelles sont les fonctions réalisées par ce montage à basse et à haute fréquence ? On précisera les notions de basse et haute fréquence.
B.3.4 On introduit ce montage à la place de R_e : C (respectivement D) est connecté en C' '(respectivement D').
Afin d'obtenir une tension V₂ proportionnelle à l'amplitude du mouvement du sol comment doit-on choisir les valeurs caractéristiques des éléments du circuit ?

Partie C: Frottement solide .
C.1 Rappeler les lois de Coulomb du frottement de glissement .
C.2 Les tremblements de terre peuvent apparaître lors du glissement de deux plaques tectoniques. On modélise l'une des plaques par un plan solide fixe π, l'autre plaque est modélisée par un ensemble constitué d'une masse M reliée par un ressort de raideur k et de longueur à vide ₀ à un support S mobile à la vitesse u constante suivant l'axe x (Figure 7). Le contact entre la masse M et le plan fixe peut être caractérisé par un coefficient de frottement de glissement statique (respectivement dynamique) f_o (respectivement f) avec f < f_o.

figure 7
C.2.1 Quelle propriété de la plaque mobile est modélisée par le ressort ?
C.2.2 Quel est le mouvement x(t) de la masse M en supposant qu'à la date t = 0, l'abscisse du support S est nulle, la masse M est à l'abscisse _o avec une vitesse nulle. On représentera x en fonction du temps t .
C.2.3 Que se passe-t-il dans les deux cas limites suivants :
k → ∞
f = f_o
Interpréter les résultats obtenus.
figure 8
C.3 Essai de modélisation microscopique.

A l'échelle microscopique, les surfaces ne sont pas planes, on envisage le contact de deux systèmes représentés chacun par une plaque solide et une "pointe" (Figure 8) . Le système 1 est fixe et lors de son déplacement, le système 2 se soulève légèrement pour que la pointe 2 passe au dessus de la pointe 1.
L'interaction des deux pointes est caractérisée par une énergie potentielle d'interaction E_pi, fonction de la distance entre les sommets S₁ et S₂ des deux pointes.
C.3.1 Dans cette question, on suppose les deux systèmes parfaitement rigides, leurs positions relatives étant repérées par la variable x, on choisit x = 0 lorsque les sommets S₁ et S₂ des deux pointes sont face à face.

figure 9
Parmi les formes d'énergies potentielles proposées (figure 9) laquelle vous semble convenir ? Pourquoi ?
Comment est reliée la force exercée par le système 1 sur le système 2 à cette énergie potentielle ?
C.3.2 On doit introduire un effet supplémentaire : lors de leur interaction, les systèmes 1 et 2 peuvent subir une légère déformation.
Pour simplifier, on considère encore le système 1 comme parfaitement rigide, le sommet S₁ de la pointe 1 reste en x = 0.

La plaque 2 étant repérée par x, la pointe S₂ se déplace de X suivant l'axe des x par rapport à la plaque 2, le sommet S₂ venant à l'abscisse X+x. (Figure 10). La forme de la fonction E_pi est supposée inchangée.
L'énergie potentielle associée à cette déformation interne au système 2 se met sous la forme :
E_pe = 1/2(kX²) .
Quelle est alors l'énergie potentielle totale du système notée E_pt en fonction de E_pi , de E_pe et des variables x et X ?

C.3.3 Pour une position x donnée de la plaque 2 par rapport à la plaque 1, déterminer graphiquement X_e correspondant à l'équilibre des deux pointes (on pourra introduire la variable u = x + X ). Montrer qu'on aboutit à deux situations donnant une ou trois solutions pour X_e suivant les valeurs de certains paramètres .
Discuter qualitativement la stabilité des solutions obtenues dans les deux situations .
Tracer l'allure des courbes donnant u à l'équilibre en fonction du paramètre x dans les deux situations mises en évidence précédemment .
C.3.4 Quelle force doit-on exercer sur le système 2 pour le maintenir immobile, le système 1 étant toujours fixe ? On exprimera cette force en fonction de E_pi et de ses dérivées. Tracer les variations de cette force en fonction de x dans les différentes situations mises en évidence.
Quel phénomène voit-on apparaître dans l'une d'elles ?
C.3.5 Le système 2 est mis en mouvement par rapport au système 1, la variable x varie lentement de - ∞ à + ∞.
Montrer que le travail de la force de contact entre les deux solides correspond à une aire sur l'un des graphes qui ont été tracés .
Montrer que dans l'une des situations envisagées, on peut justifier l'existence d'un frottement de glissement .

Concours Physique ENS Lyon, Ulm et Cachan (bio) 1996 (Énoncé)

COMPOSITION DE PHYSIQUE
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(Epreuve commune aux ENS Lyon,Ulm et Cachan)
Durée : 4 heures
Ce problème porte sur quelques aspects de la combustion et du fonctionnement des moteurs à explosion. Les deux parties peuvent être résolues indépendamment.
Dans tout le problème, tous les gaz, réactifs et produits de réaction, sont supposés parfaits et les mélanges idéaux. On note γ = C_P/C_V le rapport des capacités calorifiques molaires à pression et à volume constant, dont on négligera la dépendance en température. On note R la constante des gaz parfaits, R = 8,31 J K^–1mol^–1 . On rappelle que l'air est composé à 80% de diazote et à 20% de dioxygène.

Partie A
Dans un moteur à quatre temps, on décompose schématiquement le déroulement du cycle de la manière suivante (cf. fig 1) :
– AB : admission du mélange gazeux air-essence à température ambiante (T_A = 300 K) sous pression atmosphérique
– BC : compression du mélange
– CD : en C, une étincelle provoque l'explosion, qui est suivie par une compression isochore
– DE : détente
– EB : l'ouverture de la soupape d'échappement détend le mélange jusqu'à la pression atmosphérique
– BA : les gaz brûlés sont évacués.
La compression BC et la détente DE sont suffisamment rapides pour qu'on puisse négliger les échanges thermiques du gaz avec les parois. On suppose que température et pression sont homogènes.

A.1. En première approximation, on considère que la nature et la quantité de gaz ne changent pas au cours du cycle.
A.1.a. Justifier cette hypothèse sachant que le mélange air-combustible (alcane de formule brute C₇H₁₆) est injecté dans les proportions stœchiométriques.
A.1.b. Lors de quelle partie du cycle le gaz reçoit-il de la chaleur ? Exprimer la chaleur Q_ch reçue de la source chaude ainsi que le travail W reçu par le gaz lors d'un cycle en fonction des températures T_B, T_C, T_D et T_E.
A.1.c. Exprimer le rendement du moteur η = –W/Q_ch en fonction de γ et du taux de compression α_v = V_B/V_C.
Application numérique : α_v = 8 et γ = 1,4.
A.2.
A.2.a. Dans le cadre des hypothèses précédentes, déterminer la température T_C atteinte juste avant l'explosion.
A.2.b. On trouve dans les tables que l'enthalpie de combustion d'une mole de C₇H₁₆ vaut ∆H_r(T₀) = – 4730 Kj mol^-1 à T₀ = 300K et sous pression atmosphérique.
∆H_r dépend-elle de la pression ?
Déterminer ∆H_r(T_C) en fonction de ∆H_r(T₀) et des capacités calorifiques des produits de réaction et des réactifs.
Application numérique :

