Concours Physique ESEM P 1993 (Énoncé)

Université d'Orléans
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE L'ÉNERGIE ET DES MATÉRIAUX
CONCOURS 1993
Option : Spéciales P
PHYSIQUE
DURÉE : 4 heures - COEFFICIENT : 4
Note aux candidats.
Les candidats sont priés de respecter les notations figurant dans l’énoncé du problème et d'apporter le plus grand soin à la rédaction et à la présentation des résultats.
DISPOSITIFS THERMOMETRIQUES UTILISANT DES RESISTANCES
Le problème décrit différents dispositifs de mesure de température utilisant les variations de résistances de résistors métalliques ou semi-conducteurs.

I. Etude des lois R(T).
1.1. Un résistor métallique constitué d'un fil de platine a une résistance variant suivant la loi R(t) = R (0) (1 + A t + B t²) où t représente la température en degrés Celsius (t = T - 273 K).
a. Calculer le coefficient de température $\alpha = \frac{1}{R}\frac{{dR}}{{dt}} = \frac{1}{R}\frac{{dR}}{{dT}}$
b. On a mesuré à 0 ⁰C R (0) = 100,00 Ω α(0) = 3,908.10^-3 K^{- 1},
à 100 ⁰C R (100) = 138,50 Ω α(100) = 2,73787.10^-3 K^{- 1}.
Calculer les coefficients A et B. Préciser les unités.
Calculer R (25) pour t = 25 ⁰'C, ainsi que α (25).
c. Le coefficient de dilatation linéaire du métal est $\lambda = \frac{1}{\ell }\frac{{d\ell }}{{dT}}$ = 10^-3 K^-1 . Comparer les variations de résistance avec la température dues à la variation de la résistivité ρ d'une part, aux variations de dimensions d'autre part. Conclusions.
1.2. Une thermistance (résistor semi-conducteur) a, au voisinage de T - T₀ = 298 K, une résistance variant avec T suivant la loi $R\left( T \right) = {R_0}\exp \left( {\frac{B}{T} - \frac{B}{{{T_0}}}} \right)$ où T représente la température absolue du résistor
a. Exprimer le coefficient $\alpha = \frac{1}{R}\frac{{dR}}{{dT}}$.
Pourquoi peut-on parler de résistance à coefficient de température négatif ? b. Calculer B sachant que α (298 K) = - 4,135.10^-2 K^-1.
c. Pour un intervalle de température plus important, la loi doit être affinée selon la relation :
$R\left( T \right) = {R_0}{\left( {\frac{T}{{{T_0}}}} \right)^{ - b}}\exp \left( {\frac{\beta }{T} - \frac{\beta }{{{T_0}}}} \right)$
- Établir la relation entre β, T, b et B. - Pour t = - 80 ⁰C on trouve B = 3294 K ;
t = 150 ⁰C on trouve B = 4122 K.
Calculer b et β.
Calculer R pour t = 0 ⁰C et t = 100 ⁰C sachant que R₀ = 12000 Ω. d. Quel avantage peut présenter une thermistance par rapport à une résistance métallique en thermométrie ? Quel risque encourt une thermistance traversée par un courant trop important ?

Il. Étude de montages thermométriques.
On mesure un signal électrique, en général une tension, qui traduit les variations des résistances avec la température. Un montage, alimenté par une source de courant ou de tension. comprend la résistance à mesurer associée à d'autres résistances. Le circuit de mesure ainsi constitué est appelé conditionneur du thermomètre. Nous nous proposons d'étudier trois montages de conditionneur et de mettre en évidence, à travers les caractéristiques de chacun, leurs avantages et inconvénients.
11.1 Montage potentiométrique simple.

Celui-ci est représenté sur la figure 1. Le générateur est représenté par son modèle de Thévenin (e_s,R_s) et le voltmètre de résistance interne R_d mesure la d.d.p. v₁ aux bornes de la résistance thermométrique R (T).
a. Exprimer v₁ en fonction de R₁, R (T), R_d, R_s et e_s,.
Comment doit-on choisir R_d pour que la tension v₁ ne dépende pas trop du voltmètre utilisé ? On suppose cette condition désormais réalisée.
À T = T₀, la résistance thermométrique R a pour valeur R₀, et la tension de mesure la valeur v₁. Ces conditions définissent un point moyen de fonctionnement. Lorsque R varie de ΔR, v₁ varie de Δ v₁. Exprimer Δv₁ en fonction de ΔR, Ro, R₁, R₁ et e. en se limitant au cas où ΔR << R₀.
On définit la sensibilité du conditionneur par $S = \frac{{\Delta {v_1}}}{{\Delta R}}$.
Pour quelle valeur de R₁, cette sensibilité est-elle maximale autour de T = T₀ ? Calculer cette sensibilité maximale.
Application numérique
Sachant que e_s = 10,0 V, R0 = 109,8 Ω, Rs = 20 Ω, que le voltmètre peut déceler une variation |Δv₁| de 0,01 volt, calculer la valeur de R₁ qui donne la sensibilité maximale et la valeur ΔR que l'on peut déceler.
e. Le générateur a une fem qui fluctue entre e, - ô e et e, + ô e. Calculer Δv₁, en tenant compte des variations ΔR de R et des fluctuations δe de e_s. Dans le cas où le conditionneur a sa sensibilité maximale, comparer l'influence de ΔR et ô e. Que pensez-vous du niveau tolérable de fluctuations de la source dans ce dispositif ?
II.2. Pont de Wheatstone.
Le voltmètre V de résistance interne R_d » R₁, R(T), R₃, R₄ mesure la d.d.p. v₂ = v_A - v_B = R_di.
La résistance interne R_s de la source est négligeable (figure 2). a.. On considère le dipôle actif A'B' entre les bornes duquel on branche le voltmètre V. Pour calculer i, on pourra chercher le générateur de Thévenin équivalent à ce dipôle.
- Quelle est la f.é.m.. E de ce générateur de Thévenin ?
- Quelle est sa résistance interne r ?

En déduire l'expression de i et de v₂ en fonction de e_s,, R₁, R, R₃, R₄, et R_d. On rappelle que R_d est très supérieur à toutes les résistances du circuit.
b. L'équilibre du pont (v₂ = 0) est réalisé pour R = R₀, T = T₀.
Quelle relation lie alors R₁, R₃, R₄, et Ro ?
c. Calculer v₂ lorsque R = R₀ +ΔR. Exprimer ce résultat uniquement en fonction de ΔR, R₀ et R₁.

d. On suppose ΔR << R₀. Pour quelle valeur de R₁ la sensibilité $S = \frac{{{v_2}}}{{\Delta R}}$ est-elle maximale ? Calculer celle-ci. Comparer ce résultat à celui obtenu à la question Il. 1.
e. La sensibilité maximale étant obtenue, on tient maintenant compte des fluctuations δe de _s (|δe| << e_s). Comparer l’influence respective de ΔR et de δe sur v₂. Conclusions ?
f. On suppose maintenant que R₁ = R₀ = R₃ et que R₄ réalise la condition d'équilibre du pont. En revanche ΔR n'est plus petit devant R₀ (cas d'une thermistance par exemple).
Représenter graphiquement $\frac{{{v_2}}}{{{e_s}}}$ lorsque $\frac{{\Delta R}}{{{R_0}}}$varie de - 1 à + 1,5. Conclusions ?
II.3. Montage à amplificateurs opérationnels
On réalise le montage de la figure 3 dans lequel les trois amplificateurs opérationnels sont idéaux et
fonctionnent en régime linéaire.

a. Quel est le rôle des montages partiels où sont inclus les amplificateurs opérationnels 2 et 3 ? Préciser les valeurs de v₀, v_C , v_D en fonction de v₃ et e_s.
b. On suppose R₀ = R₁ = R₃ et que la condition du II.2..f est encore réalisée. On mesure la tension v₃
à la sortie de l'amplificateur opérationnel 1.
Calculer v₃ en fonction de R_f, R₀, R₆, R₅, e_set ΔR = R - R₀.
c. R₆ et R₅ étant fixés, comment faut-il choisir R₁ pour que v₃ soit proportionnel à ΔR Déterminer alors la sensibilité $s = \frac{{{v_3}}}{{\Delta R}}$ du conditionneur.
Application numérique : R₅ = 10R₆, R₀ = 109,80 Ω, e_s = 10,0 V. Calculer R₁ et la sensibilité S.
d. Les fluctuations de e_s sont-elles encore gênantes ?

III. Linéarisation du signal en fonction de la température.
III.1. Dans le cas du montage à amplificateurs opérationnels la résistance R(t) est associée en parallèle avec une résistance de linéarisation R, de manière à réaliser un dipôle de résistance R' (t) prenant pour T₀ la valeur R’₀. Les autres résistances du pont sont ajustées en tenant compte de R’₀, et la valeur de R₁ est choisie pour réaliser les conditions établies à la question II.3. c.
Donner en fonction de R'(t), R’₀, R₅, R₆ et e_s, la valeur de v₃.
On veut qu'au voisinage de T = T_0i v₃ soit une fonction affine de T, c'est-à-dire que $\frac{{{d^2}{v_3}}}{{d{T^2}}}$ soit nul pour T = T₀. Montrer que R satisfait alors l’équation ${R_0} + {R_\ell } = \frac{{2\left( {\frac{{dR}}{{dT}}} \right)_0^2}}{{{{\left( {\frac{{{d^2}R}}{{d{T^2}}}} \right)}_0}}}$, l’indice « 0 » signifiant que les dérivées sont évaluées à T = T₀.
Cas d'une résistance métallique.
On considère une résistance nickel dont les coefficients caractéristiques sont A = 5,50.10^-3 °C^-1,
B = 6,70.10^-6 °C^-1 fonctionnant au voisinage de t₀ = 25 °C, R₀ = R(25) = 50 Ω.
- Calculer les valeurs de la résistance R à associer à R., de R’₀et de $\frac{{d{v_3}}}{{dT}}$.
- Est-il possible de linéariser de cette manière le signal de mesure en fonction de la température dans le cas de la résistance platine étudiée en I.1. fonctionnant au voisinage de t₀ = 25 ⁰C ?

d.. Cas d'une thermistance. On considère la thermistance du 1.2. fonctionnant au voisinage de T₀ = 298 K. Calculer la valeur de R à associer à R₀ = 12 000 Ω et en déduire la valeur de R’₀ et de $\frac{{d{v_3}}}{{dt}}$ si e_s = 10,0 V.
III.2.On envisage maintenant le montage potentiométrique étudié à la question II.1. pour lequel la condition sur R_d est réalisée. On veut réaliser la condition $\frac{{{d^2}{v_1}}}{{d{t^2}}} = 0$ au voisinage de t₀.
Montrer qu’il faut choisir R₁ de telle sorte que R₁ + R_s, ait la valeur R déterminée à la question précédente Ill.1.b.
Le choix de R₁ étant celui déterminé en a., calculer $\frac{{d{v_1}}}{{dt}}$ pour la résistance en nickel et la thermistance au voisinage de t₀ = 25 ⁰C si e_s = 10,0 V.

