Concours commun Mines-Ponts (M, P', TA) 1990 Physique I (Corrigé)

Mines–Ponts, M, P’, TA, 1990 (Physique I)
Solutions proposées

1. 1. L’énergie interne \(U\) et l’entropie \(S\) vérifient respectivement \({\mathrm{d}}U = \delta W + \delta Q\) donc \({\mathrm{d}}U = C_L {\mathrm{d}}T + (F + h) {\mathrm{d}}L\) et \({\mathrm{d}}S = \frac{\delta Q}{T}\) donc \({\mathrm{d}}S = \frac{C_L}{T} {\mathrm{d}}T + \frac{h}{T} {\mathrm{d}}L\) pour des transformations réversibles; les expressions obtenues relient des différentielles de fonctions et variables d’état, donc ces expressions en sont pas limitées aux seules transformations réversibles et on peut écrire \({\frac{\partial U}{\partial T}} = C_L\), \({\frac{\partial U}{\partial L}} = F + h\), \({\frac{\partial S}{\partial T}} = \frac{C_L}{T}\) et \({\frac{\partial S}{\partial L}} = \frac{h}{T}\). On peut alors affirmer le lemme de Schwartz pour les deux fonctions \(U(T,L)\) et \(S(T,L)\), ce qui conduit aux deux relations \({\frac{\partial C_L}{\partial L}} = {\frac{\partial F}{\partial T}} + {\frac{\partial h}{\partial T}}\) et \({\frac{\partial }{\partial L}} \frac{C_L}{T} = {\frac{\partial }{\partial T}} \frac{h}{T}\), cette dernière pouvant être recopiée sous la forme \({\frac{\partial C_L}{\partial L}} = {\frac{\partial h}{\partial T}} - \frac{h}{T}\). L’identification des deux expressions mène à \(\frac{h}{T} = - {\frac{\partial F}{\partial T}}\), cette dernière dérivée partielle (calculée à \(L\) constant) s’identifie ici à \(\sigma\), d’où enfin le résultat \(h = - T \sigma\).
   