Gaz	O2	CO2	C7H16	H2O	N2
CP (J K–1 mol–1 )	36	57	270	44,5	33,8

A.2.c. Montrer que la variation d'énergie interne ∆U_r(T) lors de la combustion est donnée par : ∆U_r(T) = ∆H_r(T) – ∆n RT, où ∆n est la différence entre la somme des coefficients stoéchiométriques des produits et la somme des coefficients stoéchiométriques des réactifs.
En définitive, que pensez-vous de la différence ∆U_r(T_C) – ∆H_r(T₀) ?
A.2.d. Démontrer la relation de Mayer : C_P – C_V = R pour une mole de gaz parfait.
A.2.e. Faire un bilan des quantités de chaleurs mises en jeu lors de la phase CD et en déduire la température finale T_D. On supposera que les échanges thermiques avec les parois sont négligeables.
Application numérique : voir A.2.b.
A.2.f. En réalité, la température T_D est proche de 1600 K, notablement plus basse que la valeur obtenue au A.2.e. Proposez des explications à ce désaccord.
A.3.a. On considère un moteur fonctionnant dans les conditions précédentes (T_D = 1600 K). En négligeant toujours les échanges thermiques du gaz avec les parois lors des phases de compression et de détente, calculer la puissance délivrée s'il tourne à 4000 tours par minute et si sa cylindrée est deux litres (i. e. le volume de gaz frais admis à chaque tour est deux litres ) ?
A.3.b. Quel serait le rendement d'un moteur idéal dont le mélange gazeux suivrait un cycle de Carnot entre les températures extrêmes atteintes lors d'un cycle réel ? Commenter.

Partie B
Dans un mélange réactif métastable, la combustion s'opère via la propagation d'un front de flamme qui sépare le milieu initial (gaz frais) du milieu final composé des gaz brûlés. On s'intéresse dans cette partie à la structure du front de flamme. On se propose en particulier de déterminer la structure du champ de température à l'intérieur de la flamme ainsi que la vitesse de propagation de celle-ci.
On se place dans un cas où le nombre total de moles est conservé. On note symboliquement la réaction : A + O → 2 P, où A désigne le combustible.
On se place également dans une géométrie simple : la réaction a lieu dans un tube calorifugé de section S et on se limite à un front plan, si bien que la seule variable d'espace est la direction de propagation (cf fig. 2.a). Avant réaction, les gaz sont à la température T_f et au repos dans le référentiel du laboratoire. On suppose que la structure de la flamme est stationnaire. On considère la pression P, la capacité thermique c_P par unité de masse ainsi que la conductivité thermique K constantes, uniformes et indépendantes de la température.

On note T la température, v la vitesse du gaz, ρ la masse volumique totale et ρ_A la masse volumique de l'espèce A. Ces quatre quantités sont fonctions de x. Pour mesurer la quantité de A, on utilise aussi X_A = ρ_A/ρ. On se placera dans le référentiel qui se déplace avec la flamme, dans lequel v(x), ρ(x), ρ_A(x) et T(x) sont indépendantes du temps.
B.1. Bilan de masse pour l'espèce A.
B.1.a. On note Φ^conv le flux de masse de combustible convecté, c'est à dire dû au mouvement d'ensemble du fluide. Exprimer Φ^conv en fonction de S, v et ρ_A.
B.1.b. On rappelle que le flux de masse Φ^dif dû à la diffusion est donné par la loi de Fick:
${\Phi ^{dif}} = - DS\rho \frac{{d{X_A}}}{{dx}}$, où D est la diffusivité de A.
En déduire l'expression de Φ, flux total de masse de combustible.
B.1.c. Du fait de la combustion, la quantité de combustible diminue. On note σ_A le taux de consommation de A par unité de volume : σ_ASdxdt est la masse de A consommée dans le volume Sdx pendant le temps dt.
Ecrire le bilan de masse pour l'espèce A.
B.1.d. Montrer que la somme pour toutes les espèces des flux de masse d'origine diffusive est nulle ; on supposera que la diffusivité D est la même pour toute les espèces.
B.1.e. En utilisant la conservation de la masse, montrer que la quantité ρv est uniforme.
B.1.f. On note ρ_fU la constante ρv, où ρ_f est la masse volumique des gaz frais loin de la flamme.
Montrer que U représente la norme de la vitesse de la flamme par rapport aux gaz frais.
Montrer que le bilan de masse pour l'espèce A se met en définitive sous la forme :
${\rho _f}U\frac{{d{X_A}}}{{dx}} - \frac{d}{{dx}}\left[ {\rho D\frac{{d{X_A}}}{{dx}}} \right] = - {\sigma _A}$ (1)

B.2.Bilan de chaleur.
On note Q la valeur absolue de la quantité de chaleur dégagée par la combustion d'une mole de gaz A.
B.2.a. Montrer que Q ne dépend pas du mode de réaction, et est indépendante de la température des gaz frais.
B.2.b. On note σ_Q le taux de production de chaleur par unité de volume. Exprimer σ_Q en fonction de Q, de σ_A et de la masse molaire M_A de A.
B.2.c En vous inspirant de la question B.1, justifier qualitativement la forme du bilan de chaleur :
${\rho _f}U\frac{d}{{dx}}\left[ {{c_p}T} \right] - \frac{d}{{dx}}\left[ {K\frac{{dT}}{{dx}}} \right] = {\sigma _Q}.\rho$ (2)
B.3. Bilan d'enthalpie.
B.3.a. Montrer que l'enthalpie par unité de masse s'écrit, à une constante additive près :
$h = {c_p}T + \frac{Q}{{{M_A}}}{X_A}$.
B.3.b. A l'aide du bilan de masse et du bilan de chaleur, déterminer le bilan d'enthalpie.
B.3.c. En intégrant cette équation entre x = – ∞ et x = +∞, montrer que l'enthalpie des gaz frais a même valeur que celle des gaz brûlés.
En déduire T_b en fonction de T_f, M_A, Q, c_P, et de la valeur X_f de X_A dans les gaz frais.
B.3.d. On se place dorénavant dans l'hypothèse où les coefficients de diffusion de la chaleur et de A sont égaux : K = ρ c_P D.
Déterminer l'équation régissant le bilan de h dans ce cas, et montrer que h = Constante en est solution. On admettra que c'est la seule solution physique.
B.3.e. On définit la concentration massique réduite χ et la température réduite θ par :
χ = X_A / X_f
θ = (T – T_f)/(T_b – T_f)
Montrer que : χ = 1 – θ. Quelles sont les valeurs que peut prendre θ ? En définitive, quelle simplification considérable permet l'hypothèse de la question B.3.d ?
B.4. Structure de flamme.
B.4.a. Montrer que le bilan de chaleur se met sous la forme :
$U\frac{{d\theta }}{{dx}} - {D_0}\frac{{{d^2}\theta }}{{d{x^2}}} = \omega \left( \theta \right)$ (3)
Donner l'expression de la constante D₀, exprimer ω(θ) en fonction de σ_A, X_f et ρ_f. Quelle est la dimension de ω(θ) ?
B.4.b. Pour résoudre l'équation (3), on modélise ω(θ) par une fonction simple :
0 ≤ θ < 1 – ε : ω(θ) = 0
1 – ε ≤ θ < 1 : ω(θ) = ω₀/ε
θ = 1 : ω(1) = 0
Le taux de consommation σ_A n'est autre que la vitesse de réaction ; quelle est la signification physique de la forme choisie pour ω(θ) ?
Dans la suite, on fixe l'origine O de l'axe Ox au point où θ = 1 – ε, et on note δ l'abscisse du point où θ devient égal à 1. Si on considère alors ω comme une fonction de x, ω(x) a l'allure suivante :