Concours Physique EIVP P’ 1993 (Corrigé)

I.V.P. 1993 option P' Microphones à fibres optiques
I. PROPAGATION D'ONDES SONORES

1.1 .a. Le volume passe de S.dx à S.(dx +ε(x+dx)- ε(x) ) soit une variation de S.dx.$\frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial x}}$
1.1.b La fréquence la plus basse des sons audibles est supérieure à 10Hz; donc pour un son sinusoïdal chaque tranche subit une oscillation (compression puis dilatation) en moins d'un dixième de seconde, il est raisonnable de penser que ces transformations se déroulent sans que la tranche dx n'échange de chaleur avec les parois ou avec les tranches voisines; pour un gaz la vitesse de l'onde acoustique est du même ordre de grandeur que la vitesse quadratique moyenne des molécules "les molécules n'ont pas le temps de passer d'une tranche à l'autre que l'onde est déjà passée". Les transformations liées au passage de l'onde sonore sont donc isentropique .
$\frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial x}}$ = -S.p1
On en déduit que S.dx.$\frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial x}}$ = - χS. S.dx.p1 ⇒ $\frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial x}}$ =  -cS.p1

1.2. Le principe fondamental de la dynamique appliqué à la tranche nous donne:

µ 0 dx.S$\frac{{{\partial ^2}\varepsilon }}{{\partial {t^2}}}$ = S.{p(x+ε(x)) - p(x+dx+ ε(x+dx))} ≈ - S. dx . (1 + $\frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial x}}$) .$\frac{{\partial p1}}{{\partial x}}$ - S. dx . $\frac{{\partial p1}}{{\partial x}}$
1.3. En remplaçant p1 par sa valeur : µ 0 $\frac{{{\partial ^2}\varepsilon }}{{\partial {t^2}}}$ = $\frac{1}{{{\chi _S}}}\frac{{{\partial ^2}\varepsilon }}{{\partial {x^2}}}$ équation des ondes planes vérifiées aussi par p1 et dont la solution générale, somme de deux solutions progressives, s'écrit:
p1(x,t) = f(x-ct) + g(x+ct) avec c². µ 0χS.=1
1.4. Pour une fréquence de 1kHz la longueur d'onde sera λ = c /υ = 1,4 m, et donc un capteur, dont l'extension spatiale selon x est inférieure au centimètre, sera dans un champ de pression uniforme à un instant donné.
II. CIRCUITS ELECTRONIQUES

2.1. Par superposition, en "éteignant" successivement e1 et e2 du montage (C1) on trouve s = $ - \,\,\,\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}*{e_1} + \frac{{{R_4}}}{{{R_4} + {R_3}}}*\frac{{{R_1} + {R_2}}}{{R1}}{e_2}$ Bien sur si l'on veut s = k.( e2 -e1), il faudra que
$\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}} = \frac{{{R_4}}}{{{R_3} + {R_4}}}*\frac{{{R_2} + {R_1}}}{{{R_1}}}$. ⇒ $\frac{{{R_2}}}{{{R_2} + {R_1}}} = \frac{{{R_4}}}{{{R_4} + {R_3}}}\,\,\,\,\, \Rightarrow \frac{{{R_2}}}{{{R_1}}} = \frac{{{R_4}}}{{{R_3}}}$
2.2.a. Le montage (C2) est intégrateur, la tension de sortie vaut $s = {s_0} - \int\limits_0^t {\frac{{e(u)}}{\tau }} dt$ $s = {s_0} - \int\limits_0^t {\frac{{e(u)}}{\tau }} dt$ avec = RC .

2.2.b.Le courant débité par l'entrée - de l'A.O., charge la capacité et donne une dérive s* = -i-t/C de s qui conduit à la saturation de l'A.O.; pour l'éviter on place une résistance R' en parallèle sur la capacité, la partie s* de la tension s due à ce courant i_ est alors bornée par - R'.i_

2.3.

Fonction de transfert du montage (C3): $s = - e.\frac{{jRC\omega }}{{1 + jRC\omega }}$
C'est un filtre passe haut, avec une fréquence de coupure à 3dB ${\nu _c} = \frac{1}{{2\pi RC}} \Rightarrow R = \frac{1}{{2\pi {\nu _c}C}} \approx 34k\Omega $
L'impédance de sortie est celle de L'A.O. , idéalement nulle. L'impédance d'entrée est assez élevée et dépend de la fréquence puisque ${{\rm Z}_e} = \frac{{jRC\omega + 1}}{{jC\omega }}$, si la source de tension n'est pas parfaite (résistance interne non nulle) on mettra un montage suiveur en entrée.
III. MICROPHONE A FIBRES OPTIQUES
3.A. Interféromètre de Mach-Zehnder
3.A.1 Entrent dans le second coupleur les amplitudes : ${a_0} = {T^{1/2}}.A.{\alpha _0}$ selon la fibre (F 0)
et $a = {(1 - T)^{1/2}}.A.{\alpha _0}$ selon la fibre (F) , cette vibration est déphasé de Φ par rapport à celle qui a parcouru la fibre (F 0) ( argument de a - argument de a 0) = $\Phi = \frac{{2.\pi .{n_0}}}{\lambda }\left[ {{L_0} - L + Y.L.{p_1}(t)} \right]$
3.A.2. Les amplitudes complexes en sortie du second coupleur seront notées naturellement b et b0
$\begin{array}{l}{\underline b _0} = {T^{1/2}}.{\underline a _0} + {(1 - T)^{1/2}}.\underline a .{e^{j\Phi }} = A.{\alpha _0}\left[ {T + (1 - T){e^{j\Phi }}} \right]\\\underline b = {T^{1/2}}.\underline a .{e^{j\Phi }} + {(1 - T)^{1/2}}.{\underline a _0} = A.{\alpha _0}.\sqrt {T(1 - T)} \left[ {1 + {e^{j\Phi }}} \right]\end{array}$
On calcule les intensités des vibrations lumineuses :
$\begin{array}{c}I = \underline b .{\underline b ^*} = {A^2}.\alpha _0^2.T(1 - T)\left[ {2 + 2\cos \Phi } \right]\\{I_0} = {A^2}.\alpha _0^2\left[ {T + (1 - T){e^{j\Phi }}} \right]\left[ {T + (1 - T){e^{ - j\Phi }}} \right]\\ = {A^2}.\alpha _0^2\left[ {{T^2} + {{(1 - T)}^2} + 2T(1 - T).\cos \Phi } \right]\end{array}$
3.A.3.a. v = vm .cosΦ = vm sin(2 π.n0Y.L.p1 (t) / λ)
valeur typique de l'argument du sinus : ( p1 m = 10-4 Pa ; Y = 10-9 Pa-1 ; L = 100m ; λ = 1,2 µm ; n 0 =1,5.)
≈ ( π/4)*10-4 rd
Avec ces valeurs le sinus se confond avec son argument et la tension v(t) est proportionnelle à .p1 (t).
3.A.3.b. Ce dispositif ne fonctionne pas car, du fait de variation infime de la température, le déphasage au "repos" (i.e. en l'absence d'ondes sonores) ne restera pas au voisinage de π/2 : En effet si L0 subie une variation relative typiquement de 10-5, toutes choses égales par ailleurs, alors le déphasage entre les deux vibrations varie de plusieurs fois 2 π : ΔΦ = ΔL0 .n0 .2π/λ = 1250.2π

3.A.4. Le dispositif décrit un processus de rétroaction qui maintient la tension v de "sortie" très voisine de zéro. Tant qu'une tension de sortie v existe, celle-ci est intégrée; le résultat considérablement amplifié est la tension u(t) qui , par effet POCKELS, agit sur l'indice d'un morceau l0 de la fibre de référence ( F0 ) et modifie ainsi le déphasage Φ jusqu'à ce que cos Φ = 0 et v=0. (Ce morceau l0 fibre a simultanément la fonction de convertisseur u→Φ et de sommateur) (
Schema-bloc de la rétro-action