   
   2. Revenant aux expressions établies ci-dessus, \({\frac{\partial C_L}{\partial L}} = {\frac{\partial h}{\partial T}} - \frac{h}{T}\) s’écrit, puisque \(\sigma\) est constant, sous la forme \({\frac{\partial C_L}{\partial L}} = 0\).
   3. On revient enfin à l’expression \({\mathrm{d}}S = \frac{C_L}{T} {\mathrm{d}}T + \frac{h}{T} {\mathrm{d}}L\) écrite \({\mathrm{d}}S = \frac{C_L}{T} {\mathrm{d}}T - \sigma {\mathrm{d}}L\) qui s’intègre donc immédiatement en \(S(T,L) = S_m + C_L \ln \frac{T}{T_m} - \sigma (L - L_m)\).
   4. Si \(L\) augmente à température constante, \(\sigma > 0\) donc \(\Delta S_T = - \sigma \Delta L < 0\). Ce comportement est évidemment différent de celui d’un gaz parfait pour lequel l’identité thermodynamique \({\mathrm{d}}U = T {\mathrm{d}}S - P {\mathrm{d}}V\) et la première loi de Joule \({\mathrm{d}}U = 0\) si \({\mathrm{d}}T = 0\) permettent d’écrire \({\mathrm{d}}S = \frac{P}{T} {\mathrm{d}}V\) donc, au vu de l’équation d’état, \({\mathrm{d}}S = n R \frac{{\mathrm{d}}V}{V}\) soit \(\Delta S_T = n R \ln \frac{V_{\rm final}}{V_{\rm initial}} > 0\). Il n’y a rien de surprenant ici puisqu’une augmentation de volume implique une augmentation de l’indétermination sur les positions des molécules de gaz (augmentation du désordre) alors que l’augmentation de longueur d’un fil de caoutchouc se traduit par un alignement des molécules de polymère (diminution du désordre).
   5. À partir de la relation déjà posée \({\mathrm{d}}U = C_L {\mathrm{d}}T + (F + h){\mathrm{d}}L\) on peut, au vu de l’expression \(h = - \sigma T\), écrire \({\mathrm{d}}U = C_L {\mathrm{d}}T + \left[F_m - \sigma T_m + \rho (L - L_m)\right] {\mathrm{d}}L\) donc \(U = U_m + C_L(T - T_m) + \left(F_m - \sigma T_m\right) (L - L_m) + \frac{\rho}{2} (L - L_m)^2\) et \(\mathcal F = U - T S\) s’en déduit, après regroupement des termes et en fonction de \(\mathcal F_m = \mathcal F(T_m,L_m)\), il vient \(\mathcal F = \mathcal F_m + \left[C_L - S_m\right] (T-T_m) - C_L T \ln \frac{T}{T_m}+ \left[F_m - \sigma (T - T_m)\right](L - L_m) + \frac{\rho}{2} (L - L_m)^2\). On remarque alors que si \(T = T_m\), les variations de \(\mathcal F\) sont données par la relation \(\mathcal F - \mathcal F_m = \frac{\rho}{2} (L - L_m)^2\); plus généralement, on sait que \({\mathrm{d}}\mathcal F = \delta W - S {\mathrm{d}}T\) donc, pour une transformation isotherme, \({\mathrm{d}}\mathcal F\) s’identifie au travail reçu par le fil, opposé du travail qu’il fournit \(\delta W' = - {\mathrm{d}}E_p\); on peut donc identifier \(W = \Delta \mathcal F = \Delta E_p\) pour cette transformation réversible. La relation \(E_p = \frac{\rho}{2} (L - L_m)^2\) identifie un ressort élastique, de longueur à vide \(L_m\) et de raideur \(k = \rho\).
   6. Un cycle de Carnot est constitué de deux isothermes et de deux adiabatiques réversibles. L’équation d’une isotherme est \(F - F_m = \rho (L - L_m)\); c’est donc une droite de pente \(\rho\). L’équation d’une adiabatique réversible (isentropique) est \(S - S_m = C_L \ln \frac{T}{T_m} - \sigma (L - L_m)\) dont on doit éliminer \(T\) avec l’équation d’état \(F - F_m = \sigma (T - T_m) + \rho (L - L_m)\); il vient \(F = F_m + \rho(L - L_m) + \sigma T_m \left[\alpha \exp \left[ \frac{\sigma}{C_L} (L - L_m)\right] - 1\right]\) où on a posé \(\alpha = \exp \left(\frac{S - S_m}{C_L}\right)\). La pente de la courbe correspondante est \({\frac{{\mathrm{d}}F}{{\mathrm{d}}L}} = \rho + \frac{\alpha \sigma^2 T_m}{C_L} \exp \left[ \frac{\sigma}{C_L} (L - L_m)\right]\) donc \({\frac{{\mathrm{d}}F}{{\mathrm{d}}L}} > \rho\), ce qui permet de tracer l’allure du diagramme de Clapeyron (cf. figure). Le sens de parcours se déduit du caractère moteur du cycle: \(W = \oint F {\mathrm{d}}L < 0\) donc le parcours doit être à \({\mathrm{d}}L < 0\) pour les valeurs élevées de \(F\) (sens trigonométrique).
      
      


2. Moteur d’Archibald.
   
   1. 1. \(\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{CA} = a \vec e_x + R \vec e_r\) en utilisant une base polaire d’angle \(\theta\); on en déduit donc (c’est en fait le théorème d’Al-Kashi) \(OA^2 = a^2 + 2 a R \cos \theta + R^2\) donc en se limitant au terme du premier ordre en \(a/R\), \(OA^2 = R^2 \left(1 + 2 \frac{a}{R} \cos \theta\right)\) soit \(OA = R + a \cos \theta\).
      2. La longueur la plus élevée est \(OA = R + a\), au moment où le fil se trouve à l’horizontale (\(\theta = 0\)) à l’entrée dans le bain d’eau chaude; la partie suivante du cycle \(A'B'\) correspond à l’évolution isotherme avec diminution de longueur (c’est donc une droite de pente \(\rho\)) jusqu’à atteindre \(\theta = \pi\) et la sortie de ce fil en \(B'\) du bain d’eau chaude. À cet instant on observe une phase de diminution rapide (quasiment instantanée dans le modèle choisi) de la température à longueur constante, donc une diminution de la force donnée par \(\Delta F = \sigma (T_2 - T_1) < 0\). Le fil est alors passé en \(C'\) dans l’air et subit une seconde évolution isotherme avec diminution de \(\theta\) de \(\pi\) à \(0\) qui l’amène en \(D'\), prêt à rentrer à nouveau dans le bain d’eau chaude; pendant la dernière transformation iso-longueur \(D'A'\), le fil subit une augmentation de la force donnée par \(\Delta F = \sigma (T_1 - T_2) > 0\). Le cycle est parcouru dans le sens (trigonométrique) moteur selon le schéma ci-dessous.
         
