Avertissement:
1) les graphes étant tous semblables (des exponentielles croissantes), il n’en a été tracé que l’allure;
2) dans la question 3.3.3-, mes applications numériques me conduisent toujours à un régime oscillant, qui n’est pas dans la logique de l’énoncé; j’ai donc renoncé au tracé demandé.
Première partie: Étude électromagnétique
1.1- Spire équivalente:
1.1.1- La force de Laplace a pour expresion: d→f=dI→u∧→B
1.2- Force électromagnétique résultante:
1.2.1- Le résultat est immédiat: →F=N→f=NIB2πR→ez
1.2.2- On peut écrire F sous la forme indiquée en posant: kϕ=B2πR
C’est homogène à une circulation du champ magnétique B, mais cela ne correspond pas à une circulation concrête.
1.2.3- AN: Ie=δL(Re−Ri)=800A;F=78,4N
1.3- Force contre électromotrice:
1.3.1- On sait que le champ électromoteur est: →EM=→v∧→B=Bv→uθ et la fem: e=∫→EM.d→M=Bvu
1.3.2- Il est clair que: e=Bv2πR⇒k′ϕ=B2πR=kϕ AN: e0=9,80.10−2V
1.3.3- Le résultat est immédiat: E=Ne
1.4- Calcul de la résistance:
1.4.1- La résistance se calcule par la formule:
R=ρlS⇒Rb=ρ2πRN2L(Re−Ri)⇒rb=ρ2πRL(Re−Ri)
1.4.2- AN: rb=1,23.10−4Ω
1.5- Calcul de l’inductance:
1.5.1.b- Dans un premier temps, on a intérêt à intégrer selon la variable α:
cot(α)=z−ZR⇒dZ=Rdαsin2(α)⇒dB=μ0Ie2Lsin(α)dα⇒B=μ0Ie2L[cos(α1)−cos(α2)]
On en déduit: →B(z)=μ0Ie2L[z√R2+z2+L−z√R2+(L−z)2]→ez
1.5.1.c- On calcule la valeur du rapport demandé et l’on constate que B varie relativement peu sur l’axe, à l’intérieur de la spire.
B(0)=μ0Ie2√R2+L2 ; B(L2)=μ0Ie√4R2+L2⇒B(0)B(L2)=√4R2+L22√R2+L2=0,785
1.5.2- Compte tenu des hypothèses simplificatrices, le calcul est aisé:
Wmag=∭B22μ0dτ=B22μ0πR2L⇒Wmag=πμ0R2LIe22(4R2+L2)
1.5.3- De la relation: Wmag=12I2, on tire:
=πμ0R2L4R2+L2N2 =πμ0R2L4R2+L2=1,56.10−8 H
1.7- Détermination du nombre de spires:
1.7.1- Des deux équations: U0=N0(kϕV0+rbIe) et F=kϕIe, on déduit: N0=U0kϕV0+rbFkϕ
1.7.2- N0 permet d’ajuster la valeur de kϕV0+rbFkϕ.
1.7.3- AN: N0=61spires Rb=0,456Ω =58,2μH E0=5,98V
1.8- Échelon de tension:
1.8.1- cas a: solénoïde immobilisé; pour t=0, la forme de l’équation différentielle imposant la continuité de l’intensité, elle s’intègre en:
didt+Rbi=U0⇒ia(t)=U0Rb[1−exp(−Rbt)]
1.8.1- cas b: solénoïde à vitesse uniforme; il suffit de changer U0 en U0−E0, soit:
didt+Rbi=U0−E0⇒ib(t)=U0−E0Rb[1−exp(−Rbt)]
Deuxième partie: Étude thermique
2.1- Pertes Joule:
La puissance dissipée par effet Joule est égale à:
PJ=RbI2=ρ2πRN2L(Re−Ri)[δLN(Re−Ri)]2⇒PJ=πρδ2=L(Re2−Ri2)=78,4W
La densité volumique de puissance peut s’écrire directement, sans passer par PJ:
pJ=ρδ2=32,0 MW/m3
2.2- Schéma équivalent:
2.2.1- Le schéma équivalent correspond à l’équation: PJ=Cthd(Δθ)dt+ΔθRth.