3.A.4.a. $\frac{{du}}{{dt}} = k'.v(t)$ avec v(t) ≈ 0 et k' constante négative de grand module (exprimée en hertz).
$\begin{array}{c}v(t) = {v_m}(\frac{\pi }{2} - \Phi (t)) = {v_m}.\frac{{2\pi }}{\lambda }\left[ {{\delta _{Temp}} + {\delta _{pockels}} + {\delta _{pression}}} \right]\\ = {v_m}.\frac{{2\pi {n_0}}}{\lambda }\left[ {{L_0}.\varepsilon .\cos ({\Omega _0}t) + {l_0}.\beta .(u(t) - {u_0}) - ( - Y.L.{p_{1m}}\cos (\Omega t)} \right]\end{array}$
qui donne bien pour u(t) une équation de la forme $\tau .\frac{{du}}{{dt}} + u = C + D.\cos ({\Omega _0}t) + E.{p_{1m}}.\cos (\Omega t)$
{ l'influence de la température sur l0 ne change rien au principe ( v asservie à être nulle) mais introduirait dans u(t) des termes de fréquences Ω - Ω0 et Ω + Ω0 d' amplitudes relatives heureusement trés faibles ( ≈ 10- 5 )
avec $\tau = \,\,\, - \,\,\,\frac{\lambda }{{k'.{v_m}.2\pi .{n_0}.{l_0}.\beta }}$ ; $E = \,\,\, - \,\,\,\,\frac{{Y.L}}{{{l_0}.\beta }}$ ; C = u0 maintient v=0 et Φ = π/2 ,si p1 et ε sont nuls
:Pour la stabilité de la solution en u(t) il faut que τ soit positif ⇒ k ' < 0
le régime transitoire doit être une exponentielle décroissante : a.exp( -t/τ)
3.A.4.b. On choisit τ = 10-6 s .On remarque que v m intervient dans l'expression de τ, cette constante de temps dépendra donc, entre autres, de l'amplitude A de l'onde lumineuse émise par la diode laser.
Ce temps de relaxation est très bref , l'asservissement de la tension v à zéro est quasi instantané. On peut dire aussi que le régime transitoire de l ' équation différentielle du premier ordre( solution générale de l'équation sans second membre) s'amortit très vite et qu'en pratique on n'observe qu'un régime permanent, et si l'on limite les fréquences sonores à 20 kHz le terme
$\tau .\frac{{du}}{{dt}}$ ≈ τ.ω.um est très petit devant u(t).
3.A.4.c. La tension de rétroaction u(t) comprend un terme constant u0 ,un terme variant lentement à cause des modifications de la température et le terme dû à l'onde sonore. Un filtre passe- haut supprimant par exemple les fréquences inférieures à 1Hz ne laissera que la partie u* = E .p1(t)
Pour obtenir une tension u d'amplitude un volt avec une surpression d'amplitude 10-4 Pa il faudra que la tension u agisse sur une longueur l0 = Y.L.p1 / = 10-2 m ce qui parait tout à fait réalisable.
On sait que la gamme des intensités sonores est très vaste cette surpression de 10-4 Pa est faible et on peut craindre une saturation de l'intégrateur dans le cas de sons plus intenses.
3.A.4.d. L'amplitude A de l'onde lumineuse émise par la diode laser a,nous l'avons vu, une relative influence sur la constante de temps mais pas sur le coefficient E et donc le dispositif demeure également efficace si l'amplitude A varie dans des proportions raisonnables.
3.B. Interféromètre de Fabry-Pérot
3.B.1 Amplitudes des ondes successives sortant du Fabry-Pérot: :
$\xrightarrow{1{}^\circ }A{{\alpha }_{0}}(1-R);\xrightarrow{2{}^\circ }A{{\alpha }_{0}}(1-R){{\left( {{\alpha }_{0}}\sqrt{R}.{{e}^{-j\Phi }} \right)}^{2}};\xrightarrow{q{}^\circ }A{{\alpha }_{0}}(1-R){{\left( {{\alpha }_{0}}\sqrt{R}.{{e}^{-j\Phi }} \right)}^{2q}}$
$A.{{\alpha }_{0}}.(1-R).\frac{1}{1-\alpha _{0}^{2}.R.{{e}^{-2j\Phi }}}$
la somme de ces amplitudes donne 

$A.{{\alpha }_{0}}.(1-R).\frac{1}{1-\alpha _{0}^{2}.R.{{e}^{-2j\Phi }}}$ 3.B.2 On en déduit $\begin{array}{c}I(\Phi ) = \underline a .{\underline a ^*} = {A^2}.\alpha _0^2.{(1 - R)^2}.\frac{1}{{1 + \alpha _0^4.{R^2} - 2\alpha _0^2.R.\cos 2\Phi }} = \frac{{{I_{\max }}}}{{1 + m.{{\sin }^2}\Phi }};\\\end{array}$

$ \to avec:m\,\,\, = \,\,\,\,\,\frac{{4\alpha _0^2.R}}{{{{(1 - \alpha _0^2.R)}^2}}}$ = 693 ≈ (26,3)²
3.B.3. Pour détecter une petite variation de Φ en constatant une variation de l'intensité transmise il faut se placer dans une zone de pente maximale de la courbe I(Φ), donc au voisinage de Φ = 0 (ou bien sur de Φ = pπ )
Disons pour Φ compris entre - 1/13 et 1/13 (modulo π), ce qui justifierait l'approximation sin(Φ ) = Φ; plus pécisement la pente maximale de la courbe I(Φ ) correspond à $\Phi = \pm \sqrt {\frac{1}{{3m}}} $ ( où $\frac{{{d^2}I}}{{d{\Phi ^2}}}\,\, = \,\,0$ ) (cf.fig.) .

3.B.4. La diode n'émet pas une longueur d'onde unique, qui aurait une "longueur de cohérence infinie", mais une raie de largeur spectrale Δσ (on note σ, "nombre d'onde", l'inverse de la longueur d'onde), liée à la "longueur de cohérence" qui est aussi la "longueur.du train d'onde".
On peut interpréter ceci par le principe d'incertitude : entre l'incertitude Δx sur la position du photon et l'incertitude Δpx sur sa quantité de mouvement il y a la relation Δx.Δpx > h or p = hσ = hν/c et donc Δx.Δσ > 1, mais Δx., incertitude sur la position du photon, c'est bien sur la longueur de cohérence, ce qui donne pour la largeur spectrale Δσ = (l*)-1 = 100 m -1 .

En revenant à la description ondulatoire, le nombre d'oscillations dans le train d'onde vaut N= l*/λ c'est aussi est l'inverse de la finesse de la raie Δ σ/σ = 1/N = λ/l* = 1/(l* σ)

Pour une vibration lumineuse ainsi non monochromatique le graphe I(Φ) peut se lire aussi comme un graphe I(σ) ; la longueur L restant constante (pas d'effet thermique ou sonore) la tension de sortie v sera due à une suite de longueurs d'onde sélectionnées par le Fabry-Pérot dans la raie spectrale;
Or la distance spectrale entre deux pics de la courbe I(σ) correspond à .δΦ = 2π= 2π.L.n0 .δσ . soit δσ = 1/(L.n0) =1/150 = 0,0067 m -1
Il y a donc 100 / 0,0067 = 15 000 pics, c'est à dire autant de radiations quasi monochromatiques qui contribuent à la tension de sortie v .
Sous l'action des ondes sonores, la phase Φ d'une radiation rigoureusement monochromatique va varier mais la tension v de sortie,due à toutes les composantes de la raie, elle ne variera quasiment pas

Concours Physique ENSAM 1993 Thermodynamique-Chimie (Énoncé)

SESSION 1993
THERMODYNAMIQUE CHIMIE
Option T
(Durée 4 heures)

CHIMIE

1.1‑ Lorsque le plomb solide est chauffé en présence d'oxygène gazeux, le monoxyde PbO apparaît. Ecrire la réaction. Quel est le degré d'oxydation du plomb dans cet oxyde?
1.2‑ Il peut apparaître simultanément l'oxyde Pb304 ( minium ).
Ecrire la réaction.
Connaissant l'enthalpie libre molaire d'oxydation du plomb en monoxyde: ‑ 380 kJ/mole d'oxygène et l'enthalpie libre molaire d'oxydation de PbO en Pb304 : ‑ 104 kJ/mole d'oxygène, calculer l'enthalpie libre molaire de formation de Pb304 .

2.1‑ Le plomb à l'état solide, présente un réseau cristallin cubique, de paramètre a. Quatre atomes font partie de la maille; le motif, c'est à dire la position relative des atomes par rapport au repère de la maille, est décrit par les quatre positions:
0,0,0; 1/2,1/2,0; 1/2,0,1/2; 0,1/2,1/2. (maille à faces centrées)
On donne:
masse atomique relative: Pb = 207,2
masse volumique: 11340 kg/m3 . NAV = 6,02 1023 mol-1..
Calculer le paramètre cristallin a.
2.2‑ En supposant les atomes de plomb sphériques, de rayon r, et tangents entre eux dans les directions des diagonales des faces de la maille, calculer r.
2.3‑ Le plan diagonal de la maille, c'est à dire le plan passant par un sommet de la maille et contenant la diagonale de la face opposée à ce sommet, est le plan de densité atomique maximum; le montrer et calculer cette densité en nombre d'atomes par unité de surface.
2.4‑ Un cristal de plomb, dont on supposera la surface plane parallèle au plan diagonal de la maille, commence à s'oxyder; il se recouvre uniformément, d'une couche monoatomique d'atomes d'oxygène, par le mécanisme de formation du monoxyde. Quel est l'accroissement de masse du cristal par unité de surface?
3.1‑ Lorsque l'oxydation progresse, l'épaisseur e de la couche d'oxyde croit par diffusion de O et Pb à travers la couche.
On peut supposer que la vitesse de croissance de la couche est inversement proportionnelle à l'épaisseur de celle‑ci. On notera k1, le coefficient de proportionnalité.
Ecrire l'équation différentielle reliant l'épaisseur et le temps.
L'intégrer.
3.2‑ On a mesuré à l'aide d'une thermobalance, l'augmentation de masse Dm, d'un échantillon plan de dimensions 1cm sur 1cm et d'épaisseur 1/10 mm, placé à 300°C dans de l'air.

t(mn)	5	10	15	20	25
Dm(10-6 g)	18,8	26,6	32,5	37,6	42

Identifier par un calcul de régression, les coefficientsd'un modèle du type : Dm = k2.tn .Quelle relation vérifie‑t‑on entre ce modèle etcelui du 3.1?
Justifier. On donne la masse volumique de PbO: 9530 kg/m3 .
3.3‑ Quelle serait la valeur de k2 à 200°C?
On supposera que l'enthalpie molaire d'activation de la diffusion dans l'oxyde est 60 kJ/mole. On rappelle R = 8,32 J/mol.K.