         
   2. 1. La relation \(\delta Q = C_L {\mathrm{d}}T - T \sigma {\mathrm{d}}L\) appliquée à une transformation isotherme réversible \(A'B'\) fournit \(Q_{A'B'} = 2 a T_1 \sigma\); il faut ajouter à ce terme de transfert thermique lors du chauffage iso-longueur \(D'A\) pour lequel on peut supposer une transformation réversible et écrire \(Q_{D'A'} = C_L (T_1 - T_2)\) et on obtient \(Q_1 = C_L (T_1 - T_2) + 2 a T_1 \sigma\).
         Remarquons que, sans supposer une transformation réversible entre \(D'\) et \(A'\), l’expression de \(U\) établie plus haut permet d’écrire \(\Delta U = C_L \Delta T\) à \(L\) fixé donc \(Q = \Delta U - W\) s’écrit encore \(Q = \Delta U\) si on se souvient que, même pour une évolution irréversible, \(W = \int F_{\rm ext}{\mathrm{d}}L\) est nul à longueur constante; finalement, le résultat affirmé ci-dessus ne dépend pas de l’hypothèse de réversibilité du changement de température iso-longueur \(D'A'\).
      2. Les mêmes raisonnements amènent immédiatement à \(Q_2 = C_L (T_2 - T_1) - 2 a T_2 \sigma\). Le premier principe de la thermodynamique s’écrit, pour un cycle, \(\Delta U = 0 = Q_1 + Q_2 - W\) si \(W\) est le travail fourni par le fil lors d’un tour; on a donc \(W = 2 a \sigma (T_1 - T_2)\).
      3. Le travail fourni est égal à l’aire du cycle; l’aire du parallélogramme tracé est le produit de la largeur \(2a\) par la hauteur \(\sigma (T_1 - T_2)\), ce qui confirme le résultat \(W = 2 a \sigma (T_1 - T_2)\).
      4. Lorsque le point \(A\) se trouve à la position définie par l’angle \(\theta\), le moment de la force \(\vec F\) est défini par \(\vec{\mathcal M} = \overrightarrow{CA} \wedge \vec F\) où \(\vec F = F \vec u\) est dirigé de \(A\) vers \(O\); on écrit alors \(\overrightarrow{CA} = R \vec e_r\) tandis que \(\overrightarrow{AO} = - a \vec e_x - R \vec e_r\) donc le vecteur unitaire dirigé de \(A\) vers \(O\) s’écrit \(\vec u = - \frac{a \vec e_x + R \vec e_r}{R \left(1 + \frac{a}{R} \cos \theta\right)}\) donc, à l’ordre le plus bas, \(\vec{\mathcal M} = a F \vec e_z\) qu’on écrit \(\vec{\mathcal M} =\mathcal M \vec e_z\) avec \(\mathcal M = a F(T,L)\).
         Le moment exercé sur la roue lors du demi-tour entre \(\theta = 0\) et \(\theta = \pi\) (le fil étant dans l’eau chaude) est donc \(\mathcal M_1 = a \left[F_m + \sigma (T_1 - T_m) + \rho (R + a \cos \theta - L_m)\right]\) et le travail reçu par la roue pendant ce demi-tour est \(W_1 = \int_0^\pi \mathcal M_1 {\mathrm{d}}\theta\). De la même manière, lors du demi-tour ultérieur (le fil étant alors dans l’air), \(\mathcal M_2 = a \left[F_m + \sigma (T_2 - T_m) + \rho (R + a \cos \theta - L_m)\right]\) et \(W_2 = \int_{\pi}^0 \mathcal M_2 {\mathrm{d}}\theta\). L’intégration sur un tour complet conduit à \(W = \int_0^{\pi} \left(\mathcal M_1 - \mathcal M_2\right) {\mathrm{d}}\theta\) donc \(W = \int_0^{\pi} a \sigma (T_1 - T_2) \cos \theta {\mathrm{d}}\theta\) soit ici encore \(W = 2 a \sigma (T_1 - T_2)\).
      5. La définition générale du rendement d’un moteur thermique conduit à poser \(\eta = \frac{W}{Q_1}\) donc on en déduit immédiatement \(\eta = \frac{2 a \sigma (T_1 - T_2)}{C_L (T_1 - T_2) + 2 a T_1 \sigma}\).
   3. 1. Le rendement du cycle moteur de Carnot s’obtient en écrivant les premier et second principes sous la forme \(0 = Q_1 + Q_2 - W\) (comme pour le cycle de Stirling) et \(\frac{Q_1}{T_1} + \frac{Q_2}{T_2} = 0\) (l’inégalité de Clausius est une égalité dans le cas d’une évolution complètement réversible) donc \(\eta_C = 1 + \frac{Q_2}{Q_1}\) s’écrit aussi \(\eta_C = 1 - \frac{T_2}{T_1}\) ce qui mène à \(\alpha = \frac{1}{1 + \displaystyle \frac{C_L}{2a\sigma}(1 - \displaystyle \frac{T_2}{T_1})}\) qu’on peut aussi écrire \(\alpha = \frac{1}{1 + \displaystyle \frac{C_L \eta_C}{2a\sigma}}\). On remarque bien sûr que \(\alpha < 1\) donc \(\eta < \eta_C\), conformément au théorème de Carnot (voir aussi la question suivante).
      2. On a vu que \(Q_{D'A'} = C_L (T_1 - T_2)\), et de même \(Q_{B'C'} = C_L (T_2 - T_1)\) donc \(Q_{B' \to C' \cup D' \to A'} = 0\) donc cet ensemble est adiabatique. Toutefois, un cycle de Carnot doit être complètement adiabatique; les deux évolutions de température en \(B'C'\) et \(D'A'\) sont irréversibles donc le rendement dans un cycle de Stirling est plus faible que le rendement dans un cycle de Carnot.
   