On note d = D₀/U et λ = U/ω₀.
B.4.c. Résoudre l'équation (3) dans le domaine – ∞ < x < 0 et déterminer complètement θ(x) dans ce domaine en utilisant les valeurs de θ aux limites.
B.4.d. Répondre à la même question pour le domaine δ < x < +∞.
B.4.e. Trouver la solution générale de l'équation (3) pour 0 < x < δ. En utilisant les conditions de raccordement pour θ(x) en x = δ, montrer que :
$\theta \left( x \right) = 1 + \frac{{x - \delta }}{{\lambda \varepsilon }} + \frac{d}{{\lambda \varepsilon }}\left[ {1 - {e^{\left( {\frac{{x - \delta }}{d}} \right)}}} \right]$
B.4.f. En utilisant les conditions de raccordement en x = 0, montrer que :
δ = λε
$1 - \varepsilon = \frac{d}{{\lambda \varepsilon }}\left[ {1 - {e^{\left( { - \frac{{\lambda \varepsilon }}{d}} \right)}}} \right]$ (4)

B.5. En pratique, le paramètre ε est petit devant 1.
B.5.a. Dans cette approximation, montrer que λ = 2 d.
Représenter l'allure de la température réduite θ et du taux de réaction ω en fonction de x/d. Indiquer la zone de préchauffage et la zone de réaction.
B.5.b. Pourquoi appelle-t-on d épaisseur de flamme ?
Exprimer 1/ω₀ en fonction de d et U. Pourquoi 1/ω₀ est-il appelé temps de transit ?
Dans des conditions usuelles (T_b ≈ 2000 K), pour un hydrocarbure tel que le butane, ω₀ est de l'ordre de 10⁴ Hz et D₀ vaut 10^–5 m²s^–1. Calculer la vitesse de flamme U.
B.6. Pour le type de combustion étudié, la vitesse de flamme est donc fixée par le coefficient de diffusion et le taux de réaction. La combustion qui se produit dans un moteur (phase C→D de la fig. 1) peut-elle rentrer dans cette catégorie ?

Concours Physique ENS Cachan 1996 (Corrigé)

ETUDE D’UN SPECTROSCOPE A PRISME
APPLICATION A UNE MESURE INTERFERENTIELLE D’INDICE
I.1.

Notations: $i=(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{N}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{u}}\,\ )$ ; $r=(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{N}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{u}_{1}}}}\,\ )$ ; $r'=(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{N'}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{u}_{1}}}}\,\ )$ ; $i'=(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{N'}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{u'}}\,\ )$ ; $D=(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{u'}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{u}}\,\ )$ et A = ($\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{N}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{N'}}\,$)
A = ($\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{N}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{N'}}\,$) = $(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{N}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{u}_{1}}}}\,\ )$ +$(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{u}_{1}}}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{N'}}\,\ )$ = r - r’
I.2. D = $(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{u'}}\,,\ \ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{N'}}\,)$ + $(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{N'}}\,,\ \ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{N}}\,)$ + $(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{N}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{u}}\,)$ = - i’ - A + i ⇒ D = i - i’ - A

II. Notations : $i=(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{N}_{1}}}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{u}}\,\ )$ ; ${{r}_{1}}=(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{N}_{1}}}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{u}_{1}}}}\,\ )$ ; $r{{'}_{1}}=(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{N}_{2}}}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{u}_{1}}}}\,\ )$ ; ${{r}_{2}}=(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{N}_{2}}}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{u}_{2}}}}\,\ )$ ; $r{{'}_{2}}=(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{N}_{3}}}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{u}_{2}}}}\,\ )$ ; ${{r}_{3}}=(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{N}_{3}}}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{u}_{3}}}}\,\ )$ ; $r{{'}_{3}}=(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{N}_{4}}}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{u}_{3}}}}\,\ )$ et $i'=(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{N}_{4}}}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{u}_{4}}}}\,\ )$. De plus : A₀ = $(\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{N}_{3}}}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{N}_{2}}}}\,)$ et $A = \frac{\pi }{2} =$ $(\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{N}_{1}}}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{N}_{2}}}}\,)$ = $(\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{N}_{3}}}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{N}_{4}}}}\,)$

II.1. $D=(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{u}_{4}}}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{u}}\,\ )$ = $(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{u}_{4}}}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{N}_{4}}}}\,\ )$ + $(\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{N}_{4}}}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{N}_{3}}}}\,)$ + $(\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{N}_{3}}}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{N}_{2}}}}\,)$ + $(\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{N}_{2}}}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{N}_{1}}}}\,)$ + $(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{N}_{1}}}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{u}_{{}}}}}\,\ )$
⇒ D = i - i’ + A₀ - π
Les « formules » du prisme sont: sin i = n sin r₁ ; n sin r’₁ = n₀ sin r₂ ; n₀ sin r’₂ = n sin r₃ et n sin r’₃ = sin i’.
r₁ - r’₁ = r₃ - r’₃ = π/2 ; r’₂ - r₂ = A₀ .

II.2.a.

