Concours Physique Centrale-Supélec (M, P') 1991 Physique II (Corrigé)

Corrigé centrale 91 M-P'
Première partie.
I- Collision neutron-noyau
1/ Conservation de la qdm : $m{\vec V_1} = m{\vec V_2} + M{\vec w_2} \Rightarrow {\vec V_1} = {\vec V_2} + A{\vec w_2}$
Conservation de l'énergie: $\text{ }\!\!{\scriptscriptstyle 1\!/\!{ }_2}\!\!\text{ }m\vec{V}_{1}^{2}=\text{ }\!\!{\scriptscriptstyle 1\!/\!{ }_2}\!\!\text{ }m\vec{V}_{2}^{2}+\text{ }\!\!{\scriptscriptstyle 1\!/\!{ }_2}\!\!\text{ }M\vec{w}_{2}^{2}\Rightarrow \vec{V}_{1}^{2}=\vec{V}_{2}^{2}+A\vec{w}_{2}^{2}$
2/ De ${\vec V_1} = {\vec V_2} + A{\vec w_2}$, on tire : $\vec V_2^2 = {({\vec V_1} - A{\vec w_2})^2} = \vec V_1^2 + A\vec w_2^2 - 2A{V_1}{w_2}\cos \theta$
Soit $\cos \theta = \frac{{\vec V_1^2 - \vec V_2^2 + {A^2}\vec w_2^2}}{{2A{V_1}{w_2}}} = \frac{{A\vec w_2^2 + {A^2}\vec w_2^2}}{{2A{V_1}{w_2}}} = \frac{{{w_2}}}{{{V_1}}}\frac{{1 + A}}{2}$> 0 donc 0 < θ < π/2
En fonction des énergies : $\text{ }\!\!{\scriptscriptstyle 1\!/\!{ }_2}\!\!\text{ }m\vec{V}_{1}^{2}=\text{ }\!\!{\scriptscriptstyle 1\!/\!{ }_2}\!\!\text{ }m\vec{V}_{2}^{2}+\text{ }\!\!{\scriptscriptstyle 1\!/\!{ }_2}\!\!\text{ }M\vec{w}_{2}^{2}\Rightarrow {{E}_{1}}-{{E}_{2}}=\text{ }\!\!{\scriptscriptstyle 1\!/\!{ }_2}\!\!\text{ A}\,\text{m}\,\vec{w}_{2}^{2}$ et ${{E}_{1}}=\text{ }\!\!{\scriptscriptstyle 1\!/\!{ }_2}\!\!\text{ }\,\text{m}\,\vec{V}_{1}^{2}$
Alors $\cos \theta = \frac{{{w_2}}}{{{V_1}}}\frac{{1 + A}}{2} = \sqrt {\frac{{{E_1} - {E_2}}}{{A{E_1}}}} \frac{{1 + A}}{2}$donc $\frac{{{E_2}}}{{{E_1}}} = 1 - \frac{{4A{{\cos }^2}\theta }}{{{{(1 + A)}^2}}}$

II- Modèle des sphères dures. 1/ La force de contact passe par le centre d'inertie, donc la vitesse ${\vec w_2}$ sera dirigé suivant la réaction normale. On en déduit : $\sin \theta = \frac{b}{{{R_1} + {R_2}}}$ 2/ Le paramètre d'impact peut varier entre 0 et la valeur R1 + R2. Ce qui correspond pour le centre du neutron à

à une cible de surface variant de 0 à (R₁ + R₂)².
La probablité de recevoir un impact sur une couronne de rayon : b → b + db est :$\frac{{dP}}{1} = \frac{{2\pi bdb}}{{\pi {{({R_1} + {R_2})}^2}}}$
3/ Par définition: $< - Ln\,[1 - K{\cos ^2}\theta ]{ > _b} = < - Ln\,[1 - \frac{{K{b^2}}}{{{{({R_1} + {R_2})}^2}}}]{ > _b} = - \int\limits_0^{{R_1} + {R_2}} {Ln[1 - \frac{{K{b^2}}}{{{{({R_1} + {R_2})}^2}}}]\;db}$
En posant $x = \frac{{K{b^2}}}{{{{({R_1} + {R_2})}^2}}}$⇒ $\frac{1}{K}\left[ {(1 - x)Ln(1 - x) - (1 - x)} \right]_0^K = \frac{1}{K}\left[ {(1 - K)Ln(1 - K) - (1 - K) + 1} \right]$
Ce qui donne : $1 + \frac{{1 - K}}{K}Ln(1 - K)$ cqfd . Il faut que 0 < K < 1 pour que la fonction aît un sens.
4/ On a obtenu $\frac{{{E_2}}}{{{E_1}}} = 1 - \frac{{4A{{\cos }^2}\theta }}{{{{(1 + A)}^2}}} = 1 - K{\cos ^2}\theta$ avec $K = \frac{{4A}}{{{{(1 + A)}^2}}}$< 1 si A > 1
on peut utiliser le résultat précédent : $K = \frac{{4A}}{{{{(1 + A)}^2}}} \Rightarrow 1 - K = {\left( {\frac{{A - 1}}{{A + 1}}} \right)^2}$
Donc coefficient de ralentissement : $\gamma = < - Ln\,[\frac{{{E_2}}}{{{E_1}}}]{ > _b} = 1 + {\left( {\frac{{1 - A}}{{\sqrt {2A} }}} \right)^2}Ln(\frac{{A - 1}}{{A + 1}}) =$
5/ a)La dérivée de γ vaut zéro pour : $0 = \left( {\frac{{1 - A}}{{\sqrt A }}} \right)\left\{ { - \left( {\frac{{{A^{1/2}} + {A^{ - 1/2}}}}{{2\sqrt 2 \;A}}} \right)Ln(\frac{{A - 1}}{{A + 1}}) - \left( {\frac{1}{{\sqrt A }}} \right)\left( {\frac{1}{{(A + 1)}}} \right)} \right\}$
Le terme entre crochet ne s'annulant pas, la racine est A = 1. On vérifiera que c'est bien un maximum pour le ralentissement.
b) A-N : ¹H (A = 1) γ = 1 ; ²H (A = 2) γ = 0,725 ; ¹²C (A = 12) γ = 0,158 ; ²³⁸U (A = 238) γ = 0,008 ;
III- Application aux ralentissements des neutrons.
1/ Il y a ½ kT par degré de liberté, donc E_300K = 3/2kT = 3,9.10⁻² eV.
C'est très faible devant l'énergie initiale des neutrons. On peut considèrer les noyaux immobiles, sauf pour les dernières collisions.
2 a/ Avec $\gamma = < - Ln\,[\frac{{{E_2}}}{{{E_1}}}]{ > _b}$ et en écrivant : $\frac{{{E_n}}}{{{E_0}}} = \frac{{{E_n}}}{{{E_{n - 1}}}}\frac{{{E_{n - 1}}}}{{{E_{n - 2}}}}\; \cdots \frac{{{E_1}}}{{{E_0}}} \Rightarrow Ln\left( {\frac{{{E_n}}}{{{E_0}}}} \right) = \sum\limits_1^n {Ln\left( {\frac{{{E_p}}}{{{E_{p - 1}}}}} \right)}$
on a en raisonnant sur les valeurs moyennes : $Ln\left( {\frac{{{E_n}}}{{{E_0}}}} \right) = - n\gamma \Rightarrow {E_n} = {E_0}{e^{ - \gamma }}$
2b/ $n = - \frac{1}{\gamma }Ln\left( {\frac{{{E_{300K}}}}{{{E_0}}}} \right)$d'où ¹H : n = 17 ; ²H : n = 24 ; ¹²C : n = 108 ; ²³⁸U : n = 214;
3a/ A une date t : $v(t) = \sqrt {\frac{{2E(t)}}{m}}$, la durée moyenne intercollision est: $\Delta t = \frac{\lambda }{{v(t)}}$et le nombre de collisions par unité de temps est : $\frac{{dn}}{{dt}} = \frac{1}{{\Delta t}} \Rightarrow \frac{{dn}}{{dt}} = \frac{1}{\lambda }\sqrt {\frac{{2E}}{m}}$.
3b/ L'équation $Ln\left( {\frac{{{E_n}}}{{{E_0}}}} \right) = - n\gamma$donne, en passant à la limite : $\gamma \,dn = - Ln\,[\frac{{E + dE}}{E}] = - \frac{{dE}}{E}$
soit : $\gamma \frac{{dt}}{\lambda }\sqrt {\frac{{2E}}{m}} = - \frac{{dE}}{E}$ ; en posant $\,y = \frac{E}{{\;{E_0}}}$ on a $\gamma \frac{{dt}}{\lambda }\sqrt {\frac{{2{E_0}}}{m}} = - \frac{{dy}}{{\;{y^{3/2}}}}$
3c/ L'intégration conduit à : $2\left[ {{y^{ - 1/2}} - 1} \right] = \frac{\gamma }{\lambda }t\,\sqrt {\frac{{2{E_0}}}{m}}$soit : $\,\sqrt {\frac{{{E_0}}}{E}} = 1 + \frac{\gamma }{{2\lambda }}t\,\sqrt {\frac{{2{E_0}}}{m}}$
4a/ On calcule d'abord $\,\sqrt {\frac{{{E_0}}}{E}} \approx 5000$ puis avec γ = 0,158 on trouve t = 120 µs .
On a toujours : $\,\sqrt {\frac{{{E_0}}}{E}} > > 1$ donc $\,t = \frac{{2\lambda }}{\gamma }\sqrt {\frac{m}{{2E}}}$ indépendant de E₀.
4b/ La distance parcourue pendant dt est : $dx = v.dt = dt\sqrt {\frac{{2E}}{m}}$ et on a aussi $\gamma \frac{{dt}}{\lambda }\sqrt {\frac{{2E}}{m}} = - \frac{{dE}}{E}$
donc $dx = - \frac{\lambda }{\gamma }\frac{{dE}}{E} \Rightarrow x = \frac{\lambda }{\gamma }Ln\,{\frac{{{E_0}}}{E}_{300K}}$ on trouve ainsi x = 2,8 m.
On peut remarquer que cette distance corespond à nλ puisque $n = - \frac{1}{\gamma }Ln\left( {\frac{{{E_{300K}}}}{{{E_0}}}} \right)$.