   
   4. 1. L’expression ci-dessus du rendement mène à \(\eta = {1,2 \cdot 10^{-5}}\) (valeur intensive donc indépendante du nombre de fils). La puissance moyenne du moteur est \(\mathcal P = 2N \frac{W}{\tau}\) où la durée d’un cycle est \(\tau = \frac{2\pi}{\omega}\) (valeur extensive donc proportionnelle au nombre de fils fonctionnant en même temps); numériquement, \(\mathcal P = \frac{2N\omega a \sigma (T_1 - T_2)}{\pi} = 0,51{\,\mathrm{W}}\).
      2. Le débit \(\mathcal D_m\) s’identifie à la masse d’eau remontée par unité de temps d’une hauteur \(h\), avec donc une puissance mécanique consommée \(\mathcal P > \mathcal D_m g h\); on a donc \(\mathcal D_m < \frac{\mathcal P}{g h} = {5,2 \cdot 10^{-3}}{\,\mathrm{kg}\cdot\mathrm{s}^{-1}}\) en prenant \(g = 9,8{\,\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-2}}\); c’est une valeur assez élevée (\(310\) litres par minute) ce qui conduit à recommander l’utilisation de ce appareil, la valeur très faible du rendement étant compensée par le caractère gratuit de la source thermique (on peut imaginer le chauffage de l’eau par le rayonnement solaire par exemple).

Concours commun Mines-Ponts (M, P', TA) 1990 Physique I (Énoncé)

Mines–Ponts, M, P’, TA, 1990 (Physique I)
Le moteur à fils de caoutchouc

1. Thermodynamique d’un fil de caoutchouc.
   Les paramètres thermodynamiques d’un fil de caoutchouc sont la longueur $L$, la tension $F$ et la température $T$. Au voisinage d’une température moyenne $T_m$, d’une longueur moyenne $L_m$ et d’une tension moyenne $F_m$, l’équation d’état est linéarisable et prend la forme: \[F(L,T) = F_m + \rho \left(L - L_m\right) + \sigma\left(T - T_m\right)\] où $\rho$ et $\sigma$ sont des constantes positives. Le travail élémentaire reçu quand le fil s’allonge de ${\mathrm{d}}L$ lors d’une transformation réversible est noté $\delta W = F {\mathrm{d}}L$. On désigne par $C_L$ la capacité calorifique du fil à longueur constante et on note la chaleur reçue dans une transformation élémentaire par: \[\delta Q = C_L {\mathrm{d}}T + h {\mathrm{d}}L\] $h$ étant a priori une fonction de $T$ et $L$. On suppose enfin que $C_L$ est indépendant de la température.
   