II.2.b. Le schéma montre que i = $\frac{\alpha }{2} = \frac{{\pi \; - \;{A_0}}}{2}$ alors que D = 0 ⇒ i’ = - i et par conséquent : r₁ = -r’₃ ; r’₁ = - r₃ et r’₂ = - r₂ .
sin i = n sin r₁, compte tenu de i = $\frac{{\pi \; - \;{A_0}}}{2}$ devient cos A₀/2 = n sin r₁ (1)
n sin r’₁ = n₀ sin r₂ , compte tenu de r₁ - r’₁ = π/2 et de r’₂ - r₂ = A₀ avec r’₂ = - r₂ , devient : n cos r₁ = n₀ sin A₀/2 (2)
En faisant « (1)² + (2)² » , on trouve : ${\cos ^2}\;\;\frac{{{A_0}}}{2} = \frac{{n_0^2\; - \;\;{n^2}}}{{n_0^2\;\; - \;\;1}}$ ; L’application numérique donne A₀ = 122°
Remarque : en différenciant les « formules » du prisme dans le cas où D = 0, on montre facilement que cette valeur est un extrémum de D ( car alors di = di’ ⇒ dD = 0 pour A₀ constant ).
III.1.a. Calcul classique de la figure de diffraction à l’infini par une fente de largeur a. ( Principe d’Huygens- Fresnel).
L’amplitude complexe de la vibration élémentaire issue de « P » : dA = A₀ e ^{- j ϕ} L dx avec ϕ = $\frac{{2\pi \delta }}{{{\lambda _0}}}$ si on choisit comme origine des phases en M la phase de la vibration issue de « O » et si L est la longueur de la fente. $\delta = x\;\;\frac{{x'}}{{f'}}$ et on intègre sur x de - a/2 à + a/2.
On trouve: ${\rm{A}} = {{\rm{A}}_{\rm{0}}}\frac{{\sin \;\;\frac{{\pi x'{l_0}}}{{{\lambda _0}f'}}}}{{\frac{{\pi x'{l_0}}}{{{\lambda _0}f'}}}}\;{l_0}\;L$ ; l’éclairement est donc: E = K A A^* = K A₀² l₀² L²${\left( {\frac{{\sin \;\;\frac{{\pi x'{l_0}}}{{{\lambda _0}f'}}}}{{\frac{{\pi x'{l_0}}}{{{\lambda _0}f'}}}}} \right)^2}$; quand x’ = 0, la parenthèse vaut 1 donc E₀ = K A₀² l₀² L² ⇒ E(x’) = E₀ ${\left( {\frac{{\sin \;\;\frac{{\pi x'{l_0}}}{{{\lambda _0}f'}}}}{{\frac{{\pi x'{l_0}}}{{{\lambda _0}f'}}}}} \right)^2}$
III.1.b. Le premier zéro pour x’ > 0 est en x’ = λ₀ f’/a ( le numérateur vaut zéro) ⇒ d₀ = $\frac{{2\;{\lambda _0}f'}}{a} = 0,012\;\;mm$

III.2. La variation maximum di de i autour de la valeur précédemment calculée ( II.2.b.) vaut l/2f . On est au voisinage de D = 0 avec dD = 0 donc di’ = di et i’ = - i. Le centre de la figure de diffraction due à la fente infiniment fine située en « B , haut de la fente» se trouve en x’ = f di’ = l/2 = 0,025 mm. En tenant compte de tous les maxima intermédiaires, on peut conclure que l’éclairement est quasi- constant
III.3.a. Il suffit d’appliquer les formules du prisme pour calculer i’ , i = cte ∀ λ.. Les valeurs de x’ s’en déduisent facilement par x’ = f’ ( i’ - i’_λ0).

III.b.

	Lambda
-3,94	706,5
-2,31	643,8
0	589,3
1,51	546,1
6,66	486,1

IV.1.a. Calcul habituel de l’éclairement dans le plan focal de L’₀ .
Chaque fente diffracte, dans la direction « α », une amplitude complexe A de la forme calculée au III.1.a., à un facteur de phase près (tenant compte du déplacement de la fente qui n’est plus sur l’axe du système) soit:
${\rm{A}} = {{\rm{A}}_{\rm{0}}}\frac{{\sin \;\;\frac{{\pi x{l_0}}}{{{\lambda _0}f}}}}{{\frac{{\pi x{l_0}}}{{{\lambda _0}f}}}}\;{l_0}$L e^{j φ}
Les sources F₁ et F₂ sont cohérentes, on ajoute donc, en M, où les rayons issus des deux sources se superposent, les amplitudes complexes: A_TOT = A + A e^{- j ψ} où ψ = $\frac{{2\pi \delta }}{{{\lambda _0}}}$ avec $\delta = \frac{{sx}}{f}$= (F₂M) - (F₁M).
L’éclairement de l’écran s’écrit alors E = K A_TOT.${\rm{A}}_{TOT}^*$
soit E = K ${\left( {{{\rm{A}}_{\rm{0}}}\frac{{\sin \;\;\frac{{\pi x{l_0}}}{{{\lambda _0}f}}}}{{\frac{{\pi x{l_0}}}{{{\lambda _0}f}}}}\;{l_0}} \right)^2}$(1 + e^{- j ψ}) (1 + e^{+ j ψ}) = 2 K ${\left( {{{\rm{A}}_{\rm{0}}}\frac{{\sin \;\;\frac{{\pi x{l_0}}}{{{\lambda _0}f}}}}{{\frac{{\pi x{l_0}}}{{{\lambda _0}f}}}}\;{l_0}} \right)^2}$(1 + cos ψ)
E = 4 K ${\left( {{{\rm{A}}_{\rm{0}}}\frac{{\sin \;\;\frac{{\pi x{l_0}}}{{{\lambda _0}f}}}}{{\frac{{\pi x{l_0}}}{{{\lambda _0}f}}}}\;{l_0}} \right)^2}$cos² $\frac{\psi }{2}$ = 4 K ${\left( {{{\rm{A}}_{\rm{0}}}\frac{{\sin \;\;\frac{{\pi x{l_0}}}{{{\lambda _0}f}}}}{{\frac{{\pi x{l_0}}}{{{\lambda _0}f}}}}\;{l_0}} \right)^2}$cos² $\frac{{\pi sx}}{{{\lambda _0}f}}$ = E₀ ${\left( {\frac{{\sin \;\;\frac{{\pi x{l_0}}}{{{\lambda _0}f}}}}{{\frac{{\pi x{l_0}}}{{{\lambda _0}f}}}}\;} \right)^2}$cos² $\frac{{\pi sx}}{{{\lambda _0}f}}$ si E₀ est l’éclairement en x = 0.
Quand F₀ est infiniment fine :
E = E₀ ${\left( {\frac{{\sin \;\;\frac{{\pi x{l_0}}}{{{\lambda _0}f}}}}{{\frac{{\pi x{l_0}}}{{{\lambda _0}f}}}}\;} \right)^2}$cos² $\frac{{\pi sx}}{{{\lambda _0}f}}$ IV.1.b. Le premier « zéro » de la figure de diffraction est donné par ${x_{1d}} = \frac{{{\lambda _0}f}}{{{l_0}}}$, celui de la figure d’interférences par ${x_{1i}} = \frac{{{\lambda _0}f}}{{2s}}$ Or s / l₀ = 10 et x_1i = 0,118 mm. La fente « infiniment fine » située en « B , haut de la fente» fournirait le même éclairement de l’écran centré à l’abscisse x = 0,025 mm d’où un « écart maximum entre les « franges centrales » de 0,025 mm alors que l’interfrange vaut donc 0,236 mm. Conclusion: bon contraste. ( Les différentes « sources infiniment fines » constituant F₀ étant incohérentes entre elles, les éclairements s’ajoutent).
IV.1.c. L’angle i d’incidence sur le premier prisme est celui calculé à la question II.2., pour la radiation de 589,3 nm, la déviation est donc nulle et on observe une raie brillante jaune en F’ (fig.3. du texte) puisque en x = 0, on a une frange brillante.