Deuxième partie.
1a/ Avec $\xi \,\vec u = {A_1}M \to$ ⇒ le théorème d'Ampère donne$\vec B = \frac{{{\mu _0}I}}{{2\pi {\xi ^2}}}\vec k \wedge \xi \vec u$
1b/${A_1}M \to =$$(r - a\cos \theta ){\vec u_r} + a\sin \theta {\vec u_{^\theta }}$⇒$\vec B = \frac{{{B_0}}}{{{\xi ^2}}}\left\{ \begin{array}{l} - a\sin \theta \;{{\vec u}_r}\\(r - a\cos \theta \;){{\vec u}_\theta }\end{array} \right.$et${\xi ^2} = {a^2} + {r^2} - 2\,a\,r\cos \theta$
1c/ $\vec B' = {B_0}\left\{ \begin{array}{l} - \frac{{a\sin \theta }}{{{\xi ^2}}}\; = - \left[ {\sin \theta {\rm{ + 2}}u\sin \theta \;\cos \theta - {{\rm{u}}^{\rm{2}}}\sin \theta [1 - 4{{\cos }^2}\theta {\rm{]}}} \right]{\rm{ }}\\\frac{{(r - a\cos \theta \;)}}{{{\xi ^2}}} = \left[ {u - {\rm{cos}}\theta - 2{\rm{u}}\,{\rm{co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\theta + {{\rm{u}}^{\rm{2}}}\cos \theta [3 - 4{{\cos }^2}\theta ]} \right]\end{array} \right.$
2a/ Il faut faire une rotation de π et changer le signe du courant. Soit: $\vec{B}''(u,\theta )=-\vec{B}'(u,\theta +\pi )$
2b/ ${B_{1r}} = B{'_r}(u,\theta ) - B{'_r}(u,\theta + \pi ) = - 2{B_0}\left[ {\sin \theta - {{\rm{u}}^{\rm{2}}}\sin \theta [1 - 4{{\cos }^2}\theta {\rm{]}}} \right]$
${B_{1\theta }} = B{'_\theta }(u,\theta ) - B{'_\theta }(u,\theta + \pi ) = - 2{B_0}\left[ {{\rm{cos}}\theta - {{\rm{u}}^{\rm{2}}}\cos \theta [3 - 4{{\cos }^2}\theta ]} \right]$
en linéarisant : ${B_{1r}} = - 2{B_0}\left[ {\sin \theta + {{\rm{u}}^{\rm{2}}}\sin 3\theta } \right]$ et${B_{1\theta }} = - 2{B_0}\left[ {{\rm{cos}}\theta + {{\rm{u}}^{\rm{2}}}\cos 3\theta } \right]$
3a/ Il faut faire une rotation d'angle − 2π/3 et d'angle +2π/3 .
3b/ Donc ${B_r} = {B_{1r}}(u,\theta ) + {B_{1r}}(u,\theta - 2\pi /3) + {B_{1r}}(u,\theta + 2\pi /3)$
${B_\theta } = {B_{1\theta }}(u,\theta ) + {B_{1\theta }}(u,\theta - 2\pi /3) + {B_{1\theta }}(u,\theta + 2\pi /3)$

Or $\left\{ \begin{array}{l}\cos (\theta - 2\pi /3) + \cos (\theta + 2\pi /3) = - \cos \theta \\\sin (\theta - 2\pi /3) + \sin (\theta + 2\pi /3) = - \sin \theta \end{array} \right.$on a finalement:

${B_r} = - 2{B_0}\left[ {3{{\rm{u}}^{\rm{2}}}\sin 3\theta } \right]$ ${B_\theta } = - 2{B_0}\left[ {3{{\rm{u}}^{\rm{2}}}\cos 3\theta } \right]$ donc $C = 6$ 4a/ Ligne de champ: $d\vec \ell //\vec B \Rightarrow \frac{{dr}}{{rd\theta }} = \frac{{{B_r}}}{{{B_\theta }}}$ ⇒$\frac{{dr}}{r} = \frac{{\sin 3\theta }}{{\cos 3\theta }}d\theta \Rightarrow \,{r^3} = r_0^3/\cos 3\theta$ 4b/ ci-contre : allure des lignes de champ. 4c/ Module $B(r) = 6{B_0}\;{r^2}/{a^2}$, lignes isomodules B(r) = Cte sur un cercle de centre O

II- Action du champ sur un neutron
1a/ Pour un dipôle donc deux cas possibles : ${{E}_{//}}=-\,B$ et ${{E}_{\bot }}=\,B$
Soit en remplaçant B par $C{B_0}\;{r^2}/{a^2}$⇒ ${{E}_{//}}=-\text{ }\!\!{\scriptscriptstyle 1\!/\!{ }_2}\!\!\text{ }m{{\Omega }^{2}}{{r}^{2}}$ et ${{E}_{}}=\text{ }\!\!{\scriptscriptstyle 1\!/\!{ }_2}\!\!\text{ }m{{\Omega }^{2}}{{r}^{2}}$
1b/ La force est donnée par : $\vec F = \, - gr\vec ad\,{E_p}$ donc ${\vec F_{//}} = m{\Omega ^2}\,\vec r$ et ${\vec F_{\rlap{--} \rlap{--} \not /\rlap{--} /}} = - m{\Omega ^2}\,\vec r$
Pour confiner il faut une force de rappel, seuls les neutrons antiparallèles peuvent être confinés.
2a/ La RFD donne : ${\vec F_{\rlap{--} \rlap{--} \not /\rlap{--} /}} = - m{\Omega ^2}\,\vec r = m\frac{{{d^2}\vec r}}{{d{t^2}}} + m\frac{{{d^2}z}}{{d{t^2}}}\vec k$ ⇒$- m{\Omega ^2}\,\vec r = m\frac{{{d^2}\vec r}}{{d{t^2}}}{\rm{ et }}\frac{{{d^2}z}}{{d{t^2}}} = 0$
2b/ L'intégration donne :$\,\vec r(t) = {\vec A_1}\cos \,\Omega t + {\vec A_2}\sin \Omega t$ où ${\vec A_1}{\rm{ et }}{\vec A_2}$ sont des constantes.
soit avec les conditions initiales: $z = {v_0}t$ et $\,\vec r(t) = {x_0}\vec i\cos \,\Omega t + \frac{{{u_0}}}{\Omega }\vec j\sin \Omega t$.
2c/ La trajectoire est une hélice d'axe Oz et de section elliptique.
3a/ Le neutron est confiné si le grand axe de l'ellipse est inférieur au rayon a; x₀ étant plus petit que a il faut que:$a > \frac{{{u_0}}}{\Omega }$ soit encore :${u_C} = a\,\Omega$.
3b/ A-N: u_C = 5,9 m.s⁻¹ce qui donne E_C = 18.10⁻⁸ eV et aussi T_C = 1,4.10⁻³ K
Ce résultat justifie l'appellation neutron ultra-froids.
3c/ La fonction de répartition de Boltzmann permet de calculer la fraction de neutrons qui ont une énergie inférieure à la valeur calculée précédemment:
$F = \int\limits_0^{{E_C}} {\frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}\frac{1}{{{{(kT)}^{3/2}}}}\sqrt E \exp ( - E/kT)\,dE}$
si T = 300 K << T_C on peut simplifier ⇒$F \approx \int\limits_0^{{E_C}} {\frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}\frac{1}{{{{(kT)}^{3/2}}}}\sqrt E \,dE} = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}\frac{1}{{{{(kT)}^{3/2}}}}\frac{2}{3}\left[ {{E^{3/2}}} \right]_0^{{E_C}}$
Soit finalement : $F = \sqrt {\frac{3}{{4\pi }}} {\left[ {\frac{{{T_C}}}{T}} \right]^{3/2}} \approx {5.10^{ - 9}}$ donc extrémement faible.
4/ Les neutrons ont un mouvement de dérive suivant l'axe Oz. or les fils créant le champ magnétique ne peuvent être rééllement infinis. Le confinement n'a lieu que dans la partie centrale du dispositif et se termine lorsque les neutrons sortent du dispositif.
III- Amélioration du confinement