   
   
   1. À l’aide de l’expression différentielle des deux principes de la thermodynamique, exprimer $h$ en fonction de $T$ et de $\sigma$.
   2. Montrer que $C_L$ ne dépend pas de $L$; on dira que $C_L$ est une constante.
   3. Donner l’expression de l’entropie du fil, $S(T,L)$, en fonction de la longueur $L$, de la température $T$ et de $T_m$, $L_m$, $C_L$ et $\sigma$. On posera $S_m = S(T_m,L_m)$.
   4. On tire sur le fil de façon isotherme. Quel est le signe de la variation d’entropie? Déterminer l’expression et indiquer le signe de la variation d’entropie d’une mole de gaz parfait dont le volume augmente de façon isotherme; commenter le résultat obtenu, sachant que le fil de caoutchouc est un polymère constitué de longues chaînes de molécules.
   5. Déterminer l’expression de l’énergie libre $\mathcal F$ du fil; on posera $\mathcal F_m = \mathcal F(T_m,L_m)$; retrouver ainsi qu’à température constante le fil se comporte comme un ressort élastique, dont on déterminera la raideur.
      Pour ce qui suit, on rappelle que dans le diagramme de Clapeyron d’un gaz, le volume est en abscisse et la pression en ordonnée; on conviendra d’appeler ici diagramme de Clapeyron du fil le diagramme où la longueur $L$ est en abscisse et la tension $F$ en ordonnée.
   6. Représenter qualitativement un cycle de Carnot moteur dans le diagramme de Clapeyron en indiquant le sens de circulation sur le cycle. On précisera en outre les relations $F(L)$ associées à des transformations réversibles dans ce cycle.
2. Moteur d’Archibald.
   Une roue circulaire de rayon $R$ tourne sans frottement avec une vitesse angulaire constante $\omega$ autour d’un axe horizontal perpendiculaire au plan de la figure et passant par son centre $C$. La moitié inférieure de la roue est en équilibre thermique avec un bain d’eau chaude à la température $T_1$, la moitié supérieure est à la température $T_2$ de l’atmosphère ($T_1 > T_2$). D’un point $O$ fixe, situé dans le plan de la roue, sur l’horizontale passant par le centre $C$ et tel que $OC = a$, avec $a$ très petit devant $R$, rayonnent $2N$ fils de caoutchouc analogues à celui qui est décrit dans la première partie et fixés régulièrement à la périphérie de la roue.
   La position d’un fil particularisé $OA$ étant déterminée par l’angle $\theta$ entre $OC$ et $CA$ (figure [fig1]) , les autres fils font avec $OC$ les angles $\displaystyle \theta + \frac{p \pi}{N}$, $\displaystyle \theta + \frac{2 p \pi}{N}$ ($p$ entier variant de $1$ à $2N-1$) et ainsi de suite. En accord avec l’hypothèse des équilibres thermiques de la roue, on admet que cette dernière tourne suffisamment lentement pour que chaque fil franchissant l’horizontale prenne sa nouvelle température instantanément, c’est-à-dire que l’excursion du fil dans l’atmosphère (ou le bain d’eau chaude) se fait à la température constante $T_2$ (ou $T_1$).
   
   
   
   1. Cycle de Stirling.
      
      1. Donner l’expression de la longueur du fil particularisé $OA$ en fonction de $a$, $R$ et $\theta$, en négligeant le terme du deuxième ordre en $a/R$.
      2. [Q212] Soit $A'$ le point du diagramme de Clapeyron correspondant à la longueur et la température la plus élevée; tracer qualitativement le schéma du cycle moteur $A'$, $B'$, $C'$ et $D'$ décrit par ce fil quand la roue fait un tour (cycle de Stirling).
   2. Rendement.
      
      1. Donner l’expression de la quantité de chaleur $Q_1$ reçue par le fil $OA$ de la part de la source chaude, en fonction de $T_1$, $T_2$, $\sigma$, $C_L$ et $a$.
      2. Donner de la même manière l’expression de la quantité de chaleur $Q_2$ reçue par ce fil de la part de la source froide et en déduire le travail fourni lors d’un tour de roue.
      3. Retrouver directement l’expression de ce travail à partir de la considération du cycle de la question [Q212].
      4. Donner, en négligeant toujours le terme du deuxième ordre en $a/R$, l’expression du moment $\mathcal M$ par rapport à $C$ de la tension du fil appliquée à la roue. Retrouver ainsi l’expression du travail reçu par un fil pour un tour de roue.
      5. [Q225] Exprimer le rendement $\eta$ du système au cours d’un cycle en fonction de $T_1$, $T_2$, $\sigma$, $a$ et $C_L$.
   3. Performances.
      