4.1‑ On trempe une électrode de plomb dans un bain d'acétate de plomb de concentration 10-3 mol/l; on mesure, à 25°C, le potentiel d'équilibre E = ‑ 0,28 V, de cette électrode par rapport à une électrode au calomel.
Ecrire l'équilibre à cette électrode. Quel est le sens spontané d'évolution? Quel est le potentiel normal de ce couple redox?
On rappelle que le potentiel de l'électrode au calomel est de 0,24 V par rapport à l'électrode normale à hydrogène. 1 Faraday = 96490 C.
4.2‑ Le plomb existe aussi au degré d'oxydation (d.o.) +4, ainsi dans le tétracétate Pb(CH3CO2)4. On plonge une électrode de platine dans une solution acétique contenant 10-2 mol/l de Pb2+ et 10-3 mol/l de Pb4+ . On mesure par rapport à l'électrode au calomel, E = 1,51 V. Quel est le potentiel standard du couple Pb4+ / Pb2+?
4.3‑ Dans un accumulateur au plomb, on utilise des électrodes en plomb et des électrodes en plomb recouvert d'hydroxyde Pb(OH)4 ; les 2 types d'électrodes baignent dans de l'acide sulfurique concentré ( 10 N ).
Ecrire les réactions aux électrodes à la décharge de l'accumulateur. Quel est le mécanisme anodique ( d'oxydation )? Le mécanisme cathodique ( réduction )? Quelles sont les polarités des électrodes?
4.4‑ Le sulfate de plomb PbSO4 et l'hydroxyde de Pb d.o.4, sont peu solubles; on donne les colog des produits de solubilité:
sulfate: pk1S = 8 ; hydroxyde: pk2S = 64 .
Calculer la f.e.m. de l'accumulateur en début de décharge.

THERMODYNAMIQUE

Un cylindre vertical de section S est fermé par un piston horizontal de masse négligeable, mobile sans frottement (voir figure 1). Une masse m d'air (considéré comme un gaz parfait de masse molaire M et de constantes R et γ) est enfermée dans le cylindre, avec les conditions initiales de température T1 et de pression p1 = pa (pa est la pression ambiante supposée constante). On appelle γ le rapport des chaleurs massiques à pression et volume constant et R la constante des gaz parfaits.

On ne tiendra pas compte des variations d'énergie cinétique Ec.
On donne pour les applications numériques: S = 100 cm2 ; m = 7,25 g ;
M = 29g.mole-1 ; R = 8,32 J.K-1 .mole-1 ; T1 = 300 K ; p = 105 Pa ;γ = 1,4 .
1°) Préliminaires.
1‑1 Calculer le volume initial V1 de l'air et la hauteur h1 (distance du piston au fond du cylindre).
1‑2 A partir de l'expression différentielle du premier principe:
dU + dEc = ∂W + ∂Q (ici dEc = O),
donner l'expression différentielle ds de l'entropie de la masse d'un gaz parfait en fonction de m, R, M, γ, dT/T et dV/V; avec,
T et V: température absolue et volume du gaz parfait de masse m, de masse molaire M et de constantes R et γ;
s et U: entropie (en Joule.degré-1 ou J/K) et énergie interne du gaz parfait;
W et Q: travail et chaleur échangés avec le milieu extérieur.
2°) Les parois du cylindre et le piston sont diathermanes, c'est à dire qu'ils sont perméables à la chaleur. L'ensemble du dispositif se trouve dans une ambiance maintenue à la température
Ta = T1 = 300 K.
2‑1 On applique brutalement un effort F = 1000 N (voir figure 2). En appelant P2 et V2 les nouveaux paramètres de pression et de volume obtenus par l'air, lorsque celui‑ci a atteint l'équilibre thermique avec le milieu extérieur, calculer le taux de compression T = P2/P1 , V2 et la hauteur h2.
2‑2 Calculer le travail W reçu par l'air au cours de l'évolution 1 ‑→ 2.
2‑3 Calculer la variation d'entropie Δsair de l'air pour cette évolution.
2‑4 Calculer pour cette même évolution, la variation d'entropie Δsext du milieu extérieur, et en déduire la variation d'entropie ΔsENS de l'ensemble:
Δsair= Δsair + Δsext
2‑5 On applique maintenant très lentement l'effort F jusqu'à atteindre la pression P2..Calculer dans ces conditions le travail Wθ reçu par l'air.
2 6 Comparer Wr et (Wθ +Ta. ΔsENS); conclusions

3°) Les parois du cylindre et le piston sont maintenant supposées être imperméables à la chaleur. L'air est donc thermiquement isolé du milieu ambiant
3‑1 On applique brutalement un effort F = 1000 N (voir figure 3).
En appelant p3 et V3 les nouveaux paramètres de pression et de volume dans l'état d'équilibre final, calculer le taux de compression τ = p3 /p1 .
3‑2 En écrivant que le travail reçu par l'air est égal à la variation d'énergie interne, calculer:
3‑2‑1 littéralement en fonction de τ et de γ, les rapports: V3/V1 et T3/T1 ,
3‑2‑2 numériquement: T3, V3 et h3.
3‑3 Calculer la variation d'entropie Δs13 de l'air pour la compression.
3‑4 On applique maintenant très lentement l'effort F jusqu'à atteindre la Pression P4 = P3 Calculer dans ces conditions les nouveaux paramètres T4, V4 et h4.
3‑5 A partir de l'état 3 (p3, T3, V3), l'effort F est supprimé brutalement. L'air subit une détente irréversible qui l'amène à un état d'équilibre: P5 = p1. ,T5 , V5. Ensuite, par contact avec une source thermique à la température T , on ramène l'air par une transformation irréversible isobare à l'état initial: p1 , T1 , V1. Déterminer:
3‑5‑1 littéralement en fonction de τ et de γ : V5 /V3 et T5/T5.
3‑5‑2 numériquement: T5, V5 et h5
3‑5‑3 calculer la quantité de chaleur Q51 mise en jeu au cours de l'évolution isobare; expliquer le signe de Q51

3‑6 Calculer les variations d'entropie Δs35 et Δs51 de l'air au cours des évolutions de détente (3 ‑→ 5) et isobare (5 ‑→ 1).
Comparer: Δs13 et (Δs35 + Δs51 ).

Concours Physique ENSAM 1993 (Énoncé)

SESSION 1993
Electricité ‑ Optique ‑ Mécanique
Option T ‑ Durée : 4 heures
INDICATIONS GENERALES
L'épreuve comporte 2 problèmes indépendants qui devront être traités sur des copies séparées.
Barème indicatif sur 20 points:
Electricité 13 points
Optique 7 points
L'usage du papier millimétré est exclu.
Les candidats respecteront scrupuleusement les notations des énoncés.
ELECTRICITE
Les 2 parties sont indépendantes.

PREMIERE PARTIE Calculs de champs magnétiques.
1.1 Etant donné un circuit filiforme (C) orienté, parcouru par un courant permanent d'intensité I, placé dans le vide (ou dans l'air), exprimer la contribution élémentaire dB associée à un élément dl du circuit (C) permettant de calculer le champ magnétique $\vec B$ créé en un point M de l'espace.
Donner 2 expressions du module dB =|d$\vec B$| dont l'une utilise l'angle élémentaire dα sous lequel du point M, on voit cet élément.
1.2 Déterminer le champ magnétique $\vec B$ créé en un point A par la partie rectiligne CD d'un circuit parcouru par un courant I (fig. E1). Exprimer le module B = |$\vec B$| à l'aide des angles α1 et α2 et de la distance a = HA. Calculer la valeur numérique de B avec I = 100A, a = b = 8,65 cm, c = 5cm.
1.3 Préciser la direction et le sens du champ magnétique $\vec B$ créé en un point A de son plan par un circuit carré CDEF (fig. E2) parcouru par un courant I. Calculer la valeur numérique du module B si I = 100 A, b = 8,65 cm, c = 5 cm.
1.4 Déterminer le vecteur $\vec B$ créé par une spire circulaire (C) de rayon R parcourue par un courant I, en un point A de son axe situé à une distance OA = h de son centre O (fig. E3). Exprimer le module B = |$\vec B$| à l'aide de l'angle γ; donner sa valeur particulière au centre O de la spire. Calculer numériquement B pour I = 100 A, R = 10 cm et successivement h = 0 et h = 2,5 cm.
1.5 Une plaque de cuisson par induction utilise une bobine plate de rayon intérieur R1, de rayon extérieur R2 formée d'un conducteur enroulé en spirale à spires jointives. On assimile d'abord cette bobine plate à un ensemble de N spires concentriques parcourues par le même courant I (fig. E4).
1.5.1 En admettant l'équivalence avec une répartition continue de spires, exprimer la densité radiale de courant équivalente λ en relation avec I.
1.5.2 Déterminer le vecteur $\vec B$ au centre O de la bobine; donner l'expression du module B = |$\vec B$| et
calculer sa valeur numérique avec R1 = 2,5 cm, R2 = 10 cm, N = 25 spires, I = 24 A.
1.5.3 Déterminer le vecteur $\vec B$ en un point A de l'axe de la bobine à une distance OA = h de son centre O (fig. E5); on exprimera le module B = |$\vec B$| en fonction des valeurs extrêmes γ1 et γ2 de γ. On rappelle que $\int{\frac{dx}{\cos x}}=\ln \left| \tan \left( \frac{x}{2}+\frac{\Pi }{4} \right) \right|$ . Calculer la valeur numérique de B avec les valeurs du 1.5.2 et h = 2,5 cm.
1.6 On considère maintenant la bobine plate comme une spirale d'équation R = RI + aθ parcourue par un courant I (fig. E6); déterminer le vecteur $\vec B$ au centre O de la bobine. Calculer la valeur numérique du module B = |$\vec B$| au centre O de la spirale avec I = 24 A et R = R1 = 2,5 cm pour θ = 0 associé à R = R2 = 10 cm après 25 tours complets.