1a/ Pour les neutrons confinés : ${\vec F_{//}} = - m{\Omega ^2}\,\vec r$ avec maintenant $\vec r =$$O'M \to$$= (\rho - R){\vec u_\rho } + z\vec k$
1b/ En cylindriques : $\vec a = (\ddot \rho - \rho {\dot \theta ^2}){\vec u_\rho } + (2\dot \rho \dot \theta + \rho \ddot \theta ){\vec u_\theta } + \ddot z\vec k$
1c/ Equations du mouvement : $\left\{ \begin{array}{l}\ddot \rho - \rho {{\dot \theta }^2} = - {\Omega ^2}(\rho - R)\\2\dot \rho \dot \theta + \rho \ddot \theta = 0\\\ddot z = - {\Omega ^2}z\end{array} \right.$
2a/ Compte tenu des conditions initiales: $\ddot z = - {\Omega ^2}z \Rightarrow z = {z_0}\cos (\Omega t) + \frac{{{V_0}}}{\Omega }\sin \Omega t$.
2b/ $2\dot \rho \dot \theta + \rho \ddot \theta = \frac{1}{\rho }\frac{{d({\rho ^2}\dot \theta )}}{{dt}} = 0 \Rightarrow {\rho ^2}\dot \theta = Cte = \rho _0^2{\omega _0}$ "mouvement projeté sur x0y à force centrale".
2c/ Il reste l'équation en ρ(t): $\ddot \rho - \rho {\dot \theta ^2} = \ddot \rho - \left( {\frac{{\rho _0^4\omega _0^2}}{{{\rho ^3}}}} \right) = - {\Omega ^2}(\rho - R)$
3a/ si ω₀ = 0 alors θ = θ₀ est constant : $\ddot \rho = - {\Omega ^2}(\rho - R) \Rightarrow (\rho - R) = ({\rho _0} - R)\cos \Omega t$,
c'est l'équation paramètrique (z(t),ρ(t)) d'une ellipse de centre O'.
3b/ si $\dot \theta = Cte = {\omega _0}$ alors ${\rho ^2} = \rho _0^2$, la trajectoire est sinusoïde dessinée sur un cylindre d'axe Oz.
La trajectoire sera fermée si la durée d'un tour est un multiple de la période, soit $\Omega = n{\omega _0}$.
4a/ Si $\rho = {\rho _m}[1 + \varepsilon (t)]$ alors l'équation en ε est :${\rho _m}\ddot \varepsilon - \left( {\frac{{\rho _0^4\omega _0^2}}{{\rho _m^3}}} \right)[1 - 3\varepsilon ] = - {\Omega ^2}({\rho _m} - R + {\rho _m}\varepsilon )$
4b/ La valeur moyenne correspond à ε = 0 : $- \left( {\frac{{\rho _0^4\omega _0^2}}{{\rho _m^3}}} \right) = - {\Omega ^2}({\rho _m} - R)$on a
4c/ Par différence : ${\rho _m}\ddot \varepsilon + 3\left( {\frac{{\rho _0^4\omega _0^2}}{{\rho _m^3}}} \right)\varepsilon + {\Omega ^2}{\rho _m}\varepsilon = 0$ soit : $\ddot \varepsilon + 3\left( {\frac{{\rho _0^4\omega _0^2}}{{\rho _m^4}}} \right)\varepsilon + {\Omega ^2}\varepsilon = 0$
ce qui s'intègre en $\varepsilon (t) = {\varepsilon _0}\cos (\Omega 't + {\varphi _0})$ en posant : $\Omega ' = \sqrt {3\left( {\frac{{\rho _0^4\omega _0^2}}{{\rho _m^4}}} \right) + {\Omega ^2}}$.
Ce qui donne alors la vitesse angulaire: $\dot \theta = \frac{{\rho _0^2{\omega _0}}}{{{\rho ^2}}} \approx \frac{{\rho _0^2{\omega _0}}}{{\rho _m^2}}[1 - 2\varepsilon ]$.
4d/ Les trajectoires sont alors ses oscillations autour des sinusoïdes tracées sur un cylindre. La vitesse angulaire étant elle même oscillante.
5/ La pesanteur entaîne un mouvement de chute selon l'équation z = ½ gt² qui s'ajoute aux oscillations. Au bout d'une période la "chute" vaut donc : $h = 2g{\pi ^2}/{\Omega ^2}$ .
On calcule alors : h = 5,6 mm, ce qui n'est pas négligeable.
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Concours Physique ENSAM (option T et TA) 1990 (Énoncé)

Electricité‑Optique‑Mécanique

( Options T et TA )

ELECTRICITE

Les deux parties du problème sont assez largement indépendantes. Il est néanmoins préférable d'avoir résolu les questions 1.1 et 1.2 avant d'aborder la deuxième partie.
1. On considère le montage de la figure E.1 représentant un amplificateur opérationnel idéal associé à deux résistances. On appelle Usat et -Usat les deux tensions de saturation positive et négative en sortie de
l'amplificateur. On notera $k = \frac{{{R_2}}}{{{R_1} + {R_2}}}$ .
1.1 Etudier le fonctionnement de ce montage et en déduire la caractéristique de transfert donnant la tension de sortie en fonction de la tension d'entrée : us= f(ue). On aura soin de préciser sur cette caractéristique les points particuliers en fonction de k et de Usat (et -Usat).
1.2 Quelle est la fonction réalisée par ce montage ?
On ajoute au montage précédent un condensateur de capacité C et une résistance R pour obtenir le montage de la figure E.2.
1.3 Ecrire l'équation différentielle régissant l'évolution de la tension ue en fonction de la tension us et de la constante de temps = RC.
1.4 En supposant que la valeur initiale de la tension ue est nulle et que la tension de sortie us est égale à Usat, résoudre l'équation précédente en donnant l'expression de la tension ue(t). Jusqu'à quel instant dure ce régime ?
1.5 On admet que les commutations en sortie de l'amplificateur opérationnel sont instantanées. Dessiner sur un même graphique l'allure des signaux us(t) et ue(t).
1.6 Calculer alors la fréquence f du signal observé en sortie de l'ampli­ficateur opérationnel.

2. On considère maintenant le montage de la figure E.3 construit autour de deux amplificateurs opérationnels idéaux de mêmes tensions de saturation Usat.
2.1 Quelle est la fonction réalisée par le second amplificateur opérationnel associé aux éléments R et C ?
2.2 On suppose ce fonctionnement parfait. Donner l'équation différentielle reliant les tensions us et v en fonction de la constante τ = R.C.
2.3 Déterminer l'équation reliant la tension ue aux tensions us et v en fonction uniquement de R1 et R2.
2.4 Pour quelles valeurs V0 et -V0 de v le premier amplificateur voit-il sa tension de sortie us basculer de -Usat à +Usat ou de +Usat à -Usat ?
2.5 Compte tenu de la réponse précédente, quelle condition doivent respecter les résistances R1 et R2 pour que le montage puisse fonctionner ?
Cette condition est supposée vérifiée dans la suite du problème.
2.6 On choisit un instant initial tel que v = V0 et us = Usat et l'on suppose toujours les commutations de l'amplificateur opérationnel instantanées. Tracer sur un même graphique la forme temporelle des tensions v(t) et us(t).
2.7 Calculer la fréquence f' de ces tensions.
2.8 Quelles améliorations a-t-on apportées par rapport au premier montage ?
2.9 Application numérique : on choisit un condensateur de capacité C = 10 nanofarads, la tension de saturation valant Usat = 12 Volts.
Donner des valeurs numériques raisonnables aux trois résistances R1 , R2 et R pour que le montage puisse délivrer en v(t) une tension d'amplitude 6 volts avec une fréquence réglable entre 100 hertz et 10 kilohertz.