La capacité thermique (et non calorifique) du solénoïde vaut: Cth=cϖπ(Re2−Ri2)
Pour obtenir la résistance thermique d’échange, on exprime cet échange de deux façons:
ΔθRth=α2πRiLΔθ+α2πReLΔθ⇒Rth=1α2πL(Ri+Re)
2.2.2- AN: Cth=425J.K−1 Rth=17,0K.W−1
2.2.3- Les échanges de chaleur se font par conduction, convexion et rayonnement.
2.3- Évolution de la température du solénoïde:
2.3.3- Le calcul de la densité de courant est immédiat: PJRth=100K⇒δP=11,0A.mm−2
2.3.4- La durée maximale est: tmax=−τthln(1−θSmax−θambPJRth)=564s
2.3.5.a- Physiquement, cela veut dire que la chaleur produite est restée dans la spire et n’a pas encore commencé à être évacuée vers l’extérieur; l’équation du 2.2.1- se résume à:
PJ≈Cthd(Δθ)dt⇒Δθ(t)≈PJCtht=ρLδ2cϖt ⇒Δθ(T0)≈1,84∘C
Mathématiquement, dans l’équation du 2.3.1-, on développe:exp(ε)≈1+ε.
2.3.5.b- On déduit de ce qui précède la densité maximale de courant: δmax≈√cϖ(θSmax−θamb)ρLT0
2.3.5.c- AN: (δmax)Cu≈294A.mm−2 (δmax)Al≈198A.mm−2
2.3.5.d- On calcule F à partir de la formule:
F=πBLδ(Re2−Ri2) ⇒FCu=576N FAl=388N
2.3.5.e- En régime permanent, PJRth=ρ2α(Re−Ri)δ2=Δθ, dont on déduit:
{δCu=11,0A.mm−2⇒FCu=21,5NδAl=8,80A.mm−2⇒FAl=17,2N
Troisième partie: Étude électromécanique et thermique
3.1- Masse du solénoïde:
La masse du solénoïde est égale à: M=ϖπL(Re2−Ri2);MCu=21,8g;MAl=6,62g
3.3- Solénoïde alimenté:
3.3.1- Les équations rappelées par l’énoncé sont les suivantes:
1.2.2-F=kϕNI; 1.3.3- E=Nkϕv; 1.6.1- U=E+dIdt+RbI
Par élimination de I entre les équations: Mdvdt+μv=kϕNI, et: U=Nkϕv+dIdt+RbI, on trouve:
U=MkϕNd2vdt2+μ+MRbkϕNdvdt+(kϕN+RbμkϕN)v ; a=MkϕN ; b=μ+MRbkϕN ; c=kϕN+RbμkϕN
3.3.2- La première approximation: τe=Rb<<τm=Mμ s’écrit: μ<<RbM⇒b≈MRbkϕN.
La deuxième approximation conduit à: c≈kϕN.
Une solution particulière est: v=U0c.
On cherche la solution générale de l’équation sans second membre sous la forme: v=Vexp(−tτ); on aboutit à l’équation caractéristique: cτ2−bτ+a=0, dont on supposera les racines réelles positives:
Δ=b2−4ca≥0;τ1τ2=ac>0 et :τ1+τ2=bc>0.
Il vient alors: τ1=b−√b2−4ca2c;τ2=b+√b2−4ca2c
À partir de la solution: v(t)=VAexp(−tτ1)+VBexp(−tτ2)+VC, les conditions initiales donnent:
v(t=0)=VA+VB+U0c;(dvdt)t=0=0=−VAτ1−VBτ2
dont on tire: VA=U0cτ1τ2−τ1;VB=−U0cτ2τ2−τ1, soit:
τ1=MRb−√(MRb)2−4M(kϕN)22(kϕN)2 ; τ2=MRb+√(MRb)2−4M(kϕN)22(kϕN)2 ; VC=U0kϕN
VA=U0kϕNMRb−√(MRb)2−4M(kϕN)22√(MRb)2−4M(kϕN)2 ; VB=−U0kϕNMRb+√(MRb)2−4M(kϕN)22√(MRb)2−4M(kϕN)2
L’hypothèse τ2>>τ1 implique VA<<VB et exp(−tτ1)<<exp(−tτ2); par suite:
v(t)≈U0kϕN[1−exp(−tτ2)]
3.3.3- Plusieurs essais me conduisent toujours à un Δnégatif, donc à un τ2 complexe, ce qui ne correspond pas à l’esprit dans lequel a été rédigé l’énoncé.