IV.2.a. La seule différence avec le cas précédent est la présence de la lame ⇒ seul ψ est changé puisque seule la différence de marche entre les rayons issus des milieux de F₁ et F₂ est changée : elle vaut maintenant : δ’ = (F₂M) - (F₁M)’. Or (F₁M)’ = (F₁M) - e + ne { soit « l’ancien F₁M » auquel on enlève e d’air que l’on remplace par ne de verre}.
donc δ’ = $\frac{{sx}}{f}$ - (n - 1) e ⇒ ψ’ ⇒ E’ = E₀ ${\left( {\frac{{\sin \;\;\frac{{\pi x{l_0}}}{{{\lambda _0}f}}}}{{\frac{{\pi x{l_0}}}{{{\lambda _0}f}}}}\;} \right)^2}$cos² $\frac{\pi }{{{\lambda _0}}}\;(\;\frac{{sx}}{f}\;\; - \;\;(n - \;1\;)\;e\;)$.
L’ordre d’interférence, à l’abscisse x a diminué, les franges se sont donc déplacées en bloc vers le haut. En x = 0 , l’ordre est donc négatif, puisqu’il était nul en l’absence de la lame.
IV.2.b. Même remarque qu’en IV.1.c. mais si l’éclairement sur F’x’ est nul, c’est qu’en x = 0, se trouve une frange noire (l’interférence est destructive).
IV.2.c. En x = 0, en l’absence de lame, l’interférence est constructive pour toutes les longueurs d’onde, donc on observe une frange blanche et brillante (tous les éclairements s’ajoutent). A la sortie du spectro, on observe donc le spectre continu de cette lumière blanche.
IV.2.d. L’ordre en x = 0 a diminué pour les différentes longueurs d’onde, par conséquent certaines radiations sont éteintes. Ce sont ces raies éteintes ( en x = 0 , on a , probablement, du « blanc d’ordre supérieur » ) qui donnent les cannelures noires sur le spectre dans le plan F’x’.
en x = 0 , les 5 radiations « éteintes » sont celles qui annulent E’ par le terme d’interférence (on est au centre de la figure de diffraction) ⇒ cos² $\frac{\pi }{\lambda }\;(\;\frac{{sx}}{f}\;\; - \;\;(n - \;1\;)\;e\;)$ = 0 avec x = 0 ⇒ $\frac{{e\;(\;\;1\; - \;n)\;\pi }}{\lambda } = (\;k\; + \;\frac{1}{2}\;)\;\pi$ avec k < 0 , par conséquent:

• 1 - n = $(\;k\; + \;\frac{1}{2}\;)\;\frac{\lambda }{{\;e}}$ : relation vérifiée pour toutes les radiations éteintes puisque n est indépendant de la longueur d’onde..
• Sur le graphique établi au III.3.b., on peut déterminer les longueurs d’onde des radiations éteintes : x’₂ = - 5,6 mm donne une valeur λ₂ = 770 nm et x’₁ = 3,4 mm une valeur λ₁ = 516,6 nm.

S’il y a 3 radiations éteintes entre ces deux là : k₂ - k₁ = 4. (rappel k < 0)
$({k_1}\;\; + \;\;\frac{1}{2})$ λ₁ = $({k_2}\;\; + \;\;\frac{1}{2})$ λ₂ ⇒ $\frac{{({k_1}\;\; + \;\;\frac{1}{2})}}{{\frac{1}{{{\lambda _1}}}}} = \frac{{({k_2}\;\; + \;\;\frac{1}{2})}}{{\frac{1}{{{\lambda _2}}}}} = \frac{{{k_2}\;\; - \;\;{k_1}}}{{\frac{1}{{{\lambda _2}}}\;\; - \;\;\frac{1}{{{\lambda _1}}}}} = \frac{4}{{\frac{1}{{{\lambda _2}}}\;\; - \;\;\frac{1}{{{\lambda _1}}}}}$⇒ $(\;{k_1}\; + \;\frac{1}{2}\;)\;\frac{{{\lambda _1}}}{{\;e}}$=$\frac{{4\;{\lambda _{1\;}}{\lambda _2}}}{{({\lambda _1}\;\; - \;\;{\lambda _2})\;e}}$
1 - n = $\frac{{4\;{\lambda _{1\;}}{\lambda _2}}}{{({\lambda _1}\;\; - \;\;{\lambda _2})\;e}}$ = - 0,3488 ⇒ n = 1,35 environ ???? petit pour du verre.
Rq: s’il y avait p = 5 cannelures (au lieu de 3) entre les deux citées: n vaudrait 1,52, ce qui semble plus réaliste.

ASPECTS ENERGETIQUES DES DIPOLES
1. δW = v i dt ⇒ p(t) = v i .
2. p(t) = 2 V I sin (ωt + ϕ) sin ωt = - V I { cos (2ωt + ϕ) - cos ϕ }.
P = < p(t) > = V I cos ϕ
3. Le dipôle série a une impédance Z = R + j X et v = Z i ⇒ v = (R + j X) i , égalité entre deux nombres complexes qui ⇒ l’égalité de leurs modules et celle de leurs arguments d’où:
V = $\sqrt {{R^2}\;\; + \;\;{X^2}}$ I et cos ϕ = $\frac{R}{{\sqrt {{R^2}\;\; + \;\;{X^2}} }}$
[module d’un produit = produit des modules ; argument d’un produit = somme des arguments ⇒ arg (v) = ϕ = arg Z ].
On en déduit facilement:
P = R I ²
4. Par analogie avec p(t) et P, notons q(t) = v_q i.
q (t) = 2 V I sin (ωt + ϕ - $\frac{\pi }{2}$ ) sin ωt = - V I { cos (2ωt + ϕ - $\frac{\pi }{2}$) - cos (ϕ- $\frac{\pi }{2}$)}.
Q = < q(t) > = V I cos (ϕ - $\frac{\pi }{2}$) = V I sin ϕ.
v = (R + j X) i ⇒ V = $\sqrt {{R^2}\;\; + \;\;{X^2}}$ I et sin ϕ = $\frac{X}{{\sqrt {{R^2}\;\; + \;\;{X^2}} }}$ dont on déduit :
Q = X I^2..
5. i = Y v pour ce dipôle ; soit i = (G + j B) v . On écrit une nouvelle fois l’égalité entre ces deux nombres complexes d’où:
I = $\sqrt {{G^2}\;\; + \;\;{B^2}}$ V , cos ϕ = $\frac{G}{{\sqrt {{G^2}\;\; + \;\;{B^2}} }}$ et sin ϕ = $\frac{{ - \;\;B}}{{\sqrt {{G^2}\;\; + \;\;{B^2}} }}$
Les expressions des valeurs moyennes de p(t) et q(t) sont inchangées, il vient donc:
P = G V² et Q = - B V² .