OPTIQUE

On considère un dispositif interférentiel constitué par un diaphragme D percé de trois fentes F1, F2, F3 très fines et équidistantes:
${F_1}{F_2} = {F_2}{F_3} = d$
Ces trois fentes sont normales au plan de la figure 0.1, la fente centrale F2 est de largeur réglable, les deux fentes F1 et F3 sont de même largeur.
Le système est éclairé en lumière monochromatique de longueur d'onde λ par une fente source F très fine, parallèle aux trois fentes précédentes et disposée au foyer objet d'une lentille L conformément à la figure 0.1.
On observe les phénomènes d'interférences obtenus dans un plan E situé à la distance p du diaphragme D (p sera considéré comme très grand devant d).
On désignera par φ la différence de phase en un point M du plan E entre les vibrations diffractées par deux fentes consécutives du diaphragme D: F1, F2 ou F2, F3 .
On notera S0 le module de la vibration émise par F1 ou F3.
On donne:
d = 0,5 millimètre λ = 546 nanomètres p = 0,50 mètre.
1 ‑ On ferme la fente F2
‑ Décrire brièvement le phénomène observé sur le plan E
‑ Exprimer, en fonction de $y = \overline {OM}$ abscisse du point M sur le plan E, l'amplitude résultante en M et représenter graphiquement en fonction de y la variation de l'intensité vibratoire sur une distance de quelques interfranges entourant le point O.
‑ Donner la valeur numérique de l'interfrange.
2 ‑ On ouvre la fente F2 de manière à lui donner la même largeur qu'aux fentes F1 et F3 .
‑ Exprimer à nouveau l'amplitude résultante en M et représenter graphiquement la variation de l'intensité vibratoire en fonction de y en précisant les points particuliers: maximums, minimums...
3 ‑ On double la largeur de F2 de telle sorte que l'amplitude de la vibration diffractée par F2 soit le double de celle diffractée par les deux autres fentes.
‑ Représenter graphiquement la nouvelle variation de l'intensité vibratoire.
‑ Comparer le système de franges ainsi obtenu à celui observé dans la question 1 ; ne pourrait-on donner une justification physique en comparant cet effet interférentiel des trois fentes à celui de la réunion sur l'écran de deux systèmes interférentiels propres à 2 fentes ?

4 ‑ Les trois fentes F1, F2 et F3 ayant à nouveau même largeur, on interpose en avant du plan D et tout contre F2 une lame de verre à faces planes et parallèles, d'indice n = 1,50 et d'épaisseur e (figure 0.2)
On désigne par ψ le déphasage que présentent alors les sources F1 et F2 d'une part, F2 et F3 d'autre part.
4.1 ‑ Donner, en fonction de φ et de ψ, I'expression de l'amplitude et de l'intensité vibratoire en M.
4.2 ‑ Représenter graphiquement la variation de l'intensité vibratoire en fonction de y pour ψ = 0, ψ = Π/2 et ψ = Π
4.3 ‑ Quel doit être l'épaisseur e de la lame pour atteindre ψ = Π/2 ?
Ne pourrait-on proposer un meilleur choix technologique de cette épaisseur pour atteindre le même résultat ?
NOTA: Pour l'ensemble de ce problème, le candidat sera aidé par un traitement analytique en notations complexes. Il pourra vérifier physiquement les résultats atteints par des représentations de FRESNEL de la composition des vibrations.

MECANIQUE

Etude d'un dispositif permettant de focaliser des faisceaux de particules chargées.

Dans tout le problème, les particules ont la même charge q ; leur masse est M0 ou M1 ; les vitesses sont non‑relativistes, et les trajectoires sont situées dans le plan xOy de la figure M1.
Les particules sont émises avec la même énergie cinétique Ec, par une source S ponctuelle ; elles sont classées en 3 types :
type P0 : masse m0, vitesse initiale v0 dirigée suivant 0y.
type P'0 : masse m0, vitesse initiale v0 faisant un angle α très petit avec 0y
type P1 : masse m1, vitesse initiale v1 dirigée suivant Oy.
Le système est constitué d'un secteur de condensateur cylindrique d'angle d'ouverture φ. Les 2 armatures a1 et a2 ont pour rayon r1 et r2.
On pose ${r_0} = \frac{{{r_1} + {r_2}}}{2}$ ; $\Delta r = {r_2} - {r_1}$.
Le point A0 a pour coordonnées r0, 0.
L'électrode interne a1 est au potentiel 0 ; l'électrode externe a2 au potentiel U. On néglige les effets de bord. Le champ électrique est donc radial entre les armatures et nul à l'extérieur. La source S est située à la distance d de A0 ; S a pour coordonnées r0, ‑d.
1‑ Soit E la valeur du champ électrique en un point M situé entre les armatures à la distance r de O. Soit E0 sa valeur à la distance r0 de O. Donner l'expression de E :
1‑1 en fonction de E0 , r0 et r.
1‑2 en fonction de U, r1, r2 et r.
2‑ 2‑1 Donner l'expression de U pour qu'une particule de type P0 ait une trajectoire circulaire de centre O et de rayon r0 .

Dans la suite du problème, U conservera cette expression

2‑2 Que devient cette expression de U si Δr « r0.
3‑ Quelle est la trajectoire d'une particule de type p1 ?

4‑ On veut étudier la trajectoire d'une particule de type P0 entre les armatures. Cette particule pénètre dans le condensateur au point A'0 La position M de la particule est déterminée par :
la distance r(t) de O à la particule
l'angle θ(t) = (O$\vec x$, O$\vec M$)
L'origine des temps est prise à l'instant où la particule est en A'0.
4‑1 Montrer que le mouvement de la particule est du type "accélération centrale". Montrer que le moment cinétique en O reste de module constant, et calculer ce module en fonction de v0, r0, d et α. Ecrire les équations différentielles régissant le mouvement de la particule dans le condensateur.
4‑2 On pose $r = {r_0}\left( {1 + \varepsilon } \right)$ avec ε<<1.
A partir d'un développement limité au premier ordre en α et ε, écrire l'équation différentielle régissant ε.
4‑3 Montrer que la solution est de la forme ε = α (a + b sinωt).
Calculer a, b et ω en fonction de r0, v0 et d.
4‑4 En déduire une équation différentielle du premier ordre en θ.
Montrer que la solution est de la forme :
$\theta = {a_1}t + \alpha \left[ {{b_1}t + {c_1}\left( {\cos \omega t - 1} \right)} \right]$.
Calculer a1, b1 et c1 en fonction de r0, v0 et d.
5‑ On étudie la convergence du faisceau de particules en sortie du condensateur. Les trajectoires en sortie sont des droites Dα dépendant de α. Soit D0 la droite obtenue pour α = 0. D0 et Dα se coupent en I à la distance d' du plan de sortie du condensateur.
5‑1 Compte tenu des approximations précédentes, calculer en fonction de α, r0, d, v0 et φ :
‑ L'instant t1 de sortie d'une particule entrée à l'instant 0 dans le condensateur.
‑ La distance de sortie : r(t1)
‑ Les composantes radiale et orthoradiale de la vitesse de sortie.
5‑2 En déduire l'expression de d' . En conclure que le dispositif permet effectivement la convergence du faisceau.
5‑3 Dans quel cas obtient-on un faisceau parallèle en sortie ?

Concours Physique ENSAM 1990 Thermodynamique-Chimie (Énoncé)

THERMODYNAMIQUE CHIMIE
Option T
( Durée 4 heures )
L'épreuve comprend une partie Thermodynamique et une partie Chimie que les candidats devront obligatoirement traiter sur des copies séparées et convenablement repérées.
THERMODYNAMIQUE
1. On étudie un système constitué par une masse de 1 kg d'air considéré comme un gaz parfait de caractéristiques thermiques constantes. Etablir l'expression s(T, p) donnant l'entropie massique s en fonction de la température absolue T et de la pression p en prenant comme état de référence celui pour lequel s = so , T = To , p = po .
Application: cp = 1000 J.kg-1.K-1, r = 287 J.kg-1.K-1, so = 0, To = 273 K, po = 1 bar.
En déduire l'équation s(T) de l'isobare p = 10 bars dans le diagramme entropique.

2. On étudie maintenant une pompe à chaleur fonctionnant selon un cycle à air. La machine de base comporte ( Figure 1 ) :
‑ un turbocompresseur C,
‑ un échangeur E qui assure la production thermique,
‑ une turbine Tu,
‑ un échangeur E' qui extrait la chaleur d'une source ambiante.
Le turbocompresseur et la turbine sont montés sur le même arbre . Un moteur M assure l'entraînement de l'ensemble. Le turbocompresseur et la turbine sont calorifugés.
Dans tout le problème:
‑ L'air sort de l'échangeur E' à la température de 280K.
‑ L'air entre dans l'échangeur E à la température de 375 K .
‑ L'air sort de l'échangeur E à la température de 325 K .
‑ On néglige les pertes de charge dans les échangeurs de sorte que les évolutions y sont isobares. ‑ ‑ On néglige les variations d'énergie cinétique et d'énergie potentielle de position.