3.4- Analyse finale:
3.4.1- Les constantes de temps ont des ordres de grandeur très différents:
τe=128μs<<τm=0,218s<<τth=7,23ks
3.4.2- La question 3.2- conduit au résultat: a=dvdt=F0M
3.4.3- On calcule donc: amax=FmaxM={26,4mm.s−2pourCu58,6mm.s−2pourAl
3.4.4- De la question 2.3.5.e-, on tire: amaxC={0,986mm.s−2pourCu2,60mm.s−2pourAl
3.4.5- On constate que c’est l’aluminium qui s’avère le plus intéressant, contrairement à l’idée que l’on a couramment.
1) les graphes étant tous semblables (des exponentielles croissantes), il n’en a été tracé que l’allure;
2) dans la question 3.3.3-, mes applications numériques me conduisent toujours à un régime oscillant, qui n’est pas dans la logique de l’énoncé; j’ai donc renoncé au tracé demandé.
ENS Cachan B(A) 1995 |
1.1- Spire équivalente:
1.1.1- La force de Laplace a pour expresion: d→f=dI→u∧→B
1.1.2- On considère une spire élémentaire de section ldr, de longueur 2πr, parcourue par le courant d’intensité dI=δldr, où δ=I[l(Re−Ri)]; elle est soumise à la force: →f=∫ReRiδldr2πrB→ez=δLNπB(Re2−Ri2)→ez 1.1.3- On constate en effet que l’on peut écrire: →f=IB2πR→ez |
1.2.1- Le résultat est immédiat: →F=N→f=NIB2πR→ez
1.2.2- On peut écrire F sous la forme indiquée en posant: kϕ=B2πR
C’est homogène à une circulation du champ magnétique B, mais cela ne correspond pas à une circulation concrête.
1.2.3- AN: Ie=δL(Re−Ri)=800A;F=78,4N
1.3- Force contre électromotrice:
1.3.1- On sait que le champ électromoteur est: →EM=→v∧→B=Bv→uθ et la fem: e=∫→EM.d→M=Bvu
1.3.2- Il est clair que: e=Bv2πR⇒k′ϕ=B2πR=kϕ AN: e0=9,80.10−2V
1.3.3- Le résultat est immédiat: E=Ne
1.4- Calcul de la résistance:
1.4.1- La résistance se calcule par la formule:
R=ρlS⇒Rb=ρ2πRN2L(Re−Ri)⇒rb=ρ2πRL(Re−Ri)
1.4.2- AN: rb=1,23.10−4Ω
1.5- Calcul de l’inductance:
1.5.1.a- Tout plan contenant l’axe Oz est plan d’antisymétrie pour la distribution de courants; il s’ensuit que le champ magnétique→B est dirigé selon l’axe Oz, la « règle du tire-bouchon » donnant alors le sens du vecteur. À partir de la loi de Biot & Savart, on retrouve le résultat: dB=μ02RIedZLsin3(α) où Z est la position de la spire (z étant celle du point M). |
cot(α)=z−ZR⇒dZ=Rdαsin2(α)⇒dB=μ0Ie2Lsin(α)dα⇒B=μ0Ie2L[cos(α1)−cos(α2)]
On en déduit: →B(z)=μ0Ie2L[z√R2+z2+L−z√R2+(L−z)2]→ez
1.5.1.c- On calcule la valeur du rapport demandé et l’on constate que B varie relativement peu sur l’axe, à l’intérieur de la spire.