DEUXIEME PARTIE: Application des équations de Maxwell.
2.1 Rappeler les équations de Maxwell dans le vide en présence d'une distribution permanente de courant caractérisée en chaque point par un vecteur densité de courant ${\rm{\vec j}}$ . Dans la suite du problème on considère un métal assimilable à un milieu idéal isotrope ayant les propriétés électrostatiques et magnétiques du vide et présentant en chaque point une densité volumique de charge ρ = 0 et une densité de courant de conduction ${\rm{\vec j}}$ = γ$\vec E$ ( γ conductivité du métal).
Le métal occupe le demi‑espace z > 0; on se propose d'étudier la pénétration d'ondes planes électromagnétiques sinusoïdales de pulsation ω suivant la direction oz (fig. E7). A la surface z = 0) de ce milieu conducteur, Ox porte le vecteur champ électrique ${\vec E_0}$ et Oy porte le vecteur excitation magnétique ${\vec H_0}$; on admettra que les vecteurs $\vec E$ et $\vec H$ conservent une direction constante à l'intérieur du conducteur.

2.2 Ecrire les équations de Maxwell concernant $\vec E$ et $\vec H$ dans le milieu conducteur;
vérifier que div $\vec E$ = 0 et div $\vec H$ = 0.
2.3 On recherche pour les champs des solutions de la forme
$E\left( {{\rm{z}}{\rm{,t}}} \right) = E\left( {\rm{z}} \right)\cos \left( {\omega {\rm{t}} - k{\rm{z}}} \right)$
et $H\left( {{\rm{z}}{\rm{,t}}} \right) = H\left( {\rm{z}} \right)\cos \left( {\omega {\rm{t}} - k{\rm{z}} + \varphi } \right)$
dans lesquelles on veut déterminer $E\left( {\rm{z}} \right)$, $H\left( {\rm{z}} \right)$ et ϕ. On suppose connu $E\left( {{\rm{z}}{\rm{,t}}} \right)$ = Eo pour z = 0 et t = 0.
2.3.1 En appliquant les équations de Maxwell du 2.2 aux formes associées
${\rm{E}}\left( {{\rm{z}}{\rm{,t}}} \right) = E\left( {\rm{z}} \right){e^{j\left( {\omega {\rm{t}} - k{\rm{z}}} \right)}}$
et ${\rm{H}}\left( {{\rm{z}}{\rm{,t}}} \right) = H\left( {\rm{z}} \right){e^{j\varphi }}{e^{j\left( {\omega {\rm{t}} - k{\rm{z}}} \right)}}$
et après simplification tenant compte de la valeur de $\frac{\gamma }{{{\varepsilon _o}\omega }}$ pour le cuivre (γ = 6 x 107 Ω-1.m-l, ε0 = 8,85 x 10‑12 F m-1) à la fréquence f = 30 kHz, montrer qu'on obtient 2 équations différentielles reliant E(z) et H(z) (certains coefficients sont complexes).
2.3.2 En déduire l'équation différentielle régissant E(z) puis la solution E(z) et la valeur de k en fonction de γ, µ0, ω .
2.3.3 Expliciter alors E(z, t) et H(z, t) en précisant la valeur de ϕ. Quelle est la vitesse de propagation u de l'onde dans le milieu conducteur ?
2.3.4 On pose $\delta = \frac{1}{k}$. Quelle est la dimension physique de δ ? Quelle interprétation simple peut‑on en donner ?
Exprimer u et δ en fonction de ω, γ et µ0 .
Application numérique: f = 30 kHz
‑ pour le cuivre γ = 6 x 107 Ω-1.m-l et µo = 4Π 10‑7 H.m-1.
Comparer à la valeur trouvée pour un acier de conductivité γ = 2 x 106 Ω-1.m-l et pour lequel on admet que la perméabilité magnétique est µ =100 µ0 .
2.4 Comment varie la densité de courant j à l'intérieur du milieu conducteur ?
(on appellera JO l'amplitude de la densité de courant à la surface du conducteur)
Déterminer la puissance P dissipée par effet Joule dans un volume de conducteur correspondant à un parallélépipède rectangle de base OABC (OC = AB = a, OA = CB = b) et de hauteur infinie suivant Oz (fig. E8).
Montrer que la puissance par unité de surface $\frac{P}{{ab}}$ s'exprime simplement, soit en fonction de Eo, γ et δ, soit en fonction de Ho, γ et δ (on appelle Ho la valeur de H(z, t) pour z = O et t = O ).
2.5 Quelle devrait être la hauteur e d'un parallélépipède rectangle de base OABC soumis à une densité de courant d'amplitude constante Jo pour que la puissance dissipée par effet Joule y soit la même que celle obtenue au 2.4 ?
2.6 Montrer que l'on peut obtenir la puissance par unité de surface $\frac{P}{{ab}}$ calculée au 2.4 à l'aide du vecteur de Poynting.

OPTIQUE

$1$ Soit le prisme de sommets A B et C, d'angles α et β, représenté sur la figure O1. Un rayon lumineux situé dans le plan de section principale et issu d'une source monochromatique de longueur d'onde λ, pénètre dans le prisme par la face AB, sous un angle d'incidence θil Soit n (avec n>1), l'indice de réfraction relatif du prisme par rapport au milieu dans lequel il est placé, à la longueur d'onde λ de la radiation incidente.
1.1 Dessiner le cheminement du rayon à travers le prisme. Faire apparaître en particulier l'angle de déviation δ entre le rayon incident représenté sur la figure O1 et le rayon émergent du prisme.
NB: Utiliser la notation suivante: θtl pour l'angle de réfraction sur la face AB du prisme; θi2 pour l'angle d'incidence sur la face AC; θt2 pour l'angle de réfraction sur la face AC. Dans cette notation, l'indice i correspond à 'incident', t à 'transmis'; l'indice 1 correspond à la face AB, 2 à la face AC, 3 à la face BC.
1.2 Donner la relation entre α, θtl et θi2 .
Donner les valeurs limites pour θil, θtl, θi2 et θt2 dans le cas de la figure O1 avec α voisin de 60°.
1.3 A partir de la relation entre α, θtl et θi2, déduire la condition sur α pour laquelle le rayon ne peut pas émerger de la face AC d'un prisme d'indice n et ceci, quel que soit l'angle d'incidence α, θi1 .
On appelle Γ l'angle tel que $\sin \Gamma = \frac{1}{n}$ avec $0 \le \Gamma \le \frac{\Pi }{2}$ .
A.N.: n = 1,5.
1.4 Quelle est la condition sur θi1 pour que le rayon puisse émerger dans le cas où n=1,5 et α = 60° ?
1.5 Calculer l'angle de déviation δ pour les valeurs particulières suivantes: n = 1,5 et θi1 = 30°, α = 60°.
1.6 Trouver la condition sur θi1 pour laquelle la déviation δ passe par un extremum. On admettra que cet extremum est un minimum.
Quelle est la déviation minimale pour un prisme d'indice n = 1,5 et α = 60°.
$2$ On considère le cas particulier d'un prisme avec β = 90° et on s'intéresse aux rayons qui entrent par la face AB, subissent une réflexion totale sur la face AC et émergent par la face BC. Soit θt3 l'angle entre le rayon émergent et la normale à la face BC.
2.1 Quelle est la condition sur α pour qu'un rayon lumineux arrivant perpendiculairement à la face AB, subisse effectivement une réflexion totale sur la face AC ?
2.2 Quelle est la valeur de θt3 si le rayon incident est normal à la face AB ?
2.3 Déterminer la variation Δθt3 de l'angle θt3 causée par une variation Δθi1 de l'angle d'incidence au voisinage de l'incidence normale.
2.4 Soit un rayon arrivant sur la face AB sous une faible incidence (θi1 petit mais différent de 0). Exprimer l'angle θt3 en fonction de n, α et θi1
A quelle condition l'angle θt3 est‑il indépendant de la longueur d'onde de la radiation incidente pour une incidence voisine de la normale ?

$3$ On considère maintenant un prisme de petits angles α et β avec α= β.
3.1 Donner une expression simplifiée pour l'angle de déviation δ subie par un rayon entrant par la face AB sous un petit angle d'incidence et sortant par la face AC.
3.2 Une source linéaire, normale au plan de figure, placée à une distance h de la face AB (Figure 02), à égale distance des sommets A et B, envoie sur le prisme une radiation monochromatique de longueur d'onde λ.
Montrer par une construction graphique, que dans cette configuration, on obtient un champ d'interférences à la sortie du prisme. Un écran est placé à droite du sommet C, à la distance d de celui‑ci, parallèlement à la face AB. Faire apparaître en particulier les 2 sources virtuelles S1 et S2 d'où semblent provenir les ondes qui interfèrent.
Dans les questions qui suivent, prendre pour les applications numériques: n=1,5, h=0,5m, α=2°, λ=0,61µm, d=0,5m.
3.3 Décrire les franges formées (orientation et forme) sur l'écran.
Exprimer la distance a entre les sources S1 et S2 en fonction de n, h et α.
Calculer a en mm.
3.4 Exprimer l'interfrange i sur l'écran en fonction de la longueur d'onde de la radiation émise par la source S.
Calculer i en µm et donner le résultat à 1 µm près.
Quel est le nombre N de franges brillantes apparaissant sur l'écran ?
3.5 On place, sur la moitié inférieure de la face AB du prisme, une lame à faces parallèles d'épaisseur e = 0,01 mm et d'indice de réfraction n1.
Déterminer la direction de déplacement des franges et donner la relation permettant de calculer ce déplacement.
Sachant que la lame provoque un déplacement des franges de 0,25 mm $ \pm $ 0,01 mm, trouver l'indice de réfraction de la lame et la précision en % sur la valeur de l'indice.