      1. Soit $\eta_C$ l’expression du rendement de Carnot d’un moteur ditherme travaillant entre une source chaude à la température $T_1$ et une source froide à la température $T_2$; exprimant le rendement $\eta$ de la question [Q225] sous la forme $\eta = \alpha \eta_C$, donner l’expression de $\alpha$.
      2. L’ensemble des transformations ($B' \to C'$ et $D' \to A'$) est-il adiabatique? Expliquer qualitativement pourquoi le rendement dans un cycle de Stirling est plus faible que le rendement dans un cycle de Carnot.
   4. Applications numériques.
      On adoptera les valeurs numériques suivantes: $T_1 = 340 {\,\mathrm{K}}$, $T_2 = 300 {\,\mathrm{K}}$, $a = 2 {\,\mathrm{cm}}$, $\sigma = 10^{-2} {\,\mathrm{N}\cdot\mathrm{K}^{-1}}$, $C_L = 3,3 {\,\mathrm{J}\cdot\mathrm{K}^{-1}}$, $2N = 32$ et $\omega = 2\pi {\,\mathrm{rad}\cdot\mathrm{s}^{-1}}$.
      
      1. Calculer les valeurs numériques respectives du rendement et de la puissance du moteur.
      2. On désire utiliser ce dispositif pour pomper de l’eau dans le désert, la nappe étant à une profondeur de $10{\,\mathrm{m}}$. Quel serait le débit de la pompe ainsi constituée? Recommanderiez-vus l’utilisation d’un tel appareil?

Concours Physique ENS Cachan 1990 (Énoncé)

PREMIER PROBLEME

Ce problème étudie les mouvements de trois systèmes matériels et permet d'expliquer le rôle des roues d'une bicyclette.

I. Calculs d'énergie cinétique

Exprimer l'énergie cinétique des trois systèmes matériels suivants:

1. Le système S, est un solide en translation de masse M et de vitesse v.

2. Le système S2 est un cercle de rayon R, de masse m uniformément répartie sur le cercle. Ce cercle est animé d'une vitesse angulaire w autour de son axe de révolution (D), cet axe (D) possède la vitesse v parallèle au plan du cercle.

3. Le système S3 est une bicyclette. L'ensemble cadre + cycliste de masse M est en translation de vitesse v. Chacune des roues de rayon R, de masse m est modélisable par le système S2 et possède la vitesse angulaire w.

II. Mouvements sur un plan horizontal

1. Le système S1 repose sur le sol, le contact étant caractérisé par le coefficient de frottement de glissement f. S1 en mouvement de translation, a pour vitesse initiale vo. Etablir la loi v = f( t) de la vitesse v en fonction du temps t. Représentation graphique.

2. Le système S2 roule sans glisser sur le plan horizontal, le contact étant caractérisé par le même coefficient de frottement de glissement f. La vitesse initiale du centre d'inertie est vo. Etablir la loi v = g ( t) de la vitesse v en fonction du temps t. Représentation graphique.

3. Le système S3 possède un mouvement dans lequel le mouvement des roues est un roulement sans glissement. L'ensemble cadre + cycliste possède la vitesse initiale vo, le cycliste ne pédale pas et ne freine pas. Etablir la loi v = h (t) de la vitesse v en fonction du temps t. Représentation graphique.

III. Mouvements suivant la ligne de plus grande pente d'un plan incliné (P)

Soit b l'angle formé par le plan horizontal et le plan (P). Soit f le coefficient de frottement de glissement.

1. Le système S1 initialement au repos est susceptible d'acquérir un mouvement de translation, suivant la ligne de plus grande pente de (P).

     a. Calculer, dans cette hypothèse, l'accélération aG de son centre d'inertie.

      b. Montrer que le mouvement se produit pour des valeurs de b supérieures à une valeur limite bo .

2. On considère le système S2 lâché sans vitesse initiale.

     a. La circonférence roule sans glisser. Calculer l'accélération aG de son centre d'inertie.

     b. Quel est l'intervalle [b1 ,b2] des valeurs de b pour lequel le roulement sans glissement est possible ? Pour b>b2, il y a glissement de la circonférence sur le sol.

     c. Calculer aG pour b>b2.