B(0)=μ0Ie2√R2+L2 ; B(L2)=μ0Ie√4R2+L2⇒B(0)B(L2)=√4R2+L22√R2+L2=0,785
1.5.2- Compte tenu des hypothèses simplificatrices, le calcul est aisé:
Wmag=∭B22μ0dτ=B22μ0πR2L⇒Wmag=πμ0R2LIe22(4R2+L2)
1.5.3- De la relation: Wmag=12I2, on tire:
=πμ0R2L4R2+L2N2 =πμ0R2L4R2+L2=1,56.10−8 H
1.6.1- On a affaire à un circuit série comportant un générateur de fem U, une force électromotrice E, une inductance propre L et une résistance Rb . L’équation différentielle du circuit est: U=E+dIdt+RbI 1.6.2- En remplaçant les grandeurs par leurs expressions: U=N(kϕv+dIedt+rbIe) |
1.7.1- Des deux équations: U0=N0(kϕV0+rbIe) et F=kϕIe, on déduit: N0=U0kϕV0+rbFkϕ
1.7.2- N0 permet d’ajuster la valeur de kϕV0+rbFkϕ.
1.7.3- AN: N0=61spires Rb=0,456Ω =58,2μH E0=5,98V
1.8- Échelon de tension:
1.8.1- cas a: solénoïde immobilisé; pour t=0, la forme de l’équation différentielle imposant la continuité de l’intensité, elle s’intègre en:
didt+Rbi=U0⇒ia(t)=U0Rb[1−exp(−Rbt)]
1.8.1- cas b: solénoïde à vitesse uniforme; il suffit de changer U0 en U0−E0, soit:
didt+Rbi=U0−E0⇒ib(t)=U0−E0Rb[1−exp(−Rbt)]
AN: ia(t)[A]=27,2exp(−7,84.103t) ib(t)[A]=13,9exp(−7,84.103t) Les exponentielles appartenant à la catégorie des « fonctions bien connues », seule l’allure des courbes a été tracée. 1.8.2- La constante de temps ne dépend pas du nombre de spires car elle vaut: τe=Rb=μ0L2(Re−Ri)R2ρ(4R2+L2)=128μs |
2.1- Pertes Joule:
La puissance dissipée par effet Joule est égale à:
PJ=RbI2=ρ2πRN2L(Re−Ri)[δLN(Re−Ri)]2⇒PJ=πρδ2=L(Re2−Ri2)=78,4W
La densité volumique de puissance peut s’écrire directement, sans passer par PJ:
pJ=ρδ2=32,0 MW/m3
2.2.1- Le schéma équivalent correspond à l’équation: PJ=Cthd(Δθ)dt+ΔθRth.
La capacité thermique (et non calorifique) du solénoïde vaut: Cth=cϖπ(Re2−Ri2)
Pour obtenir la résistance thermique d’échange, on exprime cet échange de deux façons:
ΔθRth=α2πRiLΔθ+α2πReLΔθ⇒Rth=1α2πL(Ri+Re)
2.2.2- AN: Cth=425J.K−1 Rth=17,0K.W−1
2.2.3- Les échanges de chaleur se font par conduction, convexion et rayonnement.
2.3- Évolution de la température du solénoïde:
2.3.1- L’équation différentielle du 2.2.1- s’intègre comme celle du 1.8.1-: θS=θamb+PJRth[1−exp(−tRthCth)] θS=20+1333[1−exp(−1,384.10−4t)] À nouveau, seule l’allure du graphe est donnée. 2.3.2- La constante de temps vaut: τth=RthCth=7,23ks |
2.3.4- La durée maximale est: tmax=−τthln(1−θSmax−θambPJRth)=564s
2.3.5.a- Physiquement, cela veut dire que la chaleur produite est restée dans la spire et n’a pas encore commencé à être évacuée vers l’extérieur; l’équation du 2.2.1- se résume à:
PJ≈Cthd(Δθ)dt⇒Δθ(t)≈PJCtht=ρLδ2cϖt ⇒Δθ(T0)≈1,84∘C
Mathématiquement, dans l’équation du 2.3.1-, on développe:exp(ε)≈1+ε.