Concours Physique ENSI Physique I 1993 (Corrigé)

ENSI 93 - Epreuve commune Physique 1 - 4 heures
Partie I : thermodynamique
I.1
a) h Pour n moles de gaz parfait, dU = nCvdT, dH = d(U + PV) = nCpdT et PV = nRT ; donc dH = n(Cv + R)dT soit Cp - Cv = R (relation de Mayer, qu’il n’est pas nécessaire de redémontrer).
h Les deux relations Cp = Cv + R et Cp/Cv = γ permettent d’exprimer Cp et Cv :
Cv = R/(γ-1) et Cp = γR/(γ-1)
b) h Le rapport γ étant constant, la relation dU = CvdT = nRdT/(γ-1) s’intègre en :
U = nRT/(γ-1) - U0
I.2
a) h dU = TdS - PdV d’où dS = dU/T + (P/T)dV
b) h PV = nRT donc T = PV/nR ; d’autre part, dU = nRdT/(γ-1) = d(PV)/(γ-1). En reportant dans l’expression de dS on obtient une expression ne dépendant que de P et V :
${\rm{d}}S = nR\left[ {\frac{{{\rm{d}}(PV)}}{{(\gamma - 1)PV}} + \frac{{{\rm{d}}V}}{V}} \right] = \frac{{nR}}{{(\gamma - 1)}}\left( {\frac{{{\rm{d}}P}}{P} + \gamma \frac{{{\rm{d}}V}}{V}} \right) = \frac{{nR}}{{(\gamma - 1)}}{\rm{d}}ln\left( {P{V^\gamma }} \right)$
dS = nR/(γ-1) dln(PVγ)
c) h Par intégration entre l’état de référence (P0, V0, S0) et l’état (P, V, S) on obtient la relation :
$S - {S_0} = \frac{{nR}}{{\gamma - 1}}\ln \frac{{P{V^\gamma }}}{{{P_0}V_0^\gamma }}$
d) h La relation précédente s’écrit : $P{V^\gamma } = {P_0}V_0^\gamma \exp \frac{{\left( {\gamma - 1} \right)\left( {S - {S_0}} \right)}}{{nR}}$ donc à entropie S constante le second membre, qui est une fonction croissante de S car γ est supérieur à 1, est une constante. La relation demandée (loi de Laplace) est donc vérifiée.

I.3

a) h La compression de V0 à V1 et la détente de V1 à V0 sont adiabatiques et réversibles donc isentropiques. h La combustion est instantanée donc isochore, et non réversible. D’après le second principe lors de cette phase ΔS>0 car Qc>0, donc le produit PV1γ et par conséquent P augmentent : P2>P1. h Enfin après l’ouverture de la soupape de l’échappement la transformation est isochore. h On en déduit l’allure du cycle dans le diagramme de Clapeyron : deux isentropiques et deux isochores. Le sens de parcours (sens des aiguilles d’une montre) correspond bien à un cycle moteur.

b) h La compression est isentropique (car adiabatique et réversible) donc d’après I.2.d : P1V1γ = P0V0γ soit P1= P0 (V0/V1)γ = P0 ργ. D’autre part T1/T0 = (P1V1)/(P0V0) d’après la relation PV = nRT ; en utilisant l’expression précédente de P1 on en déduit T1 = T0 ρ(γ-1).
h En procédant de même pour la détente isentropique (P2, V1, T2) → (P3, V0, T3), on obtient P3V0γ = P2V1γ soit P3= P2 (V1/V0)γ = P0 ρ-γ, et T3 = T2 ρ(1-γ).
P1 = P0 ργ ; T1 = T0 ρ(γ-1) ; P3= P0 ρ-γ ; T3 = T2 ρ(1-γ).
c) h La quantité de chaleur Qc est fournie au gaz à volume constant, il s’agit d’une transformation isochore au cours de laquelle la température passe de T1 à T2. D’après le premier principe, ΔU = nCvΔT = nR/(γ-1) (T2-T1) = Qc, car Cv capacité calorifique molaire à volume constant est constante. Par conséquent l’expression de T2 est :
T2 = T1 + (γ-1) Qc/nR
d) h Au cours du cycle le fluide échange du travail avec l’extérieur lors de la compression et de la détente isentropiques, tandis que les échanges de chaleur ont lieu lors des deux transformations isochores.
h L’expression du premier principe appliqué au cycle est : 0 = ΔU = W+Qc+Q’c, où W désigne le travail total reçu par le fluide, Qc la chaleur reçue par le gaz lors de la combustion et Q’c la chaleur échangée lors du refroidissement isochore du gaz à l’ouverture de la soupape d’échappement (Q’c<0 car le gaz cède de la chaleur). Le travail utile fourni par le fluide vaut -W, il est égal au travail moteur du gaz durant la détente diminué du travail qu’il est nécessaire de lui fournir lors de la compression. La quantité de chaleur Qc n’est pas récupérable par le moteur et n’intervient donc pas directement dans le bilan.
h Le rendement η est alors égal à -W/Qc, soit en tenant compte de l’expression du premier principe η = (Qc + Q’c) / Qc = 1 + Q’c / Qc = 1 - Q’c / Qc.
h La chaleur Q’c est échangée lors de la transformation isochore (P0, V0, T3) → (P0, V0, T0) donc Q’c = nCv(T0-T3). On exprime T3 en fonction de T0 en utilisant les expressions de T3 et T1 en fonction de T2, T0, ρ et γ (I.3.b) et celle de T2 en fonction de T1 et Qc (I.3.c) : T3 = T2ρ(1-γ) = (T1+(γ-1)Qc/nR)ρ(1-γ) = T0 + (γ-1)Qcρ(1-γ)/nR. En reportant dans l’expression de Q’c on trouve finalement Q’c = - Qcρ(1-γ), soit :
η = 1-ρ(1-γ)
I.4
a) h P1 = P0 ργ ; T1 = T0 ρ(γ-1) ; P0 = 105 Pa ; T0 = 50° C = 323 K ; ρ = 10 ; γ = 7/5 :
T1 = 811 K = 538° C ; P1 = 2,5.106 Pa = 25 bar
b) h η = 1-ρ(1-γ) donc η = 0,602.
h Calcul du nombre de moles de gaz admis dans le cylindre : n = P0V0/RT0
V0-V1 = 500 cm3 = 5.10-4 m3, V0/V1 = 10, donc V0 = 5/9.10-3 m3 ; P0 = 105 Pa, R = 8,31 J.K-1.mol-1, T0= 323 K, soit n = 2,07.10-2 mol.
Qc = 2,07.10-2 mol x 80 kJ.mol-1 = 1656 J
donc le travail fourni au piston par le gaz au cours d’un cycle vaut W = η Qc = 996 J
c) h Un cycle correspond à deux tours : en partant du point mort haut le premier tour comprend les étapes admission et compression, le second tour les étapes détente et échappement. Le moteur effectue par conséquent 2400 cycles.min-1 soit 40 cycles.s-1, en fournissant un travail de 996 J par cycle. Sa puissance est donc
P = 996 J x 40 s-1 = 39,86 kW
I.5
a) h Le rapport a/V2 est la pression interne qui a pour origine les interactions attractives entre les molécules du gaz. a ≡ Pa.(m3.mol-1)2 ≡ Pa.m6.mol-2 (l’équation est donnée pour une mole de gaz, V correspond par conséquent au volume molaire).
h Le coefficient b est le covolume, qui correspond au volume propre des molécules qui ne sont pas rigoureusement ponctuelles. b s’exprime en m3.mol-1.
h Pour n moles de gaz occupant le volume V, le volume molaire vaut V/n. Il suffit donc de remplacer V par V/n dans l’équation initiale pour obtenir
(P - a.n2/V2).(V/n - b) = RT ou encore (P - a.n2/V2).(V - nb) = nRT
b) Il s’agit de reprendre la démonstration classique des relations de Clapeyron :
h pour une transformation réversible impliquant une mole de gaz,
δQrev = Cv dT + l dV et δWrev = -P dV.
h D’après le premier principe, l’énergie interne est une fonction d’état. L’application du théorème de Schwartz à la différentielle exacte dU = δQrev + δWrev = Cv dT + (l-P) dV conduit à la relation (1) ${\left( {\frac{{\partial {C_v}}}{{\partial V}}} \right)_T} = {\left( {\frac{{\partial l}}{{\partial T}}} \right)_V} - {\left( {\frac{{\partial P}}{{\partial T}}} \right)_V}$
h D’après le second principe, l’entropie est une fonction d’état. L’application du théorème de Schwartz à la différentielle exacte dS = δQrev /T = (Cv/T) dT + (l/T) dV conduit à la relation (2) ${\left( {\frac{{d{C_v}/T}}{{\partial V}}} \right)_T} = {\left( {\frac{{\partial l/T}}{{\partial T}}} \right)_V}$, soit ${\left( {\frac{{\partial {C_v}}}{{\partial V}}} \right)_T} = {\left( {\frac{{\partial l}}{{\partial T}}} \right)_V} - l/T$.
h Par comparaison de ces deux relations on obtient $l = T{\left( {\frac{{\partial P}}{{\partial T}}} \right)_V}$, puis en remplaçant l par son expression dans (1)${\left( {\frac{{\partial {C_v}}}{{\partial V}}} \right)_T} = T{\left( {\frac{{{\partial ^2}P}}{{\partial {T^2}}}} \right)_V}$.
h La différentiation de l’équation de Van der Waals à volume constant donne :
(V-nb) dP = nR dT, donc ${\left( {\frac{{\partial P}}{{\partial T}}} \right)_V} = nR/(V - nb)$, qui ne dépend pas explicitement de la température. Par conséquent la dérivée seconde par rapport à T est nulle, de même que ${\left( {\frac{{\partial {C_v}}}{{\partial V}}} \right)_T}$ : ${\left( {\frac{{\partial {C_v}}}{{\partial V}}} \right)_T} = 0$.
c) h Pour n moles de gaz, dS = δQrev /T = (nCv/T) dT + (l/T) dV. D’après la question précédente, pour le gaz de Van der Waals l = nRT/(V-nb), donc
dS = n(Cv/T dT + R/(V-nb) dV).
h Le long d’une isentropique, dS = n(Cv/T dT + R/(V-nb) dV) = 0, d’où l’équation différentielle dT/T = -(R/Cv/).dV/(V-nb). R, Cv, n et b étant des constantes, l’intégration entre l’état (T,V) et un état de référence (T0, V0) situé sur la même isentropique donne :
$\ln (T/{T_0}) = - (R/{C_v})\ln \left( {\frac{{V - nb}}{{{V_0} - nb}}} \right)$, soit
$T{(V - nb)^{(R/{C_v})}} = cste$ le long d’une isentropique.
d) h Compte tenu de l’expression de l, dU = nCv dT + (l-P) dV s’écrit :
dU = nCv dT + (nRT/(V-nb)-P) dV. En exprimant P en fonction de T et V à partir de l’équation de Van der Waals : P = nRT/(V-nb) - an2/V2, on obtient la relation :
dU = nCv dT + a n2/V2 dV
h Les coefficients Cv, a et n étant constants, l’intégration entre l’état de référence (T0,V0,U0) et l’état (T,V,U) conduit à l’expression de U :
U - U0 = nCv (T - T0) + an2(V0-1 - V-1)