3. On considère le système S3.

     a. La bicyclette roule sans glisser, sur les deux roues. Calculer aG .

     b. La bicyclette roule avec glissement sur les deux roues. Calculer aG.

     c. Le roulement sans glissement a lieu pour des valeurs de b inférieures à une valeur notée b3.

On admet que pour b >b3 , le glissement se produit simultanément sur les deux roues, et que les composantes tangentielles des réactions du plan (P) sur les deux roues sont égales.

Calculer b3 .

IV. Conclusion

1. Représenter sur un même graphique les trois fonctions aG(b) pour chacun des trois systèmes matériels, b variant de 0 à $\frac{\Pi }{2}$.

2. En déduire le rôle du rapport $\frac{{2m}}{M}$ pour une valeur de b donnée.

    DEUXIEME  PROBLEME.

PRELIMINAIRES

P.1. Soit une spire circulaire de rayon R placée dans l'air, d'axe ${\vec O_1}z$, parcourue par un courant d'intensité I (figure 1). Caractériser (direction, sens, module) le champ d'induction magnétique ${{\rm{\vec B}}_M}$ en un point M de l'axe de la spire. L'orientation étant celle de la figure I, exprimer la mesure algébrique de la composante axiale de ${{\rm{\vec B}}_M}$ en fonction de mo (perméabilité du vide égale à celle de l'air), I, z et R. $\vec k$ est un vecteur unitaire et ${\vec O_1}M = z.\vec k$.

P.2. Soit un solénoïde de longueur L dont le nombre total de spires est N. Le rayon du solénoïde est R, il est placé dans l'air et on considère un point M de l'axe du solénoïde situé à une position $\overline {OM}  = {z_1}$ (figure 2) du centre O du solénoïde. Ce point M peut être caractérisé par les angles a1 et  a2 définis à partir de l'axe O2 comme l'indique la figure 2.

  

Déterminer l'induction. ${{\rm{\vec B}}_M}$ en M et exprimer la composante axiale de celle-ci en fonction de µo, N, I, L, a1 et  a2 .

N.B.: On pourra se servir du résultat de P.1 en cherchant le champ élémentaire créé en M par un ensemble de spires circulaires contenues dans l'épaisseur dz et parcourues par le courant I.

Application numérique: Calculer l'expression de l'induction ${{\rm{B}}_o}$ au centre si N = 300; L = 10 cm;          I = 0,5 A; R= 4 cm; µo = 4.P.10-7  unités SI

PREMIERE PARTIE

Soit un circuit dont la forme est celle d'une hélice circulaire d'axe $O\vec z$ comportant 2N1 spires complètes parcourues par un courant I. Le pas de l'hélice est noté p et elle est rapportée à un repère (O, x, y, z) et son équation paramétrique (paramètre: j) est (figure 3):

 x = R1 cos j

 y = R1 sin j

 $z = \frac{p}{{2\Pi }}\varphi $ .

Les spires sont réparties entre la cote z1 = - p N1 et la cote Z2 = + p N1. On recherche la composante de l'induction ${{\rm{B}}_{Oz}}$suivant l'axe Oz au point O (origine) créée par les 2N1 spires de cette hélice.

1.1. Exprimer d${{\rm{B}}_{Oz}}$ mesure algébrique de la projection sur  $O\vec z$ de l'induction magnétique élémentaire d${\rm{\vec B}}$ créée en O par l'élément $d\vec l$ (dx, dy, dz) parcouru par le courant I en fonction de R1, f, µo, I et p.

1.2. Calculer ${{\rm{B}}_{Oz}}$ composante de l'induction résultante au point O par l'intégration de l'expression précédente

(on pourra faire le changement de variable: $u = \frac{p}{{2\Pi {R_1}}}.\varphi $ ) .

Exprimer ${{\rm{B}}_{Oz}}$ en fonction de  µo, I, p, N1, R1

1.3. Si on remarque que la longueur du circuit hélicoïdal est L1 = 2p N1, montrer que l'expression de ${{\rm{B}}_{Oz}}$ peut se mettre sous la forme:

${{\rm{B}}_{Oz}}$ = Bo.f(R1, N1, p) où .Bo est l'induction au centre d'un solénoïde de longueur infinie. Préciser  f(R1, N1, p).

Pour quelle valeur de R1 peut‑on considérer que f est égal à 1 à 10‑2 près ?

Application numérique: N1 = 150;  L1 = 0,5 m.