2.3.5.b- On déduit de ce qui précède la densité maximale de courant: δmax≈√cϖ(θSmax−θamb)ρLT0
2.3.5.c- AN: (δmax)Cu≈294A.mm−2 (δmax)Al≈198A.mm−2
2.3.5.d- On calcule F à partir de la formule:
F=πBLδ(Re2−Ri2) ⇒FCu=576N FAl=388N
2.3.5.e- En régime permanent, PJRth=ρ2α(Re−Ri)δ2=Δθ, dont on déduit:
{δCu=11,0A.mm−2⇒FCu=21,5NδAl=8,80A.mm−2⇒FAl=17,2N
3.1- Masse du solénoïde:
La masse du solénoïde est égale à: M=ϖπL(Re2−Ri2);MCu=21,8g;MAl=6,62g
3.2- Solénoïde ouvert: L’équation différentielle Mdvdt+μv=F s’intègre en: v=F0μ[1−exp(−μMt)] La constante de temps mécanique a pour valeur: (τm)Cu=Mμ=0,218 s |
3.3.1- Les équations rappelées par l’énoncé sont les suivantes:
1.2.2-F=kϕNI; 1.3.3- E=Nkϕv; 1.6.1- U=E+dIdt+RbI
Par élimination de I entre les équations: Mdvdt+μv=kϕNI, et: U=Nkϕv+dIdt+RbI, on trouve:
U=MkϕNd2vdt2+μ+MRbkϕNdvdt+(kϕN+RbμkϕN)v ; a=MkϕN ; b=μ+MRbkϕN ; c=kϕN+RbμkϕN
3.3.2- La première approximation: τe=Rb<<τm=Mμ s’écrit: μ<<RbM⇒b≈MRbkϕN.
La deuxième approximation conduit à: c≈kϕN.
Une solution particulière est: v=U0c.
On cherche la solution générale de l’équation sans second membre sous la forme: v=Vexp(−tτ); on aboutit à l’équation caractéristique: cτ2−bτ+a=0, dont on supposera les racines réelles positives:
Δ=b2−4ca≥0;τ1τ2=ac>0 et :τ1+τ2=bc>0.
Il vient alors: τ1=b−√b2−4ca2c;τ2=b+√b2−4ca2c
À partir de la solution: v(t)=VAexp(−tτ1)+VBexp(−tτ2)+VC, les conditions initiales donnent:
v(t=0)=VA+VB+U0c;(dvdt)t=0=0=−VAτ1−VBτ2
dont on tire: VA=U0cτ1τ2−τ1;VB=−U0cτ2τ2−τ1, soit:
τ1=MRb−√(MRb)2−4M(kϕN)22(kϕN)2 ; τ2=MRb+√(MRb)2−4M(kϕN)22(kϕN)2 ; VC=U0kϕN
VA=U0kϕNMRb−√(MRb)2−4M(kϕN)22√(MRb)2−4M(kϕN)2 ; VB=−U0kϕNMRb+√(MRb)2−4M(kϕN)22√(MRb)2−4M(kϕN)2
L’hypothèse τ2>>τ1 implique VA<<VB et exp(−tτ1)<<exp(−tτ2); par suite:
v(t)≈U0kϕN[1−exp(−tτ2)]
3.4- Analyse finale:
3.4.1- Les constantes de temps ont des ordres de grandeur très différents:
τe=128μs<<τm=0,218s<<τth=7,23ks
3.4.2- La question 3.2- conduit au résultat: a=dvdt=F0M
3.4.3- On calcule donc: amax=FmaxM={26,4mm.s−2pourCu58,6mm.s−2pourAl
3.4.4- De la question 2.3.5.e-, on tire: amaxC={0,986mm.s−2pourCu2,60mm.s−2pourAl
3.4.5- On constate que c’est l’aluminium qui s’avère le plus intéressant, contrairement à l’idée que l’on a couramment.