2.1. On néglige tous les frottements. Les évolutions du fluide dans le turbocompresseur et dans la turbine sont alors isentropiques. Le cycle 1‑2‑3‑4‑1 représentant l'évolution d'une masse de 1 kg d'air dans le circuit est constitué de deux isobares p1 et P2 reliées par deux isentropiques. La pression P1 est égale à 1 bar. Le schéma du cycle est donné sur la figure 1 où les isobares réelles ont été remplacées par des droites pour des raisons graphiques.
2.1.1 Calculer la pression P2. la température T4, les valeurs des entropies s1 et s3 et tracer le cycle dans le diagramme entropique en choisissant des échelles convenables sur les deux axes.
2.1.2 Exprimer en fonction des températures et des caractéristiques du fluide les travaux massiques indiqués wi 1-2 , wi 3-4 , la quantité de chaleur massique échangée avec le milieu extérieur qe 2-3 et le travail fourni par le moteur par kilogramme de fluide wM.
Calculer les valeurs numériques correspondantes.
2.1.3 Calculer le coefficient de performance COP de la pompe à chaleur défini par le rapport :
$COP = - \frac{{{q_e}_{_{\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}}2 - 3}}}{{{w_M}}}$

2.2. On se propose, afin d'essayer d'améliorer le COP, de réchauffer l'air aspiré par le compresseur à l'aide de l'air sortant de l'échangeur E en utilisant un échangeur E" (Figure 2). E" est calorifugé et supposé parfait ce qui signifie que T3 = T1 et T4 = T6. On néglige de nouveau tous les frottements.

2.2.1 Calculer les valeurs numériques des grandeurs suivantes :
p2 = p3 = p4 , T5 . s1 , s3 , s4 , s6
Tracer le cycle dans le diagramme entropique en utilisant les mêmes échelles que celles choisies précédemment .

2.2.2 Exprimer les travaux massiques indiqués wi 1-2 ,wi 4-5 ., la quanti de chaleur massique échangée avec le milieu extérieur qc 2-3 et le travail fourni par le moteur par kilogramme de fluide WM puis en calculer les valeurs numériques.
2.2.3 Calculer le coefficient de performance $COP = - \frac{{{q_e}_{_{\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}}2 - 3}}}{{{w_M}}}$.Commenter le résultat.

2.3 On reprend les calculs de la question 2.1 en tenant compte des frottements dans le compresseur et dans la turbine . En conséquence les évolutions du fluide n'y sont plus isentropiques. Le cycle correspondant 1‑2‑3‑4‑1 est schématisé sur la figure 3a
On appelle rendement indiqué par rapport à l'isentropique du compresseur et de la turbine respectivement les grandeurs ${\eta _{SC}}$ et ${\eta _{ST}}$ , telles que:
${\eta _{SC}} = \frac{{{h_{2'}} - {h_1}}}{{{h_2} - {h_1}}}$ ${\eta _{ST}} = \frac{{{h_4} - {h_3}}}{{{h_{4'}} - {h_3}}}$
où h représente l'enthalpie massique du fluide et où les évolutions fictives 1‑2' et 3‑4' sont isentropiques. On prendra ${\eta _{SC}}$ = ${\eta _{ST}}$ = 0,85.
2.3.1 Calculer les valeurs numériques des grandeurs suivantes : T2 , P2 = P2' = P3 , T5' , T5
2.3.2 Calculer les valeurs numériques des travaux massiques indiqués wi 1-2 ,wi 3-4 , de la quantité de chaleur massique échangée avec le milieu extérieur qe 2-3 et du travail fourni par le moteur par kilogramme de fluide wM . En déduire la nouvelle valeur du COP.
2.4 On reprend les calculs de la question 2.2 en tenant compte des frottements dans le turbocompresseur et dans la turbine, en prenant ${\eta _{SC}}$ = ${\eta _{ST}}$ = 0,85. L'échangeur E" reste parfait . Le cycle correspondant 1‑2‑3‑4‑5‑6‑1 est schématisé sur la figure 3b.
2.4.1 Calculer les valeurs numériques des grandeurs suivantes:
T2' , p2 = p2' = p3 = P4. , T5' = T5
2.4.2 Calculer les valeurs numériques des travaux massiques indiqués wi 1-2 ,wi 4-5, de la quantité de chaleur massique échangée avec le milieu extérieur qe 2-3 et du travail fourni par le moteur par kilogramme de fluide WM . En déduire la nouvelle valeur du COP.
2.5 On reprend les calculs de la question 2.2 en tenant compte des frottements dans le turbocompresseur et dans la turbine, en prenant ${\eta _{SC}}$ = ${\eta _{ST}}$ = 0,85. En réalité l'échangeur ne peut être parfait. Pour qu'il y ait échange thermique il faut qu'il existe une différence de température entre les fluides circulant dans les deux circuits de l'appareil. On définit l'efficacité de l'échangeur par cette différence dont la valeur sera supposée égale à 20°C soit :
(T3 - T1 ) = 20°C et (T4 - T6) = 20°C .
2.5.1 Calculer les valeurs numériques des grandeurs suivantes:
T2' , p2 = p2' = p3 = P4. , T5' = T5
2.5.2 Tracer le cycle correspondant en utilisant les mêmes échelles que celles choisies précédemment.
2.5.3 Calculer les valeurs numériques des travaux massiques indiqués wi 1-2 ,wi 4-5, de la quantité de chaleur massique échangée avec le milieu extérieur qe 2-3 et du travail fourni par le moteur par kilogramme de fluide WM . En déduire la nouvelle valeur du COP.
CHIMIE
A. L'oxydation du dioxyde de soufre en trioxyde de soufre conduit à un équilibre homogène en phase gazeuse décrit par le schéma réactionnel suivant:
2 SO2 + O2 $\rightleftarrows$ 2 SO3
Dans cette partie on utilisera obligatoirement les notations indiquées ci‑dessous.

	SO2	O2	SO3
Pressions partielles (bars)	p1	p2	p3
Nombre de moles	n1	n2	n3
Taux de transformation	α
Nombre total de moles				N
Pression totale (bars)				P
Température (kelvins)				T

Les enthalpies réactionnelles standard de formation à 298 K et les entropies absolues standard à 298K sont données dans le tableau suivant pour chacune des espèces chimiques du système. La pression de référence choisie pour la détermination des grandeurs therrmodynamiques des espèces gazeuses est égale à 1 bar.

	SO2	O2	SO3
${\left( {\Delta H_f^0} \right)_{298}}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}kJ.mo{l^{ - 1}}$	-297	0	-396
$S_{298}^0\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}J.mo{l^{ - 1}}.{K^{ - 1}}$	248	205	256

La variation de capacité thermique réactionnelle sera considérée comme nulle à toute température. Valeur de la constante des gaz parfaits: R = 8,314 $J.mo{l^{ - 1}}.{K^{ - 1}}$.
1. Exprimer Kp, constante d'équilibre relative aux pressions partielles et calculer sa valeur à la température de 298 K.
2. a‑ Exprimer Kn ., constante d'équilibre relative aux nombres de moles.
b‑ Etablir la relation donnant Kn en fonction de Kp,, P et N.
c‑ En déduire le sens du déplacement de l'équilibre provoqué par l'introduction dans le milieu réactionnel, à T et P constantes, d'une espèce gazeuse chimiquement inerte.

3. La température étant fixée à 700°C et la pression totale à 10 bars, on part d'un mélange réactionnel initial de dioxyde de soufre et d'oxygène en proportions stoechiométriques. Calculer à l'équilibre les valeurs de α,. p1, p2 et p3.
4. La température et la pression totale étant maintenues constantes, on part d'un mélange réactionnel initial constitué de 1 mole de dioxyde de soufre et de q moles d'oxygène.
a‑ Montrer que α tend vers une limite lorsque q augmente indéfiniment .
b‑ En déduire la pression P nécessaire pour que cette limite soit égale à 0,9 à 700°C.
B. Lorsqu'on met en solution du dioxyde de soufre dans l'eau, les équilibres mis en jeu sont les suivants:
OS2 + 2 H2O $\rightleftarrows$ HO3- + H3O+ pK1 = 1,8
HSO3- + H2O $\rightleftarrows$ SO32- + H3O+ pK2 = 7,3
1. On considère une solution de dioxyde de soufre de concentration volumique molaire initiale égale à 1 mol.l-1.
a‑ Exprimer les concentrations volumiques molaires :
[ SO2] = c1 , [ HSO3- ] = c2 et [SO32- ] = c3
des diverses espèces en solution à l'équilibre en fonction de [H3O+] = h .
b‑ Représenter graphiquement c1 , c2 et c3 en fonction du pH. L'évolution d'une des concentrations volumiques molaires présente un maximum dont on précisera les coordonnées.
2. On prélève 100 cm3 de la solution précédente qu'on introduit dans 400 cm3 d'eau. On ajoute à la solution obtenue 500 cm3 d'une solution de soude de concentration volumique molaire 0,4 mol.l-1 Déterminer le pH de la solution finale. On justifiera soigneusement toute hypothèse simplificatrice utilisée.
3. On dissout dans 1 litre d'eau 0,1 mole d'hydrogénosulfite de sodium NaHSO3, déterminer le pH de la solution obtenue. On justifiera soigneusement toute hypothèse simplificatrice utilisée.