e) La démarche est identique à celle de la question I.3.
h Pour la compression isentropique la nouvelle relation entre T0, V0, T1 et V1 s’écrit d’après I.5.c) :
${T_0}{({V_0} - nb)^{R/{C_v}}} = {T_1}{({V_1} - nb)^{R/{C_v}}}$ soit ${T_1}/{T_0} = {\left( {\frac{{{V_0} - nb}}{{{V_1} - nb}}} \right)^{R/{C_v}}}$.
h De même pour la détente isentropique on a ${T_3}/{T_2} = {\left( {\frac{{{V_1} - nb}}{{{V_0} - nb}}} \right)^{R/{C_v}}}$. Ces relations sont identiques à celles obtenues pour le gaz parfait en remplaçant les volumes V0 et V1 par V0-nb et V1-nb, R/Cv étant égal à γ-1 si la valeur de Cv est inchangée.
h Pour les deux transformations isochores, les relations entre les températures et les chaleurs échangées sont identiques à celles valables pour un gaz parfait, puisque d’après I.5.d) ΔU = Qc = nCv ΔT pour une transformation isochore (V0 = V). Donc en utilisant les mêmes notations qu’en I.3 T2 = T1 + Qc/Cv et Q’c = Cv (T0-T3).
h Le rendement est toujours égal à 1 + Q’c /Qc . On trouve donc à partir des résultats précédents une expression similaire à celle obtenue pour le gaz parfait :
${\eta _w} = 1 - {\left( {\frac{{{V_1} - bn}}{{{V_0} - bn}}} \right)^{R/{C_v}}} = 1 - {\left( {\frac{{{\rho ^{ - 1}} - bn/{V_0}}}{{1 - bn/{V_0}}}} \right)^{R/{C_v}}}$
f) h Pour calculer n il faut en toute rigueur résoudre l’équation de Van der Waals (P - an2/V2)(V-nb) = nRT. Cependant les termes an2/V2 et nb constituant de petites corrections, n peut-être approximé par n = PV/RT à condition de vérifier P>>an2/V2 et V>>nb.
h La valeur approchée de n a été calculée en considérant l’état initial (P0 = 105 Pa, V=5/9.10-3 m3, T0 = 323 K) en I.4 : n = 2.07.10-2 mol.
On vérifie alors que :an2/V02 = 1,89 Pa << P0 = 105 Pa et nb = 7,96.10-7 m3 << V0 = 5,55.10-4 m3 (la résolution numérique donne n = 2,0707.10-2 mol contre 2,0698.10-2 mol pour la valeur approchée).
h La capacité calorifique molaire Cv est celle du gaz parfait d’où Cv = R/(γ-1) et R/Cv = γ-1. D’après I.5.e) ${T_1} = {T_0}{\left( {\frac{{{V_0} - nb}}{{{V_1} - nb}}} \right)^{R/{C_v}}} = {T_0}{\left( {\frac{{1 - nb/{V_0}}}{{{\rho ^{ - 1}} - nb/{V_0}}}} \right)^{\gamma - 1}}$. On trouve T1 = 815,6K = 542°C. En reportant cette valeur dans l’équation de Van der Waals écrite pour l’état (P1, V1, T1) on obtient P1 = 25,4 bar.
h Le calcul de ηw à partir du résultat de I.5.e) donne ηw = 0,604.
Les résultats obtenus sont sensiblement égaux aux résultats obtenus dans l’approximation du gaz parfait, l’écart sur le rendement étant de 0,3%. Ceci s’explique par le caractère correctif des coefficients a et b (le terme nb/V0 vaut 1,437.10-3).
Partie II : mécanique
II.1
a) h On applique le théorème de la résultante cinétique au piston de masse m1, en translation rectiligne d’accélération a1, soumis à son poids (négligé d’après l’énoncé) et aux forces F, F1 et R :
m1a1 = F + F1 + R b) h Le piston est en translation selon Oy donc a1 = a1y ey et la vitesse de glissement du piston par rapport au cylindre est colinéaire à Oy. Le mouvement s’effectuant sans frottement, la composante de R colinéaire à la vitesse de glissement donc à ey est nulle. Enfin d’après l’énoncé F = -Fey. Par conséquent la projection du théorème de la résultante cinétique sur Oy s’écrit : m1 a1y = F1y - F, soit
F1y = F + m1 a1y

II.2

a) h D’après le schéma la distance HB s’exprime selon : HB = λd|sin β| = d/2 |sin α.| L’orientation des angles α et β étant opposée, on en déduit en valeur algébrique sin α = -2λ sin β. b) h La position de C est totalement déterminée par yc, (xc = 0). En valeur algébrique ${y_c} = \overline {OC} = \overline {OH} + \overline {HC} = (d/2)\cos \alpha + \lambda d\cos \beta $ ${y_c} = d(\frac{{\cos \alpha }}{2} + \lambda \cos \beta )$