6.1. (d_S1) et (d_S2) ont même P et même Q lorsqu’ils sont soumis à la même tension v :
P = G₁ V² = G₂ V² et Q = - B₁ V²= - B₂ V² ⇒ G₁ = G₂ et B₁ = B₂ ⇒ Y₁ = Y₂ ⇒ Z₁ = Z₂ .
6.2. P = G V² = R I ² avec I = $\frac{1}{{\sqrt {{R^2}\;\; + \;\;{X^2}} }}$ V ⇒ G V² = $\frac{{R\;\;{V^2}}}{{{R^2}\;\; + \;\;{X^2}}}$ ⇒ G = $\frac{{R\;\;}}{{{R^2}\;\; + \;\;{X^2}}}$
Q = - B V² = X I² avec I = $\sqrt {{G^2}\;\; + \;\;{B^2}}$ V ⇒ - B V² = $\frac{{X\;\;{V^2}}}{{{R^2}\;\; + \;\;{X^2}}}$ ⇒ - B = $\frac{{X\;\;}}{{{R^2}\;\; + \;\;{X^2}}}$
donc Y = G + j B = $\frac{{R\;\; - \;\;j\;X}}{{{R^2}\;\; + \;\;{X^2}}} = \frac{1}{{R\;\; + \;\;j\;X}} = \frac{1}{Z}$ ⇒ Y = $\frac{1}{Z}$
7. G = P / V² = 0,065 S ; B = - Q / V² = - 0,112 S
et X² + R² = X² ( 1 + R² / X² ) = 1 / Y² = 59,31 Ω²
Le calcul donne : R = 3,85 Ω et X = 6,67 Ω
R et X sont positifs le sinus et le cosinus sont donc positifs, le déphasage ϕ est donc compris entre - π/2 et + π/2.
tan ϕ = X / R = 1,73 d’où ϕ = 60°.
8. Pour une inductance pure ( Z = j Lω) : G = 0 et B = $- \;\;\frac{1}{{L\;\;\omega }}$
Pour un condensateur ( Y = j Cω ) : G = 0 et B = C ω.
9. Diagramme de Fresnel : v = v_C = v_D et i_L = i_C + i = ( Y_C + Y_D ) v = { j Cω + ( G + jB )} v
i_L = { G + j (B + Cω)} v.
remarque : le dipôle de la question 7 a une valeur de B négative ( il est donc inductif).

$\begin{array}{l}\cos \;\varphi {'_0} = \frac{G}{{\sqrt {{G^2}\;\; + \;\;{{(B\; + \;C\omega )}^2}} }}\;\;\;\;et\\\sin \;\;\varphi {'_0} = \frac{{B\;\; + C\omega \;}}{{\sqrt {{G^2}\;\; + \;\;{{(B\; + \;C\omega )}^2}} }}\end{array}$ tan ϕ’ ₀ = (B + Cω) / G ⇒ $C = \frac{{G\;\;\tan \;\varphi {'_0}\;\; - \;\;B}}{\omega }$ A.N. C = 412 µF pour ϕ’ ₀ = 15° et C = 301µF pour ϕ’ ₀ = -15°
I = V $\sqrt {{G^2}\;\; + \;\;{{(B\; + \;C\omega )}^2}}$ A.N. : I = 15,54 A dans les deux cas (voir diagramme , symétrie par rapport à l’axe des abscisses).
10.1. p(t) = v i = 2 V [ I₁ sin ωt sin (ωt + ϕ) - I₅ sin 5ωt sin (ωt + ϕ) - I₇ sin 5ωt sin (ωt + ϕ)]
⇒ p(t) = - V [I₁ {cos ( 2ωt + ϕ) - cos ϕ} - I₅ {cos ( 6ωt + ϕ) - cos ( -4ωt + ϕ)} - I₇ {cos (8ωt + ϕ) - cos ( -7ωt + ϕ)}
La période de p(t) est donc T = $\frac{{2\;\pi }}{{2\;\omega }} = \frac{{{T_0}}}{2} = \frac{1}{{2\;\upsilon }} = 0,01\;s$
Tracé de p(t):

10.2. P = < p(t) > = V I₁ cos ϕ = 4042,5 W.

10.3. Q = < q(t) > = < v_q i > ce qui revient, encore ici, à changer ϕ en ($\varphi \; - \;\frac{\pi }{2}$) donc les cosinus en sinus.
Par conséquent: Q = V I₁ sin ϕ = 7001,8 VAR.
10.4. $I_{eff}^2 = {I^2} = \frac{1}{T}\;\;\int_0^T {{i^2}\;(t)\;\;dt}$ = < i² >
i² = 2 ( I₁ sin ωt - I₅ sin 5ωt - I₇ sin 7ωt )² ; la valeur moyenne des trois sinus² vaut ½ ; la valeur moyenne des trois produits de sinus vaut zéro . Par conséquent :
I² = $I_1^2\;\; + \;\;I_2^2\;\; + I_3^2$
A.N. I = 35,7 A
10.5. i_L = i + i_C et I_L² = < i² > + < i_C² > + 2 < i i_C > ⇒ I_L² = I² + I_C² + 2 < i i_C > ($I_{L\;eff}^2\;\;\text{noté} \;\;\;I_L^2\;\;\;\text{ainsi que}\;\;I_{C\;eff}^2\;\;\text{noté} \;\;\;I_C^2$)
Il faut donc écrire i_C .
Le condensateur a la tension V à ses bornes donc i_C = C’ω V $\sqrt 2$ sin (ωt + ϕ + $\;\frac{\pi }{2}$ ) = C’ω V $\sqrt 2$ cos (ωt + ϕ).
< i_C² > = I_C² = (C’ω V)² .
i i_C = $\sqrt 2$ ( I₁ sin ωt - I₅ sin 5ωt - I₇ sin 7ωt ) C’ω V $\sqrt 2$ cos (ωt + ϕ) .
< i i_C > = 2 C’ω V < I₁ sin ωt cos (ωt + ϕ) - I₅ sin 5ωt cos (ωt + ϕ) - I₇ sin 7ωt cos (ωt + ϕ) >
< i i_C > = C’ω V < I₁ (sin (2ωt + ϕ) - sin ϕ ) - I₅ ( sin (6 ωt + ϕ) - sin ( -4ωt + ϕ)) - I₇ ( sin (8 ωt + ϕ) - sin ( -6ωt + ϕ)) >
< i i_C > = - C’ω V I₁ sin ϕ
⇒ I_L² = I² + (C’ω V)² - 2 C’ω V I₁ sin ϕ ⇒ I_L² et, par conséquent I_L sera extrémale si d I_L² / dC’ = 0
d I_L² / dC’ = 2 C’ V² ω² - 2 ω V I₁ sin ϕ = 0 ⇒ $C' = \frac{{{I_{{1_{\;\;}}}}\sin \;\varphi }}{{\omega \;\;V}}$ = 418 µF
11.1. On a établi, à la question 2. P = VI cos ϕ où ϕ est le déphasage tension/courant donc ici les 3 puissances sont égales et chacune vaut VI cos ϕ . ⇒ P = 3 VI cos ϕ.
11.2. p (t) = 2 V I [sin (ωt + ϕ) sin ωt + sin (ωt + ϕ + θ) sin (ωt + θ) + sin (ωt + ϕ + ψ) sin (ωt + ψ)]
p (t) = V I [cos ϕ - cos (2ωt + ϕ) + cos ϕ - cos (2ωt + 2θ + ϕ) + cos ϕ - cos (2ωt+ 2ψ + ϕ)]
p(t) = 3 VI cos ϕ - [cos (2ωt + ϕ) + cos (2ωt + 2θ + ϕ) + cos (2ωt+ 2ψ + ϕ)] = A + F(t) avec A = P (logique).
p(t) = P + [cos (2ωt + ϕ) + cos (2ωt + ϕ) cos 2θ - sin (2ωt + ϕ) sin 2θ + cos (2ωt + ϕ) cos 2ψ - sin (2ωt + ϕ) sin 2ψ]
F(t) = cos (2ωt + ϕ) [ 1 + cos 2θ + cos 2ψ] - sin (2ωt + ϕ) [sin 2θ + sin 2ψ]
F(t) = 0 ∀ t si 1 + cos 2θ + cos 2ψ = 0 et sin 2θ + sin 2ψ = 0 ⇒ sin 2θ = - sin 2ψ (1) et cos 2θ + 1 = - cos 2ψ (2)
⇒ sin² 2θ + ( 1 + cos 2θ)² = 1 = 2 + 2 cos 2θ ⇒ cos 2θ = - ½ .