Concours Mines de Douai Chimie I 1990 (Énoncé)

Mines de Douai 1990

Chimie partie 1

A - Structure de la molécule d'eau liquide

1/ Donner la structure électronique des atomes d'hydrogène ( numéro atomique Z = 1) et d'oxygène ( numéro atomique Z = 8 ) .
2/ Expliquer succinctement l'établissement des liaisons entre les atomes de la molécule d'eau.
3/ L'oxygène est plus électronégatif que l'hydrogène . Expliquer succinctement l'incidence de cette donnée sur la molécule d'eau et sur la propriété qu'a l'eau liquide d'être le solvant de nombreuses substances.

B - Hydrolyse et solubilité des sels

Lorsque l'on dissout dans l'eau un sel AB d'acide faible et de base forte, les ions A^- réagissent avec les molécules d'eau selon une réaction équilibrée.
l/ De quel acide faible et de quelle base forte l'acétate de sodium CH₃COONa dérive-t-il ?
2/ Établir la relation donnant le pH de la solution obtenue par dissolution de n_o moles de CH₃COONa dans un litre d'eau sans changement de volume, sachant que la constante d'acidité K_A de l'acide correspondant est égale à et que le produit ionique de l'eau K_e vaut 10^-14. Calculer ce pH pour .
3/ La solubilité de l'hydroxyde de cuivre Cu(OH)₂ est de 10^-7 mol/L dans l'eau pure, toutes les molécules de Cu(OH)₂ solubles étant dissociées en ions Cu²⁺ et OH^-.
a) Calculer le produit de solubilité de cet hydroxyde sans tenir compte de la dissociation de l'eau.
b) Calculer Le produit de solubilité de cet hydroxyde en tenant compte de la dissociation de l'eau.
Pour les questions suivantes, on ne tiendra pas compte de la dissociation de l'eau.
c) Calculer le pH d'une solution saturée d'hydroxyde de cuivre.
d) On effectue la précipitation de Cu(OH)₂ par l'addition de CH₃COONa à une solution de sulfate de cuivre (Cu²⁺, SO₄^2-) de concentration égale à 10^-3 mol/L. Quel est le pH de la solution au début de la précipitation ?

C . - Enthalpie de vaporisation de l'eau

Données :
Δ_fH° : Enthalpie standard de formation à 298 K.
C_p : Capacité thermique molaire à pression constante.
T : Température en kelvins.

Composé	ΔfH° (J/mol)	Cp (J/mol/K)
H2 gaz		27.3 + 3.3 10-3 T
O2 gaz		29.9 + 4.2 10-3 T
H2O liquide	- 2.86 105	75.2
H2O gaz	...	30 + 1.07 10-2 T

Enthalpie de vaporisation de l'eau à 373 K sous 1 bar : L_v = 3.75 10⁴ J.mol^-l.
Les transformations suivantes sont effectuées à la pression standard de 1 bar.
l/ Calculer l'enthalpie de formation isotherme d'une mole d'eau vapeur à 423 K.
2/ Une mole de dihydrogène mise en présence de la quantité suffisante de dioxygène à 298 K forme de l'eau vapeur à 423 K. Quelle est la quantité de chaleur mise en jeu au cours de cette transformation ? Cette transformation est-elle endothermique ou exothermique ?

Concours commun Mines-Ponts (M, P', TA) 1990 Physique I (Corrigé)

Mines–Ponts, M, P’, TA, 1990 (Physique I)
Solutions proposées

1. 1. L’énergie interne $U$ et l’entropie $S$ vérifient respectivement ${\mathrm{d}}U = \delta W + \delta Q$ donc ${\mathrm{d}}U = C_L {\mathrm{d}}T + (F + h) {\mathrm{d}}L$ et ${\mathrm{d}}S = \frac{\delta Q}{T}$ donc ${\mathrm{d}}S = \frac{C_L}{T} {\mathrm{d}}T + \frac{h}{T} {\mathrm{d}}L$ pour des transformations réversibles; les expressions obtenues relient des différentielles de fonctions et variables d’état, donc ces expressions en sont pas limitées aux seules transformations réversibles et on peut écrire ${\frac{\partial U}{\partial T}} = C_L$, ${\frac{\partial U}{\partial L}} = F + h$, ${\frac{\partial S}{\partial T}} = \frac{C_L}{T}$ et ${\frac{\partial S}{\partial L}} = \frac{h}{T}$. On peut alors affirmer le lemme de Schwartz pour les deux fonctions $U(T,L)$ et $S(T,L)$, ce qui conduit aux deux relations ${\frac{\partial C_L}{\partial L}} = {\frac{\partial F}{\partial T}} + {\frac{\partial h}{\partial T}}$ et ${\frac{\partial }{\partial L}} \frac{C_L}{T} = {\frac{\partial }{\partial T}} \frac{h}{T}$, cette dernière pouvant être recopiée sous la forme ${\frac{\partial C_L}{\partial L}} = {\frac{\partial h}{\partial T}} - \frac{h}{T}$. L’identification des deux expressions mène à $\frac{h}{T} = - {\frac{\partial F}{\partial T}}$, cette dernière dérivée partielle (calculée à $L$ constant) s’identifie ici à $\sigma$, d’où enfin le résultat $h = - T \sigma$.
   
   
   2. Revenant aux expressions établies ci-dessus, ${\frac{\partial C_L}{\partial L}} = {\frac{\partial h}{\partial T}} - \frac{h}{T}$ s’écrit, puisque $\sigma$ est constant, sous la forme ${\frac{\partial C_L}{\partial L}} = 0$.
   3. On revient enfin à l’expression ${\mathrm{d}}S = \frac{C_L}{T} {\mathrm{d}}T + \frac{h}{T} {\mathrm{d}}L$ écrite ${\mathrm{d}}S = \frac{C_L}{T} {\mathrm{d}}T - \sigma {\mathrm{d}}L$ qui s’intègre donc immédiatement en $S(T,L) = S_m + C_L \ln \frac{T}{T_m} - \sigma (L - L_m)$.
   4. Si $L$ augmente à température constante, $\sigma > 0$ donc $\Delta S_T = - \sigma \Delta L < 0$. Ce comportement est évidemment différent de celui d’un gaz parfait pour lequel l’identité thermodynamique ${\mathrm{d}}U = T {\mathrm{d}}S - P {\mathrm{d}}V$ et la première loi de Joule ${\mathrm{d}}U = 0$ si ${\mathrm{d}}T = 0$ permettent d’écrire ${\mathrm{d}}S = \frac{P}{T} {\mathrm{d}}V$ donc, au vu de l’équation d’état, ${\mathrm{d}}S = n R \frac{{\mathrm{d}}V}{V}$ soit $\Delta S_T = n R \ln \frac{V_{\rm final}}{V_{\rm initial}} > 0$. Il n’y a rien de surprenant ici puisqu’une augmentation de volume implique une augmentation de l’indétermination sur les positions des molécules de gaz (augmentation du désordre) alors que l’augmentation de longueur d’un fil de caoutchouc se traduit par un alignement des molécules de polymère (diminution du désordre).
   5. À partir de la relation déjà posée ${\mathrm{d}}U = C_L {\mathrm{d}}T + (F + h){\mathrm{d}}L$ on peut, au vu de l’expression $h = - \sigma T$, écrire ${\mathrm{d}}U = C_L {\mathrm{d}}T + \left[F_m - \sigma T_m + \rho (L - L_m)\right] {\mathrm{d}}L$ donc $U = U_m + C_L(T - T_m) + \left(F_m - \sigma T_m\right) (L - L_m) + \frac{\rho}{2} (L - L_m)^2$ et $\mathcal F = U - T S$ s’en déduit, après regroupement des termes et en fonction de $\mathcal F_m = \mathcal F(T_m,L_m)$, il vient $\mathcal F = \mathcal F_m + \left[C_L - S_m\right] (T-T_m) - C_L T \ln \frac{T}{T_m}+ \left[F_m - \sigma (T - T_m)\right](L - L_m) + \frac{\rho}{2} (L - L_m)^2$. On remarque alors que si $T = T_m$, les variations de $\mathcal F$ sont données par la relation $\mathcal F - \mathcal F_m = \frac{\rho}{2} (L - L_m)^2$; plus généralement, on sait que ${\mathrm{d}}\mathcal F = \delta W - S {\mathrm{d}}T$ donc, pour une transformation isotherme, ${\mathrm{d}}\mathcal F$ s’identifie au travail reçu par le fil, opposé du travail qu’il fournit $\delta W' = - {\mathrm{d}}E_p$; on peut donc identifier $W = \Delta \mathcal F = \Delta E_p$ pour cette transformation réversible. La relation $E_p = \frac{\rho}{2} (L - L_m)^2$ identifie un ressort élastique, de longueur à vide $L_m$ et de raideur $k = \rho$.
   6. Un cycle de Carnot est constitué de deux isothermes et de deux adiabatiques réversibles. L’équation d’une isotherme est $F - F_m = \rho (L - L_m)$; c’est donc une droite de pente $\rho$. L’équation d’une adiabatique réversible (isentropique) est $S - S_m = C_L \ln \frac{T}{T_m} - \sigma (L - L_m)$ dont on doit éliminer $T$ avec l’équation d’état $F - F_m = \sigma (T - T_m) + \rho (L - L_m)$; il vient $F = F_m + \rho(L - L_m) + \sigma T_m \left[\alpha \exp \left[ \frac{\sigma}{C_L} (L - L_m)\right] - 1\right]$ où on a posé $\alpha = \exp \left(\frac{S - S_m}{C_L}\right)$. La pente de la courbe correspondante est ${\frac{{\mathrm{d}}F}{{\mathrm{d}}L}} = \rho + \frac{\alpha \sigma^2 T_m}{C_L} \exp \left[ \frac{\sigma}{C_L} (L - L_m)\right]$ donc ${\frac{{\mathrm{d}}F}{{\mathrm{d}}L}} > \rho$, ce qui permet de tracer l’allure du diagramme de Clapeyron (cf. figure). Le sens de parcours se déduit du caractère moteur du cycle: $W = \oint F {\mathrm{d}}L < 0$ donc le parcours doit être à ${\mathrm{d}}L < 0$ pour les valeurs élevées de $F$ (sens trigonométrique).
      