c) h Compte tenu de l’hypothèse λ>>1, la relation sin β = - sinα/(2λ) peut être réécrite : β ≈ sinβ ≈ - sinα/(2λ), d’autre part cosβ ≈ 1 au premier ordre (pour λ grand, la bielle reste très voisine de la position verticale).
L’expression de yc se simplifie en yc ≈ d/2 cosα + λd.
En dérivant on trouve successivement : ${v_{1y}} = - d/2\dot \alpha \sin \alpha = - d/2\omega \sin \alpha $, puis
a1y = -d/2(sinα dω/dt + cosα ω2). En régime permanent dω/dt = 0, l’accélération vaut finalement
a1y = -dω2/2 cosα Pour ceux qui ne sont pas convaincus, il est possible de dériver l’expression exacte de yc soit ${\dot y_c} = - d(\dot \alpha /2\sin \alpha + \lambda \dot \beta \sin \beta ) = - (d/2)\sin \alpha (\dot \alpha - \dot \beta )$ en utilisant sinβ = - sinα/(2λ) puis ${\ddot y_c} = - (d/2)[\dot \alpha (\dot \alpha - \dot \beta )\cos \alpha + (\ddot \alpha - \ddot \beta )\sin \alpha ] = - (d/2)[({\omega ^2} - \omega \dot \beta )\cos \alpha - \ddot \beta \sin \alpha ]$ puisque ω=dα/dt est constant.
D’autre part la relation sin β = - sinα/(2λ) conduit à $\dot \beta \cos \beta = - \dot \alpha \cos \alpha /(2\lambda )$, puis $\ddot \beta \cos \beta - {\dot \beta ^2}\sin \beta = - (\ddot \alpha \cos \alpha - {\dot \alpha ^2}\sin \alpha )/(2\lambda )$. Comme λ>>1, $\left| {\dot \beta } \right| < < \left| {\dot \alpha } \right|$ et $\left| {\ddot \beta } \right| < < {\dot \alpha ^2}$ Par conséquent tous les termes sont négligeables devant le terme en ω2 dans l’expression précédente de ${\ddot y_c}$ ; on retrouve ainsi l’expression de a1y.
d) h D’après le résultat précédent, l’amplitude de a1y est égale à dω2/2.
AN : d = 86 mm = 8,6.10-2 m ; ω = 4800 tours/min = 2π.4800/60 rad.s-1
dω2/2 = 10864 m.s-2 ≈ 1107 g h Les matériaux constituant le piston doivent posséder de bonnes qualités mécaniques pour résister aux contraintes provoquées par les accélérations élevées (acier trempé puis alliages spéciaux). L’ordre de grandeur de l’accélération du piston reste accessible aux technologies classiques ; on rencontre des accélérations nettement plus élevées dans les turbines (turbines des centrales hydrauliques, thermiques et nucléaires ; turbines des turbotrains et des hélicoptères, turboréacteurs pour lesquels les ailettes sont réalisées en titane). Les accélérations les plus fortes se rencontrent probablement dans les ultracentrifugeuses utilisées en biologie permettant d’atteindre des accélérations de l’ordre de 500000g . Les rotors ont un diamètre de l’ordre de 15 cm et les vitesses angulaires maximales sont de l’ordre de 800 à 1000 tours/seconde. La technologie de ces appareils est nettement plus délicate : les rotors sont en titane ou en aluminium ; ils sont placés dans des enceintes blindées (à cause de l’énergie cinétique dissipée en cas d’éclatement) sous vide (la vitesse périphérique étant souvent supérieure à celle du son dans l’air).
II.3
a) h Si µ désigne la masse linéique de la barre, et x la position du point courant de la barre par rapport à G, ${I_2} = {J_{Gz}} = \int\limits_{ - \lambda d/2}^{\lambda d/2} {\mu {x^2}dx} = {m_2}{(\lambda d)^2}/12$ (résultat de cours).
b) h Le moment cinétique de la barre en G est égal au moment cinétique barycentrique. Dans son référentiel barycentrique, la barre a un mouvement de rotation autour de l’axe fixe Gz, qui est également un axe de symétrie de la barre, dont le vecteur rotation vaut ωb=dβ/dt ez (ωb est différent du vecteur rotation ω du vilebrequin).
h Par conséquent L2 = JGz dβ/dt ez. On peut retrouver la direction de L2 en remarquant que le mouvement se fait dans le plan Gxy de telle sorte que les vecteurs GM où M est un point de la barre et vM sont orthogonaux à ez et leur produit vectoriel colinéaire à ez.
h La valeur de dβ/dt a été calculée en II.2.c : dβ/dt = -ω cosα/(2λ cos β) ≈ -ω cosα/2λ car |β|<<1 d’où l’expression de L2 :
L2 = -(λ/24) m2d2ω cosα ez c) h La bielle est soumise aux actions de contact avec le cylindre et avec le vilebrequin et à son poids, négligeable par hypothèse. Les actions exercées par la bielle sur le cylindre et sur le vilebrequin sont F1 appliquée en C et F2 appliquée en B ; d’après le théorème de l’action et de la réaction, la bielle subit les actions -F1 en C et -F2 en B.
h Les théorèmes de la résultante cinétique dans le référentiel galiléen Oxyz et du moment cinétique barycentrique appliqués à la bielle s’écrivent donc :
m2 aG = -F1 - F2
dL2/dt = GC∧(-F1) + GB∧(-F2) d) h Il est possible de calculer a2 à partir de l’expression de la vitesse de G, en utilisant par exemple vG = vC + ωb∧CG, puisque vC et ωb sont connus. En fait il est plus simple d’écrire OG = (OC + OB) / 2, soit, O étant un point fixe du référentiel galiléen dans lequel on étudie le mouvement, aG = (aC + aB) / 2 = (a1 + aB) / 2.
h D’après II.2.c, a1 = -dω2/2 cosα ey. Le point B a un mouvement circulaire autour de Oz de rayon d/2 et de vitesse angulaire ω, donc aB = -dω2/2er = -dω2/2(cosαey-sinαex). En combinant les deux résultats :
${{\bf{a}}_{\bf{2}}} = {{\bf{a}}_{\bf{G}}} = d{\omega ^2}/4(\sin \alpha {{\bf{e}}_{\bf{x}}} - 2\cos \alpha {{\bf{e}}_{\bf{y}}})$ e) h On explicite les relations vectorielles du II.3.c. L’accélération aG est donnée par la relation précédente ; la dérivation de L2 conduit à dL2/dt = (λ/24) m2d2ω 2sinα ez.
Les vecteurs GC et GB vérifient GB = -GC = (λd/2)(sinβex-cosβey). Par conséquent $\begin{array}{l}{\bf{GC}} \wedge ( - {{\bf{F}}_{\bf{1}}}) + {\bf{GB}} \wedge ( - {{\bf{F}}_{\bf{2}}}) = {\bf{GB}} \wedge ({{\bf{F}}_{\bf{1}}} - {{\bf{F}}_{\bf{2}}}) = \\\frac{{\lambda d}}{2}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin \beta }\\{ - \cos \beta }\\0\end{array}} \right. \wedge \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{F_{1x}} - {F_{2x}}}\\{{F_{1y}} - {F_{2y}}}\\0\end{array}} \right. = \frac{{\lambda d}}{2}[\sin \beta ({F_{1y}} - {F_{2y}}) + \cos \beta ({F_{1x}} - {F_{2x}})]{{\bf{e}}_{\bf{z}}}\end{array}$
On aboutit après simplifications aux trois équations scalaires :
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \frac{{{m_2}d{\omega ^2}\sin \alpha }}{4}}& = &{{F_{1x}} + {F_{2x}}}\\{\frac{{{m_2}d{\omega ^2}\cos \alpha }}{2}}& = &{{F_{1y}} + {F_{2y}}}\\{\frac{{{m_2}d{\omega ^2}\sin \alpha }}{{12}}}& = &{\sin \beta ({F_{1y}} - {F_{2y}}) + \cos \beta ({F_{1x}} - {F_{2x}})}\end{array}} \right.$
h En reportant la valeur de F1y calculée en II.1.c), puis celle de a1y calculée en II.2.c), on en déduit l’expression de F2y :
F2y = (m2dω2cosα)/2 - F - m1a1y = (m1+m2)(dω2cosα)/2 - F
h En supposant que les différentes composantes de F1 et F2 sont du même ordre de grandeur, la troisième équation se simplifie car cosβ≈1 et |sin β|<<1. F1x et F2x vérifient alors :
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{F_{1x}} + {F_{2x}}}& = &{ - \frac{{{m_2}d{\omega ^2}\sin \alpha }}{4}}\\{{F_{1x}} - {F_{2x}}}& = &{\frac{{{m_2}d{\omega ^2}\sin \alpha }}{{12}}}\end{array}} \right.$ soit F2x = -(m2dω2sinα)/6. Le terme en sin β est bien négligeable puisque les 4 composantes ont pour ordre de grandeur m2dω2.
Finalement,
F2x = F0x sinα où F0x = -m2dω2/6
F2y = F0y cosα + F0 où F0y = (m1+m2)dω2/2 et F0 = -F
II.4
a) ${\bf{M}} = {\bf{OB}} \wedge {{\bf{F}}_{\bf{2}}} = \frac{d}{2}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \sin \alpha }\\{\cos \alpha }\\0\end{array}} \right. \wedge \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{F_{0x}}\sin \alpha }\\{{F_{0y}}\cos \alpha + {F_0}}\\0\end{array}} \right. = - \frac{d}{4}[({F_{0x}} + {F_{0y}})\sin 2\alpha + 2{F_0}\sin \alpha ]{{\bf{e}}_{\bf{z}}}$, soit en exprimant F0x, F0y et F0 :
${\bf{M}} = - \frac{d}{4}[(\frac{{{m_1}}}{2} + \frac{{{m_2}}}{3})d{\omega ^2}\sin 2\alpha - 2F\sin \alpha ]{{\bf{e}}_{\bf{z}}}$

b) h Pour F = 0, Mz = -(d/4)(m1/2+m2/3)sin2α est proportionnel à sin2α, d’où l’allure du graphique Mz c) h Si F n’est non nulle que durant la détente, seule la partie du diagramme correspondante est modifiée. Au début et à la fin de cette phase, sinα = sin2α = 0, il n’y a donc pas de discontinuité de Mz.

d) h JOz désignant le moment d’inertie du vilebrequin par rapport à Oz, le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au vilebrequin s’écrit, en négligeant les frottements : JOz dω/dt = Mz ou encore dω/dt = Mz/JOz. Pour minimiser les variations de la vitesse de rotation du vilebrequin, caractérisées par dω/dt, que causent les irrégularités de Mz, il faut par conséquent augmenter JOz. Concrètement le vilebrequin est solidaire d’un volant d’inertie de moment d’inertie élevé.
e) h AN : m1=0,5 kg, m2 = 1,2 kg, F=0.
Mz = (m1/2+m2/3)(dω)2/4 = 303,7 N.m II.5
a) h Le vilebrequin est soumis à l’action de la bielle F2, à la réaction du palier F3 et à son poids, qui est négligé par hypothèse.
b) h Le pricipe fondamental de la dynamique appliqué au vilebrequin s’écrit m3a3=F2+F3, soit F3 = m3a3 - F2. Les masselottes ont un mouvement circulaire uniforme de rayon r et de vitesse angulaire ω, donc a3 = - rω2ur = rω2(sinαex-cosαey). Par conséquent :
${{\bf{F}}_{\bf{3}}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{( - {m_3}r{\omega ^2} - {F_{0x}})\sin \alpha }\\{({m_3}r{\omega ^2} - {F_{0y}})\cos \alpha }\\0\end{array}} \right. = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - ({m_3}r - {m_2}d/6){\omega ^2}\sin \alpha }\\{({m_3}r - ({m_1} + {m_2})d/2){\omega ^2}\cos \alpha }\\0\end{array}} \right.$ c) h Pour annuler à tout instant la norme de F3, il faut vérifier les deux égalités m2d/6 = m3r et (m1 + m2)d/2 = m3r, et par conséquent m2d/6 = (m1 + m2)d/2.
h Cette égalité est équivalente à l’égalité -2m2 = 3m1, qui n’est pas réalisable puisque les masses sont positives.

d) h Puisque les composantes non nulles F3x et F3y sont proportionnelles à sinα et cosα , le module de F3 est constant si l’égalité :
|m3r - m2d/6| = |m3r - (m1+m2)d/2|
est vérifiée, c’est à dire si m3r - m2d/6 = - (m3r - (m1+m2)d/2). En effet les deux facteurs ne peuvent pas être de même signe, car alors l’égalité se ramènerait comme précédemment à -2m2=3m1.
h En réarrangeant les termes, on obtient finalement
m3r = (m1/4 + m2/3)d h En reportant on trouve F3 = - (m1/4 + m2/6)dω2 (sinαex + cosαey) ; F3 fait l’angle -(π/2+α) avec ex, et tourne donc dans le sens inverse du vilebrequin à la vitesse angulaire -ω.