Si on choisit θ et ψ dans le même intervalle que ϕ : 2θ = 120° et donc θ = 60° alors ψ = - 60° (2ψ = - 120° ⇒ cos 2ψ = - ½ ). et on a alors bien 1 + cos 2θ + cos 2ψ = 0 et sin 2θ + sin 2ψ = 0 ( sin 120° = - sin (-120°)).
θ = 60° et ψ = - 60° conviennent

Concours Physique ENS Cachan 1996 (Énoncé)

E N S Durée : 4 heures
Les deux problèmes doivent être traités.
PREMIER PROBLÈME: OPTIQUE
Étude d'un spectroscope à prisme; application à une mesure interférentielle d'indice
I. On considère un prisme d'angle A et d'indice n (fig. 1).

I.1. En respectant les notations de la figure 1 et le choix du sens positif pour les angles, justifier rapidement les « formules » du prisme:
sin i = n sin r;
sin i' = n sin r';
A = r - r'.
I.2. Calculer la déviation D, du rayon émergent par rapport au rayon incident, en fonction de i ', i et A.

II. On considère le train de trois prismes disposés comme cela est indiqué sur la figure 2. Les deux prismes extrêmes sont identiques d'angle A = 90° et d'indice n. Le prisme intermédiaire a un angle A₀ et un indice n₀ . L'ensemble présente une symétrie par rapport au plan π bissecteur du dièdre A₀ .
Les indices n et n₀ sont fonctions de la longueur d'onde et leurs valeurs sont données dans le tableau I pour cinq longueurs d'onde:
TABLEAU 1

λ (nm)	706,5	643,8	589,3	546,1	486,1
n	1,50707	1,50895	1,51105	1,51314	1,51700
n0	1,62818	1,63191	1,63620	1,6402	1,64909

II. 1. Calculer la déviation D en fonction de i ', i et A₀ .
II. 2. On veut que cette déviation soit nulle, pour la longueur d'onde λ₀ = 589,3 nm, pour les rayons incidents parallèles à l'axe z'z orthogonal au plan π.
a. Tracer la marche d'un tel rayon.
b. Calculer A₀ en fonction de n et n₀, pour qu'il en soit ainsi.
c. Valeur numérique de A₀ ?
III. On place un tel prisme dans le montage représenté sur la figure 3.

L₁ et L₂ sont deux objectifs identiques de focale f’₁ = 200 mm, d'axes optiques confondus et paralléles à z'z. On dispose une fente très fine, perpendiculaire au plan de la figure 3 et passant par F, foyer objet de L_l; cette fente est éclairée par une source monochromatique de longueur d'onde λ₀ = 589,3 nm. Les dimensions limitées du prisme font que l'onde plane émergente a une largeur a.

III. 1. a. Exprimer l'éclairement E (x') suivant l'axe F'x' de la tache de diffraction obtenue (F' est le foyer image de L₁) en fonction de E(0) en F.
b. Calculer la largeur d₀ du maximum central (distance entre les deux premiers zéros de E(x') de part et d'autre de x' = 0).
c. Application numérique: a = 20 mm.
III. 2. En réalité la fente F a une largeur l = 0,05 mm.
Quel est, dans ces conditions, l'aspect de l'éclairement sur l'axe F' x' ?
III. 3. On utilise maintenant, pour éclairer la fente F supposée très fine, une lampe à vapeurs métalliques qui émet un ensemble de raies monochromatiques dont les longueurs d'onde sont données dans le tableau I.
a. Calculer les positions x'_λi des images de la fente F pour ces différentes longueurs d'onde.
b. Représenter la caractéristique (x'_λi , λ_i ).
Dans cette représentation, on prendra 1 cm pour 1 mm en abscisse et 1 cm pour 10 nm en ordonnées, l'origine correspondant à x = 0, λ = λ₀ = 589,3 nm.
IV. On éclaire maintenant le spectroscope défini précédemment par le montage des fentes d'Young représenté sur la figure 4.

L₀ et L’₀ sont deux lentilles identiques, dont les axes optiques coïncident, de focales f’₀ = 200 mm.
La fente F₀ est placée au foyer de L₀ et le plan focal image de L₀ coïncide avec le plan focal objet de L₁; le conjugué de F₀ coïncide avec la fente d'entrée F du spectroscope. Les fentes F₁ et F₂ ont une largeur l₀ = 0,05 mm et sont distantes de s = 0,5 mm.
IV. 1. a. F₀ étant éclairée par la source monochromatique de longueur d'onde λ₀ = 589,3 nm, exprimer l'éclairement sur l'axe Fx, en supposant la fente placée en F₀ très fine.
b. Montrer qu'une largeur de cette fente égale à 0,05 mm est compatible avec l'obtention de franges de bon contraste.
c. Quel est l'aspect de l'éclairement de F'x' dans le spectroscope ?

IV. 2. On dispose devant la fente F₁ des fentes d'Young une lame de verre d'épaisseur e = 0,018 mm et d'indice n' (indice que l'on supposera, par la suite, indépendant de la longueur d'onde).
a. Calculer le nouvel éclairement sur Fx, F₀ étant toujours éclairé par la source de longueur d'onde λ₀.
b. L'éclairement obervé dans le spectroscope sur F'x' est nul; que peut-on en conclure ?
c. On éclaire maintenant F₀ par une source de lumière blanche (distribution continue d'énergie sur tout le spectre visible de 400 nm à 800 nm). Qu'observe-t-on dans le spectroscope sur F'x' en l'absence de lame sur F₁?
d. En présence de la lame devant F₁ on voit apparaître sur F'x' des zones d'éclairement nul (cannelures):

• établir les relations qui existent entre e, n' - 1 et les longueurs d'onde correspondant aux cannelures;

• en particulier, on note une cannelure en x’₁ = - 5,6 mm et une cannelure en x’₂ = 3,4 mm et p = 3 cannelures entre ces deux cannelures. En déduire la valeur de l'indice n' .

DEUXIEME PROBLEME: ELECTRICITE
Aspects énergétiques des dipôles
(Cf figures en fin de problème)
Dans tout le problème, on ne considère que des états de régimes forcés de tensions et de courants. Au cours de la question 4., il est fait usage de la puissance réactive, il n'est pas nécessaire de connaître les propriétés de cette grandeur pour résoudre le problème: la seule définition donnée au cours de cette question suffit pour la résolution.