      


2. Moteur d’Archibald.
   
   1. 1. $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{CA} = a \vec e_x + R \vec e_r$ en utilisant une base polaire d’angle $\theta$; on en déduit donc (c’est en fait le théorème d’Al-Kashi) $OA^2 = a^2 + 2 a R \cos \theta + R^2$ donc en se limitant au terme du premier ordre en $a/R$, $OA^2 = R^2 \left(1 + 2 \frac{a}{R} \cos \theta\right)$ soit $OA = R + a \cos \theta$.
      2. La longueur la plus élevée est $OA = R + a$, au moment où le fil se trouve à l’horizontale ($\theta = 0$) à l’entrée dans le bain d’eau chaude; la partie suivante du cycle $A'B'$ correspond à l’évolution isotherme avec diminution de longueur (c’est donc une droite de pente $\rho$) jusqu’à atteindre $\theta = \pi$ et la sortie de ce fil en $B'$ du bain d’eau chaude. À cet instant on observe une phase de diminution rapide (quasiment instantanée dans le modèle choisi) de la température à longueur constante, donc une diminution de la force donnée par $\Delta F = \sigma (T_2 - T_1) < 0$. Le fil est alors passé en $C'$ dans l’air et subit une seconde évolution isotherme avec diminution de $\theta$ de $\pi$ à $0$ qui l’amène en $D'$, prêt à rentrer à nouveau dans le bain d’eau chaude; pendant la dernière transformation iso-longueur $D'A'$, le fil subit une augmentation de la force donnée par $\Delta F = \sigma (T_1 - T_2) > 0$. Le cycle est parcouru dans le sens (trigonométrique) moteur selon le schéma ci-dessous.
         
         
   2. 1. La relation $\delta Q = C_L {\mathrm{d}}T - T \sigma {\mathrm{d}}L$ appliquée à une transformation isotherme réversible $A'B'$ fournit $Q_{A'B'} = 2 a T_1 \sigma$; il faut ajouter à ce terme de transfert thermique lors du chauffage iso-longueur $D'A$ pour lequel on peut supposer une transformation réversible et écrire $Q_{D'A'} = C_L (T_1 - T_2)$ et on obtient $Q_1 = C_L (T_1 - T_2) + 2 a T_1 \sigma$.
         Remarquons que, sans supposer une transformation réversible entre $D'$ et $A'$, l’expression de $U$ établie plus haut permet d’écrire $\Delta U = C_L \Delta T$ à $L$ fixé donc $Q = \Delta U - W$ s’écrit encore $Q = \Delta U$ si on se souvient que, même pour une évolution irréversible, $W = \int F_{\rm ext}{\mathrm{d}}L$ est nul à longueur constante; finalement, le résultat affirmé ci-dessus ne dépend pas de l’hypothèse de réversibilité du changement de température iso-longueur $D'A'$.
      2. Les mêmes raisonnements amènent immédiatement à $Q_2 = C_L (T_2 - T_1) - 2 a T_2 \sigma$. Le premier principe de la thermodynamique s’écrit, pour un cycle, $\Delta U = 0 = Q_1 + Q_2 - W$ si $W$ est le travail fourni par le fil lors d’un tour; on a donc $W = 2 a \sigma (T_1 - T_2)$.
      3. Le travail fourni est égal à l’aire du cycle; l’aire du parallélogramme tracé est le produit de la largeur $2a$ par la hauteur $\sigma (T_1 - T_2)$, ce qui confirme le résultat $W = 2 a \sigma (T_1 - T_2)$.
      4. Lorsque le point $A$ se trouve à la position définie par l’angle $\theta$, le moment de la force $\vec F$ est défini par $\vec{\mathcal M} = \overrightarrow{CA} \wedge \vec F$ où $\vec F = F \vec u$ est dirigé de $A$ vers $O$; on écrit alors $\overrightarrow{CA} = R \vec e_r$ tandis que $\overrightarrow{AO} = - a \vec e_x - R \vec e_r$ donc le vecteur unitaire dirigé de $A$ vers $O$ s’écrit $\vec u = - \frac{a \vec e_x + R \vec e_r}{R \left(1 + \frac{a}{R} \cos \theta\right)}$ donc, à l’ordre le plus bas, $\vec{\mathcal M} = a F \vec e_z$ qu’on écrit $\vec{\mathcal M} =\mathcal M \vec e_z$ avec $\mathcal M = a F(T,L)$.
         Le moment exercé sur la roue lors du demi-tour entre $\theta = 0$ et $\theta = \pi$ (le fil étant dans l’eau chaude) est donc $\mathcal M_1 = a \left[F_m + \sigma (T_1 - T_m) + \rho (R + a \cos \theta - L_m)\right]$ et le travail reçu par la roue pendant ce demi-tour est $W_1 = \int_0^\pi \mathcal M_1 {\mathrm{d}}\theta$. De la même manière, lors du demi-tour ultérieur (le fil étant alors dans l’air), $\mathcal M_2 = a \left[F_m + \sigma (T_2 - T_m) + \rho (R + a \cos \theta - L_m)\right]$ et $W_2 = \int_{\pi}^0 \mathcal M_2 {\mathrm{d}}\theta$. L’intégration sur un tour complet conduit à $W = \int_0^{\pi} \left(\mathcal M_1 - \mathcal M_2\right) {\mathrm{d}}\theta$ donc $W = \int_0^{\pi} a \sigma (T_1 - T_2) \cos \theta {\mathrm{d}}\theta$ soit ici encore $W = 2 a \sigma (T_1 - T_2)$.
      5. La définition générale du rendement d’un moteur thermique conduit à poser $\eta = \frac{W}{Q_1}$ donc on en déduit immédiatement $\eta = \frac{2 a \sigma (T_1 - T_2)}{C_L (T_1 - T_2) + 2 a T_1 \sigma}$.
   3. 1. Le rendement du cycle moteur de Carnot s’obtient en écrivant les premier et second principes sous la forme $0 = Q_1 + Q_2 - W$ (comme pour le cycle de Stirling) et $\frac{Q_1}{T_1} + \frac{Q_2}{T_2} = 0$ (l’inégalité de Clausius est une égalité dans le cas d’une évolution complètement réversible) donc $\eta_C = 1 + \frac{Q_2}{Q_1}$ s’écrit aussi $\eta_C = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ ce qui mène à $\alpha = \frac{1}{1 + \displaystyle \frac{C_L}{2a\sigma}(1 - \displaystyle \frac{T_2}{T_1})}$ qu’on peut aussi écrire $\alpha = \frac{1}{1 + \displaystyle \frac{C_L \eta_C}{2a\sigma}}$. On remarque bien sûr que $\alpha < 1$ donc $\eta < \eta_C$, conformément au théorème de Carnot (voir aussi la question suivante).
      2. On a vu que $Q_{D'A'} = C_L (T_1 - T_2)$, et de même $Q_{B'C'} = C_L (T_2 - T_1)$ donc $Q_{B' \to C' \cup D' \to A'} = 0$ donc cet ensemble est adiabatique. Toutefois, un cycle de Carnot doit être complètement adiabatique; les deux évolutions de température en $B'C'$ et $D'A'$ sont irréversibles donc le rendement dans un cycle de Stirling est plus faible que le rendement dans un cycle de Carnot.
   