DEUXIEME PARTIE

Soit un tore de section méridienne rectangulaire et d'axe Oz; les données géométriques sont précisées sur la figure 4. Sur ce tore on a bobiné N spires régulièrement réparties et jointives, le matériau qui le constitue est un matériau de perméabilité magnétique µ (perméabilité absolue) que l'on supposera constante (sauf dans une question de la 3e partie). Le vecteur excitation magnétique (ou intensité du champ magnétique) sera noté $\vec H$ et le vecteur induction magnétique ${\rm{\vec B}}$.

$K{A_4} = H{A_1} = R' - \frac{a}{2}$                   ${A_1}{A_2} = a$       ${A_1}{A_4} = b$

2.1. Exprimer et caractériser $\vec H$ en un point M à la distance x de l'axe du tore. On aura soin de distinguer le cas d'un point intérieur puis d'un point extérieur au tore.

2.2. Calculer l'induction au point O2 du centre de la section méridienne, puis aux points A1 et A2.

Application numérique: R' = 10 cm; a = 4 cm; b= 3 cm; N = 300; I = 0,5 A; $\mu  = \frac{1}{{450}}$ unités Sl.

2.3. Exprimer le flux du vecteur induction à travers une section méridienne du tore et en déduire l'expression de l'inductance propre de la bobine torique.

Calculer le nombre de spires (noté maintenant N') si l'inductance L  a pour valeur 43 mH.

Application numérique: R' = 10 cm; a = 4 cm; b = 3 cm; $\mu  = \frac{1}{{450}}$ unités Sl.

2.4. L'inductance L  de la question 2.3. est insérée dans le circuit de la figure 5 qui précise le sens des tensions VC, VL et E et du courant i Pour t < O, (K1) est ouvert et (K2) fermé depuis très longtemps. R  représente sur la figure 5 une résistance mise en série avec le circuit et dont la valeur est  R = 60 W.

On donne E = 30 V.

2.4.1. On ferme (K1). Au bout de combien de temps peut‑on considérer que le courant dans le circuit a atteint sa valeur finale à 10-4 près en valeur relative ? On note Te la constante de temps de ce circuit.

2.4.2. Le régime final précédent étant considéré comme atteint à un nouvel instant pris comme origine, on ouvre (K2), (K1) étant maintenu fermé. A quelle équation différentielle obéit VC ?

2.4.3. C remplit la condition:

                                                             $C = \frac{{4{\rm{L}}}}{{{{\rm{R}}^2}}}$

Exprimer VC et i en fonction de t, Te, E et .R . Préciser les expressions numériques en fonction de t et tracer sur un même graphe en précisant les échelles choisies:

                                                           vC(t), vL(t) et R.i(t)

2.4.4. Montrer que vL passe par un extremum. Préciser la valeur et interpréter physiquement le signe de vL .                                               

TROISIEME PARTIE

Le tore étudié dans la deuxième partie présente maintenant une entaille diédrique dont l'angle a sera suffisamment petit pour qu'on puisse négliger les distorsions des lignes de champ (cf. figure 6). Dans l'intérieur de l'espace diédrique la perméabilité de l'air sera µo.                                              

3.1. Calculer la nouvelle expression de l'induction magnétique B à une distance x de l'axe Oz.

Application numérique: Calculer B en O2 centre du rectangle méridien du tore, avec:

          I=2A; N= 300; a=3,5°.

3.2. Quelle est la nouvelle expression du coefficient d'auto‑induction L' ? Quelle devrait être la valeur numérique de a si ce coefficient diminue de 40 % par rapport à la valeur obtenue quand il n'y a pas d'entaille ?

3.3. Que devient l'expression de L si R' >> a ? Comment évolue L en fonction de a ?

3.4. La perméabilité du matériau dans certaines conditions de fonctionnement ne peut plus être considérée comme constante. B et H sont alors liés par la loi:

Par ailleurs on supposera la condition R' >> a réalisée.

3.4.1. On désigne par H l'excitation dans le matériau et Ho l'excitation dans l'entaille diédrique. Appliquer le théorème d'Ampère le long de la ligne de champ moyenne (x= R').

3.4.2. Que peut-on dire de l'induction dans l'entaille et dans le matériau ?

3.4.3. Calculer l'induction en O2 pour les deux cas numériques suivants:

       1er cas  {N = 300; I = 11 = 3 A; a = 4°; R'=10cm}

       2e cas   { N = 300; I = I2 = 3,8 A ; a = 0,41°; R' = 10 cm }

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