1. Une source de tension v ( t) alimente un dipôle (d) traversé par un courant i ( t); donner l'expression de l'énergie électrique δW mise en jeu dans le dipôle entre les instants t et (t + dt). Préciser alors l'expression de la puissance instantanée p ( t).
2. La tension v ( t) est sinusoïdale et de la forme:
v = V $\sqrt 2 \;\;\sin \;(\omega t\; + \;\varphi \;)$
où V = 231 volts, la fréquence est 50 Hz et ( ϕ désigne un angle compris dans l'intervalle $\left( { - \;\;\frac{\pi }{2}\;\;,\;\; + \;\;\frac{\pi }{2}} \right)$.
Le courant est alors i (t) = $\sqrt 2 \;\;\sin \;\omega t\;$. Préciser p (t) et établir l'expression en fonction de V, I, ϕ de la puissance active de ce dipôle (valeur moyenne de p ( t) que l'on notera P).
3. Un dipôle série (d_S) est constitué par la mise en série d'une résistance R et d'une réactance (positive ou négative) que l'on note X (cf. fig. 1). Exprimer P en fonction de R et I.
4. On définit une grandeur Q (unité: VAR) appelée puissance réactive par la relation:
Q = $\frac{1}{T}\;\;\int_0^T {{v_q}\;i\;dt}$ où v_q = V $\sqrt 2 \;\;\sin \;(\omega t\; + \;\varphi \; - \;\frac{\pi }{2})$
Établir l'expression de Q en fonction de V, I, ϕ, puis en fonction de X et I.
5. On considère à présent un dipôle (d_p) constitué par la mise en parallèle de deux éléments dont l'un est purement résistif (cf. fig. 2). L'admlttance complexe totale est notée par: Y = G + jB. La tension instantanée v (t) et le courant i (t) sont toujours donnés par les expressions:
v = V $\sqrt 2 \;\;\sin \;(\omega t\; + \;\varphi \;)$ et i (t) = $\sqrt 2 \;\;\sin \;\omega t\;$.
Quelle relation existe-t-il entre ϕ, G et B ? Déterminer l'expression de P en fonction de G et V et celle de Q en fonction de B et V.
6. On définit l'équivalence énergétique de deux dipôles de la façon suivante: deux dipôles seront considérés comme énergétiquement équivalents s'ils absorbent les mêmes puissances actives et les mêmes puissances réactives lorsqu'ils sont soumis à une même tension sinusoïdale.

6.1. Montrer que deux dipôles série (d_Sl) et (d_S2) énergétiquement équivalents ont la même impédance.
6.2. Un dipôle (d_S) série, caractérisé par R et X, est énergétiquement équivalent à un dipôle parallèle (d_p) caractérisé par G et B: exprimer G puis B en fonction de R et X. Quelle est la relation entre l'impédance complexe Z = R + jX et l'admittance complexe Y = G + jB qui en résulte ?
7. On a expérimentalement établi pour un dipôle (d) les valeurs numériques des grandeurs suivantes:
V = 231 V ; P = 3 465 W ; Q = 6 000 VAR.
Calculer les valeurs G et B du dipôle (d_p) équivalent et celles R et X du dipôle série équivalent. Quel est le déphasage de la tension par rapport au courant ?
8. Caractériser G et B pour une inductance pure. Même question pour un condensateur de capacité C.
9. Le dipôle (d) de la question 7. est mis en parallèle avec un condensateur de capacité C (fig. 3). Tracer le diagramme de Fresnel des tensions et courants dans un cas général pour une valeur quelconque de C. Quelle doit être la relation entre C, G et B pour que le déphasage ϕ' entre la tension v et le courant total i_L ait une valeur fixée ϕ'₀ ?

Application numérique:
Calculer C pour que ϕ'₀ ait la valeur + 15° puis la valeur - 15°. Quelles sont les valeurs efficaces de i_L qui en résultent ?
10. On considère à présent un dipôle non linéaire (d_NL) (fig. 4), qui est caractérisable de la façon suivante: soumis à une tension sinusoïdale v = V $\sqrt 2 \;\;\sin \;(\omega t\; + \;\varphi \;)$ (V = 231 V; f = 50 Hz), il absorbe un courant non sinusoïdal développable en série de Fourier:
$i(t) = {I_1}\;\sqrt 2 \;\sin \omega t\;\; - \;\;{I_5}\;\sqrt 2 \;\sin \;5\omega t\;\; - \;{I_7}\;\sqrt 2 \;\sin \;7\omega t\;$
Pour la suite, on néglige les harmoniques d'ordre supérieur à 7.
10.1. Quelle est l'expression de p (t), quelle est sa période ? Tracer la loi de variation en fonction du temps pour les valeurs suivantes:
I_l = 35 A ; I₅ = 7 A ; I₇ = 1 A et ϕ = 60° .
10.2 Quelles sont l'expression et la valeur numérique de la puissance moyenne P ?
10.3. Compte tenu de la définition de Q donnée à la question 4, déterminer Q et faire l'application numérique correspondante.
10.4. Calculer la valeur efficace du courant i.
10.5. On place un condensateur de capacité C' en parallèle sur le dipôle (d_NL) conformément à la figure 5, déterminer la valeur de C' qui rend minimale la valeur efficace du courant i_L.
11. La figure 6 représente la mise en parallèle de trois circuits du même type que ceux de la figure 1. Les trois tensions sont données par les expressions:
v₁ = V $\sqrt 2 \;\;\sin \;(\omega t\; + \;\varphi \;)$ ; v₂ = V $\sqrt 2 \;\;\sin \;(\omega t\; + \;\varphi \; + \;\theta )$ ; v₃ = V $\sqrt 2 \;\;\sin \;(\omega t\; + \;\varphi \; + \;\psi )$.
Les trois dipôles (d) de la figure sont identiques et les courants i_l , i₂, i₃ qui circulent sont donnés par les expressions:
i₁ = I $\sqrt 2 \;\;\sin \;\omega t\;$ ; i₂ = I $\sqrt 2 \;\;\sin \;(\omega t\; + \;\theta )$ ; i₃ = I $\sqrt 2 \;\;\sin \;(\omega t\; + \;\psi )$.
Dans ces expressions V = 231 V, I = 35 A, la fréquence est 50 Hz; (p - 30° et les angles θ et ψ sont à déterminer suivant certaines conditions. La puissance instantanée p est définie à partir des puissances instantanées p₁, p₂, p₃ dans chaque dipôle récepteur par: p = p₁ + p₂ + p_3.
11.1. Établir, en se servant des résultats des questions précédentes, l'expression de la puissance moyenne mise en jeu dans chaque dipôle (d). Application numérique.

11.2. La puissance p ( t) peut se mettre sous la forme:
p(t) = A + F(t)
où A est une constante et F ( t) une fonction du temps.
Préciser l'expression de F (t). Quelle(s) relation(s) doivent vérifier θ et ψ pour que F (t) soit nulle pour tout t ? Proposer des valeurs de θ et ψ satisfaisant à cette condition.