   
   4. 1. L’expression ci-dessus du rendement mène à $\eta = {1,2 \cdot 10^{-5}}$ (valeur intensive donc indépendante du nombre de fils). La puissance moyenne du moteur est $\mathcal P = 2N \frac{W}{\tau}$ où la durée d’un cycle est $\tau = \frac{2\pi}{\omega}$ (valeur extensive donc proportionnelle au nombre de fils fonctionnant en même temps); numériquement, $\mathcal P = \frac{2N\omega a \sigma (T_1 - T_2)}{\pi} = 0,51{\,\mathrm{W}}$.
      2. Le débit $\mathcal D_m$ s’identifie à la masse d’eau remontée par unité de temps d’une hauteur $h$, avec donc une puissance mécanique consommée $\mathcal P > \mathcal D_m g h$; on a donc $\mathcal D_m < \frac{\mathcal P}{g h} = {5,2 \cdot 10^{-3}}{\,\mathrm{kg}\cdot\mathrm{s}^{-1}}$ en prenant $g = 9,8{\,\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-2}}$; c’est une valeur assez élevée ($310$ litres par minute) ce qui conduit à recommander l’utilisation de ce appareil, la valeur très faible du rendement étant compensée par le caractère gratuit de la source thermique (on peut imaginer le chauffage de l’eau par le rayonnement solaire par exemple).

Concours commun Mines-Ponts (M, P', TA) 1990 Physique I (Énoncé)

Mines–Ponts, M, P’, TA, 1990 (Physique I)
Le moteur à fils de caoutchouc

1. Thermodynamique d’un fil de caoutchouc.
   Les paramètres thermodynamiques d’un fil de caoutchouc sont la longueur $L$, la tension $F$ et la température $T$. Au voisinage d’une température moyenne $T_m$, d’une longueur moyenne $L_m$ et d’une tension moyenne $F_m$, l’équation d’état est linéarisable et prend la forme: $$F(L,T) = F_m + \rho \left(L - L_m\right) + \sigma\left(T - T_m\right)$$ où $\rho$ et $\sigma$ sont des constantes positives. Le travail élémentaire reçu quand le fil s’allonge de ${\mathrm{d}}L$ lors d’une transformation réversible est noté $\delta W = F {\mathrm{d}}L$. On désigne par $C_L$ la capacité calorifique du fil à longueur constante et on note la chaleur reçue dans une transformation élémentaire par: $$\delta Q = C_L {\mathrm{d}}T + h {\mathrm{d}}L$$ $h$ étant a priori une fonction de $T$ et $L$. On suppose enfin que $C_L$ est indépendant de la température.
   
   
   
   1. À l’aide de l’expression différentielle des deux principes de la thermodynamique, exprimer $h$ en fonction de $T$ et de $\sigma$.
   2. Montrer que $C_L$ ne dépend pas de $L$; on dira que $C_L$ est une constante.
   3. Donner l’expression de l’entropie du fil, $S(T,L)$, en fonction de la longueur $L$, de la température $T$ et de $T_m$, $L_m$, $C_L$ et $\sigma$. On posera $S_m = S(T_m,L_m)$.
   4. On tire sur le fil de façon isotherme. Quel est le signe de la variation d’entropie? Déterminer l’expression et indiquer le signe de la variation d’entropie d’une mole de gaz parfait dont le volume augmente de façon isotherme; commenter le résultat obtenu, sachant que le fil de caoutchouc est un polymère constitué de longues chaînes de molécules.
   5. Déterminer l’expression de l’énergie libre $\mathcal F$ du fil; on posera $\mathcal F_m = \mathcal F(T_m,L_m)$; retrouver ainsi qu’à température constante le fil se comporte comme un ressort élastique, dont on déterminera la raideur.
      Pour ce qui suit, on rappelle que dans le diagramme de Clapeyron d’un gaz, le volume est en abscisse et la pression en ordonnée; on conviendra d’appeler ici diagramme de Clapeyron du fil le diagramme où la longueur $L$ est en abscisse et la tension $F$ en ordonnée.
   6. Représenter qualitativement un cycle de Carnot moteur dans le diagramme de Clapeyron en indiquant le sens de circulation sur le cycle. On précisera en outre les relations $F(L)$ associées à des transformations réversibles dans ce cycle.
2. Moteur d’Archibald.
   Une roue circulaire de rayon $R$ tourne sans frottement avec une vitesse angulaire constante $\omega$ autour d’un axe horizontal perpendiculaire au plan de la figure et passant par son centre $C$. La moitié inférieure de la roue est en équilibre thermique avec un bain d’eau chaude à la température $T_1$, la moitié supérieure est à la température $T_2$ de l’atmosphère ($T_1 > T_2$). D’un point $O$ fixe, situé dans le plan de la roue, sur l’horizontale passant par le centre $C$ et tel que $OC = a$, avec $a$ très petit devant $R$, rayonnent $2N$ fils de caoutchouc analogues à celui qui est décrit dans la première partie et fixés régulièrement à la périphérie de la roue.
   La position d’un fil particularisé $OA$ étant déterminée par l’angle $\theta$ entre $OC$ et $CA$ (figure [fig1]) , les autres fils font avec $OC$ les angles $\displaystyle \theta + \frac{p \pi}{N}$, $\displaystyle \theta + \frac{2 p \pi}{N}$ ($p$ entier variant de $1$ à $2N-1$) et ainsi de suite. En accord avec l’hypothèse des équilibres thermiques de la roue, on admet que cette dernière tourne suffisamment lentement pour que chaque fil franchissant l’horizontale prenne sa nouvelle température instantanément, c’est-à-dire que l’excursion du fil dans l’atmosphère (ou le bain d’eau chaude) se fait à la température constante $T_2$ (ou $T_1$).
   
   
   
   1. Cycle de Stirling.
      
      1. Donner l’expression de la longueur du fil particularisé $OA$ en fonction de $a$, $R$ et $\theta$, en négligeant le terme du deuxième ordre en $a/R$.
      2. [Q212] Soit $A'$ le point du diagramme de Clapeyron correspondant à la longueur et la température la plus élevée; tracer qualitativement le schéma du cycle moteur $A'$, $B'$, $C'$ et $D'$ décrit par ce fil quand la roue fait un tour (cycle de Stirling).
   2. Rendement.
      
      1. Donner l’expression de la quantité de chaleur $Q_1$ reçue par le fil $OA$ de la part de la source chaude, en fonction de $T_1$, $T_2$, $\sigma$, $C_L$ et $a$.
      2. Donner de la même manière l’expression de la quantité de chaleur $Q_2$ reçue par ce fil de la part de la source froide et en déduire le travail fourni lors d’un tour de roue.
      3. Retrouver directement l’expression de ce travail à partir de la considération du cycle de la question [Q212].
      4. Donner, en négligeant toujours le terme du deuxième ordre en $a/R$, l’expression du moment $\mathcal M$ par rapport à $C$ de la tension du fil appliquée à la roue. Retrouver ainsi l’expression du travail reçu par un fil pour un tour de roue.
      5. [Q225] Exprimer le rendement $\eta$ du système au cours d’un cycle en fonction de $T_1$, $T_2$, $\sigma$, $a$ et $C_L$.
   3. Performances.
      
      1. Soit $\eta_C$ l’expression du rendement de Carnot d’un moteur ditherme travaillant entre une source chaude à la température $T_1$ et une source froide à la température $T_2$; exprimant le rendement $\eta$ de la question [Q225] sous la forme $\eta = \alpha \eta_C$, donner l’expression de $\alpha$.
      2. L’ensemble des transformations ($B' \to C'$ et $D' \to A'$) est-il adiabatique? Expliquer qualitativement pourquoi le rendement dans un cycle de Stirling est plus faible que le rendement dans un cycle de Carnot.
   4. Applications numériques.
      On adoptera les valeurs numériques suivantes: $T_1 = 340 {\,\mathrm{K}}$, $T_2 = 300 {\,\mathrm{K}}$, $a = 2 {\,\mathrm{cm}}$, $\sigma = 10^{-2} {\,\mathrm{N}\cdot\mathrm{K}^{-1}}$, $C_L = 3,3 {\,\mathrm{J}\cdot\mathrm{K}^{-1}}$, $2N = 32$ et $\omega = 2\pi {\,\mathrm{rad}\cdot\mathrm{s}^{-1}}$.
      
      1. Calculer les valeurs numériques respectives du rendement et de la puissance du moteur.
      2. On désire utiliser ce dispositif pour pomper de l’eau dans le désert, la nappe étant à une profondeur de $10{\,\mathrm{m}}$. Quel serait le débit de la pompe ainsi constituée? Recommanderiez-vus l’utilisation d’un tel appareil?